Al meer dan een eeuw lang is het begrijpen van het gedrag van systemen van vele onderling interagerende deeltjes de centrale uitdaging in de fysica. Zelfs wanneer de wetten die de beweging van de individuele deeltjes beschrijven goed begrepen zijn, geeft het samenbrengen van veel van deze deeltjes aanleiding tot zeer complex emergent gedrag dat fundamenteel moeilijk te doorgronden is. Verschillende realisaties van zowel klassieke als kwantum systemen met verschillende emergente eigenschappen leiden heel natuurlijk tot het idee van faseovergangen die verschillende fasen van materie scheiden. Deze verschillende fasen hebben verschillende eigenschappen die relevant zijn voor een breed scala aan toepassingen, van het begrijpen van de fundamentele wetten van de natuur tot het uitvoeren van computationele taken di onmogelijk zijn voor klassieke computers. Naïeve simulatietechnieken worden al snel volledig onhaalbaar voor elk systeem van een meer of minder realistische grootte. Dit legt een fundamentele behoefte aan benaderende methoden om deze systemen te bestuderen bloot. Gedurende de afgelopen decennia zijn tensor netwerk methoden naar voren gekomen als krachtige hulpmiddelen die specifiek gericht zijn op de verstrengelingsverdeling en symmetrie-eigenschappen van relevante toestanden. In dit doctoraatsonderzoek worden tensor netwerk parametrisaties die de fundamentele eigenschappen van een systeem expliciet encoderen toegepast in verchillende contexten. De toepassingen gaan van het onderzoeken van de stabiliteit van topologische kwantumcomputers, over het bestuderen van kritische fenomenen in statistische mechanica, tot het simuleren van rooster-ijktheorieën.
Al meer dan een eeuw lang is het begrijpen van het gedrag van systemen van vele onderling interagerende deeltjes de centrale uitdaging in de fysica. Zelfs wanneer de wetten die de beweging van de individuele deeltjes beschrijven goed begrepen zijn, geeft het samenbrengen van veel van deze deeltjes aanleiding tot zeer complex emergent gedrag dat fundamenteel moeilijk te doorgronden is. Verschillende realisaties van zowel klassieke als kwantum systemen met verschillende emergente eigenschappen leiden heel natuurlijk tot het idee van faseovergangen die verschillende fasen van materie scheiden. Deze verschillende fasen hebben verschillende eigenschappen die relevant zijn voor een breed scala aan toepassingen, van het begrijpen van de fundamentele wetten van de natuur tot het uitvoeren van computationele taken di onmogelijk zijn voor klassieke computers. Naïeve simulatietechnieken worden al snel volledig onhaalbaar voor elk systeem van een meer of minder realistische grootte. Dit legt een fundamentele behoefte aan benaderende methoden om deze systemen te bestuderen bloot. Gedurende de afgelopen decennia zijn tensor netwerk methoden naar voren gekomen als krachtige hulpmiddelen die specifiek gericht zijn op de verstrengelingsverdeling en symmetrie-eigenschappen van relevante toestanden. In dit doctoraatsonderzoek worden tensor netwerk parametrisaties die de fundamentele eigenschappen van een systeem expliciet encoderen toegepast in verchillende contexten. De toepassingen gaan van het onderzoeken van de stabiliteit van topologische kwantumcomputers, over het bestuderen van kritische fenomenen in statistische mechanica, tot het simuleren van rooster-ijktheorieën.
Symmetrie en symmetriebreking zijn de organiserende principes voor fasen van materie. Net zoals de overgang van water naar ijs kan worden gezien als het breken van de continue translatiesymmetrie van de ruimte tot de discrete symmetrie van het ijskristalrooster, kunnen de magnetische eigenschappen van een materiaal begrepen worden als het breken van de rotatiesymmetrie van de ruimte en een collectieve organisatie van de elektronen binnen het materiaal. Dit paradigma van Landau wordt sinds enkele decennia uitgedaagd door de ontdekking van fasen van materie die door sterke kwantumeffecten worden gedomineerd. Zulke fasen worden gekenmerkt door de manier waarop de deeltjes onderling verstrengeld zijn. Hun studie vraagt dan ook om een efficiënte beschrijving van hun golffunctie en geeft op natuurlijke wijze aanleiding tot een ruimer begrip van symmetrie. In deze dissertatie worden veralgemeende symmetrieën die in sterk gecorreleerde kwantumveeldeeltjessystemen aanwezig zijn, bestudeerd aan de hand van tensornetwerken: een wiskundige taal die precies de verstrengelingsstructuur beschrijft, eerder dan de volledige golffunctie. Centraal in dit werk staan de vragen hoe zulke symmetrieën gerealiseerd worden, hoe ze aanleiding geven tot dualiteiten tussen equivalente systemen en tot welke nieuwe fasen van materie ze kunnen leiden.
Deze dissertatie onderzoekt hoe kwantumveldentheorieën in één ruimtelijke dimensie efficiënt numeriek kunnen worden beschreven met continue matrixproducttoestanden (continuous matrix product states, cMPS). Deze variationale ansatz is de continue tegenhanger van matrixproducttoestanden en maakt het mogelijk rechtstreeks in het continuüm te werken, zonder eerst een ruimtelijk rooster in te voeren. Het eerste deel behandelt de wiskundige en numerieke structuur van cMPS, met bijzondere aandacht voor ijkvrijheid, tangentruimten en efficiënte optimalisatie van grondtoestanden. Vervolgens wordt de methode uitgebreid naar eindige systemen met ruimtelijk afhankelijke matrices. Hiervoor worden algoritmen ontwikkeld om verwachtingswaarden en gradiënten nauwkeurig te berekenen. Een belangrijk deel van het werk richt zich op kwantumsystemen met meerdere deeltjessoorten. Daarbij worden verschillende parameterisaties onderzocht om de vereiste regulariteitsvoorwaarden te respecteren. Een nieuwe Riemanniaanse optimalisatiestrategie met preconditionering maakt berekeningen bij grotere bonddimensies stabieler en efficiënter. De methode wordt toegepast op een tweecomponenten-Lieb-Liniger-gas. Daarbij worden collectieve excitatiemodi en transportseigenschappen, waaronder de respons op een aangelegde twist, uit de grondtoestand afgeleid. Zo toont dit werk aan dat cMPS een veelzijdig en systematisch raamwerk vormen voor de numerieke studie van sterk gecorreleerde continue kwantumsystemen.
Diese Arbeit behandelt die Frage nach der Struktur von Quanten-Phasen kondensierter Materie, im Speziellen die Eigenschaften am absoluten Nullpunkt, im Rahmen von Tensor-netzwerken. Diese Arbeit behandelt die Frage nach der Struktur von Quanten-Phasen kondensierter Materie, im Speziellen die Eigenschaften am absoluten Nullpunkt, im Rahmen von Tensor-netzwerken. Es wird gezeigt, dass diese Bedingungen die jeweiligen Konzepte emergierender topologischer Ordnung in Vielteilchen Tensornetzwerk-Zuständen wiedergeben: MPO (Matrixproduktoperator)-Injektivität bestimmt den korrekten lokalen Teilraum, welcher mit Hilfe der pulling-through Bedingung auf große Gebiete ausgedehnt werden kann. Diese Gebiete bestimmen wiederum den globalen Teilraum am Rand des jweiligen topologisch geordneten Tensornetzwerk-Zustands. Bei intrinsischer topologischer Ordnung, wird der korrekte lokale Teilraum durch den jeweiligen MPO bestimmt, während der MPO im symmetriegeschützten Fall die globale Symmetrie des Systems in den virtuellen Freiheitsgraden des Tensornetzwerks implementiert. Es wird gezeigt, dass bekannte Fixpunkt-Modelle aus der Literatur, wie Kitaev quantum double- und Levin-Wen string-net-Modelle, Spezialfälle des eingeführten Frameworks sind. Der neue Rahmen geht über Fixpunkte hinaus und ist geeignet, topologische Phasenübergänge im Grundzustandraum zu studieren. Vor dem Hintergrund topologischer Quantenfeldtheorien (TQFTs) wird das Framework für den zweidiminsionalen Fall auf höhere Dimensionen verallgemeinert. Zustandssummen von lattice combinatorial TQFTs werden als Tensornetzwerke formuliert und Bedinungen für topologische Invarianz werden mittels lokaler Tensoren implementiert. Die Bedinugnen für topologische Invarianz dieser TQFTs werden als Spezialfälle der TNO (Tensornetzwerk- Operator)-Injektivität und pulling-through Bedingung in höheren Dimensionen identifiziert. TQFTs, welche verschiedene globale Symmetrien aufweisen können (und damit auf natür- liche Art SPT und SET Phasen beinhalten), sind Beispiele von Renormierungs-Fixpunkten des allgemeinen Frameworks. Dieses beinhaltet Modelle, welche von den Fixpunkten entfernt sind und ist somit geeignet, Phasenübergänge zu studieren. Abschließend, werden Walker-Wang Modelle im Rahmen von Tensornetzwerken detailliert behandlet. Der lokale Tensor und der TNO werden durch lokale Eigenschaften der relevanten TQFT ausgedrückt. Es wird gezeigt, dass TNO-Injektivität und pulling-through Bedingungen topologischen Invarianzbedingungen der TQFT in diesem speziellen Modell sind.
Daar is geen gebrek aan dekking in die laaste paar jaar in wetenskaplike joernale van die onderwerp van kwantumberekening nie. Tereg
ook, want dit is 'n nuwe idee met - tot sover- minstens een baie belangrike praktiese toepassing (ontbinding in priemfaktore) sodra die
tegnologie redelik omvattende berekenings kan hanteer. Die belangstelling in kwantumverwerking is aangevuur deur beide die besef
dat die toenemende miniaturisering noodwendig rekenaarwetenskaplikes met kwantumverskynsels sal konfronteer, en deur die begryp
van die potensiaal van massief parallelle verwerking deur die gebruik maak van die Hilbert-ruimtevoorstelling van kwantumstelsels en
die spesiale eienskappe van kwantumverstrengeling. Die onderwerp le by die sameloop van fisika, rekenaarwetenskap en wiskunde en
hierdie bydrae verken die idees van die drie gebiede wat die belangrikste rol in kwantumberekening speel en besin oor die definisies
van en die waarskynlike gebruik vir kwantumverwerking asook sy verhouding tot die klassieke berekeningskompleksiteit. Ten slotte
word 'n uitgebreide geannoteerde bibliografie verskaf as gids vir die geinteresseerde leser tot die literatuur in die onderwerp.
End
Quantum computing There has been no lack of coverage in the past few years in scientific journals of the topic of quantum computation. Rightly so, as
this is a novel idea with-so far-at least one very important practical application (prime factorisation) as soon as the technology can
accommodate reasonably sized computations. Interest in quantum computing has been sparked by both the realization that increasing
miniaturisation will eventually bring computer scientists face-to-face with quantum effects, and by the grasping of the potential for
massive parallelism inherent in the Hilbert space representation of quantum systems and in the special effects of quantum entanglement.
The topic lies at the confluence of physics, computer science and mathematics and this contribution reviews the ideas from these three
fields that play the most important role in quantum computation and reflects on the definitions of and prospective use for quantum
computing as well as its relation to classical computational complexity. Finally, an extended annotated bibliography is provided as a
guide for the interested reader to the literature in the subject.
End
Daar is geen gebrek aan dekking in die laaste paar jaar in wetenskaplike joernale van die onderwerp van kwantumberekening nie. Tereg ook, want dit is ’n nuwe idee met—tot sover—minstens ´ e´ en baie belangrike praktiese toepassing (ontbinding in priemfaktore) sodra die tegnologie redelik omvattende berekenings kan hanteer. Die belangstelling in kwantumverwerking is aangevuur deur beide die besef dat die toenemende miniaturisering noodwendig rekenaarwetenskaplikes met kwantumverskynsels sal konfronteer, en deur die begryp van die potensiaal van massief parallelle verwerking deur die gebruik maak van die Hilbert-ruimtevoorstelling van kwantumstelsels en die spesiale eienskappe van kwantumverstrengeling. Die onderwerp lˆ e by die sameloop van fisika, rekenaarwetenskap en wiskunde en hierdie bydrae verken die idees van di´ e drie gebiede wat die belangrikste rol in kwantumberekening speel en besin oor die definisies van en die waarskynlike gebruik vir kwantumverwerking asook sy verhouding tot die klassieke berekeningskompleksiteit. Ten slotte word ’n uitgebreide geannoteerde bibliografie verskaf as gids vir die ge¨ ınteresseerde leser tot die literatuur in di´ e onderwerp.AbstractQuantum computing There has been no lack of coverage in the past few years in scientific journals of the topic of quantum computation. Rightly so, as this is a novel idea with—so far—at least one very important practical application (prime factorisation) as soon as the technology can accommodate reasonably sized computations. Interest in quantum computing has been sparked by both the realization that increasing miniaturisation will eventually bring computer scientists face-to-face with quantum effects, and by the grasping of the potential for massive parallelism inherent in the Hilbert space representation of quantum systems and in the special effects of quantum entanglement. The topic lies at the confluence of physics, computer science and mathematics and this contribution reviews the ideas from these three fields that play the most important role in quantum computation and reflects on the definitions of and prospective use for quantum computing as well as its relation to classical computational complexity. Finally, an extended annotated bibliography is provided as a guide for the interested reader to the literature in the subject.
Los estados de redes tensoriales describen estados cuanticos de muchos cuerpos de forma local. Estos estados aproximan eficientemente los estados de baja energia de sistemas con interacciones locales y con gap ademas de describir exactamente estados cuanticos de muchos cuerpos de enorme importancia (aquellos que son puntos fijos de un proceso de renormalizacion). Los estados de redes tensoriales constituyen una herramienta analitica muy valiosa para el estudio de sistemas fuertemente correlacionados. En esta tesis analizamos redes tensoriales que describen fases cuanticas que albergan un tipo de order no local: el orden topologico. Uno de los aspectos mas importantes de un sistema con orden topologico es la existencia de excitaciones de cuasiparticulas con propiedades inusuales bajo intercambio que difieren tanto de los bosones o fermiones. Estas excitaciones, denominadas anyones, emergen como un comportamiento colectivo de los constituyentes del sistema y pueden transformase de forma no trivial bajo las simetrias globales del sistema.
Resulta que el sector de baja energia de algunos modelos topologicos, incluidos los anyones, tienen una descripcion en terminos de estados de redes de tensores. Ademas, el orden topologico, una propiedad global, se codifica localmente como una simetria en los tensores individuales. Esta codificacion es crucial debido a que cuando una estructura local que caracteriza una propiedad local es identificada matematicamente, uno puede centrarse en esa familia de estados de redes tensoriales para estudiar sistematicamente sus propiedades. En este sentido, los estados de redes tensoriales surgen como el marco formal para trabajar en la fisica de muchos cuerpos. El objetivo de esta tesis es contribuir a la clasificacion de redes de tensores topologicas en dos dimensiones con simetrias.
Una cuestion importante, relacionada con la caracterizacion local de simetrias globales, es como caracterizar la relacion que existe entre tensores que describen el mismo estado de red tensorial y que, por ende, deberian considerarse equivalentes.
En esta tesis obtenemos esta relacion para algunas clases de estados de redes de tensores previamente estudiados, inyectivos y normales, mejorando los resultados existentes relajando algunas hipotesis. Ademas, probamos esta relacion para estados de redes tensoriales que describen fases topologicas, donde ningun resultado previo existia. Concretamente, lo probamos para la familia que describe los modelos dobles cuanticos de un grupo finito, los denominados PEPS G-inyectivos. Una vez tenemos este teorema, se pueden caracterizar y clasificar simetrias globales que actuan localmente en cada sitio de la red.
Clasificamos simetrias globales que actuan de forma local, provenientes de un grupo finito Q, en PEPS G-inyectivos. Obtenemos un numero finito de clases para cada par (Q,G). Esta clasificacion esta relacionada con las posibles extensiones de grupo, E, de G por Q. Ademas, proporcionamos un metodo para construir un representante de cada clase, concluyendo que nuestra clasificacion es completa. Los representantes tambien se construyen usando la teoria de extensiones de grupo, empezando por una representacion de la extension E y restringiendo localmente el tensor a los elementos de G. Este representante esta dado en una forma de punto fijo de renormalizacion, lo que facilita la obtencion de todas las propiedades de la fase cuantica. Debido a que un sistema con orden topologico y simetria estara lejos de ese representante, es necesario un metodo para detectar la fase. Nosotros resolvemos ese problema proponiendo unos invariantes de la fase y sus correspondientes parametros de orden para detectar el patron de fraccionalizacion de la simetria en un estado determinado. Los parametros de orden propuestos capturan la fase mediante la deteccion de cantidades invariantes en la extension de grupo. Concluimos la tesis formulando algunas preguntas matematicas abiertas en el campo de los PEPS.