Réduction dimensionnelle : des anyons 2D à un modèle effectif 1D sous confinement anisotrope Cette thèse traite de la réduction dimensionnelle d'anyons abéliens bidimensionnels soumis à un confinement fortement anisotrope, étudiée à la fois au niveau microscopique (multi-corps) et au niveau champ moyen/presque-bosonique.Les anyons sont des quasi-particules à statistique fractionnaire qui interpolent entre les bosons et les fermions, caractérisées par une phase d'échange e^{i·π·α} pour α compris entre 0 et 1. Le concept théorique des anyons remonte aux travaux de Leinaas et Myrheim en 1977, tandis que des preuves expérimentales convaincantes de leur existence n'ont émergé qu'en 2020, à travers leur réalisation dans les systèmes de Hall quantique fractionnaire. L'étude de leur comportement sous confinement permet non seulement d'éclaircir les liens entre anyons unidimensionnels et bidimensionnels, mais aussi d'apporter de nouvelles perspectives sur la structure mathématique des systèmes anyoniques.Au niveau microscopique, nous considérons N anyons dans le formalisme de jauge magnétique, soumis à un potentiel harmonique qui fige le mouvement dans la direction longitudinale (y). Nous démontrons rigoureusement qu'après avoir soustrait la contribution longitudinale gelée, l'énergie bidimensionnelle associée Γ-converge vers celle du gaz de Tonks-Girardeau (TG) unidimensionnel. Cela établit un lien mathématique précis entre les anyons 2D et les bosons impénétrables 1D, et, via la correspondance Bose-Fermi, avec un gaz de fermions libres. Fait important, ce modèle limite 1D est indépendant du paramètre d'échange α à l'ordre dominant, indiquant que l'effet du champ de jauge magnétique est éliminé jusqu'à des corrections en o(1). Autrement dit, les interactions d'Aharonov-Bohm à longue portée se réduisent à une contrainte d'exclusion à cœur dur dans cette limite de réduction dimensionnelle.Au niveau macroscopique, dans le régime de champ moyen (N tend vers l'infini avec α proportionnel à N^{-1}), le système anyonique 2D est décrit par la fonctionnelle de Chern-Simons-Schrödinger (CSS), un modèle de Schrödinger magnétique non linéaire avec un champ de jauge auto-consistant. En effectuant la même limite de réduction dimensionnelle, le modèle effectif unidimensionnel obtenu est décrit par une équation de Schrödinger non linéaire quintique (NLS), dont la non-linéarité quintique provient du champ de jauge auto-consistant du modèle CSS. Cette réduction dimensionnelle est établie à la fois au niveau des énergies fondamentales et, sous des hypothèses appropriées de bien-positude sur la dynamique CSS, au niveau de l'évolution temporelle. Contrairement au gaz TG, la constante de couplage effective g dans la NLS quintique conserve une dépendance au paramètre d'échange α via g = π·β² pour β proportionnel à α·N.Pris ensemble, ces résultats donnent deux descriptions effectives unidimensionnelles distinctes, issues de différents ordres de limites. De manière cruciale, les limites champ moyen/presque-bosonique et de réduction dimensionnelle (confinement fort) ne commutent pas : la limite TG est indépendante de α, tandis que la limite NLS quintique garde une dépendance en α via β proportionnel à α·N. Cette non-commutativité met en évidence l'interaction subtile entre la limite d'échelle et le confinement dans les systèmes anyoniques. Des travaux futurs pourraient chercher à déterminer s'il existe un régime critique séparant ces deux situations.
Réduction dimensionnelle : des anyons 2D à un modèle effectif 1D sous confinement anisotrope Cette thèse traite de la réduction dimensionnelle d'anyons abéliens bidimensionnels soumis à un confinement fortement anisotrope, étudiée à la fois au niveau microscopique (multi-corps) et au niveau champ moyen/presque-bosonique.Les anyons sont des quasi-particules à statistique fractionnaire qui interpolent entre les bosons et les fermions, caractérisées par une phase d'échange e^{i·π·α} pour α compris entre 0 et 1. Le concept théorique des anyons remonte aux travaux de Leinaas et Myrheim en 1977, tandis que des preuves expérimentales convaincantes de leur existence n'ont émergé qu'en 2020, à travers leur réalisation dans les systèmes de Hall quantique fractionnaire. L'étude de leur comportement sous confinement permet non seulement d'éclaircir les liens entre anyons unidimensionnels et bidimensionnels, mais aussi d'apporter de nouvelles perspectives sur la structure mathématique des systèmes anyoniques.Au niveau microscopique, nous considérons N anyons dans le formalisme de jauge magnétique, soumis à un potentiel harmonique qui fige le mouvement dans la direction longitudinale (y). Nous démontrons rigoureusement qu'après avoir soustrait la contribution longitudinale gelée, l'énergie bidimensionnelle associée Γ-converge vers celle du gaz de Tonks-Girardeau (TG) unidimensionnel. Cela établit un lien mathématique précis entre les anyons 2D et les bosons impénétrables 1D, et, via la correspondance Bose-Fermi, avec un gaz de fermions libres. Fait important, ce modèle limite 1D est indépendant du paramètre d'échange α à l'ordre dominant, indiquant que l'effet du champ de jauge magnétique est éliminé jusqu'à des corrections en o(1). Autrement dit, les interactions d'Aharonov-Bohm à longue portée se réduisent à une contrainte d'exclusion à cœur dur dans cette limite de réduction dimensionnelle.Au niveau macroscopique, dans le régime de champ moyen (N tend vers l'infini avec α proportionnel à N^{-1}), le système anyonique 2D est décrit par la fonctionnelle de Chern-Simons-Schrödinger (CSS), un modèle de Schrödinger magnétique non linéaire avec un champ de jauge auto-consistant. En effectuant la même limite de réduction dimensionnelle, le modèle effectif unidimensionnel obtenu est décrit par une équation de Schrödinger non linéaire quintique (NLS), dont la non-linéarité quintique provient du champ de jauge auto-consistant du modèle CSS. Cette réduction dimensionnelle est établie à la fois au niveau des énergies fondamentales et, sous des hypothèses appropriées de bien-positude sur la dynamique CSS, au niveau de l'évolution temporelle. Contrairement au gaz TG, la constante de couplage effective g dans la NLS quintique conserve une dépendance au paramètre d'échange α via g = π·β² pour β proportionnel à α·N.Pris ensemble, ces résultats donnent deux descriptions effectives unidimensionnelles distinctes, issues de différents ordres de limites. De manière cruciale, les limites champ moyen/presque-bosonique et de réduction dimensionnelle (confinement fort) ne commutent pas : la limite TG est indépendante de α, tandis que la limite NLS quintique garde une dépendance en α via β proportionnel à α·N. Cette non-commutativité met en évidence l'interaction subtile entre la limite d'échelle et le confinement dans les systèmes anyoniques. Des travaux futurs pourraient chercher à déterminer s'il existe un régime critique séparant ces deux situations.
Approximation de champ moyen pour un gaz d'anyons Ce manuscrit est dédié à l'étude des gaz d'anyons. Il s'agit de dérivations rigoureuses d'énergies fondamentales de ces systèmes dans la limite de champs moyen, i.e quand le nombre de particule tend vers l'infini. Au sein des systèmes bi-dimensionnels le choix de la statistique des particules n'est pas limité à la dichotomie boson/fermion. Le paramètre statistique peut prendre n'importe quelle valeur entre 0 et 1 extrapolant entre bosons (paramètre statistique nul) et fermions (paramètre statistique égal à 1). Ces quasi-particules sont alors décrites comme d'authentiques fermions ou bosons interagissant via un potentiel magnétique longue portée généré par des charges magnétiques de rayon R que les particules transportent. En d'autres termes, nous ajoutons aux particules un tube de flux fictif de type Aharonov-Bohm. Nous avons donc affaire à un problème à N corps où toutes les particules interagissent entre elles. Nous considérons de plus que les anyons sont piégés dans un potentiel V et soumis à un champ magnétique extérieur. Nous étudions ici deux limites appelées quasi-bosonique et quasi-fermionique où le paramètre statistique tend respectivement vers celui des bosons puis des fermions. Dans le premier cas le paramètre statistique est vu comme une perturbation du cas bosonique. Nous le prenons égal à 1/N. Le rayon R tend aussi vers zéro quand N tend vers l'infini. Notre méthode permet d'obtenir la convergence des états fondamentaux de ces gaz ainsi que la convergence des états associés. Nous obtenons une énergie de Hartree. La validité de ce résultat dépend de la vitesse de convergence de R qui ne doit pas décroître trop vite. La discussion autour de la taille des anyons sera centrale dans le manuscrit. L'outil principal dans l'obtention du modèle effectif est la version du théorème de de Finetti de Brandão et Harrow combiné à une localisation dans l'espace de Fock.Dans le cas quasi-fermionique le paramètre statistique tend vers un. Nous travaillons donc sur une perturbation du cas fermionique. Cette fois-ci nous introduisons la constante de Planck que nous prenons proportionnelle à 1/N^(1/2) pour nous trouver dans une limite semi-classique. Nous obtenons à la limite une énergie Thomas-Fermi. La validité de ces résultats est aussi tributaire d'une contrainte sur la taille des charges R. Nous utilisons les états cohérents et les fonctions de Husimi combinés au théorème de Diaconis-Freedman pour obtenir l'énergie effective. Le point central de la preuve est l'obtention d'un principe de Pauli quantitatif semi-classique.Dans les chapitres qui vont suivre nous commencerons par expliciter la notion d'anyon, nous énoncerons les résultats principaux, puis consacrerons le reste à leur preuve. Nous terminerons en suggérant quelques idées d'amélioration et de continuation de notre propos.
Bosons unidimensionnels avec pompe et dissipation — du quantique au classique Cette thèse étudie la physique des systèmes bosoniques unidimensionnels avec pompe et dissipation et fortement corrélés, en combinant des approches de théorie des champs avec diverses techniques de simulation numérique. Alors que les condensats à faible interaction sont décrits avec précision par une équation de Gross–Pitaevskii généralisée, le régime fortement corrélé du même modèle microscopique demeure bien moins compris, en particulier hors de l'équilibre. Notre objectif est de combler cette lacune en développant des simulations quantiques à N corps contrôlées pour des systèmes ouverts régis par une dynamique de Lindblad, ainsi qu’en étudiant l’action correspondante en utilisant le groupe de renormalisation fonctionnelle.Dans la première partie, nous formulons une description de théorie des champs pour les bosons unidimensionnels avec pompe et dissipation à l’aide du formalisme de Schwinger–Keldysh et du groupe de renormalisation fonctionnelle (fRG). Nous examinons deux modèles :(i) motivés par l’apparition de la physique de Kardar–Parisi–Zhang (KPZ) dans les quasi-condensats sous pompe et dissipation, nous recherchons le point fixe KPZ émergent dans la théorie de champ bosonique ;(ii) un pompage cohérent à deux photons combiné à des pertes incohérentes à deux particules décrit des qubits «chat» dissipatifs. Nous étudions le diagramme de phases et mettons en évidence une transition de phase du second ordre entre un état brisé et un état symétrique, que nous analysons à l’aide d’un Ansatz fRG.La seconde partie de la thèse porte sur la dynamique des systèmes ouverts au moyen de la diagonalisation exacte et des méthodes de réseaux de tenseurs. Pour le modèle de Bose–Hubbard avec pompage et perte incohérents, nous caractérisons l’état stationnaire et étudions les fonctions spectrales sur l’ensemble de l’espace des paramètres. Nous montrons que les propriétés clés de l’état fondamental disparaissent sous dissipation, tandis que le spectre unitaire à haute température reproduit certains aspects de la dynamique du système ouvert. Dans un modèle étendu avec pertes additionnelles à deux corps et pertes non locales à un corps, nous établissons l’émergence semi-classique du régime KPZ et extrayons l’exposant dynamique KPZ à partir de la fonction spectrale. Une analyse en taille finie révèle les limitations actuelles des méthodes de réseaux de tenseurs pour atteindre le régime de forte occupation dans l’évolution quantique complète.Enfin, un dernier projet développe une analyse RG perturbative à deux boucles d’une chaîne de spins 1 au point critique quantique associé à une brisure continue de symétrie, révélant des exposants critiques distincts de ceux de la classe d’universalité d’Ising.Dans l’ensemble, ces résultats approfondissent la compréhension des systèmes quantiques ouverts fortement corrélés, en mettant en lumière leurs symétries, leurs théories effectives et leurs propriétés dynamiques, tout en identifiant des axes prometteurs pour de futurs travaux théoriques et numériques.
En physique bidimensionnelle, un systeme de particules indiscernables, quantiques et non relativistes peut obeir a une statistique qui interpole entre celle de bose-einstein et celle de fermi-dirac. De telles particules sont appelees des anyons. L'amplitude de probabilite peut prendre une phase arbitraire lors d'un echange des particules. Au contraire des bosons ou des fermions, le groupe des permutations ne permet pas de caracteriser completement cette phase et il faut invoquer alors le groupe de tresse. Il apparait que l'interaction statistique entre les anyons est equivalente a une interaction de aharonov-bohm qui derive d'un lagrangien de chern-simons. Nous nous sommes essentiellement interesse a la thermodynamique d'un gaz d'anyons. Puisque le spectre complet de n anyons semble hors d'atteinte, nous avons fait un calcul de l'equation d'etat au second ordre perturbatif au voisinage de la statistique de bose ou de fermi. Pour eviter les divergences ultraviolettes, on remarque que les singularites de l'interaction statistique a courte portee obligent les fonctions d'ondes a s'annuler quand des anyons coincident (exclusion statistique). Le gaz est confine dans un puits harmonique de maniere a obtenir la limite thermodynamique quand l'attraction harmonique tend vers zero. Ainsi, les divergences infrarouges s'annulent mutuellement dans cette limite et on trouve un developpement du viriel fini au second ordre perturbatif. La complexite du modele des anyons apparait dans ce resultat. Nous avons aussi calcule l'equation d'etat d'un gaz d'anyons dans un champ magnetique assez intense pour projeter les particules dans le fondamental de landau degenere. Le resultat est valable pour des anyons de statistique quelconque. Nous obtenons pour ce systeme un principe d'exclusion qui generalise le principe de pauli aux anyons. D'autre part, nous avons defini un modele de particules discernables en interaction topologique. Le modele des anyons s'en deduit lorsque l'on restore l'indiscernabilite entre les particules
Le liquide de luttinger constitue le meilleur exemple de metal non-liquide de fermi connu. Il designe une classe d'universalite pour des systemes unidimensionnels caracterises par une dynamique purement collective sans quasi-particules de landau. Des realisations experimentales du liquide de luttinger existent, par exemple sur les bords d'un gaz d'electrons bidimensionnel sous champ magnetique tel que le fluide de hall fractionnaire. De nombreux modeles integrables exactement solubles font aussi partie de cette classe : la chaine d'heisenberg, le modele de hubbard de facon tres remarquable, les solutions exactes font apparaitre dans le spectre d'excitations des etats fractionnaires, qui ne portent plus les nombres quantiques de l'electron : par exemple le holon du modele de hubbard porte une charge unite mais n'a pas de spin. Cependant, aucune analyse detaillee de la theorie effective decrivant le liquide de luttinger qui ferait clairement apparaitre des etats fractionnaires dans le spectre n'existait. Dans cette these, nous avons montre explicitement que cette theorie effective admettait des excitations fractionnaires et avons decrit en detail leur construction. Nous avons pu ainsi obtenir toute une serie de resultats nouveaux sur les excitations fractionnaires, ce qui nous a conduit a faire un certain nombre de predictions. Nous avons trouve de facon tres remarquable qu'il n'y avait non plus une mais deux excitations elementaires correspondant au spinon des chaines de spin et une seconde qui est isomorphe a une quasi-particule de laughlin de l'effet hall fractionnaire. Cette derniere serait susceptible d'etre observee experimentalement. Les fonctions d'onde du fondamental et des excitations ont aussi ete calculees. Ces resultats ont ete ensuite generalises au liquide de luttinger avec spin : nous introduisons un formalisme qui nous permet de decrire de facon exhaustive le spectre fractionnaire dans des situations avec separation spin-charge ou meme sans separation spin-charge (comme par exemple pour des systemes sous champ magnetique comme le modele de hubbard sous champ).
Phases classiques et quantiques des systèmes dipolaires de basse dimensionnalité Cette thèse étudie les phases classiques et quantiques des systèmes atomiques ou moléculaires de basse dimension en mettant un accent particulier sur le crossover dimensionnel de une à deux dimensions.La première partie de la thèse est consacrée à la description d'un système d'atomes froids interagissants avec un potentiel de contact. Plus précisément, nous étudions le dé-piégeage dynamique qui, suite à l'extinction rapide d'un réseau optique, s'opère dans un gaz composé de bosons impénétrables dans un guide d'onde atomique linéaire. Nous employons une solution exacte, basée sur une correspondance entre bosons en forte interaction et fermions sans interaction pour déduire l'évolution dynamique quantique exacte. Dans la limite thermodynamique, nous observons l'approche vers un état stationnaire hors équilibre, caractérisé par l'absence d'ordre hors diagonal à longue distance et une visibilité réduite de la distribution en impulsions. Des caractéristiques similaires sont observées dans un système de taille finie pour des temps correspondant à la moitié du temps de récurrence, lors desquels nous observons que le système approche un état quasi-stationnaire auquel le système s'approche avec une dépendance temporelle en loi de puissance.La deuxième partie de la thèse analyse l'effet des interactions dipolaires sur l'état fondamental du système. L'inclusion de l'interaction dipôle-dipôle donne lieu à de nouvelles phases quantiques du système unidimensionnel, mais peut également entraîner une instabilité transverse.Cette instabilité est tout d'abord analysée dans le régime classique. Nous considérons des particules classiques avec interactions dipolaires, confinés sur un anneau par un potentiel harmonique radiale. Les dipôles sont polarisés perpendiculairement au plan de confinement. En diminuant le confinement dans la direction radiale, les particules classique montrent une transition entre une chaîne simple et une chaîne double (en zigzag). Nous montrons que cette transition est faiblement du premier ordre. Nous expliquons que la nature de cette transition est déterminée par le couplage entre les modes d'excitation transversaux et axiaux de la chaîne des dipôles. Ce résultat est très différent du comportement observé dans les systèmes Coulombiens, où la transition entre la chaîne linéaire et la chaîne en zigzag est continue et appartient à la classe d'universalité de la transition ferromagnétique. Nos résultats s'appliquent aux systèmes dipolaires classiques et aux atomes Rydberg, qui peuvent constituer un banc d'essai pour simuler le comportement critique des aimants couplés à des grilles.Dans le régime quantique, nous considérons un système des bosons dipolaires sur un réseaux optique, confinés par un potentiel harmonique anisotrope. Dans le régime favorisant l'instabilité d'une chaîne simple, nous démontrons que le système peut être décrit par un modèle de Bose-Hubbard étendu à plusieurs modes couplés entre eux, dont les coefficients peuvent être déterminés en utilisant une théorie de basse énergie. La méthode d'intégrale de chemin Monte Carlo, la diagonalisation exacte et TEBD sont utilisés pour déterminer l'état fondamental de modèle de Bose-Hubbard étendu et démontrent que ce modèle capture la transition entre la chaîne linéaire et la chaîne en zigzag.
Parmi les méthodes de la théorie du groupe de renormalisation, les développements en epsilon sont basés sur des calculs dans l'espace réciproque et permettent de calculer les exposants critiques associés aux transitions magnétiques du second ordre pour des valeurs non entières de la dimension d'espace. Une interprétation physique naturelle consiste à se demander comment se comporte un système de spins en interaction dans un espace de dimension fractale. Or les structures fractales sont construites par itération d'une cellule génératrice dont les détails sont donc présents à plusieurs échelles ; la question qui se pose alors est de savoir ce qui se passe lorsque l'invariance par translation est remplacée par une invariance d'échelle géométrique. La convergence vers la limite thermodynamique se produit en même temps que le processus d'itération construit la structure. De ce fait, des simulations Monte Carlo fiables de ces transitions de phase n'ont pu être menées à bien que récemment, puisqu'elles nécessitent la simulation de très grandes tailles, lesquelles varient comme des séries géométriques avec l'étape d'itération. C'est en utilisant des algorithmes non locaux dits “d'amas” (Wolff, Swendsen-Wang), capables de réduire le ralentissement critique de manière significative, et des méthodes d'histogrammes pour traiter les données des simulations Monte-Carlo que j'ai tout d'abord réalisé ces études. Il s'avère que le calcul précis des exposants critiques est rendu encore plus difficile par le fait que l'analyse en tailles finies du modèle d'Ising souffre de corrections d'échelle qui peuvent affecter fortement le comportement de certaines grandeurs thermodynamiques, en particulier lorsque la dimension fractale tend vers 1. J'ai montré que ces corrections d'échelle sont en partie liées à la très forte inhomogénéité du réseau sous-jacent (due à l'existence de trous sur plusieurs ordres de grandeurs) et à la concomitance de la construction du fractal avec la convergence vers la limite thermodynamique. Les résultats que j'ai obtenus pour les exposants critiques, ou leurs bornes, sont toujours compatibles avec la relation d'hyperscaling dans laquelle on substitue la dimension de Hausdorff à la dimension d'espace. Le comportement critique en dimension non entière se décrit dans le cadre de l'universalité faible. Cela se manifeste par un désaccord net entre les exposants que j'ai obtenus par les méthodes Monte Carlo et les développements en epsilon. Les exposants critiques ne dépendent pas seulement de la dimension d'espace, des propriétés de symétrie du paramètre d'ordre et de la portée des interactions, mais aussi des propriétés géométriques de la structure fractale : Très récemment des calculs précis d'exposants critiques m'ont permis de montrer que des classes d'universalité différentes sont en général nécessaires pour décrire le comportement du modèle d'Ising sur des fractals de même dimension et de lacunarités différentes. Un tel résultat généralise le concept d'universalité faible proposé par Masuo Suzuki. L'hypothèse d'homogénéité qui sous-tend les lois d'échelle permettant de décrire un comportement critique se dérive par renormalisation. La procédure de renormalisation dans l'espace direct est naturelle dans les fractals, puisqu'elle suit exactement le processus inverse de construction de la structure. Avec mon étudiant Pai-Yi Hsiao, nous avons mené à bien l'étude du modèle d'Ising par une méthode de renormalisation Monte-Carlo sur une structure fractale de dimension voisine de 1, 89 ; il s'avère que l'exposant associé à l'une des directions propres peut être calculé avec une très bonne précision et est en accord avec les résultats de l'analyse en tailles finies. En revanche, la convergence est très lente dans l'autre direction, ce qui est lié aux corrections d'échelle mises en évidence lors de cette analyse. La cinétique stochastique associée à la formation des amas construits par l'algorithme de Wolff sous tend la compréhension du phénomène de ralentissement critique. J'ai montré que les distributions des tailles des amas de Wolff ont une propriété d'homogénéité qui fait intervenir l'un des exposants associé à une des directions propres du processus de renormalisation. Par ailleurs, les distributions des tensions de surface des amas vérifient une propriété analogue dans laquelle intervient un nouvel exposant critique. L'étude des fonctions d'autocorrélation m'a permis de calculer précisément les exposants dynamiques de Wolff lorsque la température critique est connue, et d'éclaircir l'évolution du ralentissement critique avec la dimension et la connectivité. Dans le cas de systèmes invariants par translation, l'ordre de la transition ferromagnétique du modèle de Potts est lié au nombre d'états de spin ; le passage du premier au second ordre est attendu pour des dimensions non entières. Par ailleurs, la présence de désordre peut, dans certaines conditions, induire une transition du second ordre à partir d'un système qui en présente une du premier. L'étude du comportement critique du modèle de Potts sur des fractals est donc particulièrement intéressante, puisque deux des paramètres qui le déterminent (dimensionnalité et désordre structurel) sont liés. Avec mon étudiant Pai-Yi Hsiao, nous avons montré que la transition associée au modèle de Potts à trois états sur une structure fractale de dimension voisine de 1, 89 est du second ordre. Les difficultés attendues lorsqu'on augmente le nombre d'états de spins se font déjà nettement sentir : Les corrections d'échelle empêchent de calculer la température critique avec une très bonne précision. Nous n'avons donc pu donner que des bornes pour certains exposants ; nous avons cependant clairement mis en évidence la différence entre les classes d'universalité de Potts à 2 et 3 états. L'étude de la percolation en dimension non entière est liée à la fois à celle du modèle de Potts et aux algorithmes d'amas. Elle est basée sur l'étude des moments de la distribution de taille des amas, ce qui nécessite la localisation de pics en fonction de la probabilité d'occupation. J'ai pu montrer que les corrections d'échelle n'affectent pratiquement pas le comportement des pics avec la taille des structures, et proposé de les interpréter en termes de "seuil effectif".