En physique bidimensionnelle, un systeme de particules indiscernables, quantiques et non relativistes peut obeir a une statistique qui interpole entre celle de bose-einstein et celle de fermi-dirac. De telles particules sont appelees des anyons. L'amplitude de probabilite peut prendre une phase arbitraire lors d'un echange des particules. Au contraire des bosons ou des fermions, le groupe des permutations ne permet pas de caracteriser completement cette phase et il faut invoquer alors le groupe de tresse. Il apparait que l'interaction statistique entre les anyons est equivalente a une interaction de aharonov-bohm qui derive d'un lagrangien de chern-simons. Nous nous sommes essentiellement interesse a la thermodynamique d'un gaz d'anyons. Puisque le spectre complet de n anyons semble hors d'atteinte, nous avons fait un calcul de l'equation d'etat au second ordre perturbatif au voisinage de la statistique de bose ou de fermi. Pour eviter les divergences ultraviolettes, on remarque que les singularites de l'interaction statistique a courte portee obligent les fonctions d'ondes a s'annuler quand des anyons coincident (exclusion statistique). Le gaz est confine dans un puits harmonique de maniere a obtenir la limite thermodynamique quand l'attraction harmonique tend vers zero. Ainsi, les divergences infrarouges s'annulent mutuellement dans cette limite et on trouve un developpement du viriel fini au second ordre perturbatif. La complexite du modele des anyons apparait dans ce resultat. Nous avons aussi calcule l'equation d'etat d'un gaz d'anyons dans un champ magnetique assez intense pour projeter les particules dans le fondamental de landau degenere. Le resultat est valable pour des anyons de statistique quelconque. Nous obtenons pour ce systeme un principe d'exclusion qui generalise le principe de pauli aux anyons. D'autre part, nous avons defini un modele de particules discernables en interaction topologique. Le modele des anyons s'en deduit lorsque l'on restore l'indiscernabilite entre les particules
En physique bidimensionnelle, un systeme de particules indiscernables, quantiques et non relativistes peut obeir a une statistique qui interpole entre celle de bose-einstein et celle de fermi-dirac. De telles particules sont appelees des anyons. L'amplitude de probabilite peut prendre une phase arbitraire lors d'un echange des particules. Au contraire des bosons ou des fermions, le groupe des permutations ne permet pas de caracteriser completement cette phase et il faut invoquer alors le groupe de tresse. Il apparait que l'interaction statistique entre les anyons est equivalente a une interaction de aharonov-bohm qui derive d'un lagrangien de chern-simons. Nous nous sommes essentiellement interesse a la thermodynamique d'un gaz d'anyons. Puisque le spectre complet de n anyons semble hors d'atteinte, nous avons fait un calcul de l'equation d'etat au second ordre perturbatif au voisinage de la statistique de bose ou de fermi. Pour eviter les divergences ultraviolettes, on remarque que les singularites de l'interaction statistique a courte portee obligent les fonctions d'ondes a s'annuler quand des anyons coincident (exclusion statistique). Le gaz est confine dans un puits harmonique de maniere a obtenir la limite thermodynamique quand l'attraction harmonique tend vers zero. Ainsi, les divergences infrarouges s'annulent mutuellement dans cette limite et on trouve un developpement du viriel fini au second ordre perturbatif. La complexite du modele des anyons apparait dans ce resultat. Nous avons aussi calcule l'equation d'etat d'un gaz d'anyons dans un champ magnetique assez intense pour projeter les particules dans le fondamental de landau degenere. Le resultat est valable pour des anyons de statistique quelconque. Nous obtenons pour ce systeme un principe d'exclusion qui generalise le principe de pauli aux anyons. D'autre part, nous avons defini un modele de particules discernables en interaction topologique. Le modele des anyons s'en deduit lorsque l'on restore l'indiscernabilite entre les particules
Approximation de champ moyen pour un gaz d'anyons Ce manuscrit est dédié à l'étude des gaz d'anyons. Il s'agit de dérivations rigoureuses d'énergies fondamentales de ces systèmes dans la limite de champs moyen, i.e quand le nombre de particule tend vers l'infini. Au sein des systèmes bi-dimensionnels le choix de la statistique des particules n'est pas limité à la dichotomie boson/fermion. Le paramètre statistique peut prendre n'importe quelle valeur entre 0 et 1 extrapolant entre bosons (paramètre statistique nul) et fermions (paramètre statistique égal à 1). Ces quasi-particules sont alors décrites comme d'authentiques fermions ou bosons interagissant via un potentiel magnétique longue portée généré par des charges magnétiques de rayon R que les particules transportent. En d'autres termes, nous ajoutons aux particules un tube de flux fictif de type Aharonov-Bohm. Nous avons donc affaire à un problème à N corps où toutes les particules interagissent entre elles. Nous considérons de plus que les anyons sont piégés dans un potentiel V et soumis à un champ magnétique extérieur. Nous étudions ici deux limites appelées quasi-bosonique et quasi-fermionique où le paramètre statistique tend respectivement vers celui des bosons puis des fermions. Dans le premier cas le paramètre statistique est vu comme une perturbation du cas bosonique. Nous le prenons égal à 1/N. Le rayon R tend aussi vers zéro quand N tend vers l'infini. Notre méthode permet d'obtenir la convergence des états fondamentaux de ces gaz ainsi que la convergence des états associés. Nous obtenons une énergie de Hartree. La validité de ce résultat dépend de la vitesse de convergence de R qui ne doit pas décroître trop vite. La discussion autour de la taille des anyons sera centrale dans le manuscrit. L'outil principal dans l'obtention du modèle effectif est la version du théorème de de Finetti de Brandão et Harrow combiné à une localisation dans l'espace de Fock.Dans le cas quasi-fermionique le paramètre statistique tend vers un. Nous travaillons donc sur une perturbation du cas fermionique. Cette fois-ci nous introduisons la constante de Planck que nous prenons proportionnelle à 1/N^(1/2) pour nous trouver dans une limite semi-classique. Nous obtenons à la limite une énergie Thomas-Fermi. La validité de ces résultats est aussi tributaire d'une contrainte sur la taille des charges R. Nous utilisons les états cohérents et les fonctions de Husimi combinés au théorème de Diaconis-Freedman pour obtenir l'énergie effective. Le point central de la preuve est l'obtention d'un principe de Pauli quantitatif semi-classique.Dans les chapitres qui vont suivre nous commencerons par expliciter la notion d'anyon, nous énoncerons les résultats principaux, puis consacrerons le reste à leur preuve. Nous terminerons en suggérant quelques idées d'amélioration et de continuation de notre propos.
Nous décrivons une approche théorique nouvelle pour étudier des gaz dilués-dégénérés, le formalisme des opérateurs d'Ursell. Nous déterminons la fonction de partition d'un gaz quantique en deux étapes. Dans un premier temps les interactions sont traitées pour un système auxiliaire de particules discernables dans une approximation de faible densité (le rapport entre portée du potentiel et distance moyenne entre particules étant beaucoup plus petit que l'unité). En second lieu la statistique quantique est introduite; aucune approximation n'est nécessaire pendant cette étape ce qui permet le traitement des gaz dégénérés. Il nous est possible de déduire des expressions des opérateurs densité réduits à partir du potentiel thermodynamique. Nous sommes alors en mesure d'étudier des systèmes macroscopiques à l'échelle microscopique. Nous aboutissons à une expression de la fonction de corrélation d'un système de sphères dures qui reproduit les « bonnes » propriétés physiques même à courte distance, un grand avantage par rapport au méthodes habituelles du type de champ moyen. Nous déterminons des expressions des quantités macroscopiques diverses dans une approximation valable pour des systèmes à faible densité (formule de Beth-Uhlenbeck généralisée). Le potentiel d'interaction y intervient par l'intermédiaire d'un nouveau paramètre, la longueur d'Ursell. Une comparaison de nos resultats avec ceux de la théorie des pseudopotentiels démontre que cette dernière donne une image acceptable des phénomènes pour des bosons. En revanche, pour des fermions, nous trouvons une différence importante: à température suffisamment basse, même des potentiels entièrement repulsives donnent lieu à une attraction effective. Nous effectuons également une étude numérique sur la dépendance de la température critique de condensation de Bose-Einstein d'un gaz de sphère dures bosoniques en fonction de la densité. Notre calcul des intégrales de chemin par une méthode Monte Carlo montre que cette température augmente par rapport à celle du gaz parfait à basse densité (maximal d'un facteur 1.07).
Cette thèse de doctorat porte sur l'étude de gaz de fermions sans interaction. En raison de leur nature, ces gaz permettent d'obtenir de nombreux résultats analytiques qui restent inaccessibles en présence d'interactions tout en rendant compte d'effets physiques non triviaux. Étant soumis au principe de Pauli, de nombreuses relations existent entre les fermions à l'équilibre et la théorie des matrices aléatoires. Dans cette thèse, nous examinons si ces liens sont préservés et comment ils se traduisent dans d'autres contextes. Ainsi, nous étudions les propriétés statistiques de ces gaz dans un espace de dimension quelconque, ce qui est l'objet du chapitre un, ou lorsque ces gaz ne sont pas à l'équilibre, ce qui est l'objet des chapitres deux et trois. Dans le chapitre deux, nous discutons de l'effet d'une impureté sur la dynamique hors équilibre, en particulier, nous observons l'émergence de corrélations non locales. Dans ce contexte, après avoir introduit la théorie hydrodynamique pour les systèmes intégrables, nous constatons que celle-ci ne permet pas d'expliquer les corrélations non-locales observées. Pour pallier à cela, nous envisageons une extension quantique de cette théorie. Dans le chapitre trois, nous observons l'émergence de statistiques d'Airy au bord d'une vague de fermions dans le continu. Au-delà des résultats obtenus lors du doctorat, ce manuscrit est l'occasion de présenter de nouvelles perspectives de recherche sur ces sujets interconnectés.
Ce travail a pour but de décrire les états fondamentaux de l'opérateur de Schrödinger aléatoire associé au modèle des pièces, dans la limite thermodynamique et dans la statistique de Fermi-Dirac. Ainsi, nous considérons les répartitions minimales, en terme d'énergie, de n électrons dans l'intervalle [0,L] subdivisé en pièces par un processus de Poisson, lorsque le quotient n/L tend vers ρ > 0. Ce modèle-jouet unidimensionnel réunit certains critères essentiels à une modélisation réaliste d'un ensemble de particules quantiques, à savoir une densité de particules positive ρ et un milieu aléatoire (dû aux imperfections). Nous cherchons à saisir le comportement de ses états fondamentaux en fonction de ρ, notamment via l'énergie fondamentale par particule. Nous essayons également de quantifier l'intrication spatiale de tels états, mesurée par l'entropie d'entrelacement. Dans le cas d'une interaction répulsive à courte portée, nous remarquons que le nombre d'électrons dans une pièce donnée admet une majoration commune à tout état fondamental. Nous optimisons parmi les groupes de pièces pouvant contenir au plus 2 particules et majorons la contribution des électrons restants pour obtenir un développement de l'énergie fondamentale par particule jusqu'à l'ordre O(ρ ^2-δ), pour tout δ ∈ (0,1), dans la limite thermodynamique. Cette méthode améliore le résultat de F. Klopp et N. A. Veniaminov, sous une hypothèse plus forte cependant. Elle fournit également un facteur commun à tout état fondamental. Par la suite, nous exprimons l'entropie d'entrelacement d'un état à répartition unique fixé, après scission en deux parties. Nous remarquons que celle-ci dépend uniquement du groupe de pièces où tombe la coupe. Nous calculons à O(ρ^2-δ) près la moyenne de l'entropie d'entrelacement associé au facteur commun obtenu précédemment. Nous conjecturons que, tout comme pour l'énergie fondamentale par particule, cette quantité est le terme principal de celle obtenue en considérant l'état fondamental à répartition unique tout entier. Par ailleurs, les résultats établis sur les systèmes de 2 particules pourraient, selon nous, s'adapter à d'autres situations.
Les gaz d'atomes ultrafroids offrent des possibilités sans précédent pour la réalisation et la manipulation des systèmes quantiques. Le contrôle exercé sur les interactions entre particules permet d'atteindre le régime de fortes interactions, pour des espèces d'atomes à la fois fermioniques et bosoniques. Dans la limite unitaire, où la force d'interaction est à son maximum, des propriétés universelles émergent. Pour les atomes bosoniques, celles-ci comprennent l'effet Efimov, l'existance surprenante d'une séquence infinie d'états liés à trois corps. Dans cette thèse, nous avons étudiés un système de bosons unitaires. Partant des cas à deux et à trois corps, nous avons montrés que le modèle choisi capturait correctement les caractéristiques universelles de l'effet Efimov. Pour le modèle à N-corps, nous avons développé un algorithme de Monte Carlo quantique capable de réaliser les différentes phases thermodynamiques du système : gaz normal à haute-température, condensat de Bose-Einstein, et liquide d'Efimov. Un unique composant de notre modèle resterait pertinent à la limite de température infinie, à savoir la répulsion corps dur à trois corps, qui constitue une généralisation du potentiel classique entre sphères dures. Pour ce modèle, nous avons proposé une solution au problème d'empilement compact en deux et trois dimensions, fondée sur une Ansatz analytique et sur la technique de recuit simulé. En étendant ces résultats à une situation de pression finie, nous avons montré que le système présente une transition de fusion discontinue, que nous avons identifié à travers la méthode de Monte Carlo.
Durant cette thèse, je me suis intéressé à deux thématiques générales qui peuvent être explorées dans des systèmes d atomes froids : d une part, la dynamique hors-équilibre d un système quantique isolé, et d autre part l influence du désordre sur un système fortement corrélé à basse température. Dans un premier temps, nous avons développé une méthode de champ moyen, qui permet de résoudre la dynamique unitaire dans un modèle à géométrie particulière, le réseau complètement connecté. Cette approche permet d établir une correspondance entre la dynamique unitaire du système quantique et des équations du mouvement classique. Nous avons mis à profit cette méthode pour étudier le phénomène de transition dynamique qui se signale, dans des modèles de champ moyen, par une singularité des observables aux temps longs, en fonction des paramètres initiaux ou finaux de la trempe. Nous avons montré l existence d une transition dynamique quantique dans les modèle de Bose-Hubbard, d Ising en champ transverse et le modèle de Jaynes-Cummings. Ces résultats confirment l existence d un lien fort entre la présence d une transition de phase quantique et d une transition dynamique.Dans un second temps, nous avons étudié un modèle de théorie des champs relativiste avec symétrie O(N) afin de comprendre l influence des fluctuations sur ces singularités. À l ordre dominant en grand N, nous avons montré que la transition dynamique s apparente à un phénomène critique. En effet, à la transition dynamique, les fonctions de corrélations suivent une loi d échelle à temps égaux et à temps arbitraires. Il existe également une longueur caractéristique qui diverge à l approche du point de transition. D autre part, il apparaît que le point fixe admet une interprétation en terme de particules sans masse se propageant librement. Enfin, nous avons montré que la dynamique asymptotique au niveau du point fixe s apparente à celle d une trempe d un état symétrique dans la phase de symétrie brisée. Le troisième volet de cette thèse apporte des éléments nouveaux pour la compréhension du diagramme des phases du modèle de Bose-Hubbard en présence de désordre. Pour ce faire,nous avons utilisé et étendu la méthode de la cavité quantique en champ moyen de Ioffe et Mézard, qui doit être utilisée avec la méthode des répliques. De cette manière, il est possible d obtenir des résultats analytiques pour les exposants des lois de probabilité de la susceptibilité.Nos résultats indiquent que dans les différents régimes de la transition de phase de superfluide vers isolant, les lois d échelle conventionnelles sont tantôt applicables, tantôt remplacées par une loi d activation. Enfin, les exposants critiques varient continûment à la transition conventionnelle.