In dieser Arbeit präsentieren wir einen Algorithmus zur Lösung des Anderson Störstellenprolems für die dynamische Molekularfeldtheorie.Durch den Gebrauch eines eingeschränkten Hilbertraums kann diese Störstelle in polynomialer Rechenzeit an hunderte Badgitterplätze gekoppelt werden.Dynamische Größen werden direkt an der reellen Achse ohne Verbreiterung berechnet.Im Gegensatz zu vielen vorigen Arbeiten wird die Selbstenergie durch einem symmetrisch verbesserten Schätzermittels vier Korrelatoren berechnet und ihr Imaginärteil ist per Konstruktion negativ.Wir analysieren den Mott Übergang von einem Metall zu Isolator auf dem Bethe Gitter am absoluten Temperaturnullpunkt und beobachten zusätzliche feine Strukturen auf den inneren Seiten der Hubbardbänder.Das Gewicht des Quasiteilchen und die Doppelbesetzung der Störstelle werden gegen Resultate der numerische Renormierungsgruppe verglichen.
In dieser Arbeit präsentieren wir einen Algorithmus zur Lösung des Anderson Störstellenprolems für die dynamische Molekularfeldtheorie.Durch den Gebrauch eines eingeschränkten Hilbertraums kann diese Störstelle in polynomialer Rechenzeit an hunderte Badgitterplätze gekoppelt werden.Dynamische Größen werden direkt an der reellen Achse ohne Verbreiterung berechnet.Im Gegensatz zu vielen vorigen Arbeiten wird die Selbstenergie durch einem symmetrisch verbesserten Schätzermittels vier Korrelatoren berechnet und ihr Imaginärteil ist per Konstruktion negativ.Wir analysieren den Mott Übergang von einem Metall zu Isolator auf dem Bethe Gitter am absoluten Temperaturnullpunkt und beobachten zusätzliche feine Strukturen auf den inneren Seiten der Hubbardbänder.Das Gewicht des Quasiteilchen und die Doppelbesetzung der Störstelle werden gegen Resultate der numerische Renormierungsgruppe verglichen.
In dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit der theoretischen Beschreibung des korrelierten Mott-Hubbard Isolators. Obwohl das Hubbard Modell das konzeptionell einfachste Modell korrelierter Elektronen darstellt, wurde bisher nur in einer Dimension eine exakte Lösung gefunden. Auch das Modell in unendlichen Dimensionen ist bisher nicht exakt gelöst. Zielsetzung unserer Arbeit ist die analytische Berechnung der Einteilchen-Zustandsdichte sowie der Lücke für Ladungsanregungen des Mott-Hubbard Isolators in unendlichen Dimensionen. Hierzu berechnen wir die lokale Greenfunktion des Hubbard Modells auf dem Bethegitter mit unendlich vielen nächsten Nachbarn bei der Temperatur T = 0. Unser Startpunkt ist die Dynamische Molekularfeldtheorie (DMFT), in der das auf dem Gitter definierte Hubbard Modell auf das Single Impurity Anderson Model (SIAM) abgebildet wird. Mit Hilfe der von uns auf das vorliegende Problem angepaßten Kato-Takahashi Störungstheorie, sind wir in der Lage die Lösungen der Selbstkonsistenzgleichungen der DMFT bis zur dritten Ordnung in 1/U anzugeben. Hiermit präsentieren wir zum ersten Mal eine analytische Lösung der Selbstkonsistenzgleichungen der DMFT für den Mott-Hubbard Isolator.
Diese Arbeit beschäftigt sich mit der dynamische Molekularfeldtheorie (DMFT) des Ein-Band- Hubbard-Modells im Parameterbereich des stark korrelierten Metalls. Zur Lösung des lokalen Ein- Störstellen-Anderson-Modells wird die dynamische Dichtematrixrenormierung (D-DMRG) benutzt. Nach einer Einführung in das Forschungsfeld der stark korrelierten Elektronen und der benutzten DMFT wird der Störstellenlöser D-DMRG beschrieben und ausführlich geprüft. D-DMRG ermöglicht die Berechnung von lokalen dynamischen Größen wie spektrale Dichten, Selbstenergien und dynamischen Suszeptibilitäten. Die gerade genannten dynamischen Größen werden für die semielliptische, rechteckige und dreieckige freie DOS bei halber Füllung berechnet sowie für die semielliptische DOS abseits halber Füllung. Wir benutzen den DMFT(D-DMRG) Zugang, um den Ursprung der Knicke im Realteil der Selbstenergie aufzuklären, die im Energiebereich des Quasi- Teilchens auftreten. Die Leitidee während der gesamten Arbeit ist, dass diese Knicke durch einen weiteren Zerfallskanal des Quasi-Teilchens zu Stande kommen, der durch die Ankopplung des Quasi-Teilchens an bosonische Anregungen bereit gestellt wird. Innerhalb der DMFT sind nur lokale bosonische Anregungen und zwar Spin-, Ladungs- und Cooper-Paar-Anregungen relevant. Wir haben für alle genannten DOS die benötigten lokalen dynamischen Größen berechnet und heraus bekommen, dass in allen Fällen Spin-anregungen die gesuchten bosonischen Anregungen sind, die den neuen Zerfallskanal für das Quasi-Teilchen bereit stellen.
Das Verstaendnis von elektronischen Korrelationsphaenomenen stellt eine der groeßten Her- ausforderungen der Festkoerperphysik dar. In den letzten 25 Jahren hat sich die dynamische Molekularfeldtheorie (DMFT) als die "Standardmethode" fuer korrelierte fermionische Systeme etabliert, welche weit ueber eine stoerungstheoretische Behandlung hinausgeht und auch heute noch Grundlage von theoretischen Weiterentwicklungen ist. Dank DMFT lassen sich heutzue tage nicht nur viele Phaenomene gut verstehen, etwa der beruehmte Mott-Isolator uebergang, son- dern es eroeffnen sich sogar Moeglichkeiten der Vorhersage elektronischer Eigenschaften fuer Materialien in denen ein effektives Einteilchenbild unzureichend ist. Allerdings hat auch die DMFT ihre Grenzen: Zum einen beruht sie auf der Annahme, dass elektronische Korrelationen rein lokal sind. Zum anderen handelt es sich historisch gesehen um eine Methode, welche zuvorderst niederenergetische Freiheitsgerade zu beschreiben versucht. In der Tat existieren Systeme und physikalische Eigenschaften fuer welche diese Beschraenkun- gen nicht moeglich ist. In der vorliegenden Arbeit versuche ich diese beiden Probleme, welche Gegenstand inten- siver Bemuehungen in der aktuellen Forschung sind, anzugehen und Wege aufzuzeigen, welche eine bessere Beschreibung korrelierter Materialien ermoeglichen. Dazu stelle ich die Kombinae tion von DMFT mit zwei etablierten Methoden vor, die beide auf der Feynmanschen Diagram- matik basieren: Die Hedinsche GW Naeherung (G: Greensche Funktion; W: abgeschirmte Wechselwirkung) und die funktionale Renormierungsgruppe (fRG). Waehrend man mit GW hoeherenergetische Freiheitsgrade erfassen kann, ist fRG in der Lage auch niedrigdimensionale Systeme, in welchen Korrelationen manifest nichtlokal sind, zu beschreiben. In Kapitel 1 werden diese drei Methoden (DMFT, GW und fRG) eingefuehrt. Der erste Teil des Kapitel behandelt GW und diskutiert weitere Naeherungen, die oft noetig sind, um GW in realistischen Berechnungen zu verwenden. Im zweiten Teil wird die fRG eingefuehrt und ihre diagrammatischen Grundlagen erklaert. Schlussendlich wird auch die DMFT und als Anwen- dungsbeispiel der Mott-uebergang besprochen. In Kapitel 2 wird die Kombination von GW und DMFT, welche auch GW +DMFT genannt wird, eingefuehrt. Die Methode wurde bereits vor einem Jahrzehnt vorgeschlagen und hat viele konzeptuelle Vorteile gegenueber z.B. lokale Dichteapproximation (LDA)+DMFT, einer an- deren, sehr erfolgreichen realistischen Erweiterung von DMFT. Leider ist jedoch die Implemen- tierung der GW +DMFT Methode fuer realistische Berechnungen technisch aeußerst aufwendig, weshalb es bisher nur wenige Beispiele tatsaechlicher Anwendungen gibt. Deshalb wird hier die Implementierung einer Quasiteilchen Naeherung fuer GW +DMFT vorgeschlagen, deren nue merischer Aufwand vergleichbar ist mit jenem von LDA+DMFT. Am Beispiel des korrelierten Metalls SrVO3 zeigen wir die Vorteile unserer Methode und vergleichen sie mit experimentellen Photoemissionsspektren, sowie mit Resultaten der etablierten LDA+DMFT Methode. Schließlich wird in Kapitel 3 die ``DMF2RG-- eingefuehrt, eine neuartige Kombination zwischen DMFT und fRG. Der große Vorteil dieser neuen Methode ist, dass der fRG-Fluss hier bereits von Anfang an die nicht-perturbative Physik der DMFT beinhaltet. Zudem werden nicht-lokale Fluktuationen durch den Fluss unverfaelscht in allen Kanaelen berechnet. Als erstes Beispiel fuer die Anwendungsmoeglichkeiten der DMF2RG Methode wird das zweidimensionale Hubbard-Modell bei halber Fuellung betrachtet, insbesondere werden die elektronische Selbsten- ergie sowie einige Zweiteilcheneigenschaften (die statische Spinsuszeptibilitaet und die 4-Punkt Vertexfunktion) berechnet. Die vielversprechenden Ergebnisse und der Vergleich mit anderen Methoden, wie etwa der ``dynamical cluster approximation" (DCA) und Quanten-Monte-Carloe Methoden zeigt die gorßen Perspektiven, diese neuen DMF2RG Methode zu verwenden.
Das Anderson-Störstellenmodell (SIAM) ist eines der fundamentalen Modelle elektronischer Korrelation im Festkörper. Es besteht aus einer einzelnen Störstelle, auf der die Elektronen wechselwirken, und das an ein nichtwechselwirkendes Bad gekoppelt ist. Das SIAM, verallgemeinert auf mehrere Orbitale, ist ausserdem zentraler Bestandteil der dynamischen Molekularfeldtheorie (DMFT) sowie dessen Kombination mit Dichtefunktionaltheorie (DFT). Während DFT Korrelationen nur stark näherungsweise betrachtet, beinhaltet DMFT lokalen Korrelationen beliebiger Ordnung. Dies entspricht der Näherung einer lokalen Selbstenergie. DMFT findet seine erfolgreiche Anwendung in Systemen mit teilgefüllten 3d oder 4f-Elektronenschalen (Georges et al., 1996). Obwohl die Betrachtung der Greenschen Funktion G für das SIAM und DMFT in der Regel ausreicht, so rückte in letzter Zeit der zwei-teilchen-irreduzible (2PI) Vertex Gamma in den Fokus: Gamma geht als lokale Vertexkorrektur in die Spin- und Ladungssuszeptibilitäten ein. Ausserdem zeigt Gamma einen Satz von Divergenzen. Diese Divergenzlinien markieren eine Bifurkation der Selbstenergie in eine physikalische und eine unphysikalische Lösung und sind daher problematisch für Lösungsmethoden, die Gamma als Baustein verwenden (Schäfer et al., 2013). Weiters ist der Vertex die zentrale Eingangsgröße für sogenannte post-DMFT-Methoden wie etwa die sogenannte dynamische Vertexapproximation (DGA). DGA erweitert DMFT um die Behandlung von nicht-lokalen Korrelationen auf allen Längenskalen. Solche Korrelationen sind wichtig für niedrigdimensionale Systeme bzw. Systeme nahe eines Phasenübergangs zweiter Ordnung (Toschi et al., 2007). Eine der weitverbreitesten Methoden zur Lösung des SIAM für endliche Temperaturen ist die stochastische Summation von Feynman-Diagrammen aus der Stark-Kopplungs-Entwicklung der Zustandssumme Z. Diese Methode ist als quantenmechanisches Monte-Carlo-Integration der Hybridisierungs-Entwicklung in kontinuierlicher Zeit (CT-HYB) bekannt . Mittels CT-HYB ist das Anderson-Modell in einem grossen Parameterbereich (mehrere Orbitale, kontinuierliche Dispersionsrelationen des Bads sowie allgemeine lokale Wechselwirkungen) lösbar (Gull et al., 2011). Die Greensche Funktion sowie der Vertex werden in der Regel als "Nebenprodukt" der Monte-Carlo-Prozedur behandelt, da dies die Implementierung deutlich vereinfacht. Diese Arbeit zeigt jedoch auf, dass diese Strategie zwar für G, nicht jedoch für Gamma funktioniert. Die Lösung besteht darin, nicht nur Diagramme der Zustandsumme, sondern auch jene von Gamma zu summieren, was als "worm sampling" bekannt ist. Die vorliegende Arbeit analysiert die Verbesserung der statistischen Fehler durch diese Prozedur. Da Gamma die Bewegung von zwei Teilchen gleichzeitig beschreibt, ist seine Berechnung und Speicherung eine grosse Herausforderung. Die vorliegende Arbeit analysiert zunächst die Struktur sowie das asymptotische Verhalten von Gamma. Die Geschwindigkeit der Berechnung lässt sich ausserdem über die Verwendung einer nicht-äquidistanten schnellen Fouriertransformation (NFFT) verbessern. Den Abschluss der Arbeit bildet die Untersuchung von Modellsystemen und Materialien im Rahmen der DMFT. Zunächst wird eine Heterostruktur untersucht, die sich aus dem Aufdampfen einer dünnen Schicht von SrVO3 auf ein SrTiO3-Substrat ergibt. Die vorliegende Arbeit zeigt lokale elektronische Korrelationen auf, welche die Heterostruktur in die Nähe eines Mott-Hubbard-Metall-Isolator-Übergangs treiben. Eine kleine Störung des Systems durch Stauchung oder das Anlegen eines elektrisches Feld lässt das System isolierend werden. Dieser Mechanismus lässt daher die theoretische Konstruktion eines 'Mott-Transistor-' zu. Weiters ist mittels CT-HYB die Berechnung des Vertex für niedrige Temperaturen möglich, was die Untersuchung des Zusammenspiels der Divergenzlinien von Gamma und dem Mott-Übergang im Hubbard-Modell erlaubt. Die vorliegende Arbeit zeigt, dass die Divergenzlinien sich für niedrige Temparaturen nicht Richtung Mott-Übergang, sondern Richtung nichtwechselwirkendem Limit orientieren.
Diese Arbeit untersucht das pathologische Verhalten des Selbstenergie-Funktionals Σ[G], insbesondere dessen Mehrwertigkeit in Bezug auf die vollständige Green-Funktion G — eine Eigenschaft, die die Annahmen der selbstkonsistenten Störungstheorie untergräbt. Letztere ist von besonderer Bedeutung für grundlegende und weit verbreitete Vielteilchentechniken. Die Studie basiert auf der Matsubara-Erweiterung (ME) des Zero-Space-Time- (ZST-) Modells, einem Minimalmodell, das wesentliche Merkmale der Mehrwertigkeit erfasst und dennoch analytisch handhabbar bleibt.Im ersten Teil wird die irreführende Konvergenz des iterativen Schemas aus E. Kozik et al [Phys. Rev. Lett. 114, 156402 (2015)] in Bezug auf die verschiedenen Äste (branches) von Σ[G] und die Eigenwerte der generalisierten Ladungssuszeptibilität untersucht. Diese Ergebnisse deuten auf einen engen, jedoch nicht abschließenden Zusammenhang zwischen den beiden Größen hin.Anschließend präsentieren wir die Ergebnisse der Anwendung eines zusätzlichen Magnetfelds auf das ME-Modell. Bereits mit diesem einzelnen hinzugefügten Freiheitsgrad wird eine numerische Lösung praktisch unmöglich zu erhalten.Daraufhin werden die ME-Funktionale zur näherungsweisen Lösung von Gittermodellen eingesetzt: (i) mittels Dynamical Mean-Field Theory (DMFT) für das Hubbard-Modell und (ii) für das Hatsugai–Kohmoto- (HK-) Modell, was die Untersuchung lokaler und nichtlokaler Korrelationen anhand von Spektralfunktionen ermöglicht. Diese Arbeit verbindet analytische Einsichten mit numerischen Simulationen, um aufzuzeigen, wie starke Wechselwirkungen selbstkonsistente iterative Methoden und Mott-ähnliche Übergänge in Gittermethoden für korrelierte Systeme beeinflussen. Besonderer Schwerpunkt liegt auf dem Verständnis des Auftretens unphysikalischer Lösungen sowie der Regime, in denen Standardmethoden der Störungstheorie versagen.
Die vorliegende Arbeit befasst sich mit dem Einfluss der Wechselwirkung zwischen extrem kalten Bosonen, die in einem optischem Gitter gehalten werden, auf des Streusignal eines Teilchens, welches als Sonde fungiert. Die Bosonen im Gitter werden durch das Bose-Hubbard-Modell beschrieben. Ausgangspunkt für unsere Untersuchungen ist ein allgemeiner Ausdruck für den Streuquerschnitt des Teilchens, der für beliebige Wechselwirkungsstärken gültig ist. Generell erfordert die Bestimmung der Streueigenschaften die numerische Diagonalisierung des Hamilton- Operators, welcher die Bosonen beschreibt. Um eine analytische Beschreibung des Problems zu erhalten, machen wir von verschiedenen Näherungen Gebrauch, die für unterschiedliche Stärken der Wechselwirkung gültig sind. Numerische Simulationen zeigen, daß sich die Wechselwirkungsstärke im inelastischen Streuquerschnitt offenbart, welcher mit zunehmender Wechselwirkungsenergie abnimmt. Im Regime schwacher Wechselwirkungen können die Bosonen im Gitter durch eine makroskopisch besetzte Wellenfunktion – dem sogenannten Kondensat – beschrieben werden, vorausgesetzt die Zahl der Bosonen, die sich nicht im Kondensat befinden, ist klein im Vergleich zu ihrer Gesamtzahl. In der Bogoliubov-Näherung wird der Hamilton-Operator der Bosonen im Gitter durch eine klassische Hamilton-Funktion ersetzt, und Quantenfluktuationen um das klassische Feld (welches das Kondensat beschreibt) werden als Störung betrachtet. Dies erlaubt die analytische Bestimmung des Streuquerschnitts, der aufgrund der Anregung von Dichtefluktuationen einen nichtverschwindenden inelastischen Anteil aufweist. Wir zeigen, daß dieser für kleine Werte der Wechselwirkung linear abnimmt. Dieser lineare Zerfall ist universell insofern, als seine Steigung unabhängig von der bosonischen Dichte und der Größe des Gitters ist. Im Falle starker repulsiver Wechselwirkungen wird ein Quantenphasenübergang der Bosonen von einem superfluiden in einen isolierenden Zustand erwartet. In diesem Regime lässt sich das System störungstheoretisch behandeln, wobei der Wechselwirkungsterm im Hamilton-Operator der Bosonen im Gitter als Operator des ungestörten Systems betrachtet wird, und die kinetische Energie in Form des quantenmechanischen Tunnelns der Teilchen als Störung. Große Wechselwirkungsstärken führen zu einer Unterdrückung von Dichtefluktuationen – aufgrund der Abstoßung, welche die Lokalisierung der Atome energetisch favorisiert – und damit zur Abnahme des inelastischen Streusignals. Wir leiten eine Näherung für den inelastischen Streuquerschnitt in niedrigster Ordnung in der Tunnelstärke her. Im Gegensatz zum schwach wechselwirkenden Regime zerfällt das Streusignal hier quadratisch als Funktion der Wechselwirkung. Insbesondere ist in dieser Ordnung der Näherung keine qualitative änderung des Zerfalls am erwarteten Punkt des Quantenphasenübergangs zu beobachten. Um die Genauigkeit unserer Näherungen zu prüfen und ihre Aussagekraft zu untermauern, führen wir in sämtlichen Fällen numerische Simulationen des exakten Streuproblems durch und vergleichen die erhaltenen Daten mit den Näherungsformeln. So können wir zeigen, daß die von uns hergeleitete analytische Beschreibung innerhalb der jeweiligen Grenzen ihrer Gültigkeit die numerisch erhaltenen Daten zu reproduzieren vermag. Entsprechend diskutieren und erläutern wir Abweichungen, die auftreten, wenn diese Grenzen überschritten werden.