Das Anderson-Störstellenmodell (SIAM) ist eines der fundamentalen Modelle elektronischer Korrelation im Festkörper. Es besteht aus einer einzelnen Störstelle, auf der die Elektronen wechselwirken, und das an ein nichtwechselwirkendes Bad gekoppelt ist. Das SIAM, verallgemeinert auf mehrere Orbitale, ist ausserdem zentraler Bestandteil der dynamischen Molekularfeldtheorie (DMFT) sowie dessen Kombination mit Dichtefunktionaltheorie (DFT). Während DFT Korrelationen nur stark näherungsweise betrachtet, beinhaltet DMFT lokalen Korrelationen beliebiger Ordnung. Dies entspricht der Näherung einer lokalen Selbstenergie. DMFT findet seine erfolgreiche Anwendung in Systemen mit teilgefüllten 3d oder 4f-Elektronenschalen (Georges et al., 1996). Obwohl die Betrachtung der Greenschen Funktion G für das SIAM und DMFT in der Regel ausreicht, so rückte in letzter Zeit der zwei-teilchen-irreduzible (2PI) Vertex Gamma in den Fokus: Gamma geht als lokale Vertexkorrektur in die Spin- und Ladungssuszeptibilitäten ein. Ausserdem zeigt Gamma einen Satz von Divergenzen. Diese Divergenzlinien markieren eine Bifurkation der Selbstenergie in eine physikalische und eine unphysikalische Lösung und sind daher problematisch für Lösungsmethoden, die Gamma als Baustein verwenden (Schäfer et al., 2013). Weiters ist der Vertex die zentrale Eingangsgröße für sogenannte post-DMFT-Methoden wie etwa die sogenannte dynamische Vertexapproximation (DGA). DGA erweitert DMFT um die Behandlung von nicht-lokalen Korrelationen auf allen Längenskalen. Solche Korrelationen sind wichtig für niedrigdimensionale Systeme bzw. Systeme nahe eines Phasenübergangs zweiter Ordnung (Toschi et al., 2007). Eine der weitverbreitesten Methoden zur Lösung des SIAM für endliche Temperaturen ist die stochastische Summation von Feynman-Diagrammen aus der Stark-Kopplungs-Entwicklung der Zustandssumme Z. Diese Methode ist als quantenmechanisches Monte-Carlo-Integration der Hybridisierungs-Entwicklung in kontinuierlicher Zeit (CT-HYB) bekannt . Mittels CT-HYB ist das Anderson-Modell in einem grossen Parameterbereich (mehrere Orbitale, kontinuierliche Dispersionsrelationen des Bads sowie allgemeine lokale Wechselwirkungen) lösbar (Gull et al., 2011). Die Greensche Funktion sowie der Vertex werden in der Regel als "Nebenprodukt" der Monte-Carlo-Prozedur behandelt, da dies die Implementierung deutlich vereinfacht. Diese Arbeit zeigt jedoch auf, dass diese Strategie zwar für G, nicht jedoch für Gamma funktioniert. Die Lösung besteht darin, nicht nur Diagramme der Zustandsumme, sondern auch jene von Gamma zu summieren, was als "worm sampling" bekannt ist. Die vorliegende Arbeit analysiert die Verbesserung der statistischen Fehler durch diese Prozedur. Da Gamma die Bewegung von zwei Teilchen gleichzeitig beschreibt, ist seine Berechnung und Speicherung eine grosse Herausforderung. Die vorliegende Arbeit analysiert zunächst die Struktur sowie das asymptotische Verhalten von Gamma. Die Geschwindigkeit der Berechnung lässt sich ausserdem über die Verwendung einer nicht-äquidistanten schnellen Fouriertransformation (NFFT) verbessern. Den Abschluss der Arbeit bildet die Untersuchung von Modellsystemen und Materialien im Rahmen der DMFT. Zunächst wird eine Heterostruktur untersucht, die sich aus dem Aufdampfen einer dünnen Schicht von SrVO3 auf ein SrTiO3-Substrat ergibt. Die vorliegende Arbeit zeigt lokale elektronische Korrelationen auf, welche die Heterostruktur in die Nähe eines Mott-Hubbard-Metall-Isolator-Übergangs treiben. Eine kleine Störung des Systems durch Stauchung oder das Anlegen eines elektrisches Feld lässt das System isolierend werden. Dieser Mechanismus lässt daher die theoretische Konstruktion eines 'Mott-Transistor-' zu. Weiters ist mittels CT-HYB die Berechnung des Vertex für niedrige Temperaturen möglich, was die Untersuchung des Zusammenspiels der Divergenzlinien von Gamma und dem Mott-Übergang im Hubbard-Modell erlaubt. Die vorliegende Arbeit zeigt, dass die Divergenzlinien sich für niedrige Temparaturen nicht Richtung Mott-Übergang, sondern Richtung nichtwechselwirkendem Limit orientieren.
Das Anderson-Störstellenmodell (SIAM) ist eines der fundamentalen Modelle elektronischer Korrelation im Festkörper. Es besteht aus einer einzelnen Störstelle, auf der die Elektronen wechselwirken, und das an ein nichtwechselwirkendes Bad gekoppelt ist. Das SIAM, verallgemeinert auf mehrere Orbitale, ist ausserdem zentraler Bestandteil der dynamischen Molekularfeldtheorie (DMFT) sowie dessen Kombination mit Dichtefunktionaltheorie (DFT). Während DFT Korrelationen nur stark näherungsweise betrachtet, beinhaltet DMFT lokalen Korrelationen beliebiger Ordnung. Dies entspricht der Näherung einer lokalen Selbstenergie. DMFT findet seine erfolgreiche Anwendung in Systemen mit teilgefüllten 3d oder 4f-Elektronenschalen (Georges et al., 1996). Obwohl die Betrachtung der Greenschen Funktion G für das SIAM und DMFT in der Regel ausreicht, so rückte in letzter Zeit der zwei-teilchen-irreduzible (2PI) Vertex Gamma in den Fokus: Gamma geht als lokale Vertexkorrektur in die Spin- und Ladungssuszeptibilitäten ein. Ausserdem zeigt Gamma einen Satz von Divergenzen. Diese Divergenzlinien markieren eine Bifurkation der Selbstenergie in eine physikalische und eine unphysikalische Lösung und sind daher problematisch für Lösungsmethoden, die Gamma als Baustein verwenden (Schäfer et al., 2013). Weiters ist der Vertex die zentrale Eingangsgröße für sogenannte post-DMFT-Methoden wie etwa die sogenannte dynamische Vertexapproximation (DGA). DGA erweitert DMFT um die Behandlung von nicht-lokalen Korrelationen auf allen Längenskalen. Solche Korrelationen sind wichtig für niedrigdimensionale Systeme bzw. Systeme nahe eines Phasenübergangs zweiter Ordnung (Toschi et al., 2007). Eine der weitverbreitesten Methoden zur Lösung des SIAM für endliche Temperaturen ist die stochastische Summation von Feynman-Diagrammen aus der Stark-Kopplungs-Entwicklung der Zustandssumme Z. Diese Methode ist als quantenmechanisches Monte-Carlo-Integration der Hybridisierungs-Entwicklung in kontinuierlicher Zeit (CT-HYB) bekannt . Mittels CT-HYB ist das Anderson-Modell in einem grossen Parameterbereich (mehrere Orbitale, kontinuierliche Dispersionsrelationen des Bads sowie allgemeine lokale Wechselwirkungen) lösbar (Gull et al., 2011). Die Greensche Funktion sowie der Vertex werden in der Regel als "Nebenprodukt" der Monte-Carlo-Prozedur behandelt, da dies die Implementierung deutlich vereinfacht. Diese Arbeit zeigt jedoch auf, dass diese Strategie zwar für G, nicht jedoch für Gamma funktioniert. Die Lösung besteht darin, nicht nur Diagramme der Zustandsumme, sondern auch jene von Gamma zu summieren, was als "worm sampling" bekannt ist. Die vorliegende Arbeit analysiert die Verbesserung der statistischen Fehler durch diese Prozedur. Da Gamma die Bewegung von zwei Teilchen gleichzeitig beschreibt, ist seine Berechnung und Speicherung eine grosse Herausforderung. Die vorliegende Arbeit analysiert zunächst die Struktur sowie das asymptotische Verhalten von Gamma. Die Geschwindigkeit der Berechnung lässt sich ausserdem über die Verwendung einer nicht-äquidistanten schnellen Fouriertransformation (NFFT) verbessern. Den Abschluss der Arbeit bildet die Untersuchung von Modellsystemen und Materialien im Rahmen der DMFT. Zunächst wird eine Heterostruktur untersucht, die sich aus dem Aufdampfen einer dünnen Schicht von SrVO3 auf ein SrTiO3-Substrat ergibt. Die vorliegende Arbeit zeigt lokale elektronische Korrelationen auf, welche die Heterostruktur in die Nähe eines Mott-Hubbard-Metall-Isolator-Übergangs treiben. Eine kleine Störung des Systems durch Stauchung oder das Anlegen eines elektrisches Feld lässt das System isolierend werden. Dieser Mechanismus lässt daher die theoretische Konstruktion eines 'Mott-Transistor-' zu. Weiters ist mittels CT-HYB die Berechnung des Vertex für niedrige Temperaturen möglich, was die Untersuchung des Zusammenspiels der Divergenzlinien von Gamma und dem Mott-Übergang im Hubbard-Modell erlaubt. Die vorliegende Arbeit zeigt, dass die Divergenzlinien sich für niedrige Temparaturen nicht Richtung Mott-Übergang, sondern Richtung nichtwechselwirkendem Limit orientieren.
Das Anderson-Störstellenmodell (AIM) ist von grundlegender Bedeutung für die Untersuchung von Materialien und Modellen mit starken elektronischen Korrelationen. Es steht außerdem im Zentrum Feynman-diagrammatischer Methoden wie der dynamischen Molekularfeldtheorie (DMFT) oder auch Erweiterungen zur DMFT, insbesondere was den numerischen Aufwand betrifft. Letztere quantifizieren sowohl lokaleals auch nicht-lokale elektronische Korrelationseffekte. Während lokale Korrelationseffekte in der DMFT durch Ein-Teilchen-Selbstenergien darstellbar sind, werden nicht-lokale Korrelationseffekte in diagrammatischen Erweiterungen zur DMFT aus Zwei-Teilchen-Vertexfunktionen berechnet. Diese beschreiben alle möglichen Streuungen zweier Teilchen im wechselwirkenden System. Allerdings besitzen sie auch eine wesentlich höhere Komplexität als die Ein-Teilchen-Selbstenergien. Quantenmechanische Monte-Carlo Simulationen in kontinuierlicher Zeit (CT-QMC) erlauben es, die unendliche Störungsreihe der Zustandssumme stochastisch aufzusummieren, und liefern somit numerische Lösungen des AIM in einem großen Parameterbereich. Eine besonders erwähnenswerte Klasse dieser Störstellenlöser, sogenannte CT-HYB Algorithmen, entwickeln die Zustandssumme als Störungsreihe im Hybridisierungsanteil des AIM. Die Formulierung basiert auf einer Stark-Kopplungs-Entwicklung und erlaubt eine Erweiterung auf Mehrband-Systeme. Dadurch wird eine Analyse elektronischer und magnetischer Eigenschaften korrelierter Materialien möglich. Die vorliegende Arbeit beschreibt die Messung der Zwei-Teilchen-Greenschen Funktion innerhalb des Mehrband-CT-HYB Algorithmus. Die zusätzliche Orbitalabhängigkeit der lokalen Wechselwirkung führt zu einer grundlegend unterschiedlichen Struktur der Zwei-Teilchen-Greenschen Funktion im Gegensatz zu der Ein-Teilchen-Greenschen Funktion: Für SU(2)-symmetrische Wechselwirkungen beinhaltet die Zwei-Teilchen-Greensche Funktion Komponenten, welche der Struktur von Spin-Umklappund Paar-Hüpf-Termen entsprechen. Auch wenn Störstellen-Greensche Funktionen lokal definiert sind, wird in der traditionellen Formulierung von CT-HYB die Greensche Funktion aus der Störungsreihe der Zustandssumme, bestehend aus Hybridisierungsereignissen, berechnet. Daraus folgt ein intrinsischer Mangel in dem ursprünglichen Algorithmus alle Zwei-Teilchen-Greensche Funktionen zu berechnen. In dieser Arbeit wird daher Wurm-Sampling entwickelt um dies zu ermöglichen. Im Zusammenhang mit CT-HYB, wird hier stattdessen die unendliche Störungsreihe der Observable stochastisch aufsummiert. Dadurch kann einerseits die vollständige Zwei-Teilchen-Greensche Funktion gemessen werden, aber auch verbesserte Schätzer f ür verwandte Größen wie z.B. die Vertex-Asymptotik. Neben der Diskussion diagrammatischer Grundlagen des Wurm-Samplings, werden in dieser Arbeit außerdem die technischen Aspekte des Algorithmus erläutert. Der Zusammenhang zwischen den methodischen Überlegungen dieser Arbeit und der Physik wird in diversen Anwendungen hergestellt. Dabei werden Ein-Bandund Mehrband-Systeme im Bezug auf lokale und nicht-lokale Korrelationen diskutiert.
Die Supraleitung stellt ein klassisches Beispiel für ein Vielteilchenphänomen dar, bei dem elektronische Korrelationen zu makroskopischer quantenmechanischer Kohärenz führen. Während konventionelle Supraleitung, wie sie durch die BCS-Theorie beschrieben wird, bereits in schwach korrelierten Materialien auftreten kann, erfordern unkonventionelle Supraleiter --- etwa die bekannten Kuprate oder die jüngst entdeckten Nickelate --- eine deutlich anspruchsvollere theoretische Beschreibung. Besonders bei den Nickelaten mit unendlicher Schicht-Kristallstruktur geht man davon aus, dass sie d-Wellen-Supraleitung aufweisen, die entscheidend von der räumlichen Struktur elektronischer Korrelationen abhängt. Die Dynamische Molekularfeldtheorie (DMFT), die Korrelationen ausschließlich lokal behandelt, ist hierfür nicht ausreichend, da der lokale irreduzible Paarungsvertex $\Gamma_{\pp}$ allein keine d-Wellen-Instabilität erzeugen kann. Um diese Einschränkung zu überwinden, werden diagrammatische Erweiterungen der DMFT benötigt. Eine prominente Methode ist die Dynamische Vertex Approximation (DΓA), die nichtlokale Korrelationen durch die Verwendung des irreduziblen Vertex als Baustein einbezieht. Auf diese Weise eröffnet die DΓA den Zugang zu impuls- und frequenzabhängigen Selbstenergien, Suszeptibilitäten und Paarungswechselwirkungen und eignet sich damit besonders gut zur Untersuchung von Phasenübergängen wie unkonventioneller Supraleitung, bei denen nichtlokale Fluktuationen und räumlich erweiterte Korrelationen eine zentrale Rolle spielen. In dieser Arbeit präsentieren wir einen Code für die selbstkonsistente Leiter-Dynamische Vertex Approximation, angewandt auf das multi-orbitale Hubbard-Modell. Durch die Nutzung von Vertex-Asymptotiken ermöglicht die Implementierung Rechnungen bis in den Bereich sehr tiefer Temperaturen und damit die Bestimmung supraleitender Übergangstemperaturen aus Zweiteilchenkorrelationen sowie deren Rückwirkung auf Einteilcheneigenschaften. Im Gegensatz zur DMFT, die sämtliche räumlichen Korrelationen vernachlässigt, werden diese hier systematisch berücksichtigt, sodass sich eine natürliche Erweiterung der lokalen Theorie ergibt. Eine zentrale Motivation dieser Arbeit ist die multi-orbitale Natur korrelierter Supraleiter. Ein-Orbital-Modelle erfassen zwar wesentliche Eigenschaften bestimmter Materialien, stoßen jedoch bei vielen realen Systemen an ihre Grenzen. So lassen sich Kuprate oder unendliche Schichtnickelate (wie NdNiO2) in guter Näherung durch ein Ein-Orbital-Modell beschreiben, und tatsächlich wurde die Dynamische Vertex Approximation bereits erfolgreich eingesetzt, um ihre kritische Temperatur Tc vorherzusagen. Im Gegensatz dazu erfordert das kürzlich entdeckte Doppelschicht-Nickelat La3Ni2O7, das pro Einheitszelle zwei nichtäquivalente Ni-Atome enthält und die bislang höchste bekannte Tc unter den Nickelaten aufweist, eine multi-orbitale Beschreibung, um Schichtkopplungen und das Zusammenspiel der Orbitale adäquat zu erfassen. Mit der hier vorgestellten numerischen Implementierung eines multi-orbitalen DΓA-Verfahrens lassen sich diese Effekte nun berücksichtigen --- einschließlich Orbitalselektivität, Hund'scher Kopplung und verschränkter Instabilitäten. Diese Aspekte sind unerlässlich, um die Symmetrie der supraleitenden Paarung sowie die kritische Temperatur in solchen Systemen zu verstehen.
Thema dieser Arbeit ist die Entwicklung und Kombination verschiedener numerischer Methoden, sowie deren Anwendung auf Probleme stark korrelierter Elektronensysteme. Solche Materialien zeigen viele interessante physikalische Eigenschaften, wie z.B. Supraleitung und magnetische Ordnung und spielen eine bedeutende Rolle in technischen Anwendungen. Es werden zwei verschiedene Modelle behandelt: das Hubbard-Modell und das Kondo-Gitter-Modell (KLM). In den letzten Jahrzehnten konnten bereits viele Erkenntnisse durch die numerische Lösung dieser Modelle gewonnen werden. Dennoch bleibt der physikalische Ursprung vieler Effekte verborgen. Grund dafür ist die Beschränkung aktueller Methoden auf bestimmte Parameterbereiche. Eine der stärksten Einschränkungen ist das Fehlen effizienter Algorithmen für tiefe Temperaturen.rnrnBasierend auf dem Blankenbecler-Scalapino-Sugar Quanten-Monte-Carlo (BSS-QMC) Algorithmus präsentieren wir eine numerisch exakte Methode, die das Hubbard-Modell und das KLM effizient bei sehr tiefen Temperaturen löst. Diese Methode wird auf den Mott-Übergang im zweidimensionalen Hubbard-Modell angewendet. Im Gegensatz zu früheren Studien können wir einen Mott-Übergang bei endlichen Temperaturen und endlichen Wechselwirkungen klar ausschließen.rnrnAuf der Basis dieses exakten BSS-QMC Algorithmus, haben wir einen Störstellenlöser für die dynamische Molekularfeld Theorie (DMFT) sowie ihre Cluster Erweiterungen (CDMFT) entwickelt. Die DMFT ist die vorherrschende Theorie stark korrelierter Systeme, bei denen übliche Bandstrukturrechnungen versagen. Eine Hauptlimitation ist dabei die Verfügbarkeit effizienter Störstellenlöser für das intrinsische Quantenproblem. Der in dieser Arbeit entwickelte Algorithmus hat das gleiche überlegene Skalierungsverhalten mit der inversen Temperatur wie BSS-QMC. Wir untersuchen den Mott-Übergang im Rahmen der DMFT und analysieren den Einfluss von systematischen Fehlern auf diesen Übergang.rnrnEin weiteres prominentes Thema ist die Vernachlässigung von nicht-lokalen Wechselwirkungen in der DMFT. Hierzu kombinieren wir direkte BSS-QMC Gitterrechnungen mit CDMFT für das halb gefüllte zweidimensionale anisotrope Hubbard Modell, das dotierte Hubbard Modell und das KLM. Die Ergebnisse für die verschiedenen Modelle unterscheiden sich stark: während nicht-lokale Korrelationen eine wichtige Rolle im zweidimensionalen (anisotropen) Modell spielen, ist in der paramagnetischen Phase die Impulsabhängigkeit der Selbstenergie für stark dotierte Systeme und für das KLM deutlich schwächer. Eine bemerkenswerte Erkenntnis ist, dass die Selbstenergie sich durch die nicht-wechselwirkende Dispersion parametrisieren lässt. Die spezielle Struktur der Selbstenergie im Impulsraum kann sehr nützlich für die Klassifizierung von elektronischen Korrelationseffekten sein und öffnet den Weg für die Entwicklung neuer Schemata über die Grenzen der DMFT hinaus.
Mit dieser Arbeit wird bewiesen, dass die Entwicklung von niedrig skalierenden Algo- rithmen zur Berechnung von austauschartigen Vielteilchen-Termen sowohl möglich als auch praktisch ist. Die Vorhersage von Materialeigenschaften mittels ab initio Metho- den erfordert effiziente Computerprogramme. Nach wie vor ist die computergestützte Materialphysik eine der rechenintensivsten Wissenschaftszweige. Das zentrale Problem, auch bekannt als Problem der elektronischen Struktur, besteht in der Berechnung hinre- ichend genauer Näherungen zur Vielteilchen-Schrödingergleichung. Die Korrelation von Elektronen ist dabei von besonderer Bedeutung, bestimmt sie doch maßgeblich Eigen- schaften wie die Kristallstruktur, Oberflächenenergien oder thermodynamische Phasen- grenzen. In dieser Arbeit stellen wir neue Algorithmen vor, welche die Effizienz von Berechnungen der Korrelationsenergie großer Systeme erheblich verbessern. Wir setzen dabei auf Orbital-basierte Vielteilchen-Störungstheorie und gehen damit über Hartree- Fock oder Dichtefunktionaltheorie hinaus. Orbitale sind einfache und anschauliche mathematische Zutaten um Näherungen zur Grundzustandsenergie von Vielteilchensys- temen zu konstruieren. Allerdings ist die Assoziation eines Orbitals mit einem Elektron falsch, da Elektronen ununterscheidbar sind, Orbitale dagegen unterscheidbar. Alle ord- nungsgemäßen Theorien berücksichtigen daher sogenannte austauschartige Terme, die genau diesen Fehler korrigieren. Diese austauschartigen Terme werden von Methoden wie zweiter-Ordnung-Møller-Plesset-Störungstheorie (engl. second-order Møller-Plesset perturbation theory, MP2) oder näherungsweise durch zweiter-Ordnung-abgeschirmter- Austausch (engl. second-order screened exchange, SOSEX) berücksichtigt. Allerdings weisen diese austauschartigen Terme eine hohe algorithmische Komplexität auf, was sich wiederum oft in einem steilem Skalierungsverhalten der Rechenzeit gegenüber der Systemgröße äußert. Das Hauptziel dieser Arbeit besteht in dem Beweis, dass niedrig- skalierende Algorithmen zur Berechnung der Austauschterme jedoch sehr wohl möglich sind. Wir präsentieren drei Algorithmen, welche die Skalierung von MP2- und SOSEX- Rechnungen von einer quintischen auf eine quartische oder gar kubische Skalierung re- duzieren. Dabei werden ausschließlich analytische Umformungen vorgenommen, sodass keinerlei Genauigkeit geopfert wird. Durch diese niedrigere Skalierung ist es möglich, die Korrelationsenergie mitsamt Austauschtermen für Systeme einiger hundert Valen- zelektronen mit hoher Genauigkeit zu berechnen. Wir stellen ebenfalls drei grundlegend verschiedene stochastische Algorithmen vor, welche die Rechenkosten zum Preis von statistischen Ungenauigkeiten reduzieren. Diese Implementierungen erlauben es, Berech- nungen an noch größeren Systemen vorzunehmen, wenn nur der relative Fehler pro Elek- 5tron entscheident ist. Des weiteren sind alle implementierten Algorithmen hochgradig parallelisiert und damit Hochleistungssoftware. Jegliche Betrachtungen verwenden ebe- nen Wellen, welche eine probate Basis für periodische Systeme darstelle.
In dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit der theoretischen Beschreibung des korrelierten Mott-Hubbard Isolators. Obwohl das Hubbard Modell das konzeptionell einfachste Modell korrelierter Elektronen darstellt, wurde bisher nur in einer Dimension eine exakte Lösung gefunden. Auch das Modell in unendlichen Dimensionen ist bisher nicht exakt gelöst. Zielsetzung unserer Arbeit ist die analytische Berechnung der Einteilchen-Zustandsdichte sowie der Lücke für Ladungsanregungen des Mott-Hubbard Isolators in unendlichen Dimensionen. Hierzu berechnen wir die lokale Greenfunktion des Hubbard Modells auf dem Bethegitter mit unendlich vielen nächsten Nachbarn bei der Temperatur T = 0. Unser Startpunkt ist die Dynamische Molekularfeldtheorie (DMFT), in der das auf dem Gitter definierte Hubbard Modell auf das Single Impurity Anderson Model (SIAM) abgebildet wird. Mit Hilfe der von uns auf das vorliegende Problem angepaßten Kato-Takahashi Störungstheorie, sind wir in der Lage die Lösungen der Selbstkonsistenzgleichungen der DMFT bis zur dritten Ordnung in 1/U anzugeben. Hiermit präsentieren wir zum ersten Mal eine analytische Lösung der Selbstkonsistenzgleichungen der DMFT für den Mott-Hubbard Isolator.
Das Verstaendnis von elektronischen Korrelationsphaenomenen stellt eine der groeßten Her- ausforderungen der Festkoerperphysik dar. In den letzten 25 Jahren hat sich die dynamische Molekularfeldtheorie (DMFT) als die "Standardmethode" fuer korrelierte fermionische Systeme etabliert, welche weit ueber eine stoerungstheoretische Behandlung hinausgeht und auch heute noch Grundlage von theoretischen Weiterentwicklungen ist. Dank DMFT lassen sich heutzue tage nicht nur viele Phaenomene gut verstehen, etwa der beruehmte Mott-Isolator uebergang, son- dern es eroeffnen sich sogar Moeglichkeiten der Vorhersage elektronischer Eigenschaften fuer Materialien in denen ein effektives Einteilchenbild unzureichend ist. Allerdings hat auch die DMFT ihre Grenzen: Zum einen beruht sie auf der Annahme, dass elektronische Korrelationen rein lokal sind. Zum anderen handelt es sich historisch gesehen um eine Methode, welche zuvorderst niederenergetische Freiheitsgerade zu beschreiben versucht. In der Tat existieren Systeme und physikalische Eigenschaften fuer welche diese Beschraenkun- gen nicht moeglich ist. In der vorliegenden Arbeit versuche ich diese beiden Probleme, welche Gegenstand inten- siver Bemuehungen in der aktuellen Forschung sind, anzugehen und Wege aufzuzeigen, welche eine bessere Beschreibung korrelierter Materialien ermoeglichen. Dazu stelle ich die Kombinae tion von DMFT mit zwei etablierten Methoden vor, die beide auf der Feynmanschen Diagram- matik basieren: Die Hedinsche GW Naeherung (G: Greensche Funktion; W: abgeschirmte Wechselwirkung) und die funktionale Renormierungsgruppe (fRG). Waehrend man mit GW hoeherenergetische Freiheitsgrade erfassen kann, ist fRG in der Lage auch niedrigdimensionale Systeme, in welchen Korrelationen manifest nichtlokal sind, zu beschreiben. In Kapitel 1 werden diese drei Methoden (DMFT, GW und fRG) eingefuehrt. Der erste Teil des Kapitel behandelt GW und diskutiert weitere Naeherungen, die oft noetig sind, um GW in realistischen Berechnungen zu verwenden. Im zweiten Teil wird die fRG eingefuehrt und ihre diagrammatischen Grundlagen erklaert. Schlussendlich wird auch die DMFT und als Anwen- dungsbeispiel der Mott-uebergang besprochen. In Kapitel 2 wird die Kombination von GW und DMFT, welche auch GW +DMFT genannt wird, eingefuehrt. Die Methode wurde bereits vor einem Jahrzehnt vorgeschlagen und hat viele konzeptuelle Vorteile gegenueber z.B. lokale Dichteapproximation (LDA)+DMFT, einer an- deren, sehr erfolgreichen realistischen Erweiterung von DMFT. Leider ist jedoch die Implemen- tierung der GW +DMFT Methode fuer realistische Berechnungen technisch aeußerst aufwendig, weshalb es bisher nur wenige Beispiele tatsaechlicher Anwendungen gibt. Deshalb wird hier die Implementierung einer Quasiteilchen Naeherung fuer GW +DMFT vorgeschlagen, deren nue merischer Aufwand vergleichbar ist mit jenem von LDA+DMFT. Am Beispiel des korrelierten Metalls SrVO3 zeigen wir die Vorteile unserer Methode und vergleichen sie mit experimentellen Photoemissionsspektren, sowie mit Resultaten der etablierten LDA+DMFT Methode. Schließlich wird in Kapitel 3 die ``DMF2RG-- eingefuehrt, eine neuartige Kombination zwischen DMFT und fRG. Der große Vorteil dieser neuen Methode ist, dass der fRG-Fluss hier bereits von Anfang an die nicht-perturbative Physik der DMFT beinhaltet. Zudem werden nicht-lokale Fluktuationen durch den Fluss unverfaelscht in allen Kanaelen berechnet. Als erstes Beispiel fuer die Anwendungsmoeglichkeiten der DMF2RG Methode wird das zweidimensionale Hubbard-Modell bei halber Fuellung betrachtet, insbesondere werden die elektronische Selbsten- ergie sowie einige Zweiteilcheneigenschaften (die statische Spinsuszeptibilitaet und die 4-Punkt Vertexfunktion) berechnet. Die vielversprechenden Ergebnisse und der Vergleich mit anderen Methoden, wie etwa der ``dynamical cluster approximation" (DCA) und Quanten-Monte-Carloe Methoden zeigt die gorßen Perspektiven, diese neuen DMF2RG Methode zu verwenden.