Mit dieser Arbeit wird bewiesen, dass die Entwicklung von niedrig skalierenden Algo- rithmen zur Berechnung von austauschartigen Vielteilchen-Termen sowohl möglich als auch praktisch ist. Die Vorhersage von Materialeigenschaften mittels ab initio Metho- den erfordert effiziente Computerprogramme. Nach wie vor ist die computergestützte Materialphysik eine der rechenintensivsten Wissenschaftszweige. Das zentrale Problem, auch bekannt als Problem der elektronischen Struktur, besteht in der Berechnung hinre- ichend genauer Näherungen zur Vielteilchen-Schrödingergleichung. Die Korrelation von Elektronen ist dabei von besonderer Bedeutung, bestimmt sie doch maßgeblich Eigen- schaften wie die Kristallstruktur, Oberflächenenergien oder thermodynamische Phasen- grenzen. In dieser Arbeit stellen wir neue Algorithmen vor, welche die Effizienz von Berechnungen der Korrelationsenergie großer Systeme erheblich verbessern. Wir setzen dabei auf Orbital-basierte Vielteilchen-Störungstheorie und gehen damit über Hartree- Fock oder Dichtefunktionaltheorie hinaus. Orbitale sind einfache und anschauliche mathematische Zutaten um Näherungen zur Grundzustandsenergie von Vielteilchensys- temen zu konstruieren. Allerdings ist die Assoziation eines Orbitals mit einem Elektron falsch, da Elektronen ununterscheidbar sind, Orbitale dagegen unterscheidbar. Alle ord- nungsgemäßen Theorien berücksichtigen daher sogenannte austauschartige Terme, die genau diesen Fehler korrigieren. Diese austauschartigen Terme werden von Methoden wie zweiter-Ordnung-Møller-Plesset-Störungstheorie (engl. second-order Møller-Plesset perturbation theory, MP2) oder näherungsweise durch zweiter-Ordnung-abgeschirmter- Austausch (engl. second-order screened exchange, SOSEX) berücksichtigt. Allerdings weisen diese austauschartigen Terme eine hohe algorithmische Komplexität auf, was sich wiederum oft in einem steilem Skalierungsverhalten der Rechenzeit gegenüber der Systemgröße äußert. Das Hauptziel dieser Arbeit besteht in dem Beweis, dass niedrig- skalierende Algorithmen zur Berechnung der Austauschterme jedoch sehr wohl möglich sind. Wir präsentieren drei Algorithmen, welche die Skalierung von MP2- und SOSEX- Rechnungen von einer quintischen auf eine quartische oder gar kubische Skalierung re- duzieren. Dabei werden ausschließlich analytische Umformungen vorgenommen, sodass keinerlei Genauigkeit geopfert wird. Durch diese niedrigere Skalierung ist es möglich, die Korrelationsenergie mitsamt Austauschtermen für Systeme einiger hundert Valen- zelektronen mit hoher Genauigkeit zu berechnen. Wir stellen ebenfalls drei grundlegend verschiedene stochastische Algorithmen vor, welche die Rechenkosten zum Preis von statistischen Ungenauigkeiten reduzieren. Diese Implementierungen erlauben es, Berech- nungen an noch größeren Systemen vorzunehmen, wenn nur der relative Fehler pro Elek- 5tron entscheident ist. Des weiteren sind alle implementierten Algorithmen hochgradig parallelisiert und damit Hochleistungssoftware. Jegliche Betrachtungen verwenden ebe- nen Wellen, welche eine probate Basis für periodische Systeme darstelle.
Mit dieser Arbeit wird bewiesen, dass die Entwicklung von niedrig skalierenden Algo- rithmen zur Berechnung von austauschartigen Vielteilchen-Termen sowohl möglich als auch praktisch ist. Die Vorhersage von Materialeigenschaften mittels ab initio Metho- den erfordert effiziente Computerprogramme. Nach wie vor ist die computergestützte Materialphysik eine der rechenintensivsten Wissenschaftszweige. Das zentrale Problem, auch bekannt als Problem der elektronischen Struktur, besteht in der Berechnung hinre- ichend genauer Näherungen zur Vielteilchen-Schrödingergleichung. Die Korrelation von Elektronen ist dabei von besonderer Bedeutung, bestimmt sie doch maßgeblich Eigen- schaften wie die Kristallstruktur, Oberflächenenergien oder thermodynamische Phasen- grenzen. In dieser Arbeit stellen wir neue Algorithmen vor, welche die Effizienz von Berechnungen der Korrelationsenergie großer Systeme erheblich verbessern. Wir setzen dabei auf Orbital-basierte Vielteilchen-Störungstheorie und gehen damit über Hartree- Fock oder Dichtefunktionaltheorie hinaus. Orbitale sind einfache und anschauliche mathematische Zutaten um Näherungen zur Grundzustandsenergie von Vielteilchensys- temen zu konstruieren. Allerdings ist die Assoziation eines Orbitals mit einem Elektron falsch, da Elektronen ununterscheidbar sind, Orbitale dagegen unterscheidbar. Alle ord- nungsgemäßen Theorien berücksichtigen daher sogenannte austauschartige Terme, die genau diesen Fehler korrigieren. Diese austauschartigen Terme werden von Methoden wie zweiter-Ordnung-Møller-Plesset-Störungstheorie (engl. second-order Møller-Plesset perturbation theory, MP2) oder näherungsweise durch zweiter-Ordnung-abgeschirmter- Austausch (engl. second-order screened exchange, SOSEX) berücksichtigt. Allerdings weisen diese austauschartigen Terme eine hohe algorithmische Komplexität auf, was sich wiederum oft in einem steilem Skalierungsverhalten der Rechenzeit gegenüber der Systemgröße äußert. Das Hauptziel dieser Arbeit besteht in dem Beweis, dass niedrig- skalierende Algorithmen zur Berechnung der Austauschterme jedoch sehr wohl möglich sind. Wir präsentieren drei Algorithmen, welche die Skalierung von MP2- und SOSEX- Rechnungen von einer quintischen auf eine quartische oder gar kubische Skalierung re- duzieren. Dabei werden ausschließlich analytische Umformungen vorgenommen, sodass keinerlei Genauigkeit geopfert wird. Durch diese niedrigere Skalierung ist es möglich, die Korrelationsenergie mitsamt Austauschtermen für Systeme einiger hundert Valen- zelektronen mit hoher Genauigkeit zu berechnen. Wir stellen ebenfalls drei grundlegend verschiedene stochastische Algorithmen vor, welche die Rechenkosten zum Preis von statistischen Ungenauigkeiten reduzieren. Diese Implementierungen erlauben es, Berech- nungen an noch größeren Systemen vorzunehmen, wenn nur der relative Fehler pro Elek- 5tron entscheident ist. Des weiteren sind alle implementierten Algorithmen hochgradig parallelisiert und damit Hochleistungssoftware. Jegliche Betrachtungen verwenden ebe- nen Wellen, welche eine probate Basis für periodische Systeme darstelle.
Die vorliegende Arbeit setzt sich aus drei Teilen zusammen. Der erste Teil deckt die Grundlagen zum elektronischen Vielteilchenproblem in der Physik der kondensierten Materie ab und stellt den theoretischen Hintergrund der GW Methode vor. Nach einer Einführung zur Dichtefunktionaltheorie (DFT) werden später Methoden welche über konventionelle DFT hinausgehen, wie DFT+U und Hybridfunktionale vorgestellt. Dabei werden auch die jeweiligen Grenzen der Anwendbarkeit dieser Methoden diskutiert. Anschließend wird ein überblick über die GW Approximation gegeben, beginnend mit dem Bandlückenproblem und experimenteller Photoemissionsspektroskopie. Die Herleitung der GW Approximation aus der Vielkörper-Störungstheorie wird danach ausführlich behandelt. Insbesondere werden die Ein-Teilchen-Green's-Funktionen, die Dyson-Gleichung und die Hedin-Gleichungen eingeführt. Zuletzt wird die praktische Umsetzung der GW Approximation besprochen, einschließlich der konventionellen GW Implementierungen sowie der Space-Time-Methode. Hierbei werden auch die Nachteile der bestehenden GW Implementierungen aufgezeigt, wodurch die Notwendigkeit für einen niedrig skalierenden GW Algorithmus deutlich wird. Aus dieser überlegung stammt die Motivation zu dieser Arbeit. Abschließend kann gesagt werden, dass dieser Teil eine solide Grundlage bildet und eine konsequente Terminologie für den zweiten Teil der Arbeit einführt. Der zweite Teil präsentiert unsere kürzlich entwickelte Low-Scaling-GW Methode, die im "Vienna ab-initio Simulation Package" (VASP), einem weit verbreiteten Programm zur Berechnung der elektronischen Struktur, implementiert wurde. Diese neue Methode ermöglicht schnelle Quasiteilchenberechnungen mit einer Skalierung, die sich in der Systemgröße kubisch verhält und linear in der Anzahl der k-Punkte, die verwendet werden um die Brillouin-Zone zu sampeln. Dadurch werden sowohl die Nachteile der konventionellen GW Implementierungen, welche in der Regel auf kleine Systeme beschränkt sind, als auch jene der speicherintensiven Space-Time-Methode überwunden. Es wird ausführlich erläutert, wie eine so günstige Skalierung erreicht werden kann. Danach wird der Erfolg der Methode bei der Berechnung von Quasiteilchen-Energien und Spektralfunktionen typischer Isolatoren, Halbleiter und Metalle diskutiert. Die Ergebnisse werden mit konventionellen GW Berechnungen verglichen und es zeigt sich eine sehr hohe übereinstimmung. Darüber hinaus wurde die neue Methode auch erfolgreich zur Bestimmung der Ionisierungspotentiale und der Elektronenaffinitäten von hundert Closed-Shell-Molekülen angewandt. Die Ergebnisse werden mit experimentellen Daten sowie Ergebnissen aus anderen elektronischen Strukturpaketen verglichen. Insgesamt wurde eine gute übereinstimmung erzielt. Um diese übereinstimmung zu erreichen, korrigieren wir die Fehler für endliche Basissätze sowie Fehler, die durch periodisch wiederholte Bilder entstehen. Für die etwas größeren Abweichungen der Elektronenaffinitäten werden mögliche Erklärungen diskutiert. Wegen der geringen Skalierung unserer neuen Methode glauben wir, dass sie ein großes Anwendungspotenzial besitzt, insbesondere für große Einheitszellen. Dies wird im Bereich der Materialmodellierung dazu beitragen, Methoden welche über DFT hinaus gehen zu etablieren. Die vorgestellte Low-Scaling-GW stellt zwar einen großen Fortschritt gegenüber älterer GW Methoden dar, jedoch wird in der aktuellen Implementierung die Spin-Orbit-Kopplung (SOC) nicht berücksichtigt, während dies bei der herkömmlichen GW Implementierung in VASP möglich ist. In diesem Abschnitt werden daher einige änderungen an der herkömmlichen Implementierung der GW besprochen, welche es erlauben mäßig große Systeme zu behandeln, bei denen SOC nicht vernachlässigt werden darf. Dies wird durch optimierte imaginäre Zeit/Frequenz Gitter sowie äußerst effiziente diskrete Fourier-Transformationen erreicht, beides Hauptmerkmale der neuen Low-Scaling-GW Methode. Die modifizierte GW Methode wurde für ZnO und CdTe getestet und es zeigt sich eine ausgezeichnete übereinstimmung mit der herkömmlichen, unmodifizierten GW Implementierung. Darüber hinaus wird eine teilweise selbst-konsistente Low-Scaling-GW0r Methode vorgestellt und vorläufige Testergebnisse für Si werden präsentiert. Die Auswirkungen der Selbstkonsistenz werden in Bezug auf Teilchenzahlerhaltung und Bandlücken diskutiert. Abschließend wird noch eine praktikable Möglichkeit zur Kombination unserer Low-Scaling-GW Methode mit der Dynamical-Mean-Field-Theorie (DMFT), d.h. GW+DMFT, vorgestellt. Besonders hervorgehoben und ausführlich besprochen wird die frequenzabhängige, partiell abgeschirmte Wechselwirkung U(iw), welche mittels der Constrained-Random-Phase-Approximation (cRPA) berechnet wird sowie das Double-Counting, das bei GW+DMFT auftritt. Vorläufige Ergebnisse von GW+DMFT für SrVO3 werden präsentiert. Am Ende der Arbeit befindet sich eine Conclusio in welcher die Ergebnisse und Schlussfolgerungen zusammengefasst werden und ein Ausblick über die weitere Entwicklung skizziert ist. Es sei noch angemerkt, dass einige Gleichungen und Herleitungen separat in den Anhängen platziert wurden. Obwohl viele dieser Gleichungen zum besseren Verständnis des Haupttextes beitragen, wurde zum Zwecke der besseren Lesbarkeit und übersicht diese Aufteilung gewählt. Der interessierte Leser wird daher in den Anhängen nützliche und ausführliche Details finden.
Das universelle Verhalten von Störstellen mit stark korrelierten Elektronen in einem Metall wird bewiesen. In solchen Systemen wechselwirken die lokalen, stark korrelierten Elektronen der Störstelle mit den niederenergetischen Teilchen-Loch-Anregungen des Metalls und bilden einen komplizierten Vielteilchen-Grundzustand. Alle Versuche, diesen Grundzustand, die elementaren Anregungen und die Energieskalen des universellen Verhaltens mit den sonst üblichen störungstheoretischen Methoden zu berechnen, sind gescheitert. In einigen Spezialfällen gelingt mit Hilfe des Bethe-Ansatzes oder der numerischen Renormierungsgruppe eine Bestimmung der Thermodynamik eines Modellsystems, das aber nicht direkt mit dem ursprünglichen System in Verbindung gebracht werden kann. Daher stellt sich die Frage, wie man das universelle Verhalten von solchen Systemen systematisch beschreiben kann. Die zentralen Aussagen dieser Dissertation lauten: 1. Die Energieskalen eines Systems mit Störstellen lassen sich mit Hilfe einer Diagrammtechnik exakt berechnen. 2. Der Störstellen-Anteil jeder Observablen skaliert im universellen Limes mit der gleichen Energie. 3. Allein die Diagrammstruktur liefert ein Kriterium dafür, wann eine Näherung das universelle Verhalten bewahrt. Die hier benutzte Diagrammtechnik für Störstellen in Metallen wird neu und vereinfacht hergeleitet. Die Zusammenfassung der Diagramme in Klassen von Skelettdiagrammen führt auf ein Variationsprinzip für ein erzeugendes Funktional. Der Störstellen-Anteil der jeweiligen Observablen ergibt sich am Sattelpunkt des Funktionals bezüglich der Variation nach den ionischen Propagatoren. Diese Methode stammt von Luttinger und Ward. In dieser Dissertation wird die Information benutzt, wie die Skelettdiagramme strukturiert sind. Der entscheidende Punkt ist, dass man die Parameter-Abhängigkeit der Propagatoren im erzeugenden Funktional am Sattelpunkt ignorieren kann: Sie wird nur durch die Struktur der Skelettdiagramme bestimmt. Die Skelettdiagramme können so allein aufgrund ihrer Struktur nach der inversen Bandbreite klassifiziert werden. Nur eine als relevant bezeichnete Mindestmenge der Skelettdiagramme bestimmt die exakten Energieskalen des Systems, ohne das Modell vorher gelöst zu haben. Dies ergibt die erste Aussage. Eine Observable ergibt sich stets als Antwort des Systems auf ein entsprechendes äusseres Feld. Es wurde gezeigt, dass es nicht von der Observablen abhängt, welche Skelettdiagramme relevant sind. So kann man zeigen, dass der Störstellen-Anteil jeder Observablen mit der gleichen Energieskala skaliert. Dies ergibt die zweite Aussage. Die relevanten Skelettdiagramme beschreiben damit das universelle Verhalten der Störstelle und garantieren eine systematische Näherung für die Thermodynamik und die Dynamik der Störstelle. Berücksichtigt man noch weitere Skelettdiagramme, so verhalten sich die damit berechneten Störstellen-Anteile von Observablen genau dann universell, wenn ganze Familien von Skelettdiagrammen mitgenommen werden. Diese Skelettdiagramme ändern nichts an der Energieskala. Dies ergibt die dritte Aussage. Für das Anderson-Modell Störstelle in einem Metall ergeben die relevanten Skelettdiagramme gerade die sogenannte non-crossing-approximation (NCA). Daher beschreibt die NCA das universelle Verhalten des Anderson-Modells qualitativ richtig. Skelettdiagramme höherer Ordnung ändern das Bild nicht qualitativ. Bisher war es unerklärlich, warum die NCA mit den Resultaten der numerischen Renormierungsgruppe so gut übereinstimmt. Die Erklärung findet sich im exakten Skalierungsverhalten der NCA, das hier gezeigt wurde. Um das Verfahren zu testen, haben wir für das Anderson-Modell im magnetischen Limes das crossover untersucht. Für hohe Temperaturen oder Magnetfelder verhält sich das magnetische Moment der Störstelle asymptotisch frei, während es für tiefe Temperaturen durch niederenergetische Teilchen-Loch-Anregungen des Fermi-Sees abgeschirmt wird. Dieses crossover vom perturbativen Hochtemperatur- zum nichtperturbativen Niedertemperaturbereich wird durch die Wilson-Zahl charakterisiert. Hier wird die Wilson-Zahl zum ersten Mal mit einer Diagrammtechnik (NCA) berechnet. Das Ergebnis stimmt im Rahmen der Näherung mit dem als exakt postulierten Resultat überein. Um das universelle Verhalten anderer Observablen zu demonstrieren, wurde sodann für das Anderson-Modell zum ersten Mal explizit gezeigt, dass das Einteilchen-Anregungsspektrum - und damit die Abrikosov-Suhl-Resonanz - richtig skaliert, wenn man es mit Hilfe der NCA berechnet. Die vorgestellte Methode ermöglicht es auch, für ein System mit Störstellen die Qualität von Näherungen zu beurteilen, ohne sie zuvor explizit lösen zu müssen.
Abgesehen davon, dass Subfaktoren ein interessantes mathematisches Gebiet für sich darstellen, haben sie auch die Aufmerksamkeit von Physikern erregt, da vermutet wird, dass es einen Zusammenhang zwischen Subfaktoren und konformen Feldtheorien (CFT) gibt. Obwohl inzwischen eine überzeugende Menge an Hinweisen für die Gültigkeit dieser Vermutung erbracht wurde, existieren immer noch einige Lücken: Es gibt eine Reihe außergewöhnlicher Subfaktoren, für die keine entsprechende CFT bekannt ist. Daher ist es notwendig, neue Techniken für die Konstruktion einer CFT aus einem Subfaktor zu entwickeln. Hier ist es sinnvoll, die zugrunde liegende mathematische Struktur genauer zu untersuchen: Aus den sogenannten ,,even parts'' eines Subfaktors ergeben sich zwei unitäre Fusionskategorien (UFCs). Ein vielversprechender Ansatz ist, aus diesen Kategorien Quantenspinsysteme zu konstruieren und zu untersuchen, um eine Verbindung zu CFTs zu finden. Das einfachste Beispiel, das neue Techniken zur Konstruktion einer CFT erfordert, ist der Haagerup Subfaktor, da er der kleinste Subfaktor mit einem Index größer als vier ist. In dieser Arbeit untersuchen wir mithilfe von ein- und zweidimensionalen Gittermodellen die Frage, ob eine CFT existiert, die zum Haagerup Subfaktor gehört. Die erste Aufgabe hierbei besteht darin, die F-Symbole der Kategorie zu berechnen, da diese bei allen Modellen, die in dieser Arbeit untersucht werden, einen entscheidenden Bestandteil der Konstruktion darstellen. Wir betrachten die folgenden Modelle: 1. Das sogenannte ,,Golden Chain''-Modell, bei dem es sich um eine eindimensionale Spinkette handelt, deren Grundzustand Informationen (wie zum Beispiel den Wert der zentralen Ladung) über die hypothetische CFT enthält. 2. Quantenspinketten (wie die Golden Chain) mit Defekten. Die Konstruktion der Vertices, die die Kette mit Defekten bilden, liefert Einblicke in eine mögliche Konstruktion einer unitären modularen Tensorkategorie (UMTC) über die sogenannte Annulare Kategorie. 3. Das Levin-Wen Modell, welches ein zweidimensionales Gittermodell mit exakt lösbarem Hamiltonian ist, das eine topologische Quantenfeldtheorie liefert. Am interessantesten für uns ist, dass die Anregungen des Systems eine UMTC ergeben. Wir stellen fest, dass die Untersuchung der UFCs selbst keine Hinweise auf eine Haagerup CFT liefert, und schließen daraus, dass es notwendig ist, diese Untersuchung auf die entsprechende UMTC auszudehnen, die zum Beispiel über die Anregungen des Levin-Wen Modells konstruiert werden kann.
Im ersten Abschnitt dieser Arbeit versuchen wir, die algebraische Struktur, welche im Rahmen der dissipativen Quantenmechanik unter Verwendung des Influenzfunktionals auftritt, herauszuarbeiten. Dies erlaubt uns einen tieferen Einblick in ansonsten unübersichtliche und langwierige Rechenschritte, speziell im Realzeitformalismus, und ermöglicht uns eine leichtere Identifikation der dabei auftretenden Terme und deren Ursprung aus dem zugrunde liegenden Modell als auch deren physikalische Bedeutung. Die verwendeten Methoden haben wir soweit als möglich in konsistenter und anschaulicher Form eingeführt, so dass diese Arbeit ohne spezielle Kenntnis des Gebietes der dissipativen Quantenmechanik gelesen werden kann. Besonderen Wert haben wir auf den Übergang von der quantenmechanischen auf die klassische Beschreibung von dissipativen Vorgängen gelegt, da ein Verständnis dieses Übergangs eine tiefere Einsicht in den Messprozess liefert. In der selben Weise ist damit auch der Übergang von der mikroskopischen - durch die Quantenmechanik beschriebenen - Welt in die makroskopische Welt verbunden, welche den Gesetzen der klassischen Mechanik folgt. Zusätzlich zeigen wir, wie die Resultate der Influenzfunktionalmethode stochastisch interpretiert werden können, was einen leichteren Vergleich mit der bekannten quantenmechanischen Zeitentwicklung durch die Schrödingergleichung erlaubt. Im weiteren betrachten wir die sogenannte Tight-Binding Näherung von Modellen, bei welchen sich der Hamiltonraum für die Systembeschreibung im wesentlichen durch diskrete Eigenzustände des Ortsoperators ausdrücken lässt und Übergänge zwischen diesen Zuständen unterdrückt sind, wodurch eine Propagation entweder durch ein Tunneln oder durch thermische Anregung erfolgt. Im Rahmen der dissipativen Quantenmechanik bringt diese Methode eine immense Vereinfachung in der effektiven Beschreibung des Systems, da Anstelle einer ganzen Historie von Systempfaden nur noch die Übergangszeiten mit den entsprechenden Übergängen berücksichtigt werden müssen. Im Bild des Pfadintegralformalismus bedeutet dies, dass Anstelle des Integrals über alle Systempfade ein Produkt von Integrationen über alle möglichen Sprungzeiten mit Sprunggewichten entsprechend des Übergangs rückt, welches analytisch als auch numerisch wesentlich einfacher handzuhaben ist. Innerhalb dieser Näherung wurden dadurch in der Vergangenheit viele beeindruckende analytische Resultate abgeleitet. Darüber hinaus beschäftigen wir uns mit der Abbildung und dem Zusammenhang von dissipativen Modellen mit Feldmodellen aus der Quantenfeldtheorie und im besonderen der Feldtheorie statistischer Systeme. Der Reiz dieser Abbildungen liegt besonders darin, dass in den letztgenannten Gebieten schon seit Jahrzehnten sehr intensiv die grundlegenden Modelle bearbeitet wurden und vor allem auch nach neuen Methoden gesucht und Forschung dafür betrieben wurde und noch immer Gegenstand der aktuellen Forschung darstellt. Als Beispiel sei in zwei Dimensionen die Invarianz unter konformen Abbildungen genannt, welche immer dann Anwendung findet, wenn Systeme nur lokal wechselwirken und eine Invarianz unter lokaler Umskalierung der Felder zeigen. Bei statistischen Systemen mit lokaler Wechselwirkung zeigt sich dieses Verhalten immer beim Erreichen eines kritischen Punktes, da hier per Definition keine Längenskala ausgezeichnet ist. In zwei Dimensionen führt dies zu einer immensen Einschränkung der möglichen Form von Korrelationsfunktionen und hat zu dem eigenständigen Gebiet der Konformen Feldtheorie geführt, da konforme Abbildungen per Definition die lokale Struktur erhalten (Winkeltreue) und lokal nur zu einer Unskalierung führen. Während in D>2 Dimensionen nur endlich viele Generatoren für konforme Abbildungen existieren, ist deren Anzahl in 2 Dimensionen unendlich. Dies resultiert in einer unendlichen Anzahl von lokalen Erhaltungsgrößen mit den entsprechenden Folgen. Während solche Techniken sehr schnell unanschaulich werden, erlaubt die Abbildung auf dissipative Modelle hier oftmals eine sehr anschauliche Interpretation.
Diese Thesis befasst sich mit dem Problem korrelierter Elektronensysteme in realen Materialien. Ausgangspunkt hierbei ist die quantenmechanische Beschreibung dieser Systeme im Rahmen der sogenannten Kohn-Scham Dichtefunktionaltheorie, welche die Elektronen der Kristallsysteme als effektiv nicht-wechselwirkende Teilchen beschreibt. Während diese Modellierung im Falle vieler Materialklassen erfolgreich ist, unterscheiden sich die korrelierten Elektronensysteme dadurch, dass der kollektive Charakter der Elektronendynamik nicht zu vernachlässigen ist. Um diese Korrelationseffekte genauer zu untersuchen, verwenden wir in dieser Arbeit das Hubbard-Modell, welches mit der projektiven Wannierfunktionsmethode aus der Kohn-Scham Dichtefunktionaltheorie konstruiert werden kann. Das Hubbard-Modell umfasst hierbei nur die lokale Elektron-Elektron-Wechselwirkung auf einem Gitter. Auch wenn das Modell augenscheinlich sehr simpel ist, existieren exakte Lösungen nur in bestimmten Grenzfällen. Dies macht die Entwicklung approximativer Ansätze erforderlich, wobei die Weiterentwicklung der sogenannten Two-Particle Self-Consistent Methode (TPSC) eine zentrale Rolle dieser Arbeit einnimmt. Bei TPSC handelt es sich um eine Vielteilchenmethode, die in der Sprache funktionaler Ableitungen und sogenannter conserving approximations hergeleitet werden kann. Der zentrale Gedanke dabei ist, den effektiven Wechselwirkungsvertex als statisch und lokal zu approximieren. Dies wiederum erlaubt die Bewegungsgleichung des Systems erheblich zu vereinfachen, sodass eine numerische approximative Lösung des Hubbard-Modells möglich wird. Vorsetzung hierbei ist nur, dass sich das System in der normalleitenden Phase befindet und die bei Phasenübergängen entstehenden Fluktuationen nicht zu groß sind. Während diese Methode ursprünglich von Y. M. Vilk und A.-M. Tremblay für das Ein-Orbital Hubbard-Modell entwickelt wurde, stellen wir in dieser Arbeit eine Erweiterung auf Viel-Orbital-Systeme vor. Im Falle mehrerer Orbitale treten in der TPSC-Herleitung einzelne Komplikationen auf, die mit weiteren Approximationen behandelt werden müssen. Diese werden anhand eines einfachen Zwei-Orbital Modell-Systems diskutiert und die TPSC-Ergebnisse werden darüber hinaus mit den Ergebnissen der etablierten dynamischen Molekularfeldnährung verglichen. In diesem Zusammenhang werden auch mögliche zukünftige Erweiterungen bzw. Verbesserungen von TPSC diskutiert. Ein weiterer wichtiger Aspekt ist die Anwendung von TPSC auf reale Materialien. In diesem Zusammenhang werden in dieser Arbeit die supraleitenden Eigenschaften der organischen K-(ET)2X Systeme untersucht. Hierbei lassen die TPSC-Resultate darauf schließen, dass das populäre Dimer-Modell, welches zur Beschreibung dieser Materialien herangezogen wird, nicht genügt um die experimentell bestimmten kritischen Temperaturen zu erklären und dass das komplexere Molekülmodell weitere exotische supraleitende Lösungen zulässt. Schließlich untersuchen wir außerdem die elektronischen Eigenschaften des eisenbasierten Supraleiters LiFeAs und diskutieren inwieweit nicht-lokale Korrelationseffekte, welche durch TPSC aufgelöst werden können, die experimentellen Daten reproduzieren.
Jüngste experimentelle Fortschritte erlauben die Beobachtung von elektronischen Relaxationsprozessen in Festkörpern in Echtzeit. Nach der optischen Anregung eines Systems relaxiert dieses in einen Gleichgewichtszustand. Die Dynamik des Systems während des Relaxationsprozesses ist von den vorherrschenden mikroskopischen Wechselwirkungen zwischen den Konstituenten des Systems abhängig. Die Wechselwirkung zwischen Elektronen und Gitterschwingungen - den Phononen - ist allgegenwärtig in Festkörpern, weshalb sie einer der wichtigsten Relaxationskanäle ist. Eine analytische Beschreibung der Relaxationsdynamik ist schwierig, und nur wenige exakte Lösungen existieren, selbst für die Beschreibung von Gleichgewichtsproblemen. Prinzipiell sind numerische Methoden in der Lage, eine Lösung sowohl für Gleichgewichts- als auch für Nichtgleichgewichtssituationen zu finden. Methoden wie die exakte Diagonalisierung oder die Dichtematrix-Renormierungsgruppenmethode, die mit Wellenfunktionen arbeiten, skalieren jedoch ungünstig mit der Dimension des lokalen Hilbertraumes. Dies ist besonders problematisch bei der Studie von Elektron-Phonon gekoppelten Systemen, bei der im allgemeinen besonders große lokale Basen benötigt werden. Für Grundzustandsprobleme gibt es zwei unabhängige Vorgehensweisen, um dem entgegenzuwirken: die Ein-Gitterplatz Dichtematrix Renormierungsgruppenmethode, die linear in der lokalen Dimension skaliert, sowie die Implementierung eines Schemas, das die Dimension der lokalen Basis verringert, indem es im Eigenraum der lokalen reduzierten Dichtematrix trunkiert was auf sogenannte optimale Moden führt. In dieser Dissertation kombinieren wir diese Strategien zu einer Methode, die linear in der Dimension der optimierten lokalen Basis anstelle der vollen lokalen Dimension skaliert. Wir demonstrieren das verbesserte Skalierungsverhalten der Methode anhand des Holstein-Polaron und des halb gefüllten Hubbard-Holstein Modells. Zudem beschreiben wir die Implementierung einer optimalen Phononbasis in den Time-Evolving Block Decimation Algorithmus, um das Skalierungsverhalten dieser Methode mit der lokalen Dimension zu verbessern. Für die Simulation des Polaron-Problems auf einer unendlich langen Kette hat sich die Krylovraum Zeitentwicklung in einem limitierten funktionalen Raum, als effizient herausgestellt. Wir adaptieren diese Methode für periodische Randbedingungen und endliche Systemgröße. Außerdem betrachten wir die Eigenschaften der lokalen reduzierten Dichtematrix als Funktion der Modellparameter und in Nichtgleichgewichtssituationen in drei Modellen: dem Bose-Bose Resonanz-Modell, dem Holstein Modell und dem Hubbard-Holstein Modell. Für fermionische und Spin-Modelle weiß man, dass die lokale von Neumann Entropie ein Indikator für Phasenübergänge ist. Für das Bose-Bose Resonanzmodell finden wir, dass die beiden Größen, lokale von Neumann Entropie und Eigenzustände der lokalen Dichtematrix, besondere Eigenschaften an Phasenübergängen zeigen. Wir finden außerdem, dass die Struktur der optimalen Moden sich als Funktion der Zeit in der Nichtgleichgewichtsdynamik ändert. Desweiteren beschäftigen wir uns mit der Relaxationsdynamik eines einzigen Elektrons gekoppelt an Holstein-Phononen. Im adiabatischen Fall finden wir einen Netto-Energiefluss von dem Elektron zu den Phononen und wir leiten einen analytischen Ausdruck für die Relaxationszeit des Elektrons im schwach wechselwirkenden, adiabatischen Fall her. Ein weiteres Hauptthema dieser Dissertation ist die Thermalisierung in geschlossenen Quanten- Vielteilchensystemen. Unser erstes Beispiel ist der Zerfall der Néel Ordnung unter Zeitentwicklung im eindimensionalen Fermi-Hubbard Hamiltonian. Wir finden, dass die Relaxation spin-verwandter Observablen von Spin-Anregungen kontrolliert werden und dass die Doppelbesetzung nicht im Sinne der Eigenzustands-Thermalisierungs-Hypothese thermalisiert, da das System nicht ergodisch ist. Als zweites Beispiel behandeln wir Vielteilchenlokalisierung in einem eindimensionalen System von attraktiv wechselwirkenden Fermionen, das im Grundzustandsphasendiagramm auch mit Unordnung eine delokalisierte Phase zeigt. Wir untersuchen diesen Phasenübergang mit modernen Hilfsmitteln, die auf den Verschränkungseigenschaften und der Existenz von Quasiteilchen in lokalisierten Phasen beruhen.