Caminhos aleatórios clássicos são essenciais para a Física, a Matemática, a Ciência da Computação e muitas outras áreas. Há uma grande expectativa que a sua versão quântica seja ainda mais poderosa, uma vez que o caminhante quântico se espalha quadraticamente mais rápido que o seu análogo clássico. Neste trabalho, estudamos o comportamento do caminhante quântico em uma e duas dimensões, além de generalizarmos o formalismo de ligações interrompidas para duas ou mais dimensões. Em uma dimensão, analisamos o comportamento do caminhante quântico, que além das duas possibilidades de deslocamento usuais, direita e esquerda, também permanece na posição atual. Em duas dimensões, apresentamos um estudo detalhado do comportamento do caminhante no plano e quando há descoerência gerada pela quebra aleatória das ligações para as posições vizinhas com uma certa probabilidade para cada uma das direções. Quando essa probabilidade de quebra é diferente nas duas direções encontramos um resultado não trivial que representa uma transição do caso 2-D descorente para o caso 1-D coerente. Também utilizamos o formalismo de ligações interrompidas para modelar o comportamento de um caminhante quântico que passa por uma e por duas fendas. Realizamos simulações com com as principais moedas e observamos conclusivamente os padrões de interferência e difração.
Caminhos aleatórios clássicos são essenciais para a Física, a Matemática, a Ciência da Computação e muitas outras áreas. Há uma grande expectativa que a sua versão quântica seja ainda mais poderosa, uma vez que o caminhante quântico se espalha quadraticamente mais rápido que o seu análogo clássico. Neste trabalho, estudamos o comportamento do caminhante quântico em uma e duas dimensões, além de generalizarmos o formalismo de ligações interrompidas para duas ou mais dimensões. Em uma dimensão, analisamos o comportamento do caminhante quântico, que além das duas possibilidades de deslocamento usuais, direita e esquerda, também permanece na posição atual. Em duas dimensões, apresentamos um estudo detalhado do comportamento do caminhante no plano e quando há descoerência gerada pela quebra aleatória das ligações para as posições vizinhas com uma certa probabilidade para cada uma das direções. Quando essa probabilidade de quebra é diferente nas duas direções encontramos um resultado não trivial que representa uma transição do caso 2-D descorente para o caso 1-D coerente. Também utilizamos o formalismo de ligações interrompidas para modelar o comportamento de um caminhante quântico que passa por uma e por duas fendas. Realizamos simulações com com as principais moedas e observamos conclusivamente os padrões de interferência e difração.
A computação quântica é um modelo computacional baseado nas leis da mecânica quântica, que pode ser utilizado para desenvolver algoritmos mais eficientes que seus correspondentes clássicos. O desenvolvimento de algoritmos quânticos eficientes, no entanto, é uma tarefa altamente desafiadora. Uma abordagem recente que vem se mostrando bem-sucedida é a utilização de caminhadas quânticas. Neste trabalho, estudamos a caminhada quântica no hipercubo, calculando analiticamente sua distribuição estacionária e analisando propriedades de seu mixing time, tanto na situação ideal como na situação com descoerência gerada por ligações interrompidas. Também estudamos a caminhada na malha bidimensional, calculando sua distribuição estacionária analiticamente e explorando a relação entre o mixing time e a complexidade do algoritmo de busca nesse grafo. Desenvolvemos uma ferramenta computacional para simulação numérica de caminhadas quânticas em malhas uni- e bidimensionais com diversas condições de contorno. Finalmente, estudamos alguns algoritmos de busca em grafos e analisamos numericamente o impacto que a descoerência exerce sobre seus desempenhos.
A computação quântica é uma área de pesquisa relativamente nova em que cientistas e empresas de todo o mundo estão investigando suas potenciais aplicações, tanto no contexto científico quanto no contexto industrial. Em particular, a implementação de algoritmos quânticos e a arquitetura de qubits são as tarefas principais para a execução das aplicações de interesse. Apesar das grandes vantagens que computadores quânticos podem proporcionar em relação aos computadores clássicos, existem grandes desafios a serem superados como a decoerência e os ruídos que interferem nos processos investigativos e nos resultados das rotinas empregadas. O trabalho investiga o passeio quântico unidimensional e sua implementação nos computadores quânticos da IBM. Comparamos os principais resultados do passeio clássico com o passeio quântico, em especial foi investigado que o passeio quântico não apresenta uma distribuição de probabilidade normal à medida que o número de passos aumenta, resultado que é observado para o passeio clássico. Além disso, o desvio padrão do passeio quântico é proporcional ao número de passos n, enquanto o desvio padrão do passeio clássico é dado por √n. Através dos computadores quânticos da IBM foram realizados simulações, primeiramente de um passeio quântico de dois qubits e outra de um passeio quântico de três qubits. Os resultados para a simulação do passeio quântico de dois qubits indicam que a simulação efetuada em um computador quântico real obteve um bom desempenho apesar dos fatores de interferência e decoerência não serem desprezíveis. No entanto, os resultados para o passeio quântico de três qubits apresentaram muito ruído.
Estudamos o transporte quântico, via caminhadas quânticas de tempo contı́nuo (CTQWs), sobre diferentes redes complexas. Neste modelo, o transporte quântico pode ser completamente resolvido após determinados seus autovalores e autovetores associados à matriz de conectividade da rede. Para fins de comparação, também investigamos o transporte clássico através das caminhadas aleatórias de tempo contı́nuo (CTRWs). A técnica das caminhadas quânticas (QWs) é uma ferramenta poderosa na análise de fenômenos de transporte. Uma maneira de monitorar a eficiência do transporte quântico é através das probabilidades médias e exatas de retorno. Inicialmente, empregamos o modelo CTQW sobre estruturas multicamadas do tipo dendrímero (RMTDs). Para contornar efeitos de localização, decidimos empilhar várias redes dendrímero, umas sobre as outras, conectando-as através de ligações entre vértices vizinhos. Através do parâmetro de probabilidade p, adicionamos novas ligações (intraligações) entre vértices de mesma geração. Com probabilidade 1 − q, retiramos ligações (interligações) entre vértices de camadas vizinhas. O transporte quântico então é investigado através das combinações numéricas desses dois parâmetros. Para essas redes, uma escolha apropriada desses parâmetros fornece, em várias ordens de grandeza, uma eficiência maior. Encontramos algo interessante: a melhor eficiência do transporte é obtida para os seguintes valores: q ≈ 0.9 e p ≈ 0.9. Ou seja, o melhor transporte é obtido quando há a ausência de uma intra- e interligação. Na sequência, utilizamos o modelo CTQW sobre redes livres de escala generalizadas (GSFNs). Tais estruturas são uma mistura não trivial entre segmentos lineares e redes do tipo estrela. Enquanto ao transporte quântico sobre GSFNs, observamos uma alternância entre fortes efeitos de localização, devido aos segmentos de estrelas, e um bom espalhamento, devido aos segmentos lineares. Mostramos que o transporte quântico sobre GSFNs pode ser melhorado através da variação de dois parâmetros de modularidade: o grau máximo e o grau mı́nimo permitidos a todos os nós da rede. Identificamos a mesma eficiência quântica para diferentes combinações dos parâmetros de construção das redes, que estão relacionados à diferentes topologias.
Neste trabalho estudamos o comportamento da probabilidade de escape para caminhadas quânticas unidimensionais de tempo discreto com barreira absorvedora em diferentes posições da rede via método analítico e simulações numéricas. A partir de ambas as abordagens, observamos que a probabilidade de escape depende do estado interno inicial do caminhante (qubit) e da posição da barreira absorvedora. Em seguida, estudamos caminhadas quânticas desordenadas dinamicamente e estaticamente com uma barreira absorvedora, assumindo que para uma quantidade de passos de tempo muito grande, a probabilidade de escape média sobre várias caminhadas segue uma lei de potência com o tempo. Nesse contexto, obtemos que quando a barreira está muito próxima do caminhante, no geral, ele é totalmente absorvido pela barreira em taxas de tempo cada vez maiores na medida que o nível de desordem da caminhada aumenta, tornando-se muito semelhante ao comportamento clássico em alguns casos. Por outro lado, quando a barreira está bem afastada da origem, as taxas de absorção diminuem significativamente, ao ponto que a partícula escapa parcialmente ou totalmente da barreira absorvedora em alguns casos de desordem estática
Em nanomateriais, sólidos e átomos frios, uma das propriedades quânticas que se destacam, tanto fundamentalmente quanto do ponto de vista de futuras aplicações, é o emaranhamento quântico. Processos quânticos envolvendo estados emaranhados têm recebido grande atenção, tanto em computação, criptografa e teletransporte quânticos, quanto em áreas como nanofísica, nanobiologia e spintrônica. Emaranhamento também tem sido usado para caracterizar o fenômeno de localização em sistemas metálicos. Quando um metal é exposto à desordem, ou seja, a uma distribuição aleatória de impurezas, é possível que ocorra uma transição de fase quântica e o metal se torne um isolante. Essa transição metal-isolante induzida pela desordem é chamada de localização de Anderson, dada a localização do estado quântico do sistema. Estados quânticos localizados são identifcados por uma redução substancial do emaranhamento naquele regime de parâmetros em torno do valor crítico da transição. Além das várias formas de simular a desordem, podemos também explorar várias formas de trabalhar com o emaranhamento. Podemos obter o grau de emaranhamento via média artimética ou média geométrica e observar que ambos apresentam resultados diferentes nos fenômenos de transições de fase quânticas supracitados. Além disso, a forma de implementar a desordem também influencia no comportamento de tais fenômenos.
Computação quântica é uma área de grande desenvolvimento hoje em dia e isso traz uma necessidade para desenvolver hardware e software. Uma vez que o hardware disponível é muito pouco e o software precisa de ser testado, existe uma necessidade de uma boa plataforma para testar as soluções de software. Simular um computador quântico num computador clássico não é ideal, contudo é uma resposta viável a esta necessidade, para um pequeno número de qubits. Além disso, os computadores quânticos necessitam dos computadores clássicos de forma a criar um sistema real prático, isto apresenta-se como uma excelente oportunidade para testar técnicas de programação clássica para melhorar a programação quântica. Esta tese propõe o uso de programação clássica para melhorar a implementação de um algoritmo de adição modular usando transformadas de Fourier quânticas. Os principais objectivos deste trabalho são: simular um circuito quântico; testar um algoritmo quântico e compará-lo com o seu equivalente clássico; implementar o algoritmo de adição modular, usando as capacidades de aceleração de computação das transformadas de Fourier quânticas e optimizá-lo; Testar e implementar códigos quânticos de correcção de erros; fazer um teste num computador quântico real.De forma a testar a linguagem e comparar um algoritmo quântico com um clássico, fez-se um teste ao algoritmo de Shor que está disponível de raiz na plataforma liquid. Apesar do algoritmo de Shor ter, teoricamente, uma dependência de tipo polinomial com a dimensão do problema, os testes realizados mostraram que o tempo de computação tem um comportamento exponencial. Simular um algoritmo quântico num computador clássico requer tempo de computação que cresce de forma exponencial, pois é necessário armazenar e processar todos os estados do sistema, que é um espaço de Hilbert de dimensão 2^n.O algoritmo de adição modular usando transformadas de Fourier quânticas foi implementado na plataforma liquid. Seguidamente fizeram-se melhorias e optimizações. O número de operações teórico é O(n^2). Contudo, depois de fazer melhorias ao circuito, removendo gates desnecessárias para casos específicos, o número de operações passa a ter um valor mínimo de Omega(n). Com este tipo de alterações o sistema pode apresentar melhorias no que respeito ao tempo de simulação até um factor de ordem 10. Isto mostra que programar um algoritmo quântico tendo em conta casos específicos pode melhorar imenso o desempenho da simulação.Os códigos de correção de erros quânticos foram implementados num circuito simples, com as ferramentas disponíveis na plataforma liquid, e obteve-se um sistema que consegue lidar com erros com probabilidade inferior ou igual a 2%, com uma taxa de sucesso na sua correção de 95%. Contudo são necessários circuitos muito grandes, pouco exequíveis.A plataforma disponibilizada pela IBM para fazer testes num computador quântico real, foi utilizada para testar o algoritmo de adição modular e adição normal (com carry bit). Uma vez que esta plataforma tem um número limitado de gates, reforça a ideia de que se deve otimizar os algoritmos tendo em conta casos particulares. Os resultados destes testes mostram também que é importante utilizar correcção de erros quânticos, mas para que isso seja viável é necessário que haja mais qubits disponíveis ou outro tipo de códigos.