A computação quântica é um modelo computacional baseado nas leis da mecânica quântica, que pode ser utilizado para desenvolver algoritmos mais eficientes que seus correspondentes clássicos. O desenvolvimento de algoritmos quânticos eficientes, no entanto, é uma tarefa altamente desafiadora. Uma abordagem recente que vem se mostrando bem-sucedida é a utilização de caminhadas quânticas. Neste trabalho, estudamos a caminhada quântica no hipercubo, calculando analiticamente sua distribuição estacionária e analisando propriedades de seu mixing time, tanto na situação ideal como na situação com descoerência gerada por ligações interrompidas. Também estudamos a caminhada na malha bidimensional, calculando sua distribuição estacionária analiticamente e explorando a relação entre o mixing time e a complexidade do algoritmo de busca nesse grafo. Desenvolvemos uma ferramenta computacional para simulação numérica de caminhadas quânticas em malhas uni- e bidimensionais com diversas condições de contorno. Finalmente, estudamos alguns algoritmos de busca em grafos e analisamos numericamente o impacto que a descoerência exerce sobre seus desempenhos.
A computação quântica é um modelo computacional baseado nas leis da mecânica quântica, que pode ser utilizado para desenvolver algoritmos mais eficientes que seus correspondentes clássicos. O desenvolvimento de algoritmos quânticos eficientes, no entanto, é uma tarefa altamente desafiadora. Uma abordagem recente que vem se mostrando bem-sucedida é a utilização de caminhadas quânticas. Neste trabalho, estudamos a caminhada quântica no hipercubo, calculando analiticamente sua distribuição estacionária e analisando propriedades de seu mixing time, tanto na situação ideal como na situação com descoerência gerada por ligações interrompidas. Também estudamos a caminhada na malha bidimensional, calculando sua distribuição estacionária analiticamente e explorando a relação entre o mixing time e a complexidade do algoritmo de busca nesse grafo. Desenvolvemos uma ferramenta computacional para simulação numérica de caminhadas quânticas em malhas uni- e bidimensionais com diversas condições de contorno. Finalmente, estudamos alguns algoritmos de busca em grafos e analisamos numericamente o impacto que a descoerência exerce sobre seus desempenhos.
O desenvolvimento de algoritmos quânticos não é uma tarefa trivial. Elementos como emaranhamento e paralelismo quântico, intrínsecos à computação quântica, dificultam esta tarefa. As caminhadas quânticas são ferramentas cruciais para o desenvolvimento de algoritmos, principalmente algoritmos de busca. Existem na literatura vários tipos de caminhadas: com lançamento de moeda, de Szegedy, utilizando tesselagem (agrupamento de vértices) e a caminhada a tempo contínuo. Para extrair dados estatísticos de uma determinada caminhada quântica, necessitamos fazer sua simulação. Neste trabalho, desenvolvemos o simulador Hiperwalk, um novo simulador de caminhadas quânticas, em grafos de uma e duas dimensões para as caminhadas com moeda e sem moeda utilizando tesselagem. O Hiperwalk permite ao usuário efetuar simulações de caminhadas quânticas em grafos utilizando processamento de alto desempenho, mesmo que o usuário não saiba programação paralela. O usuário pode empregar os dispositivos de paralelismo como CPU, GPGPU e co-processadores para acelerar o processo geral da caminhada.
Caminhos aleatórios clássicos são essenciais para a Física, a Matemática, a Ciência da Computação e muitas outras áreas. Há uma grande expectativa que a sua versão quântica seja ainda mais poderosa, uma vez que o caminhante quântico se espalha quadraticamente mais rápido que o seu análogo clássico. Neste trabalho, estudamos o comportamento do caminhante quântico em uma e duas dimensões, além de generalizarmos o formalismo de ligações interrompidas para duas ou mais dimensões. Em uma dimensão, analisamos o comportamento do caminhante quântico, que além das duas possibilidades de deslocamento usuais, direita e esquerda, também permanece na posição atual. Em duas dimensões, apresentamos um estudo detalhado do comportamento do caminhante no plano e quando há descoerência gerada pela quebra aleatória das ligações para as posições vizinhas com uma certa probabilidade para cada uma das direções. Quando essa probabilidade de quebra é diferente nas duas direções encontramos um resultado não trivial que representa uma transição do caso 2-D descorente para o caso 1-D coerente. Também utilizamos o formalismo de ligações interrompidas para modelar o comportamento de um caminhante quântico que passa por uma e por duas fendas. Realizamos simulações com com as principais moedas e observamos conclusivamente os padrões de interferência e difração.
A Computação Quântica é um tópico relativamente recente e pouco conhecido, principalmente no meio da Computação.Seu estudo surgiu na tentativa de físicos simularem sistemas regidos pela Mecânica Quântica por computadores clássicos, o que se conjecturou inviável.Portanto, um novo modelo computacional que utiliza a estrutura quântica da matéria para computar foi teorizado para suprir estas deficiências.Este trabalho tem como objetivo principal estudar as influências da Computação Quântica na Teoria da Computação.Para atingir tal objetivo, primeiramente são expostos os conhecimentos básicos da Mecânica Quântica através de uma linguagem voltada para Teóricos de Computação sem conhecimento prévio na área, de forma a remover a barreira inicial sobre o tema.Em seguida, serão apresentadas inovações na área da Teoria de Computação oriundas da Computação Quântica.Começaremos com os principais Algoritmos Quânticos desenvolvidos até hoje, que foram os primeiros passos para demonstrar a possível superioridade computacional do novo modelo.Dentre estes algoritmos, apresentaremos o famoso Algoritmo de Shor, que fatora números em tempo polinomial.Adicionalmente, neste trabalho foram estudados tópicos mais avançados e atuais em Computabilidade e Complexidade Quânticas.Sobre Autômatos Quânticos, foram estudados aspectos de um modelo que mistura estados clássicos e quânticos, focando na comparação do poder computacional em relação aos Autômatos Finitos Clássicos.Do ponto de vista de Classes de Complexidade, será abordada a questão se em linguagens da classe QMA, o análogo quântico da classe NP, consegue-se atingir probabilidade de erro nulo na aceitação de instâncias positivas.
Algoritmos baseadas no controle de estados quânticos, ou simplesmentealgoritmos quânticos, oferecem um ganho exponencial de eficiência em relação àalgoritmos clássicos equivalentes. No entanto, a implementação experimental destesalgoritmos esbarra em um grande obstáculo: a descoerência. Resultante da interação dosistema de interesse com o ambiente externo, a descoerência dificulta o controle deestados quânticos e a realização das operações que compõem os algoritmos. Adescoerência leva os estados a perderem gradualmente seu caráter quântico e,consequentemente, sua utilidade em computação quântica fica comprometida. Paracompreender a descoerência, diversos modelos têm sido propostos. O mais geral requera análise da interação entre o sistema e o ambiente, mas existem outros modelos de maisfácil implementação, como os modelos de operadores-soma. Neste trabalho, utilizamoso método de operador-soma para estudar descoerência em caminhadas quânticas sobregrafos, buscando compreender os efeitos da descoerência sobre a distribuição deprobabilidade e, consequentemente, sobre a eficiência de algoritmos quânticos baseadosem caminhadas quânticas (SHENVI, 2003).Neste trabalho, o objetivo principal é analisar os efeitos da descoerência emcaminhadas quânticas sobre grafos. Com este estudo, poderemos analisar diretamente oefeito da descoerência sobre a eficiência de algoritmos quânticos baseados emcaminhadas quânticas.
A teoria dos algoritmos quânticos promete benefícios sem precedentes ao utilizar as leis da mecânica quântica para resolver certos problemas computacionais. Entretanto, alguns desafios impedem que tais vantagens se apliquem a todos os algoritmos quânticos. Entre esses desafios está o desenvolvimento de uma codificação eficiente de dados clássicos em um estado quântico. Em aplicações práticas, o custo para carregar a informação clássica em um dispositivo quân- tico pode dominar o custo computacional assintótico do algoritmo. Foram propostos diversos métodos baseados em circuitos para codificar dados clássicos nas amplitudes de probabilidade de um estado quântico. Entretanto, esses métodos produzem circuitos com complexidade que cresce linearmente com o tamanho do dado, anulando o benefício da aplicação quântica. O objetivo principal deste trabalho é reduzir a complexidade computacional dos circuitos para a inicialização de estados quânticos. As duas estratégias utilizadas para alcançar tal objetivo exploram a troca de complexidade temporal por espacial ou a transferência de complexidade computacional para um computador clássico. A primeira estratégia reinterpreta métodos al- gébricos para a decomposição de estados quânticos como caminhadas ao longo de árvores binárias. A segunda investiga o grau de emaranhamento de bipartições do estado quântico através da decomposição de Schmidt. Os métodos baseados em árvore alcançam uma redução exponencial na profundidade dos circuitos, em comparação às abordagens existentes. Os base- ados na decomposição de Schmidt produzem circuitos de complexidade variável, proporcional ao emaranhamento do estado. A perspectiva é que o resultado desta tese auxilie os profissionais da computação quântica durante a era dos dispositivos ruidosos de escala intermediária.
Neste trabalho, apresentamos o uso de computadores quânticos para implementar, ini- cialmente, passeios quânticos em tempo discreto. Para esse propósito, empregamos o modelo de passeios quânticos escalonados (SQW, na sigla em inglês) em ciclos de 8 e 16 vértices, visando alcançar taxas com a maior fidelidade possível. Além disso, demonstramos resultados para um problema de busca espacial e para uma malha bidimensional. Exibimos resultados para passeios quânticos a tempo discreto. Ademais, a decomposição de portas multicontroladas em portas elementares de qubits demonstra uma estratégia pragmática para a mitigação de erros, contribuindo significativamente para a confiabilidade e reprodu- tibilidade de nossos resultados em computação quântica. Essa abordagem meticulosa é crucial, especialmente ao lidar com algoritmos quânticos complexos nos quais a precisão é fundamental. Utilizando metodologia semelhante, também implementamos passeios quânticos em tempo contínuo para três casos: grafo completo, grafo bipartido completo e hipercubo. Além disso, realizamos uma comparação entre os resultados obtidos pelo simulador quântico e pelo computador quântico em todos os casos. Nosso estudo não apenas contribui para o crescente corpo de pesquisa em algoritmos quânticos, mas também destaca a importância da otimização cuidadosa em nível de portas para a computação quântica prática. À medida que as tecnologias quânticas continuam a avançar, essas descobertas abrem caminho para o desenvolvimento de algoritmos quânticos mais robustos e eficientes com aplicações no mundo real.