Työssä on tutkittu kvanttipisteitä Monte Carlo -menetelmää käyttäen. Kvanttipiste koostuu pienestä määrästä vuorovaikuttavia elektroneita voimakkaassa magneettikentässä sekä parabolisessa potentiaalissa. Magneettikentän voimakkuus oletetaan tarpeeksi suureksi, jotta systeemiä voidaan tarkastella alimmalla Landaun tasolla, sekä Zeeman-kytkentä tarpeeksi voimakkaaksi, jotta elektronit ovat spin-polarisoituneita. Hamiltonin operaattori on diagonalisoitu kvantti-Monte Carlo -menetelmää käyttäen. Näin on saatu selville sekä perustilat että viritetyt tilat lisäkulmaliikemäärän arvoille, jotka systeemin koosta riippuen ulottuvat noin 15:een. Vertailu eksakteihin tuloksiin vahvistaa, että Monte Carlo -menetelmään perustuva diagonalisointi antaa tarkkoja tuloksia. Lopuksi edellä mainittuja tuloksia on käytetty komposiittifermionikuvan testaamiseen kvanttipisteissä. Komposiittifermionien aaltofunktiot on määritetty lukuisille kompakteille tiloille sekä laskettu näiden peittointegraalit diagonalisoitujen tilojen suhteen.
Työssä on tutkittu kvanttipisteitä Monte Carlo -menetelmää käyttäen. Kvanttipiste koostuu pienestä määrästä vuorovaikuttavia elektroneita voimakkaassa magneettikentässä sekä parabolisessa potentiaalissa. Magneettikentän voimakkuus oletetaan tarpeeksi suureksi, jotta systeemiä voidaan tarkastella alimmalla Landaun tasolla, sekä Zeeman-kytkentä tarpeeksi voimakkaaksi, jotta elektronit ovat spin-polarisoituneita. Hamiltonin operaattori on diagonalisoitu kvantti-Monte Carlo -menetelmää käyttäen. Näin on saatu selville sekä perustilat että viritetyt tilat lisäkulmaliikemäärän arvoille, jotka systeemin koosta riippuen ulottuvat noin 15:een. Vertailu eksakteihin tuloksiin vahvistaa, että Monte Carlo -menetelmään perustuva diagonalisointi antaa tarkkoja tuloksia. Lopuksi edellä mainittuja tuloksia on käytetty komposiittifermionikuvan testaamiseen kvanttipisteissä. Komposiittifermionien aaltofunktiot on määritetty lukuisille kompakteille tiloille sekä laskettu näiden peittointegraalit diagonalisoitujen tilojen suhteen.
Mesoskooppiset yhden elektronin laitteet ovat kooltaan pieniä sähköpiirejä, joissa voidaan havaita kvanttimekaanisia ilmiöitä. Eräs tällainen ilmiö on Landau-Zener tunneloituminen, jossa systeemin tila muuttuu hyppäyksenomaisesti yhdestä energiatilasta toiseen. Tunneloitumisen edellytyksenä on, että systeemin tilat hetkellisesti koskettavat toisiaan. Mikäli kosketuskohta ohitetaan useita kertoja peräkkäin ja systeemi säilyttää kvanttimekaanisen koherenssin, voidaan tunnelointumistodennäköisyydessä havaita interferenssin kaltaista voimistumista tai heikkenemistä. Interferenssin aiheuttama suure on tässä tapauksessa aaltofunktion komponenttien välinen dynaaminen vaihe-ero. Tässä työssä olen tutkinut Landau-Zener tunneloitumista kvanttimekaanisessa kahden tilan systeemissä (KTS), jonka muodostaa yhden Cooperin-parin transistori. Työn lähtökohtana on kaksi koetta, joissa KTS on liitetty osaksi sähköistä värähtelypiiriä. Systeemin tila määritetään tarkkailemalla sen vastetta ulkoiseen korkeataajuiseen jännitesignaaliin. Havainnointi perustuu siihen, että transistorin energiatasojen kaarevuus voidaan liittää epälineaariseen kapasitanssiin tai induktanssiin riippuen siitä, tarkastellaanko vastetta varauksen vai magneettivuon suhteen. Kun tunneloitumisen yhteydessä energiatasojen miehitys muuttuu, muuttuu myös systeemin havaittava efektiivinen reaktanssi ja siten värähtelypiirin resonanssitaajuus. Tämä puolestaan aiheuttaa muutoksen värähtelypiiristä heijastuneen mittaussignaalin amplitudissa ja vaiheessa. Kokeelliset tulokset pyrin selittämään mallintamalla systeemin aikakehitystä numeerisella tietokonesimulaatiolla. Tekemällä muunnos spin-1/2 notaatioon ongelma yksinkertaistuu joukoksi kytkettyjä differentiaaliyhtälöitä, jotka tunnetaan Blochin yhtälöinä. Toisin kuin Schrödingerin yhtälö, Blochin yhtälöt mahdollistavat yksinkertaisen häviöiden kuvaamisen KTS:n aikakehityksessä spin-bosoni-mallin avulla. Kun simulaatiotulos yhdistetään lineaarisen vasteen malliin, saadaan hyvä yhteensopivuus kokeellisten ja teoreettisten tulosten välille. Mallin avulla pystytään ennustamaan mm. transistorin kvanttikapasitanssin ja -induktanssin arvo, interferenssipiikkien paikat, ac-Stark siirtymän suuruus sekä systeemin dekoherenssiajan arvioksi noin 1 ns. Lisäksi malli mahdollistaa harmonisen oskillaattorin ja KTS:n välisen vuorovaikutuksen kuvaamisen ja antaa tavan havaita harmonisen oskillaattorin kvanttimekaanisia tiloja.
Tutkielman aluksi kerrataan kvanttiteorian perusteet. Tämän jälkeen annetaan yksinkertaiset esimerkit diskreeteistä ja ääretönulotteisista systeemeistä ja niiden matematiikasta. Ääretönulotteisille systeemeille muodostetaan jatkuva faasiavaruusformalismi käyttäen Lien algebrojen ja ryhmien teoriaa. Määritellään gaussiset tilat ja tarkastellaan niiden vahvuuksia ja heikkouksia faasiavaruusformalismin sekä kvanttiinformaation sovelluksien kannalta. Johdetaan Wignerin funktio usealle esimerkille sekä käydään läpi Williamsonin ja Blochin-Messiahin matriisihajotelmat ja niiden merkitys gaussisiin tiloihin ja -operaatioihin liittyen. Määritellään ei-gaussiset tilat ja esitellään joitain niiden karakterisointiin käytettyjä mittoja ja tilojen kvanttiresursseja. Esimerkkien kautta tarkastellaan miten fotoneja lisäämällä tai poistamalla gaussisesta tilasta voidaan saavutaa Wignerin funktion negatiivisuutta omaava ei-gaussinen tila. Lisättyjen ja poistettujen fotonien tiloja tutkitaan tarkemmin käyttäen apuna Wickin todennäköisyyslausetta ja graa_teoriaa. Selvitetään miten näiden tilojen operaattorimomenttien laskeminen voidaan antaa graa_n hafnianin muodossa. Tunnistetaan yhteys hafnianin laskemiseen liittyvän uniikkien termien määrän osaongelman ja graa_en nimeämisiin liittyvien ongelmien välillä. Lopuksi tehdään yhteenveto käsitellyistä aiheista ja pohditaan miten esiin tulleet asiat ja käytetty matematiikka voisivat vaikuttaa jatkossa kvanttialgoritmien kehitykseen.
Kvanttimekaniikka edustaa tämänhetkistä parasta tietoa siitä, kuinka luonto toimii. Se on erityisen tärkeää elektronirakennelaskennassa, jossa klassinen mekaniikka ei enää toimi. Vaikka teoria on hyvin tunnettu, ainoastaan pieni joukko ongelmia voidaan ratkaista eksaktisti, minkä vuoksi joudutaan turvautumaan approksimaatioihin ja numeerisiin menetelmiin. \n \nFeymanin polkuintegraalimuotoilu tarjoaa intuitiivisen lähestymistavan epärelativistiseen kvanttimekaniikkaan. Sen pohjana ovat paikka ja aika, ja siihen monen kappaleen kvantti-ilmiöt sisältyvät läpinäkyvästi. Kun kyseessä on formalismi, joka perustuu moniulotteisiin integraaleihin, tehokkaat Monte Carlo tekniikat tarjoavat luonnollisen keinon numeeriseen laskentaan. Tässä väitöskirjassa esitetään uusi menetelmä siihen, kuinka polkuintegraaliformalismia voidaan käyttää kvanttihiukkasten dynamiikan ja tilojen simulointiin, jopa elektroneille. \n \nEnsiksi annetaan lyhyt johdanto polkuintegraaleihin ja Monte Carlo -simulointeihin. Suuri osa tästä teoriasta löytyy kvanttimekaniikan oppikirjoista, mutta se on sisällytetty tähän, jotta tämä työ voisi toimia itsenäisenä alustuksena kenelle tahansa, joka on kiinnostunut polkuintegraalisimuloinneista. Seuraavaksi tarkastellaan imaginääriajan menetelmiä, jotka ovat osoittautuneet menestyksellisiksi tehtäessä statis- tisen fysiikan simulaatioita monen kappaleen kvanttisysteemille. Sitten paneudutaan reaaliajan polkuintegraalien haasteisiin ja esitellään uudet menetelmät neljästä alkuperaisestä julkaisusta ja demonstroidaan niiden käyttöä. \n \nSeuraavaksi tarkastellaan reaaliajan polkuintegraalimenetelmiin liittyviä ongelmia ja esitetään joitakin keinoja näiden ratkaisemiseksi, sellaisia kuten aaltofunktion oh- jaama otanta ja "levennetty walker" propagaattorin parantamiseksi. "Epäkoherentti propagaatio" esitellään uudenlaisena menetelmänä stationääristen ominaistilojen etsimiseksi. Tämän avulla voidaan etsiä myös viritystiloja, toisin kuin tavanomaisil- la kvantti-Monte Carlo -menetelmillä. Esiteltyjä tekniikoita sovelletaan Hooken atomiin, vahvan korrelaation systeemin, joka on haastava perinteisille lähestymistavoille. Perustilan ja alimpien viritystilojen simuloinnit antavat erinomaiset tulokset tilojen energioille. Myös koherenttia dynamiikkaa simuloidaan ajasta riippuvassa sähkökentässä. Sitten esitellään kuinka perinteinen diffuusio-Monte Carlo -menetelmä ja epäkoherentti propagaatio voidaan yhdistää. \n \nReaaliajan polkuintegraalilaskuja vaivaa positiivisen jakautumafunktion puuttuminen. Tämän ongelman lieventämiseksi esitellään uudenlainen reaaliajan propagaattorin todennäköisyystulkinta ja menetelmä, jota kutsutaan “reaaliajan diffuusio- Monte Carlo -menetelmäksi”. Tätä menetelmää demonstroidaan simuloimalla yksiulotteisen harmonisen oskillaattorin aikaevoluutiolla ja etsitään viritystiloja käyttäen epäkoherenttia propagaatiota.
Kvanttimekaniikan teoriassa suljettuja, ympäristöstään eristettyjä systeemejä koskevat tulokset ovat hyvin tunnettuja. Eräs tärkeä erityispiirre tällaisille systeemeille on, että niiden aikakehitys on unitaarista. Oletus siitä, että systeemi on suljettu, on osaltaan tietysti vain yksinkertaistus. Käytännössä kaikki kvanttimekaaniset systeemit vuorovaikuttavat ympäristönsä kanssa ja tästä johtuen niiden dynamiikka monimutkaistuu oleellisesti. Kuitenkin tietyissä tapauksissa systeemin aikakehitys voidaan ratkaista, ainakin approksimatiivisesti. Tärkeimpinä esimerkkeinä on ympäristön joko nopea tai erittäin hidas muutos kvanttisysteemin ominaiseen aikaskaalaan verrattuna. Näistä erityisesti jälkimmäinen on käyttökelpoinen oletus monissa fysikaalisissa tilanteissa. Tällöin voidaan suorittaa niin sanottu adiabaattinen approksimaatio. Sen mukaan systeemi, joka on aikakehityksen generoivan Hamiltonin operaattorin ominaistilassa, pysyy vastaavassa ominaistilassa ympäristön muuttuessa äärettömän hitaasti, mikäli systeemin eri energiatasot eivät leikkaa toisiaan. Todellisissa tilanteissa muutos ei tietenkään voi olla äärettömän hidasta ja myös energiatasojen leikkaukset ovat mahdollisia, jolloin tapahtuu transitio eri ominaistilojen välillä. Energiatasojen leikkauksilla on oleellisia vaikutuksia erittäin monissa fysikaalisissa prosesseissa ja niitä kuvaamaan on luotu monia malleja kvanttimekaniikan alkuajoista lähtien aina tähän päivään saakka. Nykyinen teknologinen kehitys on avannut uudenlaisen mahdollisuuden ilmiön kokeelliseen varmentamiseen ja hyödyntämiseen. Tämän vuoksi kyseisten mallien dynamiikan ja erityisesti energiatasojen useiden peräkkäisten leikkausten aiheuttamien koherenssi-ilmiöiden selvittäminen on tärkeää. Tässä työssä käsitellään kvanttimekaanisia kaksitasosysteemejä, joissa esiintyy energiatasojen leikkauksia sekä niiden pitkän aikavälin dynamiikkaa. Tutkielmassa perehdytään tarkemmin kahteen tiettyyn malliin. Näistä ensimmäinen, Landau-Zener -malli, on tunnetuin ja sovelluksissa käytetyin malli. Kuitenkin erityisen mielenkiinnon kohteena on niin kutsuttu parabolinen malli, jolle johdetaan eri approksimaatioita käyttäen asymptoottiset transitiotodennäköisyydet eri tilojen välille. Näitä verrataan numeerisiin tuloksiin.
TiivistelmäTutkimuksen avulla selvitettiin, mitä malleja opettajat ja opettajaopiskelijat käyttävät selittäessään kvantti-ilmiöitä ja -olioita Joensuun fysiikan ja matematiikan laitoksen fysiikan opettajalinjan syventäviin opintoihin kuuluvan Modernia fysiikkaa opettajille -kurssin aikana.Käsiteltyjä kvantti-ilmiöitä ovat mustan kappaleen säteily sekä valosähköinen ja Comptonin ilmiö; kvanttiolioista tarkastellaan elektronia ja fotonia.Lisäksi tutkittiin, miten osallistujat kokevat kurssin ja käytetyn tavanomaisista yliopistofysiikan opetusmenetelmistä poikkeavan, osallistujien ennakkotietoa hyödyntäville tehtäville rakentuvan opetuksen lähestymistavan.Modernia fysiikka opettajille -kurssi toteutettiin tutkimuksen aikana kahdesti.Ensimmäiselle kurssille osallistuneista kahdeksasta opiskelijasta seitsemän opiskeli fysiikkaa ja yksi matematiikkaa pääaineenaan.Kurssi toteutettiin kontaktiopetuksena, jossa luentoja ja harjoituksia oli kuusi viikkotuntia yhdeksän viikon ajan.Toisen kurssin osallistujat olivat fysiikan pätevöittämiskoulutuksessa opiskelevia työssä olevia aineenopettajia.Opetus järjestettiin monimuoto-opetuksena, joka koostui kuukausittaisesta neljän tunnin lähiopetuksesta sekä etäopiskelusta.Kaikkineen kurssi kesti yhdeksän kuukautta.Tutkija toimi molempien kurssien opettajana.Tutkimustehtävän vastaukset muodostettiin tapaustutkimuksen tutkimustraditiota hyödyntävästi.Olihan tutkimuksen tavoitteena aineenopettajien ja opettajaopiskelijoiden kvanttifysiikan oppimisprosessien syvällinen ymmärtäminen.Tutkimuksessa raportoidaan kahden tapausopiskelijan ja kahden tapausopettajan oppimisprosessit.Näitä lähtökohdiltaan erilaisia tapausoppijoita haastateltiin 4-5 kertaa kurssin aikana, minkä lisäksi he osallistuivat esi-ja lopputesteihin.Aineiston analysointia varten audio-ja videonauhoitetut haastattelut digitoitiin ja litteroitiin.Oppijoiden esille tuomien käsitysten ja mallien analysointi suoritettiin fysiikan näkökulmasta käsin.Muodostetut tulokset osoittavat, että tutkimuksen kohteena olleet henkilöt eivät käyttäneet jäsentyneesti ja johdonmukaisesti tieteellisiä malleja.Usein oppijoiden kvantti-ilmiöiden ja -olioiden kuvaamiseen käyttämät mallit muodostuivat useiden erillisten mallien ominaisuuksista: mallit olivat niin sanottuja hybridimalleja.Erityisesti ongelmana vaikutti olevan klassisten ja kvanttimallien sekoittuminen, joten oppijoiden esittämien mallien voidaan sanoa olevan eriytymättömiä.Mallin soveltamisen vaikeudet saattoivat johtua mallin ja todellisuuden välisen suhteen ymmärtämisen ongelmista, ja myös mallista kohteeseen siirtyvien ominaisuuksien hahmottaminen osoittautui erääksi kvanttifysiikan oppimisen ongelmakohdaksi.Lisäksi oppijan aiemman klassisen ja kvanttifysiikan tiedon epäkoherenssi vaikeutti uuden tiedon omaksumista.Toimimattomista malleista tai periaatteista luopuminen näyttää olevan oppijalle vaativa prosessi, joka vaatii oppijalta omien mallien metatason tarkastelua.Aineenopettajien ja opettajaopiskelijoiden suhtautuminen kurssiin ja sen menetelmiin oli pääosin myönteistä.Opettajilta tehtävien varaan rakentuva opetus sai sekä kiitosta että moitetta: opetusmenetelmän koettiin positiivisessa mielessä pakottavan perehtymään opiskeltaviin aiheisiin, mutta se koettiin myös työlääksi.Sekä opettajat että opiskelijat korostivat omakohtaisen pohtimisen tärkeyttä kurssin aiheiden oppimisessa.Opettajaopiskelijat arvostivat myös opetuksen vaihtelevuutta.Tulokset osoittavat, että fysiikan opettajaopinnoissa ja täydennyskoulutuksessa on todellinen kvanttifysiikan erikoiskurssin tarve.Tutkimukseen osallistuneiden opettajaopiskelijoiden ja aineenopettajien kvantti-ilmiöiden ja -käsitteiden hallinta oli vaatimatonta tasoa aiempien, perinteisten kvanttifysiikan kurssien jälkeen, mutta se parani selvästi kurssilla.Tutkimuksen tulokset myös muistuttavat oppijoiden ennakkotiedon huomioimisen tärkeydestä opetuksessa.Fysiikan opintojensa loppuvaiheessa olevilla opiskelijoilla kuten myös kokeneilla opettajilla voi esiintyä tieteellisen näkemyksen vastaisia käsityksiä.Myös heidän aiempi sisältöä koskeva tietonsa voi olla puutteellista.Tutkimuksen mukaan myös vaikeana pidetyn kvanttifysiikan opetuksessa on mahdollista päästä hyviin oppimistuloksiin lähtemällä liikkeelle oppijoiden ennakkotiedoista, tukemalla oppijoiden metakognitiivisten taitojen kehittymistä ja huomioimalla fysiikan malliluonne.Mainittuja tekijöitä voidaan pitää myös yleisinä laadukkaan fysiikan opetuksen kulmakivinä.
Kvanttilaskennan kehittyminen haastaa merkittävästi nykyisiä salausmenetelmiä. Nykyisten menetelmien turvallisuus perustuu matemaattisiin ongelmiin, jotka ovat perinteisillä tietokoneilla erittäin vaikeita ratkaista. Erityisen haavoittuvia ovat julkisen avaimen salausmenetelmät, kuten RSA ja elliptisiin käyriin perustuva salaus. Näiden turvallisuus heikkenee merkittävästi, mikäli tehokkaat kvanttialgoritmit toteutuvat laajamittaisilla ja virheenkorjatuilla kvanttijärjestelmillä. Tämän kandidaatintutkielman tavoitteena on tarkastella kvanttilaskennan vaikutuksia klassisiin salausmenetelmiin sekä analysoida, millaisia kvanttiturvallisia ratkaisuja tutkimuskirjallisuus esittää. Tutkimus toteutettiin systemaattisesti tehtynä kirjallisuuskatsauksena, jota ohjasi temaattinen analyysi. Aineisto jäsennettiin kolmen keskeisen teeman mukaisesti: kvanttilaskennan aiheuttamat kryptografiset uhat, kvanttiturvallisten salausratkaisujen kehitys sekä soveltavat ympäristöt kuten IoT-laitteet ja kriittiset infrastruktuurit. Tulokset osoittavat, että epäsymmetriset salausmenetelmät ovat erityisen alttiita kvanttiuhille. Symmetrinen salaus voidaan sen sijaan säilyttää turvallisena kasvattamalla avainpituuksia. Ristikkorakenteisiin perustuvat algoritmit, kuten Kyber ja Dilithium, nousevat keskeisiksi kvanttiturvallisiksi vaihtoehdoiksi. Kvanttiavainten jako tarjoaa fyysisesti suojatun viestintätavan, mutta sen sovellettavuus on toistaiseksi rajattua. Pitkän elinkaaren järjestelmät, kuten teolliset verkot ja sulautetut laitteet, ovat erityisen haavoittuvia niin kutsutuille tallenna nyt, pura myöhemmin -hyökkäyksille. Kokonaisuutena tutkielma osoittaa, että kvanttilaskenta muuttaa kryptografian turvallisuusolettamuksia ja korostaa ennakoivan riskienhallinnan merkitystä tulevaisuuden tietoturvassa.