Kvanttimekaniikka edustaa tämänhetkistä parasta tietoa siitä, kuinka luonto toimii. Se on erityisen tärkeää elektronirakennelaskennassa, jossa klassinen mekaniikka ei enää toimi. Vaikka teoria on hyvin tunnettu, ainoastaan pieni joukko ongelmia voidaan ratkaista eksaktisti, minkä vuoksi joudutaan turvautumaan approksimaatioihin ja numeerisiin menetelmiin. \n \nFeymanin polkuintegraalimuotoilu tarjoaa intuitiivisen lähestymistavan epärelativistiseen kvanttimekaniikkaan. Sen pohjana ovat paikka ja aika, ja siihen monen kappaleen kvantti-ilmiöt sisältyvät läpinäkyvästi. Kun kyseessä on formalismi, joka perustuu moniulotteisiin integraaleihin, tehokkaat Monte Carlo tekniikat tarjoavat luonnollisen keinon numeeriseen laskentaan. Tässä väitöskirjassa esitetään uusi menetelmä siihen, kuinka polkuintegraaliformalismia voidaan käyttää kvanttihiukkasten dynamiikan ja tilojen simulointiin, jopa elektroneille. \n \nEnsiksi annetaan lyhyt johdanto polkuintegraaleihin ja Monte Carlo -simulointeihin. Suuri osa tästä teoriasta löytyy kvanttimekaniikan oppikirjoista, mutta se on sisällytetty tähän, jotta tämä työ voisi toimia itsenäisenä alustuksena kenelle tahansa, joka on kiinnostunut polkuintegraalisimuloinneista. Seuraavaksi tarkastellaan imaginääriajan menetelmiä, jotka ovat osoittautuneet menestyksellisiksi tehtäessä statis- tisen fysiikan simulaatioita monen kappaleen kvanttisysteemille. Sitten paneudutaan reaaliajan polkuintegraalien haasteisiin ja esitellään uudet menetelmät neljästä alkuperaisestä julkaisusta ja demonstroidaan niiden käyttöä. \n \nSeuraavaksi tarkastellaan reaaliajan polkuintegraalimenetelmiin liittyviä ongelmia ja esitetään joitakin keinoja näiden ratkaisemiseksi, sellaisia kuten aaltofunktion oh- jaama otanta ja "levennetty walker" propagaattorin parantamiseksi. "Epäkoherentti propagaatio" esitellään uudenlaisena menetelmänä stationääristen ominaistilojen etsimiseksi. Tämän avulla voidaan etsiä myös viritystiloja, toisin kuin tavanomaisil- la kvantti-Monte Carlo -menetelmillä. Esiteltyjä tekniikoita sovelletaan Hooken atomiin, vahvan korrelaation systeemin, joka on haastava perinteisille lähestymistavoille. Perustilan ja alimpien viritystilojen simuloinnit antavat erinomaiset tulokset tilojen energioille. Myös koherenttia dynamiikkaa simuloidaan ajasta riippuvassa sähkökentässä. Sitten esitellään kuinka perinteinen diffuusio-Monte Carlo -menetelmä ja epäkoherentti propagaatio voidaan yhdistää. \n \nReaaliajan polkuintegraalilaskuja vaivaa positiivisen jakautumafunktion puuttuminen. Tämän ongelman lieventämiseksi esitellään uudenlainen reaaliajan propagaattorin todennäköisyystulkinta ja menetelmä, jota kutsutaan “reaaliajan diffuusio- Monte Carlo -menetelmäksi”. Tätä menetelmää demonstroidaan simuloimalla yksiulotteisen harmonisen oskillaattorin aikaevoluutiolla ja etsitään viritystiloja käyttäen epäkoherenttia propagaatiota.
Kvanttimekaniikka edustaa tämänhetkistä parasta tietoa siitä, kuinka luonto toimii. Se on erityisen tärkeää elektronirakennelaskennassa, jossa klassinen mekaniikka ei enää toimi. Vaikka teoria on hyvin tunnettu, ainoastaan pieni joukko ongelmia voidaan ratkaista eksaktisti, minkä vuoksi joudutaan turvautumaan approksimaatioihin ja numeerisiin menetelmiin. \n \nFeymanin polkuintegraalimuotoilu tarjoaa intuitiivisen lähestymistavan epärelativistiseen kvanttimekaniikkaan. Sen pohjana ovat paikka ja aika, ja siihen monen kappaleen kvantti-ilmiöt sisältyvät läpinäkyvästi. Kun kyseessä on formalismi, joka perustuu moniulotteisiin integraaleihin, tehokkaat Monte Carlo tekniikat tarjoavat luonnollisen keinon numeeriseen laskentaan. Tässä väitöskirjassa esitetään uusi menetelmä siihen, kuinka polkuintegraaliformalismia voidaan käyttää kvanttihiukkasten dynamiikan ja tilojen simulointiin, jopa elektroneille. \n \nEnsiksi annetaan lyhyt johdanto polkuintegraaleihin ja Monte Carlo -simulointeihin. Suuri osa tästä teoriasta löytyy kvanttimekaniikan oppikirjoista, mutta se on sisällytetty tähän, jotta tämä työ voisi toimia itsenäisenä alustuksena kenelle tahansa, joka on kiinnostunut polkuintegraalisimuloinneista. Seuraavaksi tarkastellaan imaginääriajan menetelmiä, jotka ovat osoittautuneet menestyksellisiksi tehtäessä statis- tisen fysiikan simulaatioita monen kappaleen kvanttisysteemille. Sitten paneudutaan reaaliajan polkuintegraalien haasteisiin ja esitellään uudet menetelmät neljästä alkuperaisestä julkaisusta ja demonstroidaan niiden käyttöä. \n \nSeuraavaksi tarkastellaan reaaliajan polkuintegraalimenetelmiin liittyviä ongelmia ja esitetään joitakin keinoja näiden ratkaisemiseksi, sellaisia kuten aaltofunktion oh- jaama otanta ja "levennetty walker" propagaattorin parantamiseksi. "Epäkoherentti propagaatio" esitellään uudenlaisena menetelmänä stationääristen ominaistilojen etsimiseksi. Tämän avulla voidaan etsiä myös viritystiloja, toisin kuin tavanomaisil- la kvantti-Monte Carlo -menetelmillä. Esiteltyjä tekniikoita sovelletaan Hooken atomiin, vahvan korrelaation systeemin, joka on haastava perinteisille lähestymistavoille. Perustilan ja alimpien viritystilojen simuloinnit antavat erinomaiset tulokset tilojen energioille. Myös koherenttia dynamiikkaa simuloidaan ajasta riippuvassa sähkökentässä. Sitten esitellään kuinka perinteinen diffuusio-Monte Carlo -menetelmä ja epäkoherentti propagaatio voidaan yhdistää. \n \nReaaliajan polkuintegraalilaskuja vaivaa positiivisen jakautumafunktion puuttuminen. Tämän ongelman lieventämiseksi esitellään uudenlainen reaaliajan propagaattorin todennäköisyystulkinta ja menetelmä, jota kutsutaan “reaaliajan diffuusio- Monte Carlo -menetelmäksi”. Tätä menetelmää demonstroidaan simuloimalla yksiulotteisen harmonisen oskillaattorin aikaevoluutiolla ja etsitään viritystiloja käyttäen epäkoherenttia propagaatiota.
Kvanttimekaniikan teoriassa suljettuja, ympäristöstään eristettyjä systeemejä koskevat tulokset ovat hyvin tunnettuja. Eräs tärkeä erityispiirre tällaisille systeemeille on, että niiden aikakehitys on unitaarista. Oletus siitä, että systeemi on suljettu, on osaltaan tietysti vain yksinkertaistus. Käytännössä kaikki kvanttimekaaniset systeemit vuorovaikuttavat ympäristönsä kanssa ja tästä johtuen niiden dynamiikka monimutkaistuu oleellisesti. Kuitenkin tietyissä tapauksissa systeemin aikakehitys voidaan ratkaista, ainakin approksimatiivisesti. Tärkeimpinä esimerkkeinä on ympäristön joko nopea tai erittäin hidas muutos kvanttisysteemin ominaiseen aikaskaalaan verrattuna. Näistä erityisesti jälkimmäinen on käyttökelpoinen oletus monissa fysikaalisissa tilanteissa. Tällöin voidaan suorittaa niin sanottu adiabaattinen approksimaatio. Sen mukaan systeemi, joka on aikakehityksen generoivan Hamiltonin operaattorin ominaistilassa, pysyy vastaavassa ominaistilassa ympäristön muuttuessa äärettömän hitaasti, mikäli systeemin eri energiatasot eivät leikkaa toisiaan. Todellisissa tilanteissa muutos ei tietenkään voi olla äärettömän hidasta ja myös energiatasojen leikkaukset ovat mahdollisia, jolloin tapahtuu transitio eri ominaistilojen välillä. Energiatasojen leikkauksilla on oleellisia vaikutuksia erittäin monissa fysikaalisissa prosesseissa ja niitä kuvaamaan on luotu monia malleja kvanttimekaniikan alkuajoista lähtien aina tähän päivään saakka. Nykyinen teknologinen kehitys on avannut uudenlaisen mahdollisuuden ilmiön kokeelliseen varmentamiseen ja hyödyntämiseen. Tämän vuoksi kyseisten mallien dynamiikan ja erityisesti energiatasojen useiden peräkkäisten leikkausten aiheuttamien koherenssi-ilmiöiden selvittäminen on tärkeää. Tässä työssä käsitellään kvanttimekaanisia kaksitasosysteemejä, joissa esiintyy energiatasojen leikkauksia sekä niiden pitkän aikavälin dynamiikkaa. Tutkielmassa perehdytään tarkemmin kahteen tiettyyn malliin. Näistä ensimmäinen, Landau-Zener -malli, on tunnetuin ja sovelluksissa käytetyin malli. Kuitenkin erityisen mielenkiinnon kohteena on niin kutsuttu parabolinen malli, jolle johdetaan eri approksimaatioita käyttäen asymptoottiset transitiotodennäköisyydet eri tilojen välille. Näitä verrataan numeerisiin tuloksiin.
Kvanttimekaniikan katsotaan yleisesti alkaneen vuonna 1936 julkaistusta, Garrett Birkhoffin ja John von Neumannin kirjoittamasta artikkelista The Logic of Quantum Mechanics. Kvanttilogiikka alana on kuitenkin liki kuollut, jos vertaamme nykyisin julkaistujen tutkimusten määrää alan suuruusvuosiin. Gradussani yritän yhtäältä perustella, miksi alan nostaminen uudelleen keskusteluun olisi kuitenkin tärkeää. Ehdotan, että tämä onnistuisi sillä, että määrittelisimme kvanttilogiikan uudestaan. Sen lisäksi, että tieteellinen keskustelu on käsitellyt kvanttilogiikan kehittämistä ja alan tarpeellisuutta, on kvanttilogiikka myös muiden isojen kysymysten kohteena. Kvanttilogiikkaa vastaan esitetään esimerkiksi kritiikkiä, ettei se olisi lainkaan logiikkaa. Keskustelen jonkin verran kvanttilogiikan asemasta logiikkana. Näiltä osin keskeinen argumenttini on, että kvanttilogiikka ei ole katsottavissa tiukassa mielessä logiikaksi, mutta alan merkittävyyteen ei vaikuta, määrittelemmekö kvanttilogiikan logiikaksi. Toinen kysymys, joka on näkemykseni mukaan katsottava edellistä merkittävämmäksi, on se, mikä on logiikan ja empirian välinen suhde. Perinteisesti logiikka mielletään formaaliksi tieteeksi, joka on erillään empiirisistä tutkimustuloksista. Kvanttilogiikan formalismin suhteen tehtyjä valintoja perustellaan kuitenkin kvanttimekaniikan empirialla. Kun alan tavoitteena on mallintaa kvanttimekaniikkaa, ei kvanttilogiikkaa voi erottaa empiirisistä tuloksista. Se, mikä on formaalisten ja empiiristen tieteiden välinen suhde, kuinka paljon ja millä tavoin saamme muokata formalismia empiiristen tieteiden tutkimustulosten pohjalta ja kuinka paljon formaalisten tieteiden tulosten tulisi vaikuttaa empiiristen tieteiden tutkimukseen, on katsottava tärkeäksi selventää. Aiheesta voisi kirjoittaa paljon, joten olen tiukasti rajannut aiheen käsittelyä, kirjoittanut lyhyesti joistakin aiheesta julkaistuista tutkimuksista ja esittänyt tiiviisti oman näkemykseni aiheeseen. Lopulta esittelen kaksi standarditulkinnalle kehitetyistä vaihtoehdoista: sumean kvanttilogiikan ja klassisen kvanttilogiikan. Jälkimmäisen osalta on otettava huomioon, että aiheesta kirjoittavat eivät nimitä tätä klassiseksi kvanttilogiikaksi, vaan ihan vain klassiseksi logiikaksi. Valintani käyttää nimitystä klassinen kvanttilogiikka seuraa luontevasti antamaani kvanttilogiikan uudelleenmäärittelyä. Termiä klassinen kvanttilogiikka ei ole siis syytä katsoa varsinaisesti klassisesta logiikasta erilliseksi logiikaksi, vaan ainoastaan korostamaan sitä, että klassista logiikkaa käytetään tässä tilanteessa kvanttimekaniikan kontekstissa. Tutkielman lopuksi esitän haasteita, joihin kvanttiloogikkojen olisi kyettävä vastaamaan.
Työssä on tutkittu kvanttipisteitä Monte Carlo -menetelmää käyttäen. Kvanttipiste koostuu pienestä määrästä vuorovaikuttavia elektroneita voimakkaassa magneettikentässä sekä parabolisessa potentiaalissa. Magneettikentän voimakkuus oletetaan tarpeeksi suureksi, jotta systeemiä voidaan tarkastella alimmalla Landaun tasolla, sekä Zeeman-kytkentä tarpeeksi voimakkaaksi, jotta elektronit ovat spin-polarisoituneita. Hamiltonin operaattori on diagonalisoitu kvantti-Monte Carlo -menetelmää käyttäen. Näin on saatu selville sekä perustilat että viritetyt tilat lisäkulmaliikemäärän arvoille, jotka systeemin koosta riippuen ulottuvat noin 15:een. Vertailu eksakteihin tuloksiin vahvistaa, että Monte Carlo -menetelmään perustuva diagonalisointi antaa tarkkoja tuloksia. Lopuksi edellä mainittuja tuloksia on käytetty komposiittifermionikuvan testaamiseen kvanttipisteissä. Komposiittifermionien aaltofunktiot on määritetty lukuisille kompakteille tiloille sekä laskettu näiden peittointegraalit diagonalisoitujen tilojen suhteen.
Avointen kvanttisysteemien teoria tutkii, miten vuorovaikutus laajan ympäristön kanssa muuttaa kvanttisysteemin dynamiikkaa. Kaikki kvanttisysteemit ovat pohjimmiltaan avoimia, joten tällaisten systeemien ymmärtäminen on välttämätöntä kvanttimaailman ymmärtämiseksi. Spin-bosoni -malli kuvaa avointa kaksitasosysteemiä, joka vuorovaikuttaa bosoneista koostuvan ympäristön kanssa. Useat fysikaaliset systeemit käyttäytyvät kaksitasosysteemin tavoin matalissa lämpötiloissa, jonka vuoksi spin-bosoni -mallilla on merkittävä rooli avointen kvanttisysteemien tutkimuksessa. Tutkielman ensimmäinen luku käsittelee yleistä avointen kvanttisysteemien teoriaa ja menetelmiä ei-Markovisen liikeyhtälön johtamiseksi. Ei-Markovinen liikeyhtälö kuvaa ympäristöstä systeemiin takaisin virtaavan informaation vaikutusta systeemin dynamiikkaan. Toisessa luvussa on johdettu spin-bosoni -mallille ei-Markovinen liikeyhtälö ja tarkasteltu spin-systeemin dynamiikkaa joissain erityistapauksissa. Kolmannessa luvussa on esitelty kvanttihyppymenetelmiä avointen systeemien dynamiikan ratkaisemiseksi ja sovellettu ei-Markovisten kvanttihyppyjen teoriaa spinbosoni -mallin tutkimiseksi. Ei-Markovisten kvanttihyppyjen teoriaa käyttämällä voidaan selittää spin-systeemin tiheysmatriisin populaatioissa ja koherensseissa havaittavien ei-Markovisten efektien alkuperä käännettyjen kvanttihyppyjen avulla. Tutkielman viimeisessä osassa esitellään muutamia spin-bosoni -mallin sovellutuksia fysiikan eri alueilta.
Mesoskooppiset yhden elektronin laitteet ovat kooltaan pieniä sähköpiirejä, joissa voidaan havaita kvanttimekaanisia ilmiöitä. Eräs tällainen ilmiö on Landau-Zener tunneloituminen, jossa systeemin tila muuttuu hyppäyksenomaisesti yhdestä energiatilasta toiseen. Tunneloitumisen edellytyksenä on, että systeemin tilat hetkellisesti koskettavat toisiaan. Mikäli kosketuskohta ohitetaan useita kertoja peräkkäin ja systeemi säilyttää kvanttimekaanisen koherenssin, voidaan tunnelointumistodennäköisyydessä havaita interferenssin kaltaista voimistumista tai heikkenemistä. Interferenssin aiheuttama suure on tässä tapauksessa aaltofunktion komponenttien välinen dynaaminen vaihe-ero. Tässä työssä olen tutkinut Landau-Zener tunneloitumista kvanttimekaanisessa kahden tilan systeemissä (KTS), jonka muodostaa yhden Cooperin-parin transistori. Työn lähtökohtana on kaksi koetta, joissa KTS on liitetty osaksi sähköistä värähtelypiiriä. Systeemin tila määritetään tarkkailemalla sen vastetta ulkoiseen korkeataajuiseen jännitesignaaliin. Havainnointi perustuu siihen, että transistorin energiatasojen kaarevuus voidaan liittää epälineaariseen kapasitanssiin tai induktanssiin riippuen siitä, tarkastellaanko vastetta varauksen vai magneettivuon suhteen. Kun tunneloitumisen yhteydessä energiatasojen miehitys muuttuu, muuttuu myös systeemin havaittava efektiivinen reaktanssi ja siten värähtelypiirin resonanssitaajuus. Tämä puolestaan aiheuttaa muutoksen värähtelypiiristä heijastuneen mittaussignaalin amplitudissa ja vaiheessa. Kokeelliset tulokset pyrin selittämään mallintamalla systeemin aikakehitystä numeerisella tietokonesimulaatiolla. Tekemällä muunnos spin-1/2 notaatioon ongelma yksinkertaistuu joukoksi kytkettyjä differentiaaliyhtälöitä, jotka tunnetaan Blochin yhtälöinä. Toisin kuin Schrödingerin yhtälö, Blochin yhtälöt mahdollistavat yksinkertaisen häviöiden kuvaamisen KTS:n aikakehityksessä spin-bosoni-mallin avulla. Kun simulaatiotulos yhdistetään lineaarisen vasteen malliin, saadaan hyvä yhteensopivuus kokeellisten ja teoreettisten tulosten välille. Mallin avulla pystytään ennustamaan mm. transistorin kvanttikapasitanssin ja -induktanssin arvo, interferenssipiikkien paikat, ac-Stark siirtymän suuruus sekä systeemin dekoherenssiajan arvioksi noin 1 ns. Lisäksi malli mahdollistaa harmonisen oskillaattorin ja KTS:n välisen vuorovaikutuksen kuvaamisen ja antaa tavan havaita harmonisen oskillaattorin kvanttimekaanisia tiloja.
Tämä kanditutkielma tarkastelee kvanttiohjelmistojen testauksen kustannustehokkuutta. Työssä vertaillaan simulaatioympäristöä todelliseen kvanttilaitteistoon. Tutkimuksen pääkysymys on, kuinka tehokkaita kvanttiohjelmistosimulaatiot ovat verrattuna kvanttilaitteistoon. Tutkimus on toteutettu kirjallisuuskatsauksena, jossa on analysoitu alan ajankohtaisia tutkimuksia, kustannusmalleja ja teknisiä rajoitteita. Tutkimuksen tulokset osoittavat, että simulaatiot ovat tällä hetkellä saavutettavampia ja kustannustehokkaampia erityisesti kehityksen alkuvaiheessa. Kvanttilaitteistot kuitenkin tarjoavat realistisemman testausympäristön, mutta niiden käyttö on kallista ja teknisesti rajattua. Analyysin perusteella hybridimalli, jossa simulaatiota käytetään prototyyppien kehitykseen ja laitteistoa lopulliseen validointiin, on käytännöllisin lähestymistapa. Tutkimus korostaa tarvetta kehittää yhtenäisiä kustannusmalleja, skaalautuvia simulaatioarkitehtuureja ja tasa-arvoisia pääsymalleja kvanttilaitteistojen testaukseen. Näiden haasteiden ratkaiseminen on keskeistä kvanttiohjelmistotekniikan kestävälle ja tehokkaalle kehitykselle.