Edetessään väliaineessa neutriinojen ja materian välillä tapahtuu kahdenlaisia törmäyksiä: koherentteja ja epäkoherentteja törmäyksiä. Koherentit törmäykset aiheuttavat taustapotentiaalin, joka muuttaa neutriinojen ominaisenergioita. Epäkoherentit törmäykset aiheuttavat puolestaan kvanttivaimennustekijöitä, jotka vaikuttavat neutriinotilojen dynaamiseen kehitykseen. Tässä tutkielmassa tarkastellaan relativististen neutriinojen sekoittumista kuvaavan formalismin johtamista kvanttikenttäteoriaan pohjautuvista lähtökohdista. Tutkielmassa lähdetään liikkeelle Schwinger-Keldysh yhtälöstä, josta johdetaan yleiset Kadanoff-Baym (KB) yhtälöt Wigner-avaruudessa. KB-yhtälöt ratkaistaan käyttäen koherenttia kvasihiukkasapproksimaatiota (cQPA). cQPA-mallista seuraa, että systeemin faasiavaruudessa esiintyy täysin uudenlaisia koherenssikuoria, jotka voidaan tunnistaa sisältävän informaatiota ei-lokaalista kvanttikoherenssista. Tutkielmassa siis tarkastellaan kuinka neutriinoille voidaan johtaa liikeyhtälöt, jotka huomioivat kvanttikoherenssin ilman lisäoletuksia. Johdettujen liikeyhtälöiden avulla voidaan laskea koherenttien neutriinotilojen välistä sirontaa, johon tämänhetkiset mallit eivät kykene. Lisäksi näiden liikeyhtälöiden avulla voidaan johtaa neutriinojen tiheysmatriisiformalismi yleisemmistä lähtökohdista kuin mitä on aikaisemmin tehty.
Edetessään väliaineessa neutriinojen ja materian välillä tapahtuu kahdenlaisia törmäyksiä: koherentteja ja epäkoherentteja törmäyksiä. Koherentit törmäykset aiheuttavat taustapotentiaalin, joka muuttaa neutriinojen ominaisenergioita. Epäkoherentit törmäykset aiheuttavat puolestaan kvanttivaimennustekijöitä, jotka vaikuttavat neutriinotilojen dynaamiseen kehitykseen. Tässä tutkielmassa tarkastellaan relativististen neutriinojen sekoittumista kuvaavan formalismin johtamista kvanttikenttäteoriaan pohjautuvista lähtökohdista. Tutkielmassa lähdetään liikkeelle Schwinger-Keldysh yhtälöstä, josta johdetaan yleiset Kadanoff-Baym (KB) yhtälöt Wigner-avaruudessa. KB-yhtälöt ratkaistaan käyttäen koherenttia kvasihiukkasapproksimaatiota (cQPA). cQPA-mallista seuraa, että systeemin faasiavaruudessa esiintyy täysin uudenlaisia koherenssikuoria, jotka voidaan tunnistaa sisältävän informaatiota ei-lokaalista kvanttikoherenssista. Tutkielmassa siis tarkastellaan kuinka neutriinoille voidaan johtaa liikeyhtälöt, jotka huomioivat kvanttikoherenssin ilman lisäoletuksia. Johdettujen liikeyhtälöiden avulla voidaan laskea koherenttien neutriinotilojen välistä sirontaa, johon tämänhetkiset mallit eivät kykene. Lisäksi näiden liikeyhtälöiden avulla voidaan johtaa neutriinojen tiheysmatriisiformalismi yleisemmistä lähtökohdista kuin mitä on aikaisemmin tehty.
Kvanttimekaniikan teoriassa suljettuja, ympäristöstään eristettyjä systeemejä koskevat tulokset ovat hyvin tunnettuja. Eräs tärkeä erityispiirre tällaisille systeemeille on, että niiden aikakehitys on unitaarista. Oletus siitä, että systeemi on suljettu, on osaltaan tietysti vain yksinkertaistus. Käytännössä kaikki kvanttimekaaniset systeemit vuorovaikuttavat ympäristönsä kanssa ja tästä johtuen niiden dynamiikka monimutkaistuu oleellisesti. Kuitenkin tietyissä tapauksissa systeemin aikakehitys voidaan ratkaista, ainakin approksimatiivisesti. Tärkeimpinä esimerkkeinä on ympäristön joko nopea tai erittäin hidas muutos kvanttisysteemin ominaiseen aikaskaalaan verrattuna. Näistä erityisesti jälkimmäinen on käyttökelpoinen oletus monissa fysikaalisissa tilanteissa. Tällöin voidaan suorittaa niin sanottu adiabaattinen approksimaatio. Sen mukaan systeemi, joka on aikakehityksen generoivan Hamiltonin operaattorin ominaistilassa, pysyy vastaavassa ominaistilassa ympäristön muuttuessa äärettömän hitaasti, mikäli systeemin eri energiatasot eivät leikkaa toisiaan. Todellisissa tilanteissa muutos ei tietenkään voi olla äärettömän hidasta ja myös energiatasojen leikkaukset ovat mahdollisia, jolloin tapahtuu transitio eri ominaistilojen välillä. Energiatasojen leikkauksilla on oleellisia vaikutuksia erittäin monissa fysikaalisissa prosesseissa ja niitä kuvaamaan on luotu monia malleja kvanttimekaniikan alkuajoista lähtien aina tähän päivään saakka. Nykyinen teknologinen kehitys on avannut uudenlaisen mahdollisuuden ilmiön kokeelliseen varmentamiseen ja hyödyntämiseen. Tämän vuoksi kyseisten mallien dynamiikan ja erityisesti energiatasojen useiden peräkkäisten leikkausten aiheuttamien koherenssi-ilmiöiden selvittäminen on tärkeää. Tässä työssä käsitellään kvanttimekaanisia kaksitasosysteemejä, joissa esiintyy energiatasojen leikkauksia sekä niiden pitkän aikavälin dynamiikkaa. Tutkielmassa perehdytään tarkemmin kahteen tiettyyn malliin. Näistä ensimmäinen, Landau-Zener -malli, on tunnetuin ja sovelluksissa käytetyin malli. Kuitenkin erityisen mielenkiinnon kohteena on niin kutsuttu parabolinen malli, jolle johdetaan eri approksimaatioita käyttäen asymptoottiset transitiotodennäköisyydet eri tilojen välille. Näitä verrataan numeerisiin tuloksiin.
Tutkielman aluksi kerrataan kvanttiteorian perusteet. Tämän jälkeen annetaan yksinkertaiset esimerkit diskreeteistä ja ääretönulotteisista systeemeistä ja niiden matematiikasta. Ääretönulotteisille systeemeille muodostetaan jatkuva faasiavaruusformalismi käyttäen Lien algebrojen ja ryhmien teoriaa. Määritellään gaussiset tilat ja tarkastellaan niiden vahvuuksia ja heikkouksia faasiavaruusformalismin sekä kvanttiinformaation sovelluksien kannalta. Johdetaan Wignerin funktio usealle esimerkille sekä käydään läpi Williamsonin ja Blochin-Messiahin matriisihajotelmat ja niiden merkitys gaussisiin tiloihin ja -operaatioihin liittyen. Määritellään ei-gaussiset tilat ja esitellään joitain niiden karakterisointiin käytettyjä mittoja ja tilojen kvanttiresursseja. Esimerkkien kautta tarkastellaan miten fotoneja lisäämällä tai poistamalla gaussisesta tilasta voidaan saavutaa Wignerin funktion negatiivisuutta omaava ei-gaussinen tila. Lisättyjen ja poistettujen fotonien tiloja tutkitaan tarkemmin käyttäen apuna Wickin todennäköisyyslausetta ja graa_teoriaa. Selvitetään miten näiden tilojen operaattorimomenttien laskeminen voidaan antaa graa_n hafnianin muodossa. Tunnistetaan yhteys hafnianin laskemiseen liittyvän uniikkien termien määrän osaongelman ja graa_en nimeämisiin liittyvien ongelmien välillä. Lopuksi tehdään yhteenveto käsitellyistä aiheista ja pohditaan miten esiin tulleet asiat ja käytetty matematiikka voisivat vaikuttaa jatkossa kvanttialgoritmien kehitykseen.
Bose-Einstein -kondensaatio onnistuttiin toteuttamaan kokeellisesti ensimmäisen kerran vuonna 1995, jonka jälkeen näitä tarkasti kontrolloitavia kvanttisysteemeitä on tutkittu runsaasti sekä kokeellisesti, että teoreettisesti. Bose-Einstein -kondensaatit tarjoavat mahdollisuuden mallintaa tarkasti vuorovaikuttavaa monihiukkassysteemiä lähtien perusperiaatteista. Bose-Einstein -kondensaation vaihekoherenssi ilmenee makroskooppisissa pituusskaaloissa esimerkiksi topologisina defekteinä, joita ovat muun muassa kvantittuneet vorteksit. Alkalimetalliatomien muodostamat kondensaatit voivat olla joko spinpolarisoituneita tai koostua useista eri spintiloista. Tässä diplomityössä tutkitaan stationaarisia vorteksiklustereita sekä skalaari-, että spinorikondensaateissa. Hyvin matalissa lämpötiloissa termisen kaasun osuus voidaan jättää huomiotta ja kondensaattia voidaan kuvata järjestysparametrilla, joka määräytyy Gross-Pitaevskii -yhtälöstä. Lisäksi työssä tutkitaan topologisia kysymyksiä liittyen systeemin globaaleihin symmetrioihin. Stationaaristen vorteksiklustereiden vakautta pannukakunmuotoisissa kondensaateissa on tutkittu aikaisemmin osin ristiriitaisin tuloksin. Tssä työssä tehdyissä numeerisissa laskuissa havaittiin, että ristiriitaisuuden aiheutti klustereiden dynaamisen vakauden riippuvuus kondensaatin atomien välisen vuorovaikutuksen voimakkuudesta sekä kaasun vangitsevaa loukun epäsymmetrisyydestä. Stationaariset klusterit havaittiin energeettisesti epävakaiksi, mutta klusterit joilla kokonaiskulmaliikemäärä on nolla, tulevat dynaamisesti vakaiksi epäsymmetrisissä loukuissa riittävän vahvasti vuorovaikuttavissa kondensaateissa. Pannukakunmuotoisissa spinorikondensaateissa löydettiin vastaavia stationaarisia vorteksiklustereita, jotka koostuvat ytimettömistä vortekseista.
Avointen kvanttisysteemien teoria tutkii, miten vuorovaikutus laajan ympäristön kanssa muuttaa kvanttisysteemin dynamiikkaa. Kaikki kvanttisysteemit ovat pohjimmiltaan avoimia, joten tällaisten systeemien ymmärtäminen on välttämätöntä kvanttimaailman ymmärtämiseksi. Spin-bosoni -malli kuvaa avointa kaksitasosysteemiä, joka vuorovaikuttaa bosoneista koostuvan ympäristön kanssa. Useat fysikaaliset systeemit käyttäytyvät kaksitasosysteemin tavoin matalissa lämpötiloissa, jonka vuoksi spin-bosoni -mallilla on merkittävä rooli avointen kvanttisysteemien tutkimuksessa. Tutkielman ensimmäinen luku käsittelee yleistä avointen kvanttisysteemien teoriaa ja menetelmiä ei-Markovisen liikeyhtälön johtamiseksi. Ei-Markovinen liikeyhtälö kuvaa ympäristöstä systeemiin takaisin virtaavan informaation vaikutusta systeemin dynamiikkaan. Toisessa luvussa on johdettu spin-bosoni -mallille ei-Markovinen liikeyhtälö ja tarkasteltu spin-systeemin dynamiikkaa joissain erityistapauksissa. Kolmannessa luvussa on esitelty kvanttihyppymenetelmiä avointen systeemien dynamiikan ratkaisemiseksi ja sovellettu ei-Markovisten kvanttihyppyjen teoriaa spinbosoni -mallin tutkimiseksi. Ei-Markovisten kvanttihyppyjen teoriaa käyttämällä voidaan selittää spin-systeemin tiheysmatriisin populaatioissa ja koherensseissa havaittavien ei-Markovisten efektien alkuperä käännettyjen kvanttihyppyjen avulla. Tutkielman viimeisessä osassa esitellään muutamia spin-bosoni -mallin sovellutuksia fysiikan eri alueilta.
Kvanttimekaniikan katsotaan yleisesti alkaneen vuonna 1936 julkaistusta, Garrett Birkhoffin ja John von Neumannin kirjoittamasta artikkelista The Logic of Quantum Mechanics. Kvanttilogiikka alana on kuitenkin liki kuollut, jos vertaamme nykyisin julkaistujen tutkimusten määrää alan suuruusvuosiin. Gradussani yritän yhtäältä perustella, miksi alan nostaminen uudelleen keskusteluun olisi kuitenkin tärkeää. Ehdotan, että tämä onnistuisi sillä, että määrittelisimme kvanttilogiikan uudestaan. Sen lisäksi, että tieteellinen keskustelu on käsitellyt kvanttilogiikan kehittämistä ja alan tarpeellisuutta, on kvanttilogiikka myös muiden isojen kysymysten kohteena. Kvanttilogiikkaa vastaan esitetään esimerkiksi kritiikkiä, ettei se olisi lainkaan logiikkaa. Keskustelen jonkin verran kvanttilogiikan asemasta logiikkana. Näiltä osin keskeinen argumenttini on, että kvanttilogiikka ei ole katsottavissa tiukassa mielessä logiikaksi, mutta alan merkittävyyteen ei vaikuta, määrittelemmekö kvanttilogiikan logiikaksi. Toinen kysymys, joka on näkemykseni mukaan katsottava edellistä merkittävämmäksi, on se, mikä on logiikan ja empirian välinen suhde. Perinteisesti logiikka mielletään formaaliksi tieteeksi, joka on erillään empiirisistä tutkimustuloksista. Kvanttilogiikan formalismin suhteen tehtyjä valintoja perustellaan kuitenkin kvanttimekaniikan empirialla. Kun alan tavoitteena on mallintaa kvanttimekaniikkaa, ei kvanttilogiikkaa voi erottaa empiirisistä tuloksista. Se, mikä on formaalisten ja empiiristen tieteiden välinen suhde, kuinka paljon ja millä tavoin saamme muokata formalismia empiiristen tieteiden tutkimustulosten pohjalta ja kuinka paljon formaalisten tieteiden tulosten tulisi vaikuttaa empiiristen tieteiden tutkimukseen, on katsottava tärkeäksi selventää. Aiheesta voisi kirjoittaa paljon, joten olen tiukasti rajannut aiheen käsittelyä, kirjoittanut lyhyesti joistakin aiheesta julkaistuista tutkimuksista ja esittänyt tiiviisti oman näkemykseni aiheeseen. Lopulta esittelen kaksi standarditulkinnalle kehitetyistä vaihtoehdoista: sumean kvanttilogiikan ja klassisen kvanttilogiikan. Jälkimmäisen osalta on otettava huomioon, että aiheesta kirjoittavat eivät nimitä tätä klassiseksi kvanttilogiikaksi, vaan ihan vain klassiseksi logiikaksi. Valintani käyttää nimitystä klassinen kvanttilogiikka seuraa luontevasti antamaani kvanttilogiikan uudelleenmäärittelyä. Termiä klassinen kvanttilogiikka ei ole siis syytä katsoa varsinaisesti klassisesta logiikasta erilliseksi logiikaksi, vaan ainoastaan korostamaan sitä, että klassista logiikkaa käytetään tässä tilanteessa kvanttimekaniikan kontekstissa. Tutkielman lopuksi esitän haasteita, joihin kvanttiloogikkojen olisi kyettävä vastaamaan.
Tässä kirjallisuuskatsauksena toteutetussa tutkielmassa tarkastellaan ionisoivan säteilyn vaikutuksia kvanttitietokoneiden elektroniikkaan. Tutkielman tavoitteena on selvittää, miten ionisoiva säteily vaikuttaa suprajohtaviin kubitteihin ja millaisia virheitä se aiheuttaa kvanttilaskennassa. Lisäksi tutkielma käsittelee kvanttilaskennan kannalta olennaisia käsitteitä ja fysikaalisia ilmiöitä, jotka ovat välttämättömiä aiheen tieteellisemmän käsittelyn kannalta. Erityisesti perehdytään kosmisesta säteilystä peräisin olevien myonien ja ympäristön radioaktiivisten alkuaineiden hajoamistuotteina syntyvien γ-säteiden vaikutuksiin suprajohtavassa kubitissa. Tutkielmassa huomataan ionisoivan säteilyn aiheuttavan kvanttilaskennassa relaksaatio-, vaihe-ero- ja korreloituja virheitä, mutta erityisesti korreloitujen virheiden aiheuttavan haasteita virheenkorjausmenetelmissä. Tutkielmassa myös käsitellään virheenkorjausmenetelmiä ja ratkaisuja säteilysuojaukseen. Tutkielman perusteella voidaan todeta ionisoivan säteilyn vaikutusten ymmärtämisen olevan tärkeää vikasietoisen kvanttilaskennan kehittämiseksi. Tulokset osoittavat myös, että tarvitaan lisätutkimusta korreloitujen virheiden suojausmekanismien kehitykseen.