Wir untersuchen dreidimensionale schnell rotierende Bose-Einstein Kondensate in einem theoretischen Kontext. Die Hauptresultate sind untere und obere Schranken an die Gross-Pitaevskii Energie des verdünnten Bose Gases im Thomas-Fermi Limes. Ähnliche Resultate wurden bereits für stark anharmonische äußere Potentiale in 2D und homogene äußere Potentiale in 2D und 3D entwickelt wohingegen wir die Betrachtung von teilweise anisotropen Fallen in 3D präsentieren. Weiters geben wir eine komplette Beschreibung und Illustration der Thomas-Fermi Dichte in diesem Grenzwert an. Wir stellen auch den Quelltext zur Erstellung der Illustrationen zur Verfügung.
Wir untersuchen dreidimensionale schnell rotierende Bose-Einstein Kondensate in einem theoretischen Kontext. Die Hauptresultate sind untere und obere Schranken an die Gross-Pitaevskii Energie des verdünnten Bose Gases im Thomas-Fermi Limes. Ähnliche Resultate wurden bereits für stark anharmonische äußere Potentiale in 2D und homogene äußere Potentiale in 2D und 3D entwickelt wohingegen wir die Betrachtung von teilweise anisotropen Fallen in 3D präsentieren. Weiters geben wir eine komplette Beschreibung und Illustration der Thomas-Fermi Dichte in diesem Grenzwert an. Wir stellen auch den Quelltext zur Erstellung der Illustrationen zur Verfügung.
In dieser Dissertation werden das Anregungsspektrum und das Phasendiagramm wechselwirkender Fermi- und Bosegase untersucht. Zu diesem Zweck wird eine neuartige renormierte Kadanoff-Martin-Näherung vorgestellt, die Selbstwechselwirkung von Teilchen vermeidet und somit eine einheitliche Beschreibung sowohl der normalen als auch der kondensierten Phase ermöglicht. Für Fermionen findet man den BCS-Zustand, benannt nach Bardeen, Cooper und Schrieffer, welcher entscheidend ist für das Phänomen der Supraleitung. Charakteristisch für diesen Zustand ist eine Energielücke im Anregungsspektrum an der Fermi-Energie. Weiterhin tritt für Bosonen eine Bose-Einstein-Kondensation (BEC) auf, bei der das Anregungsspektrum für kleine Impulse linear ist. Letzteres führt zum Phänomen der Suprafluidität. Über die bereits bekannten Phänomene hinaus findet man eine dem BCS-Zustand ähnliche Kondensation von Zweiteilchenbindungszuständen, sowohl für Fermionen als auch für Bosonen. Für Fermionen tritt ein Übergang zwischen der Kondensation von Bindungszuständen und dem BCS-Zustand auf, der sogenannte BEC-BCS-Übergang. Die Untersuchung der Zustandsgleichung zeigt, dass im Gegensatz zu Fermi-Gasen und Bose-Gasen mit abstoßender Wechselwirkung Bose-Gase mit anziehender Wechselwirkung zu einer Flüssigkeit kondensieren oder sich verfestigen, bevor es zur Kondensation von Bindungszuständen oder zur Bose-Einstein-Kondensation kommt. Daher können diese Phänomene voraussichtlich nicht in der Gasphase beobachtet werden. Zusammenfassend lässt sich sagen, dass das vorgestellte Näherungsverfahren sehr gut geeignet ist, die erwähnten Phänomene im Zusammenhang mit der Bose-Einstein-Kondensation zu beschreiben.
Diese Arbeit behandelt die mathematischen Aspekte von Modellierung, Analysis, Simulation und Visualisierung des Bose-Einstein-Kondensats (BEC), eines faszinierenderen Zustands von Materie, den Bose und Einstein im Jahre 1924 vorhergesagt hatten, mehr als 50 Jahre bevor Quantenphysikern der experimentelle Nachweis gelang. In Wien sind Mathematiker und Physiker im Wolfgang Pauli Institut direkt vernetzt, das daher ein sehr anregendes Umfeld fr die Arbeit an meiner Diplomarbeit bot. Das Ziel war, eine Visualisierung der numerischen Simulation der Dynamik von BECs auszuarbeiten und damit die AtomChip Gruppe darin zu unterstützten, Experimente zu verstehen bzw. neu zu konzipieren. In dieser mathematischen Arbeit behandeln wir natürlich auch die Modellgleichungenund geben einen passenden Überblick sowohl über die entsprechenden analytischen Resultate also auch über die angewandten Aspekte der Numerik wie etwa Randbedingungen und Implementierung des Algorithmus. Wir konzentrieren uns hauptsächlich auf die numerische Simulation deszeitabhängigen Systems und zeigen, wie die drei verschiedenen Abschnitte des Experiments: Einsperrung, Aufspaltung und freie Ausbreitung, in drei verschiedene mathematische Problemstellungen übersetzt werden. Zum Schluss zeigen und diskutieren wir die Verfahren, die zur Visualisierung verwendet wurden.
In dieser Arbeit erörtern wir ein eindimensionales Lieb Liniger Modell für Bosonen mit einem zusätzlichen Zufallspotenzial. Für dieses Modell von schwach wechselwirkendem Bosegas wurde von Seiringer, Yngvason und Zagrebnov gezeigt, dass für N nach unendlich, wobei N die Anzahl an Teilchen bezeichnet, die Gross Pitaevskii Energie zur quantenmechanischen Energie konvergiert. Weiters wurde gezeigt, dass für den Vielteilchenlimes vollständige Bose Einstein Kondensation (BEC) existiert. Für die Diskussion von Superfluidität, ist eine genauere Analyse der Gross Pitaevskii Dichte nötig und für bestimmte Limiten wird diese Analyse in dieser Arbeit durchgeführt. Im Speziellen können wir zeigen, dass für schwache Wechselwirkung keine Superfluidität im Limes existiert, auch wenn Bose Einstein Kondensation vorkommt. Andererseits können wir zeigen, dass es einen Parameterbereich gibt, in dem vollständige Superfluidität stattfindet. Daher fordert die Existenz von Superfluidität stärkere Voraussetzungen als die Existenz von BEC, in diesem eindimensionalen Modell. In derselben Arbeit von Seiringer, Yngvason und Zagrebnov wurde gezeigt, dass in einem speziellen Parameterbereich, ein deterministischer Limes für die Gross Pitaevskii Energie existiert welche von dem Zufallspotenzial abhängt. In dieser Arbeit erweitern wir diesen Beweis um Abschätzungen für die Konvergenz in Wahrscheinlichkeit. Weiters beweisen wir, dass es möglich ist, diese Konvergenz auch für ein Bernoulli Zufallspotenzial zu erreichen.
Die vorliegende Diplomarbeit beschaftigt sich mit der mathematischen Beschreibung eines Bose-Einstein Kondensats, das in einer lang gestreckten magneto-optischen Falle gefangen ist. Als zugrunde liegendes mathematisches Modell fungiert das Gross-Pitaevskii Energie Funktional. Anstatt wie bei herkommlichen dimensionalen Reduktionen der Gross-Pitaevskii Gleichung ublich, bei denen die Anregungsenergie in einer oder zwei Dimensionen viel groser als die Wechselwirkungsenergie ist, wird hier der Fall behandelt bei dem die Anregungsenergie in Querrichtung mit der Wechselwirkungsenergie vergleichbar ist. Diese Fragestellung wird durch einen neuartigen Ansatz fur die Wellenfunktion gelost, wodurch die Bestimmung der Grundzustandsenergie auf die folgenden zwei Probleme reduziert wird:
1) Losung eines zweidimensionalen Gross-Pitaevskii Problems mit Kopplungskonstante in einem beschrankten Intervall. 2) Losung eines eindimensionalen Gross-Pitaevskii Problems, wo die zweidimensionale Energie als Funktion der Kopplungskonstanten den Wechselwirkungsterm in dem eindimensionalen Energiefunktional bestimmt.
Zusammenfassung Die Realisierung der Bose-Einstein Kondensation in verdünnten atomaren Gasen ermöglicht die Untersuchung von fundamentalen makroskopischen Quantenphänomenen, wie den Interferenzen zwischen zwei unabhängig voneinander entstandenen Kondensaten und kollektiven Anregungszuständen in Bose-Einstein Kondensaten.Das Studium dieser Phänomene liefert wichtige Aspekte im Verständnis der Quantenmechanik von Vielteilchensystemen. Nach den Beobachtungen von kollektiven Schwingungsmoden und Schallausbreitung in Bose-Einstein Kondensaten ist es im letzten Jahr erstmalig gelungen, auch Vortices und Solitonen-Zustände anzuregen und zu untersuchen.In Vortices treten die suprafluiden Eigenschaften von Bose-Einstein Kondensaten direkt zutage.Solitonen sind formstabil propagierende, lokalisierte Wellen, die in nichtlinearen Systemen auftreten können.Ihre Untersuchung in Bose-Einstein Kondensaten bietet Verbindungen dieses fundamentalen quantenmechanischen Systems zu anderen Bereichen intensiver naturwissenschaftlicher Forschung, wie zu der nichtlinearen Optik, der Fluidmechanik und ebenfalls der Suprafluidität.Im Rahmen dieser Arbeit wurden erstmals dunkle Solitonen in Bose-Einstein Kondensaten aus 87 Rubidium erzeugt und analysiert.Die Ergebnisse geben über den Entstehungsprozess, die Dynamik und die Dissipation dunkler Solitonen in Materiewellen Aufschluss.Erste Untersuchungen zur Wechselwirkung von Solitonen wurden in Experimenten mit kollidierenden Solitonen durchgeführt.Für die Erzeugung der Solitonen wurde die Methode der Phasenaufprägung an Materiewellen entwickelt und eingesetzt.Möglichkeiten und Grenzen der Phasenaufprägungsmethode wurden mit Hilfe numerischer Simulationen analysiert.Die Methode der Bragg-Spektroskopie von Materiewellen wurde in das Experiment integriert.Dies ermöglichte eine spektroskopische Untersuchung der Wahrscheinlichkeitsstromdichte in den betrachteten Solitonenzuständen.Weitere Schwerpunkte dieser Arbeit waren die Planung und Realisierung des Experiments zur Erzeugung von Bose-Einstein Kondensaten und die Entwicklung und Charakterisierung von atomoptischen Elementen zur kohärenten Manipulation von Bose-Einstein Kondensaten und Atomlasern.Verschiedene atompotische Elemente wurden mit Hilfe der Dipolpotentiale weit verstimmter Lichtfelder realisiert.Insbesondere wurden Experimente mit Spiegeln, Strahlteilern, Wellenleitern und Linsen für Materiewellen durchgeführt.Die in dieser Arbeit erzielten Ergebnisse der Untersuchung dunkler Solitonen in Bose-Einstein Kondensaten stellen einen Beitrag zum Verständnis der Physik nichtlinearer kohärenter Materiewellen dar.Mit den Kombinationsmöglichkeiten der atomoptischen Elemente und Methoden, die in dieser Arbeit entwickelt worden sind, lässt sich eine Vielzahl weiterer fundamentaler Fragestellungen untersuchen.Von hohem Interesse sind u.a.der Einfluss der Dimensionalität des Systems auf Experimente mit Bose-Einstein Kondensaten und interferometrische Messungen mit Bose-Einstein Kondensaten als Quellen kohärenter Materiewellen.