Diese Arbeit behandelt die mathematischen Aspekte von Modellierung, Analysis, Simulation und Visualisierung des Bose-Einstein-Kondensats (BEC), eines faszinierenderen Zustands von Materie, den Bose und Einstein im Jahre 1924 vorhergesagt hatten, mehr als 50 Jahre bevor Quantenphysikern der experimentelle Nachweis gelang. In Wien sind Mathematiker und Physiker im Wolfgang Pauli Institut direkt vernetzt, das daher ein sehr anregendes Umfeld fr die Arbeit an meiner Diplomarbeit bot. Das Ziel war, eine Visualisierung der numerischen Simulation der Dynamik von BECs auszuarbeiten und damit die AtomChip Gruppe darin zu unterstützten, Experimente zu verstehen bzw. neu zu konzipieren. In dieser mathematischen Arbeit behandeln wir natürlich auch die Modellgleichungenund geben einen passenden Überblick sowohl über die entsprechenden analytischen Resultate also auch über die angewandten Aspekte der Numerik wie etwa Randbedingungen und Implementierung des Algorithmus. Wir konzentrieren uns hauptsächlich auf die numerische Simulation deszeitabhängigen Systems und zeigen, wie die drei verschiedenen Abschnitte des Experiments: Einsperrung, Aufspaltung und freie Ausbreitung, in drei verschiedene mathematische Problemstellungen übersetzt werden. Zum Schluss zeigen und diskutieren wir die Verfahren, die zur Visualisierung verwendet wurden.
Diese Arbeit behandelt die mathematischen Aspekte von Modellierung, Analysis, Simulation und Visualisierung des Bose-Einstein-Kondensats (BEC), eines faszinierenderen Zustands von Materie, den Bose und Einstein im Jahre 1924 vorhergesagt hatten, mehr als 50 Jahre bevor Quantenphysikern der experimentelle Nachweis gelang. In Wien sind Mathematiker und Physiker im Wolfgang Pauli Institut direkt vernetzt, das daher ein sehr anregendes Umfeld fr die Arbeit an meiner Diplomarbeit bot. Das Ziel war, eine Visualisierung der numerischen Simulation der Dynamik von BECs auszuarbeiten und damit die AtomChip Gruppe darin zu unterstützten, Experimente zu verstehen bzw. neu zu konzipieren. In dieser mathematischen Arbeit behandeln wir natürlich auch die Modellgleichungenund geben einen passenden Überblick sowohl über die entsprechenden analytischen Resultate also auch über die angewandten Aspekte der Numerik wie etwa Randbedingungen und Implementierung des Algorithmus. Wir konzentrieren uns hauptsächlich auf die numerische Simulation deszeitabhängigen Systems und zeigen, wie die drei verschiedenen Abschnitte des Experiments: Einsperrung, Aufspaltung und freie Ausbreitung, in drei verschiedene mathematische Problemstellungen übersetzt werden. Zum Schluss zeigen und diskutieren wir die Verfahren, die zur Visualisierung verwendet wurden.
Ziel der vorliegenden Arbeit ist es, kohärenten Transport von Bose-Einstein Kondensaten mit repulsiver Atom-Atom Wechselwirkung in mesoskopischen magnetischen Wellenleiterstrukturen auf dem Niveau der Gross-Pitaevskii Gleichung wellenmechanisch zu untersuchen. Wir geben zunächst einen Überblick über die grundlegenden Konzepte zur Erzeugung magnetischer Materiewellenleiter, zeigen Wege auf, Quantenpunktkontakte und Quantenpunkte in Wellenleitern zu realisieren und entwickeln ein phänomenologisches Modell für magnetisch induzierte Unordnungspotentiale. Ein zentrales Thema dieser Arbeit stellt die Entwicklung neuer Methoden zur Beschreibung von Transport eines Kondensats durch Wellenleitergeometrien dar. Wir zeigen ein Verfahren auf, das eine systematische Untersuchung von stationären Streuzuständen in Wellenleitern mit Streupotentialen ermöglicht. Zudem entwickeln wir eine konzeptionelle Erweiterung der aus der linearen Quantenmechanik wohlbekannten Größen von Reflexions- und Transmissionskoeffizienten; dies erlaubt es, Transmission und Reflexion auch für die nichtlineare Gross-Pitaevskii Gleichung eindeutig zu definieren. Um eine vollständige Beschreibung des Kondensattransportes zu erhalten, untersuchen wir zeitabhängige Streuprozesse und führen eine Methode ein, die die Ankopplung eines Wellenleiters an ein mit Kondensat gefülltes Reservoir simuliert, aus dem Materiewellen in den Wellenleiter injiziert werden.Damit wird die realistische Simulation eines kohärenten Flusses von Bose-Einstein Kondensaten durch einen Wellenleiter möglich. Wir untersuchen mit diesen Methoden den Transport eines Kondensats durch drei exemplarisch ausgewählte Potentialstrukturen: Wir zeigen zunächst, dass eine repulsive Atom-Atom Wechselwirkung zu einer Verminderung der Transmission durch einen Quantenpunktkontakt führt. In einem zweiten Schwerpunkt untersuchen wir Transport durch ein symmetrisches Doppelbarrierenpotential, das als Quantenpunkt angesehen werden kann. In diesem Zusammenhang diskutieren wir die Existenz von resonanten Transportmoden und Bistabilitäten im Transmissionsspektrum. Schließlich untersuchen wir den Transport durch Wellenleiter mit Unordnungspotentialen. Für schwache Unordnungspotentiale und moderate interatomare Wechselwirkungen entwickeln wir einen analytischen Zugang zur Berechnung von Transmissionskoeffizienten und identifizieren ein semiklassisches Regime, das eine nahezu perfekte Transmission durch die Unordnungsregion erlaubt. Im Regime von starker Unordnung und starken Atom-Atom Wechselwirkungen zeigen wir, dass in Unordnungspotentialen, die eine kritische Länge überschreiten, keine stationären Streuzustände mehr besetzt werden, sondern der Kondensatfluss eine stark zeitabhängige Dynamik aufweist.
Teilchen mit halbzahligem Spin werden als Fermionen bezeichnet. Nach dem Pauli-Verbot dürfen sich zwei Fermionen nicht im selben quantenmechanischen Zustand befinden. Diese Einschränkung gilt jedoch nicht für Teilchen mit ganzzahligem Spin, auch Bosonen genannt. Durch den Wegfall dieser Einschränkung tritt in bosonischen Gasen bei sehr tiefen Temperaturen ein Phasenübergang auf, der so in einem Fermi-Gas oder einem klassischen Gas nicht zu beobachten ist. Die Teilchen des Bose-Gases kondensieren unterhalb einer kritischen Temperatur in den Grundzustand, wodurch dieser makroskopisch besetzt wird. Die Teilchen im Kondensat sind vollständig delokalisiert und können durch eine einzige Wellenfunktion beschrieben werden. Vorhergesagt wurde dieser neue Aggregatzustand von Albert Einstein im Jahre 1924 auf Grundlage der Arbeit von Satyendranath Bose und wird als Bose-Einstein-Kondensat bezeichnet. Der experimentelle Nachweis blieb über 70 Jahre aus und folgte im Jahr 1995. In der vorliegenden Arbeit werden Bose-Einstein-Kondensate untersucht, die sich entlang einer Richtung frei bewegen können. Zwischen den Teilchen besteht eine attraktive Kontaktwechselwirkung. In Mean-Field-Näherung, die Korrelationen zwischen den Teilchen vernachlässigt, können die Kondensate durch die nichtlineare Gross-Pitaevskii-Gleichung beschrieben werden. Stationäre analytische Lösungen der eindimensionalen Gross-Pitaevskii-Gleichung sind bekannt und werden für den Fall attraktiver Wechselwirkung als helle Solitonen bezeichnet. Allgemein sind Solitonen Wellenpakete, die sich ohne Änderung ihrer Form fortbewegen. Sie treten als Lösung von nichtlinearen Wellengleichungen auf und somit auch als Lösung der Gross-Pitaevskii-Gleichung. Ziel der Arbeit ist es jedoch nicht nur stationäre Lösungen zu untersuchen, sondern auch auf die Dynamik von Solitonen sowie deren Stöße untereinander einzugehen. Dazu werden die hellen Solitonen durch Gaußfunktionen approximiert, für die nach dem Variationsprinzip nach McLachlan Bewegungsgleichungen aufgestellt werden. Es gilt zum einen zu untersuchen, inwieweit sich die stationären Solitonen als Superposition von Gaußfunktionen beschreiben lassen und zum anderen wie effektiv sich die Dynamik von Stößen zwischen Solitonen mit gekoppelten Gaußfunktionen behandeln lässt. Für die Veranschaulichung der Dynamik wurden für einige Abbildungen der Arbeit zusätzlich Animationen angefertigt.
Diese Arbeit beschäftigt sich mit numerischen Methoden für das Lösen der Gross-Pitaevskii Gleichung (GPG). Die GPG beschreibt die zeitliche Entwicklung von Bose-Einstein Kondensaten. Im Rahmen dessen werden zwei numerische Methoden eingeführt, die Time Splitting Spectral Methode (TSSM) und die Backward Euler Finite Difference (BEFD) Methode, mit Hilfe derer sowohl Grundzustands- als auch Zeitevolutionsrechnungen durchgeführt werden. Ein besonderes Augenmerk liegt auf der numerischen Analyse eines Box-Potentials. Insbesondere im Hinblick auf die Wahl der räumlichen Auflösung werden verschiedene Parameter eines Box-Potentials untersucht. Außerdem wird eine Methode entwickelt, um die Zeitschritte während der Grundzustandsrechnung zu verkleinern: mit dem Ziel, mit wenig Iterationen besonders genaue Grundzustände zu erreichen. Die Grundidee basiert auf der Halbierung des Zeitschritts, sobald sich die Lösung über einen gewissen Zeitraum nicht mehr signifikant ändert. Am Schluss werden Rechenergebnisse präsentiert, die durch eine MATLAB Implementierung erzeugt und auf einer GPU parallelisiert werden. Dabei werden die numerischen Methoden TSSM und BEFD in einer Dimension auf ihre Ordnungen in Zeit und Raum analysiert. Schließlich werden Anwendungsergebnisse in zwei und drei Dimensionen präsentiert.
Zusammenfassung Die Realisierung der Bose-Einstein Kondensation in verdünnten atomaren Gasen ermöglicht die Untersuchung von fundamentalen makroskopischen Quantenphänomenen, wie den Interferenzen zwischen zwei unabhängig voneinander entstandenen Kondensaten und kollektiven Anregungszuständen in Bose-Einstein Kondensaten.Das Studium dieser Phänomene liefert wichtige Aspekte im Verständnis der Quantenmechanik von Vielteilchensystemen. Nach den Beobachtungen von kollektiven Schwingungsmoden und Schallausbreitung in Bose-Einstein Kondensaten ist es im letzten Jahr erstmalig gelungen, auch Vortices und Solitonen-Zustände anzuregen und zu untersuchen.In Vortices treten die suprafluiden Eigenschaften von Bose-Einstein Kondensaten direkt zutage.Solitonen sind formstabil propagierende, lokalisierte Wellen, die in nichtlinearen Systemen auftreten können.Ihre Untersuchung in Bose-Einstein Kondensaten bietet Verbindungen dieses fundamentalen quantenmechanischen Systems zu anderen Bereichen intensiver naturwissenschaftlicher Forschung, wie zu der nichtlinearen Optik, der Fluidmechanik und ebenfalls der Suprafluidität.Im Rahmen dieser Arbeit wurden erstmals dunkle Solitonen in Bose-Einstein Kondensaten aus 87 Rubidium erzeugt und analysiert.Die Ergebnisse geben über den Entstehungsprozess, die Dynamik und die Dissipation dunkler Solitonen in Materiewellen Aufschluss.Erste Untersuchungen zur Wechselwirkung von Solitonen wurden in Experimenten mit kollidierenden Solitonen durchgeführt.Für die Erzeugung der Solitonen wurde die Methode der Phasenaufprägung an Materiewellen entwickelt und eingesetzt.Möglichkeiten und Grenzen der Phasenaufprägungsmethode wurden mit Hilfe numerischer Simulationen analysiert.Die Methode der Bragg-Spektroskopie von Materiewellen wurde in das Experiment integriert.Dies ermöglichte eine spektroskopische Untersuchung der Wahrscheinlichkeitsstromdichte in den betrachteten Solitonenzuständen.Weitere Schwerpunkte dieser Arbeit waren die Planung und Realisierung des Experiments zur Erzeugung von Bose-Einstein Kondensaten und die Entwicklung und Charakterisierung von atomoptischen Elementen zur kohärenten Manipulation von Bose-Einstein Kondensaten und Atomlasern.Verschiedene atompotische Elemente wurden mit Hilfe der Dipolpotentiale weit verstimmter Lichtfelder realisiert.Insbesondere wurden Experimente mit Spiegeln, Strahlteilern, Wellenleitern und Linsen für Materiewellen durchgeführt.Die in dieser Arbeit erzielten Ergebnisse der Untersuchung dunkler Solitonen in Bose-Einstein Kondensaten stellen einen Beitrag zum Verständnis der Physik nichtlinearer kohärenter Materiewellen dar.Mit den Kombinationsmöglichkeiten der atomoptischen Elemente und Methoden, die in dieser Arbeit entwickelt worden sind, lässt sich eine Vielzahl weiterer fundamentaler Fragestellungen untersuchen.Von hohem Interesse sind u.a.der Einfluss der Dimensionalität des Systems auf Experimente mit Bose-Einstein Kondensaten und interferometrische Messungen mit Bose-Einstein Kondensaten als Quellen kohärenter Materiewellen.
Die vorliegende Arbeit beschreibt Experimente zur Speicherung von Zwei-Teilchen-Verschränkung in einem atomaren Bose-Einstein-Kondensat (BEC).Dabei wird ein einzelnes Atom in einem optischen Resonator hoher Güte zur kontrollierten Erzeugung eines einzelnen Photons verwendet, das mit den inneren Freiheitsgraden des Atoms verschränkt ist.Das Einzelphoton wird in einer optischen Faser zum BEC transportiert und dort gespeichert.Auf diese Weise entsteht Verschränkung zwischen Einzelatom und BEC.Die Speicherung des Photons geschieht in einem Schema, das auf elektromagnetisch induzierter Transparenz beruht.Da das BEC eine hohe optische Dichte besitzt und keine thermische Bewegung der Atome stattfindet, können sowohl eine hohe Effizienz des Speicherprozesses als auch lange Speicherzeiten erreicht werden.Darüber hinaus können die inneren Zustände der Atome im BEC sehr gut präpariert werden, was die Speicherung eines Qubits in den Spinzuständen der Atome mit hoher Fidelity ermöglicht.Wir weisen die Verschränkung zwischen Einzelatom und BEC nach, indem wir nach einer variablen Haltezeit das im BEC gespeicherte Photon auslesen und den Zustand des Atoms auf ein zweites Photon abbilden.Die Fidelity des so entstandenen Zwei-Photonen-Zustandes mit dem erwarteten, maximal verschränkten Singulett-Zustand beträgt 95%.Dies zeigt, dass in allen experimentellen Schritten die Verschränkung nahezu perfekt zwischen photonischen und atomaren Qubits umgewandelt wird.Die Atom-BEC-Verschränkung kann noch nach 100 µs nachgewiesen werden.Diese Zeit übersteigt die Dauer der Einzelphotonen um 2 Größenordnungen.Eine notwendige Voraussetzung für die erfolgreiche Durchführung dieses Experiments war eine gründliche Charakterisierung und Optimierung des Quantenspeichers.Hierzu wurden an der Stelle von Einzelphotonen abgeschwächte Laserpulse mit definierter Polarisation gespeichert.Es zeigt sich, dass selbst nach einer Speicherzeit von 800 µs der mittlere Überlapp des ausgelesenen Polarisationszustandes mit dem Eingangszustand noch 90(2)% beträgt.iii v 5. Stöße und Dynamik in ultrakalten Gasen 5.1.Ultrakalte Quantengase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.2.Kohärente Atompaar-Molekül-Oszillationen . . . . . . . . . . . . . .5.3.Verluste erzeugen Korrelationen in einem eindimensionalen molekularen Gas . . . . . . . . . . . . .
Die kohärente Kontrolle von Quantenzuständen ist Gegenstand von Untersuchungen seitdem Quantensysteme in Laboren erzeugt werden. Die Aussicht, eines Tages einen Quantencomputer realisieren zu können, der Kohärenzeigenschaften von Quantensystemen nützt um die verfügbare Rechenleistung zu vervielfachen, ist dafür selbstverständlich eine wichtige Motivation, jedoch nicht die einzige. Präzise Kontrolle ermöglicht es, Systeme in bestimmten Quantenzuständen zu präparieren und zu manipulieren, etwa um Präzessionsmessungen zu realisieren. Ultrakalte Atome sind ein ideales Modellsystem für fortgeschrittene Kontrollschemata. Von ihrer Umgebung isoliert, verfügen sie über lange Kohärenzzeiten; gleichzeitig ist ihre Reaktion auf externe Anregungen im Vergleich zu anderen Systemen relativ einfach zu untersuchen. Außerdem können unterschiedliche Parameter über einen weiten Bereich abgestimmt werden, wie etwa die Dichte oder Wechselwirkungsstärke. Daraus ergibt sich die Möglichkeit, ein Spektrum von Quantentheorien experimentell zu untersuchen. Kohärente Kontrolle von Quantenzuständen in Systemen aus ultrakalten Atomen ist deshalb ein reiches Forschungsgebiet, das sowohl für fundamentale Tests der Quantentheorie als auch für praktische Anwendungen vielversprechend ist. In dieser Dissertation wurde ein Schema entwickelt um Bewegungszustände eines Bose-Einstein Kondensates gezielt zu manipulieren. Dies geschieht auf eine Art die nicht nur die Kohärenzeigenschaften des Systems bewahrt, sondern auch schnell im Vergleich zur typischen Zeitskala des Systems ist. Experimentell umgesetzt wird dies in einem elongierten Kondensat auf einem Atomchip, welches ursprünglich im transversalen Grundzustand des Fallenpotentials ist. Das Kondensat wird entlang der transversalen Richtung verschoben um höhere Bewegungszustände anzuregen. Mithilfe der Theorie der optimalen Kontrolle wird die Verschiebung des Kondensats optimiert um bestimmte Bewegungszustände oder deren ü berlagerung zu erhalten. Die Optimierungen der 'Schüttelpulse' basieren auf einer Beschreibung des Kondensates in einer mean-field Näherung. Verschiedene Überlagerungen von Bewegungszuständen konnten sowohl theoretisch als auch experimentell in 1.1 ms mit einer Effizienz von mehr als 98 % erreicht werden. Diese Art der Kontrolle wurde angewandt um erstmals ein Interferometer mit Bewegungszuständen zu realisieren. Die beiden Pfade des Interferometers sind hier der Grundzustand und erste tranversal angeregte Zustand. In der Zeit zwischen den beiden optimierten Bewegungspulsen die als Strahlteiler dienen, wird eine Phase akkumuliert. Die Herausforderung bei diesem Schema besteht darin, einen effizienten Puls für alle Phasen zu finden. Das Interferometer wurde numerisch optimiert und erfolgreich experimentell umgesetzt und lieferte einen Kontrast von 92 %. Die so erzeugten ü berlagerungen von Bewegungszuständen sind nicht stabil und es wurde eine Dämpfung auf einer Zeitskala von 10 ms beobachtet. Um ein besseres Verständnis zu erlangen wurden einige Dämpfungsmechanismen in Betracht gezogen und theoretische Modelle entwickelt. Insbesondere werden Dekohärenz und Dephasierung entlang der axialen Richtung des Kondensates untersucht. Ein transversales Vielteilchen- Modell, das drei Bewegungszustände beinhaltet, wurde entwickelt um daraus die Zeitskalen der Dämpfung sowie die Abhängigkeit von Parametern wie Atomzahl und Temperatur abzuleiten und mit den experimentellen Ergebnissen zu vergleichen. Die in dieser Dissertation präsentierten Ergebnisse demonstrieren schnelle und effiziente Kontrolle über Vibrationszustände und ebnen den Weg für praktische Anwendungen, wie etwa ein Interferometer mit Bewegungszuständen. Außerdem eröffnen sie eine neue Richtung für fundamentale Fragestellungen zur Nichtgleichgewichtsphysik in geschlossenen Systemen.