Diese Arbeit beschäftigt sich mit numerischen Methoden für das Lösen der Gross-Pitaevskii Gleichung (GPG). Die GPG beschreibt die zeitliche Entwicklung von Bose-Einstein Kondensaten. Im Rahmen dessen werden zwei numerische Methoden eingeführt, die Time Splitting Spectral Methode (TSSM) und die Backward Euler Finite Difference (BEFD) Methode, mit Hilfe derer sowohl Grundzustands- als auch Zeitevolutionsrechnungen durchgeführt werden. Ein besonderes Augenmerk liegt auf der numerischen Analyse eines Box-Potentials. Insbesondere im Hinblick auf die Wahl der räumlichen Auflösung werden verschiedene Parameter eines Box-Potentials untersucht. Außerdem wird eine Methode entwickelt, um die Zeitschritte während der Grundzustandsrechnung zu verkleinern: mit dem Ziel, mit wenig Iterationen besonders genaue Grundzustände zu erreichen. Die Grundidee basiert auf der Halbierung des Zeitschritts, sobald sich die Lösung über einen gewissen Zeitraum nicht mehr signifikant ändert. Am Schluss werden Rechenergebnisse präsentiert, die durch eine MATLAB Implementierung erzeugt und auf einer GPU parallelisiert werden. Dabei werden die numerischen Methoden TSSM und BEFD in einer Dimension auf ihre Ordnungen in Zeit und Raum analysiert. Schließlich werden Anwendungsergebnisse in zwei und drei Dimensionen präsentiert.
Diese Arbeit beschäftigt sich mit numerischen Methoden für das Lösen der Gross-Pitaevskii Gleichung (GPG). Die GPG beschreibt die zeitliche Entwicklung von Bose-Einstein Kondensaten. Im Rahmen dessen werden zwei numerische Methoden eingeführt, die Time Splitting Spectral Methode (TSSM) und die Backward Euler Finite Difference (BEFD) Methode, mit Hilfe derer sowohl Grundzustands- als auch Zeitevolutionsrechnungen durchgeführt werden. Ein besonderes Augenmerk liegt auf der numerischen Analyse eines Box-Potentials. Insbesondere im Hinblick auf die Wahl der räumlichen Auflösung werden verschiedene Parameter eines Box-Potentials untersucht. Außerdem wird eine Methode entwickelt, um die Zeitschritte während der Grundzustandsrechnung zu verkleinern: mit dem Ziel, mit wenig Iterationen besonders genaue Grundzustände zu erreichen. Die Grundidee basiert auf der Halbierung des Zeitschritts, sobald sich die Lösung über einen gewissen Zeitraum nicht mehr signifikant ändert. Am Schluss werden Rechenergebnisse präsentiert, die durch eine MATLAB Implementierung erzeugt und auf einer GPU parallelisiert werden. Dabei werden die numerischen Methoden TSSM und BEFD in einer Dimension auf ihre Ordnungen in Zeit und Raum analysiert. Schließlich werden Anwendungsergebnisse in zwei und drei Dimensionen präsentiert.
Teilchen mit halbzahligem Spin werden als Fermionen bezeichnet. Nach dem Pauli-Verbot dürfen sich zwei Fermionen nicht im selben quantenmechanischen Zustand befinden. Diese Einschränkung gilt jedoch nicht für Teilchen mit ganzzahligem Spin, auch Bosonen genannt. Durch den Wegfall dieser Einschränkung tritt in bosonischen Gasen bei sehr tiefen Temperaturen ein Phasenübergang auf, der so in einem Fermi-Gas oder einem klassischen Gas nicht zu beobachten ist. Die Teilchen des Bose-Gases kondensieren unterhalb einer kritischen Temperatur in den Grundzustand, wodurch dieser makroskopisch besetzt wird. Die Teilchen im Kondensat sind vollständig delokalisiert und können durch eine einzige Wellenfunktion beschrieben werden. Vorhergesagt wurde dieser neue Aggregatzustand von Albert Einstein im Jahre 1924 auf Grundlage der Arbeit von Satyendranath Bose und wird als Bose-Einstein-Kondensat bezeichnet. Der experimentelle Nachweis blieb über 70 Jahre aus und folgte im Jahr 1995. In der vorliegenden Arbeit werden Bose-Einstein-Kondensate untersucht, die sich entlang einer Richtung frei bewegen können. Zwischen den Teilchen besteht eine attraktive Kontaktwechselwirkung. In Mean-Field-Näherung, die Korrelationen zwischen den Teilchen vernachlässigt, können die Kondensate durch die nichtlineare Gross-Pitaevskii-Gleichung beschrieben werden. Stationäre analytische Lösungen der eindimensionalen Gross-Pitaevskii-Gleichung sind bekannt und werden für den Fall attraktiver Wechselwirkung als helle Solitonen bezeichnet. Allgemein sind Solitonen Wellenpakete, die sich ohne Änderung ihrer Form fortbewegen. Sie treten als Lösung von nichtlinearen Wellengleichungen auf und somit auch als Lösung der Gross-Pitaevskii-Gleichung. Ziel der Arbeit ist es jedoch nicht nur stationäre Lösungen zu untersuchen, sondern auch auf die Dynamik von Solitonen sowie deren Stöße untereinander einzugehen. Dazu werden die hellen Solitonen durch Gaußfunktionen approximiert, für die nach dem Variationsprinzip nach McLachlan Bewegungsgleichungen aufgestellt werden. Es gilt zum einen zu untersuchen, inwieweit sich die stationären Solitonen als Superposition von Gaußfunktionen beschreiben lassen und zum anderen wie effektiv sich die Dynamik von Stößen zwischen Solitonen mit gekoppelten Gaußfunktionen behandeln lässt. Für die Veranschaulichung der Dynamik wurden für einige Abbildungen der Arbeit zusätzlich Animationen angefertigt.
Gegenstand dieser Arbeit ist die theoretische Untersuchung von dipolaren Bose-Einstein-Kondensaten in verschiedenen externen Potentialen. Maßgeblich relevant sind hierbei Effekte, welche sich aus der dipolaren Wechselwirkung ergeben und zu interessanten neuen Einblicken führen. Die theoretische Beschreibung erfolgt über eine voll-numerische Lösung der Gross-Pitaevskii-Gleichung auf einem dreidimensionalen Gitter. Der diesbezügliche Algorithmus ist für die Verwendung der hierfür notwendigen CUDA Hardware hochparallelisiert implementiert worden und ermöglicht erstmals eine systematische Untersuchung vieler Eigenschaften dipolarer Bose-Einstein-Kondensate in verschiedensten externen Potentialen. Als maßgeblicher Fortschritt erweist sich hierbei der Umstand, dass sowohl auf die Verwendung von Näherungen zur Reduktion der Rechenzeit sowie auf die Benutzung großer Rechencluster verzichtet werden kann. Die Lösung der Gross-Pitaevskii-Gleichung mit Hilfe der Imaginär- und Realzeitentwicklung erlaubt die Bestimmung von Grundzuständen und der hieraus resultierenden Dynamik des Kondensats. Insbesondere letzteres ermöglicht die Simulation von experimentnahen Situationen, beispielsweise durch die zeitliche Änderung wichtiger Systemparameter. Da die Verwendung eines Gitters die Implementierung nahezu beliebiger Potentiale ermöglicht, sind weitreichende Vorhersagen zum Verhalten dipolarer Bose-Einstein-Kondensate in einem Experiment möglich. Das präsentierte numerische Verfahren wird auf insgesamt drei unterschiedliche Systeme angewandt. Das erste behandelte System umfasst die Kollisionsdynamik von quasi-zweidimensionalen Solitonen. Hierbei werden unterschiedliche Startparameter wie Anfangsimpuls, Streuparameter und Phasendifferenzen betrachtet, um einen möglichst breiten Überblick über die qualitativ mögliche Kollisionsdynamik zu geben. Das zweite System behandelt Drei-Mulden-Potentiale, welche ein Modellsystem für periodische optische Gitter darstellen. Solche Systeme ermöglichen es, Effekte wie die Selbstorganisation und Strukturbildung in Systemen mit dipolarer Wechselwirkung zu untersuchen. Präsentiert werden unter anderem ein Phasendiagramm, in welchem die qualitativ vorkommenden Grundzustände in Abhängigkeit wichtiger Systemparameter dargestellt sind, sowie Realzeitentwicklungen, welche unter anderem die zeitliche Dynamik von metastabilen Zuständen demonstrieren. Die Simulationen zu den Solitonen und dem Drei-Mulden-Potential sind auf Grund der Skalierungseigenschaften der verwendeten Einheitensysteme für alle dipolaren Systeme gültig und werden jeweils durch Vergleiche mit Ergebnissen aus einem Variationsansatz verglichen und komplettiert. Das letzte untersuchte System umfasst Rechnungen zu Kondensaten mit Dysprosium. Diese sollen der Arbeitsgruppe von Professor Pfau am 5. Physikalischen Institut für Physik der Universität Stuttgart bei der Realisierung eines dipolaren Kondensats mit Dysprosium behilflich sein und sind auf die gewünschten experimentellen Spezifikationen angepasst. Untersucht werden strukturierte Grundzustände, Stabilitätsgrenzen und Expansionsdynamiken, mit deren Hilfe sich unter anderem die Streulänge von Dysprosium bestimmen lässt.
In dieser Arbeit werden zwei Arten von Systemen und deren Verbindung untersucht: Zum einen das zweidimensionale Isingmodell auf dem Zylinder mit unterschiedlichen Randbedingungen, insbesondere die Abhängigkeit des Skalenverhaltens unter Variation des Seitenverhältnisses und der Temperatur, zum anderen kolloidale Suspensionen, welche mittels kritischen Casimir-Kräften wechselwirken. Die am kritischen Punkt gültige konforme Invarianz des Isingmodells wird im ersten Teil diskutiert. Da diese genutzt werden kann, um den kritischen Zylinder auf ein System von zwei Teilchen in einem unendlichen Medium abzubilden, werden Methoden diskutiert, den Zylinder auch auf andere Geometrien abzubilden, die mathematisch zweifach-zusammenhängende Gebiete bilden. Darauf aufbauend wird eine Approximation für Dreiteilchen-Wechselwirkungen entwickelt und diese mit Monte-Carlo-Simulationen verglichen. Um endliche Systeme mit unterschiedlichen Randbedingungen zu untersuchen, wird im zweiten Teil die von Kasteleyn und Fisher entwickelte Abbildung zwischen einem System von dicht-gepackten Dimeren und der Hochtemperaturreihe des zweidimensionalen Isingmodells diskutiert. Diese wird auf beliebige Kopplungsverteilungen erweitert, sodass Oberflächen in das System eingebracht werden können. Anschlie- ßend werden zwei Möglichkeiten präsentiert, die Anzahl an Freiheitsgraden systematisch und sukzessiv zu verringern. Bei der ersten Methode wird die aus der Kasteleyn-Fisher-Abbildung stammende Matrix mithil- fe von zwei direkt aufeinander folgenden Schur-Reduktionen in eine schiefsymmetrische und tridiagonale Blockform gebracht. Die Determinante der resultierenden Matrix wird mit der Transfermatrixmethode von Molinari berechnet, wofür im letzten Schritt die Eigenwerte und -vektoren dieser Transfermatrix bestimmt werden müssen. Die zweite Methode führt unter der Annahme von Translationsinvarianz eine Blockdiagonalisierung zur Berechnung der auftretenden Determinanten durch, wodurch sich das restliche Problem mithilfe einer 2 × 2-Transfermatrix lösen lässt. Um die temperaturabhängigen Skalenfunktionen für endliche Seitenverhältnisse zu bestimmen, wird eine anisotrope Skalentheorie für das zweidimensionale Isingmodell entwickelt. Die auftretenden divergenten Summen werden über komplexe Kurvenintegrale und mithilfe einer hyperbolischen Parametrisierung, sowie weiteren Methoden, die hauptsächlich auf der komplexen Funktionentheorie beruhen, regularisiert. Die Skalenfunktionen für den Torus mit allen vier Kombinationen von periodischen und antiperiodischen Randbedingungen bilden den Anfang der Berechnungen, und auf ihnen aufbauend werden anschließend die Skalenfunktionen für den offenen Zylinder mit sowohl periodischen als auch antiperiodischen Rändern, sowie die zugehörigen Oberflächenspannungen bestimmt. Abgeschlossen wird dieser letzte Teil mit der Einführung von Oberflächenfeldern, mit deren Hilfe die Skalenfunktionen für (++)-, (+−)-, und Brascamp-Kunz-Randbedingungen bestimmt werden.
In dieser Promotionsschrift werden Untersuchungen thermodynamischer und statistischer Eigenschaften von Bose-Einstein-Kondensaten in endlichen Systemen präsentiert. Grosskanonische Beschreibungen idealer Bose-Gase liefern analytische und numerische Ergebnisse für die Wärmekapazitäten und Grundzustand-Besetzungen in verschiedenen Potentialen. Verbesserte analytische Berechnungen der Kondensations-Temperatur führen zu akkuraten quantitativen Beschreibungen der Finite-Size-Effekte. Entgegen einer weit verbreiteten Meinung liefert die grosskanonische Bose-Einstein-Verteilung jedoch eine falsche Beschreibung der Teilchenzahl-Statistik im Kondensations-Bereich. Eine alternative Beschreibung der Bose-Einstein-Kondensation für Systeme im thermischen Gleichgewicht ist innerhalb der kanonischen Ensemble-Theorie möglich. Die Rechnungen dazu werden im Rahmen der Vielteilchen-Theorie mit Hilfe der Pfadintegral-Methode durchgeführt. Es ergeben sich dabei physikalisch sinnvolle Resultate für thermodynamische Grössen im gesamten Temperaturbereich. Insbesondere wird darin auch das von Feynman fehlerhaft behandelte Problem des homogenen Gases in einer geeigneten Weise korrigiert. Weiterhin wird bestätigt, dass die Teilchenzahl-Statistik innerhalb der kanonischen Ensemble-Theorie adäquat beschrieben wird. Ein weiteres Forschungsgebiet, das in dieser Schrift beleuchtet wird, beschäftigt sich mit thermodynamischen Eigenschaften der schwach kontakt- und dipolar wechselwirkenden Bose-Gasen. Hierbei wird der Einfluss der Wechselwirkungen auf die Kondensations-Temperatur der in harmonischen Fallen eingefangenen Bosonen studiert. Das besondere Augenmerk gilt dabei der charakteristischen Sensitivität der Dipol-Dipol-Wechselwirkung gegenüber der Fallen-Anisotropie.
Die vorliegende Arbeit setzt sich aus drei Teilen zusammen. Der erste Teil deckt die Grundlagen zum elektronischen Vielteilchenproblem in der Physik der kondensierten Materie ab und stellt den theoretischen Hintergrund der GW Methode vor. Nach einer Einführung zur Dichtefunktionaltheorie (DFT) werden später Methoden welche über konventionelle DFT hinausgehen, wie DFT+U und Hybridfunktionale vorgestellt. Dabei werden auch die jeweiligen Grenzen der Anwendbarkeit dieser Methoden diskutiert. Anschließend wird ein überblick über die GW Approximation gegeben, beginnend mit dem Bandlückenproblem und experimenteller Photoemissionsspektroskopie. Die Herleitung der GW Approximation aus der Vielkörper-Störungstheorie wird danach ausführlich behandelt. Insbesondere werden die Ein-Teilchen-Green's-Funktionen, die Dyson-Gleichung und die Hedin-Gleichungen eingeführt. Zuletzt wird die praktische Umsetzung der GW Approximation besprochen, einschließlich der konventionellen GW Implementierungen sowie der Space-Time-Methode. Hierbei werden auch die Nachteile der bestehenden GW Implementierungen aufgezeigt, wodurch die Notwendigkeit für einen niedrig skalierenden GW Algorithmus deutlich wird. Aus dieser überlegung stammt die Motivation zu dieser Arbeit. Abschließend kann gesagt werden, dass dieser Teil eine solide Grundlage bildet und eine konsequente Terminologie für den zweiten Teil der Arbeit einführt. Der zweite Teil präsentiert unsere kürzlich entwickelte Low-Scaling-GW Methode, die im "Vienna ab-initio Simulation Package" (VASP), einem weit verbreiteten Programm zur Berechnung der elektronischen Struktur, implementiert wurde. Diese neue Methode ermöglicht schnelle Quasiteilchenberechnungen mit einer Skalierung, die sich in der Systemgröße kubisch verhält und linear in der Anzahl der k-Punkte, die verwendet werden um die Brillouin-Zone zu sampeln. Dadurch werden sowohl die Nachteile der konventionellen GW Implementierungen, welche in der Regel auf kleine Systeme beschränkt sind, als auch jene der speicherintensiven Space-Time-Methode überwunden. Es wird ausführlich erläutert, wie eine so günstige Skalierung erreicht werden kann. Danach wird der Erfolg der Methode bei der Berechnung von Quasiteilchen-Energien und Spektralfunktionen typischer Isolatoren, Halbleiter und Metalle diskutiert. Die Ergebnisse werden mit konventionellen GW Berechnungen verglichen und es zeigt sich eine sehr hohe übereinstimmung. Darüber hinaus wurde die neue Methode auch erfolgreich zur Bestimmung der Ionisierungspotentiale und der Elektronenaffinitäten von hundert Closed-Shell-Molekülen angewandt. Die Ergebnisse werden mit experimentellen Daten sowie Ergebnissen aus anderen elektronischen Strukturpaketen verglichen. Insgesamt wurde eine gute übereinstimmung erzielt. Um diese übereinstimmung zu erreichen, korrigieren wir die Fehler für endliche Basissätze sowie Fehler, die durch periodisch wiederholte Bilder entstehen. Für die etwas größeren Abweichungen der Elektronenaffinitäten werden mögliche Erklärungen diskutiert. Wegen der geringen Skalierung unserer neuen Methode glauben wir, dass sie ein großes Anwendungspotenzial besitzt, insbesondere für große Einheitszellen. Dies wird im Bereich der Materialmodellierung dazu beitragen, Methoden welche über DFT hinaus gehen zu etablieren. Die vorgestellte Low-Scaling-GW stellt zwar einen großen Fortschritt gegenüber älterer GW Methoden dar, jedoch wird in der aktuellen Implementierung die Spin-Orbit-Kopplung (SOC) nicht berücksichtigt, während dies bei der herkömmlichen GW Implementierung in VASP möglich ist. In diesem Abschnitt werden daher einige änderungen an der herkömmlichen Implementierung der GW besprochen, welche es erlauben mäßig große Systeme zu behandeln, bei denen SOC nicht vernachlässigt werden darf. Dies wird durch optimierte imaginäre Zeit/Frequenz Gitter sowie äußerst effiziente diskrete Fourier-Transformationen erreicht, beides Hauptmerkmale der neuen Low-Scaling-GW Methode. Die modifizierte GW Methode wurde für ZnO und CdTe getestet und es zeigt sich eine ausgezeichnete übereinstimmung mit der herkömmlichen, unmodifizierten GW Implementierung. Darüber hinaus wird eine teilweise selbst-konsistente Low-Scaling-GW0r Methode vorgestellt und vorläufige Testergebnisse für Si werden präsentiert. Die Auswirkungen der Selbstkonsistenz werden in Bezug auf Teilchenzahlerhaltung und Bandlücken diskutiert. Abschließend wird noch eine praktikable Möglichkeit zur Kombination unserer Low-Scaling-GW Methode mit der Dynamical-Mean-Field-Theorie (DMFT), d.h. GW+DMFT, vorgestellt. Besonders hervorgehoben und ausführlich besprochen wird die frequenzabhängige, partiell abgeschirmte Wechselwirkung U(iw), welche mittels der Constrained-Random-Phase-Approximation (cRPA) berechnet wird sowie das Double-Counting, das bei GW+DMFT auftritt. Vorläufige Ergebnisse von GW+DMFT für SrVO3 werden präsentiert. Am Ende der Arbeit befindet sich eine Conclusio in welcher die Ergebnisse und Schlussfolgerungen zusammengefasst werden und ein Ausblick über die weitere Entwicklung skizziert ist. Es sei noch angemerkt, dass einige Gleichungen und Herleitungen separat in den Anhängen platziert wurden. Obwohl viele dieser Gleichungen zum besseren Verständnis des Haupttextes beitragen, wurde zum Zwecke der besseren Lesbarkeit und übersicht diese Aufteilung gewählt. Der interessierte Leser wird daher in den Anhängen nützliche und ausführliche Details finden.
Le phénomène de condensation d’un gaz de bosons lorsqu’il est refroidi à zéro degrés Kelvin futdécrit par Einstein en 1925 en s’appuyant sur des travaux de Bose. Depuis lors, de nombreux physiciens,mathématiciens et numériciens se sont intéressés au condensat de Bose-Einstein et à son caractère superfluide. Nous proposons dans cette étude des méthodes numériques ainsi qu’un code informatique pour la simulation d’un condensat de Bose-Einstein en rotation. Le principal modèle mathématique décrivant ce phénomène physique est une équation de Schrödinger présentant une non-linéarité cubique,découverte en 1961 : l’équation de Gross-Pitaevskii (GP). En nous appuyant sur le logiciel FreeFem++,nous nous servons d’une discrétisation spatiale en éléments-finis pour résoudre numériquement cette équation. Une méthode d’adaptation du maillage à la solution et l’utilisation d’éléments-finis d’ordre deux nous permet de résoudre finement le problème et d’explorer des configurations complexes en deux ou trois dimensions d’espace. Pour sa version stationnaire, nous avons développé une méthode de gradient de Sobolev ou une méthode de point intérieur implémentée dans la librairie Ipopt. Pour sa version instationnaire, nous utilisons une méthode de Time-Splitting combinée à un schéma de Crank-Nicolson ou une méthode de relaxation. Afin d’étudier la stabilité dynamique et thermodynamique d’un état stationnaire, le modèle de Bogoliubov-de Gennes propose une linéarisation de l’équation de Gross-Pitaevskii autour de cet état. Nous avons élaboré une méthode permettant de résoudre ce système aux valeurs et vecteurs propres, basée sur un algorithme de Newton ainsi que sur la méthode d’Arnoldi implémentée dans la librairie Arpack.