In dieser Arbeit erörtern wir ein eindimensionales Lieb Liniger Modell für Bosonen mit einem zusätzlichen Zufallspotenzial. Für dieses Modell von schwach wechselwirkendem Bosegas wurde von Seiringer, Yngvason und Zagrebnov gezeigt, dass für N nach unendlich, wobei N die Anzahl an Teilchen bezeichnet, die Gross Pitaevskii Energie zur quantenmechanischen Energie konvergiert. Weiters wurde gezeigt, dass für den Vielteilchenlimes vollständige Bose Einstein Kondensation (BEC) existiert. Für die Diskussion von Superfluidität, ist eine genauere Analyse der Gross Pitaevskii Dichte nötig und für bestimmte Limiten wird diese Analyse in dieser Arbeit durchgeführt. Im Speziellen können wir zeigen, dass für schwache Wechselwirkung keine Superfluidität im Limes existiert, auch wenn Bose Einstein Kondensation vorkommt. Andererseits können wir zeigen, dass es einen Parameterbereich gibt, in dem vollständige Superfluidität stattfindet. Daher fordert die Existenz von Superfluidität stärkere Voraussetzungen als die Existenz von BEC, in diesem eindimensionalen Modell. In derselben Arbeit von Seiringer, Yngvason und Zagrebnov wurde gezeigt, dass in einem speziellen Parameterbereich, ein deterministischer Limes für die Gross Pitaevskii Energie existiert welche von dem Zufallspotenzial abhängt. In dieser Arbeit erweitern wir diesen Beweis um Abschätzungen für die Konvergenz in Wahrscheinlichkeit. Weiters beweisen wir, dass es möglich ist, diese Konvergenz auch für ein Bernoulli Zufallspotenzial zu erreichen.
In dieser Arbeit erörtern wir ein eindimensionales Lieb Liniger Modell für Bosonen mit einem zusätzlichen Zufallspotenzial. Für dieses Modell von schwach wechselwirkendem Bosegas wurde von Seiringer, Yngvason und Zagrebnov gezeigt, dass für N nach unendlich, wobei N die Anzahl an Teilchen bezeichnet, die Gross Pitaevskii Energie zur quantenmechanischen Energie konvergiert. Weiters wurde gezeigt, dass für den Vielteilchenlimes vollständige Bose Einstein Kondensation (BEC) existiert. Für die Diskussion von Superfluidität, ist eine genauere Analyse der Gross Pitaevskii Dichte nötig und für bestimmte Limiten wird diese Analyse in dieser Arbeit durchgeführt. Im Speziellen können wir zeigen, dass für schwache Wechselwirkung keine Superfluidität im Limes existiert, auch wenn Bose Einstein Kondensation vorkommt. Andererseits können wir zeigen, dass es einen Parameterbereich gibt, in dem vollständige Superfluidität stattfindet. Daher fordert die Existenz von Superfluidität stärkere Voraussetzungen als die Existenz von BEC, in diesem eindimensionalen Modell. In derselben Arbeit von Seiringer, Yngvason und Zagrebnov wurde gezeigt, dass in einem speziellen Parameterbereich, ein deterministischer Limes für die Gross Pitaevskii Energie existiert welche von dem Zufallspotenzial abhängt. In dieser Arbeit erweitern wir diesen Beweis um Abschätzungen für die Konvergenz in Wahrscheinlichkeit. Weiters beweisen wir, dass es möglich ist, diese Konvergenz auch für ein Bernoulli Zufallspotenzial zu erreichen.
In dieser Dissertation werden das Anregungsspektrum und das Phasendiagramm wechselwirkender Fermi- und Bosegase untersucht. Zu diesem Zweck wird eine neuartige renormierte Kadanoff-Martin-Näherung vorgestellt, die Selbstwechselwirkung von Teilchen vermeidet und somit eine einheitliche Beschreibung sowohl der normalen als auch der kondensierten Phase ermöglicht. Für Fermionen findet man den BCS-Zustand, benannt nach Bardeen, Cooper und Schrieffer, welcher entscheidend ist für das Phänomen der Supraleitung. Charakteristisch für diesen Zustand ist eine Energielücke im Anregungsspektrum an der Fermi-Energie. Weiterhin tritt für Bosonen eine Bose-Einstein-Kondensation (BEC) auf, bei der das Anregungsspektrum für kleine Impulse linear ist. Letzteres führt zum Phänomen der Suprafluidität. Über die bereits bekannten Phänomene hinaus findet man eine dem BCS-Zustand ähnliche Kondensation von Zweiteilchenbindungszuständen, sowohl für Fermionen als auch für Bosonen. Für Fermionen tritt ein Übergang zwischen der Kondensation von Bindungszuständen und dem BCS-Zustand auf, der sogenannte BEC-BCS-Übergang. Die Untersuchung der Zustandsgleichung zeigt, dass im Gegensatz zu Fermi-Gasen und Bose-Gasen mit abstoßender Wechselwirkung Bose-Gase mit anziehender Wechselwirkung zu einer Flüssigkeit kondensieren oder sich verfestigen, bevor es zur Kondensation von Bindungszuständen oder zur Bose-Einstein-Kondensation kommt. Daher können diese Phänomene voraussichtlich nicht in der Gasphase beobachtet werden. Zusammenfassend lässt sich sagen, dass das vorgestellte Näherungsverfahren sehr gut geeignet ist, die erwähnten Phänomene im Zusammenhang mit der Bose-Einstein-Kondensation zu beschreiben.
Teilchen mit halbzahligem Spin werden als Fermionen bezeichnet. Nach dem Pauli-Verbot dürfen sich zwei Fermionen nicht im selben quantenmechanischen Zustand befinden. Diese Einschränkung gilt jedoch nicht für Teilchen mit ganzzahligem Spin, auch Bosonen genannt. Durch den Wegfall dieser Einschränkung tritt in bosonischen Gasen bei sehr tiefen Temperaturen ein Phasenübergang auf, der so in einem Fermi-Gas oder einem klassischen Gas nicht zu beobachten ist. Die Teilchen des Bose-Gases kondensieren unterhalb einer kritischen Temperatur in den Grundzustand, wodurch dieser makroskopisch besetzt wird. Die Teilchen im Kondensat sind vollständig delokalisiert und können durch eine einzige Wellenfunktion beschrieben werden. Vorhergesagt wurde dieser neue Aggregatzustand von Albert Einstein im Jahre 1924 auf Grundlage der Arbeit von Satyendranath Bose und wird als Bose-Einstein-Kondensat bezeichnet. Der experimentelle Nachweis blieb über 70 Jahre aus und folgte im Jahr 1995. In der vorliegenden Arbeit werden Bose-Einstein-Kondensate untersucht, die sich entlang einer Richtung frei bewegen können. Zwischen den Teilchen besteht eine attraktive Kontaktwechselwirkung. In Mean-Field-Näherung, die Korrelationen zwischen den Teilchen vernachlässigt, können die Kondensate durch die nichtlineare Gross-Pitaevskii-Gleichung beschrieben werden. Stationäre analytische Lösungen der eindimensionalen Gross-Pitaevskii-Gleichung sind bekannt und werden für den Fall attraktiver Wechselwirkung als helle Solitonen bezeichnet. Allgemein sind Solitonen Wellenpakete, die sich ohne Änderung ihrer Form fortbewegen. Sie treten als Lösung von nichtlinearen Wellengleichungen auf und somit auch als Lösung der Gross-Pitaevskii-Gleichung. Ziel der Arbeit ist es jedoch nicht nur stationäre Lösungen zu untersuchen, sondern auch auf die Dynamik von Solitonen sowie deren Stöße untereinander einzugehen. Dazu werden die hellen Solitonen durch Gaußfunktionen approximiert, für die nach dem Variationsprinzip nach McLachlan Bewegungsgleichungen aufgestellt werden. Es gilt zum einen zu untersuchen, inwieweit sich die stationären Solitonen als Superposition von Gaußfunktionen beschreiben lassen und zum anderen wie effektiv sich die Dynamik von Stößen zwischen Solitonen mit gekoppelten Gaußfunktionen behandeln lässt. Für die Veranschaulichung der Dynamik wurden für einige Abbildungen der Arbeit zusätzlich Animationen angefertigt.
Die vorliegende Arbeit befasst sich mit dem Einfluss der Wechselwirkung zwischen extrem kalten Bosonen, die in einem optischem Gitter gehalten werden, auf des Streusignal eines Teilchens, welches als Sonde fungiert. Die Bosonen im Gitter werden durch das Bose-Hubbard-Modell beschrieben. Ausgangspunkt für unsere Untersuchungen ist ein allgemeiner Ausdruck für den Streuquerschnitt des Teilchens, der für beliebige Wechselwirkungsstärken gültig ist. Generell erfordert die Bestimmung der Streueigenschaften die numerische Diagonalisierung des Hamilton- Operators, welcher die Bosonen beschreibt. Um eine analytische Beschreibung des Problems zu erhalten, machen wir von verschiedenen Näherungen Gebrauch, die für unterschiedliche Stärken der Wechselwirkung gültig sind. Numerische Simulationen zeigen, daß sich die Wechselwirkungsstärke im inelastischen Streuquerschnitt offenbart, welcher mit zunehmender Wechselwirkungsenergie abnimmt. Im Regime schwacher Wechselwirkungen können die Bosonen im Gitter durch eine makroskopisch besetzte Wellenfunktion – dem sogenannten Kondensat – beschrieben werden, vorausgesetzt die Zahl der Bosonen, die sich nicht im Kondensat befinden, ist klein im Vergleich zu ihrer Gesamtzahl. In der Bogoliubov-Näherung wird der Hamilton-Operator der Bosonen im Gitter durch eine klassische Hamilton-Funktion ersetzt, und Quantenfluktuationen um das klassische Feld (welches das Kondensat beschreibt) werden als Störung betrachtet. Dies erlaubt die analytische Bestimmung des Streuquerschnitts, der aufgrund der Anregung von Dichtefluktuationen einen nichtverschwindenden inelastischen Anteil aufweist. Wir zeigen, daß dieser für kleine Werte der Wechselwirkung linear abnimmt. Dieser lineare Zerfall ist universell insofern, als seine Steigung unabhängig von der bosonischen Dichte und der Größe des Gitters ist. Im Falle starker repulsiver Wechselwirkungen wird ein Quantenphasenübergang der Bosonen von einem superfluiden in einen isolierenden Zustand erwartet. In diesem Regime lässt sich das System störungstheoretisch behandeln, wobei der Wechselwirkungsterm im Hamilton-Operator der Bosonen im Gitter als Operator des ungestörten Systems betrachtet wird, und die kinetische Energie in Form des quantenmechanischen Tunnelns der Teilchen als Störung. Große Wechselwirkungsstärken führen zu einer Unterdrückung von Dichtefluktuationen – aufgrund der Abstoßung, welche die Lokalisierung der Atome energetisch favorisiert – und damit zur Abnahme des inelastischen Streusignals. Wir leiten eine Näherung für den inelastischen Streuquerschnitt in niedrigster Ordnung in der Tunnelstärke her. Im Gegensatz zum schwach wechselwirkenden Regime zerfällt das Streusignal hier quadratisch als Funktion der Wechselwirkung. Insbesondere ist in dieser Ordnung der Näherung keine qualitative änderung des Zerfalls am erwarteten Punkt des Quantenphasenübergangs zu beobachten. Um die Genauigkeit unserer Näherungen zu prüfen und ihre Aussagekraft zu untermauern, führen wir in sämtlichen Fällen numerische Simulationen des exakten Streuproblems durch und vergleichen die erhaltenen Daten mit den Näherungsformeln. So können wir zeigen, daß die von uns hergeleitete analytische Beschreibung innerhalb der jeweiligen Grenzen ihrer Gültigkeit die numerisch erhaltenen Daten zu reproduzieren vermag. Entsprechend diskutieren und erläutern wir Abweichungen, die auftreten, wenn diese Grenzen überschritten werden.
Definition of the counting measure 3 Derivation of the Two Dimensional Gross-Pitaevskii EquationThe derivations are based on a method developed by Pickl in [Lett.Math.Phys.97(2), 151-164 (2011)].This thesis is based on the preprints [25,26,27].viii Summary Zusammenfassung Diese Arbeit befasst sich mit mathematisch rigorosen Herleitungen der kubischen nichtlinearen Schrödingergleichung für mehrere Vielteilchensysteme. Wir sind insbesondere an dynamischen Systemen interessiert, deren Wechselwirkungspotential teilweise oder komplett attraktiv gewählt werden kann.Zunächst untersuchen wir die Dynamik eines Bose-Einstein Kondensates in zwei Dimensionen.Das Wechselwirkungspotential ist hierbei entweder durch W β (x) = N -1+2β W (N β x), für alle β > 0, oder durch V N (x) = e 2N V (e N x) gegeben.Sowohl V , als auch W werden als als sphärisch symmetrisch und mit kompakten Träger angenommen, mit W, V ∈ L ∞ (R 2 , R). Weiterhin können W und V einen genügend kleinen negativen Anteil besitzen.In beiden Fällen beweisen wir die Konvergenz der reduzierten Dichtematrix der exakten Zeitentwicklung gegen den Projektor auf die Lösung der entsprechenden nichtlinearen Schrödinger-Gleichung.Die Konvergenz ist hierbei in der Spurnorm zu verstehen.Für das Potential V N zeigen wir, dass es entscheidend ist, die mikroskopische Struktur des Kondensats zu berücksichtigen, um die korrekte Dynamik zu erhalten.Als nächstes leiten wir die dreidimensionale zeitabhängige Gross-Pitaevskii-Gleichung ausgehend von einem wechselwirkenden N -Teilchen System von Bosonen her.Unsere Arbeit erweitert ein früheres Resultat [60] auf Wechselwirkungspotentiale, die nicht nichtnegativ sein müssen, sondern einen ausreichend kleinen negativen Teil aufweisen können.Eine Schlüsselabschätzung in unserem Beweis ist eine Operatorungleichung, welche zuerst von Jun Yin bewiesen wurde, siehe [72].Zuletzt präsentieren wir eine mikroskopische Herleitung der zweidimensionalen kubischen nichtlinearen Schrödinger-Gleichung.Das Wechselwirkungspotential, das wir in Betracht ziehen, ist gegeben durch W β (x) = N -1+2β W (N β x), wobei W ∈ L ∞ (R 2 , R) als sphärisch symmetrisch und mit kompakten Träger angenommen wird.Die Klasse der anfänglichen Wellenfunktionen wird so gewählt, dass die Varianz in der Energie klein ist.Außerdem nehmen wir an, dass der Hamilton-Operator H WStabilität der zweiten Art erfüllt, d.h.es ist H W β ,t ≥ -CN gegeben.Wir beweisen die Konvergenz der reduzierten Dichte-Matrix der exakten Zeitentwicklung gegen den Projektor auf die Lösung der entsprechenden nichtlinearen Schrödinger-Gleichung.Diese Konvergenz erfolgt im Falle A t p < ∞, für p > 2, in der Sobolev-Spurnorm, für allgemeinere externe Potenziale erfolgt diese in der Spurnorm.Für Potentiale der Form A(x) = C|x| s , C > 0, kann die Bedingung H W β ,t ≥ -CN für eine bestimmte Klasse von x Summary Wechselwirkungen W β erfüllt werden, für alle 0 < β < s+1 s+2 , siehe [47].Die in der Arbeit vorgenommenen Herleitungen basieren auf einer Arbeit von Pickl [Lett.Math.Phys.97(2), 151-164 (2011)].Diese Dissertation basiert auf den Vorveröffentlichungen [25, 26, 27].1 In two dimensions, it is well known that the operator inequality -∆ + 1 2 W ≥ 0 implies R 2 W (x)d 2 x ≥ 0, since otherwise the operator -∆ + 1 2 W has at least one bound state with negative energy.Therefore, it is not possible to choose a purely attractive potential in part (a).We refer the reader to [13] for a nice discussion about this topic. Chapter 3Derivation of the Two Dimensional Gross-Pitaevskii Equation