Derivation of mean field dynamics for attractive quantum systems

Abstract

Definition of the counting measure 3 Derivation of the Two Dimensional Gross-Pitaevskii EquationThe derivations are based on a method developed by Pickl in [Lett.Math.Phys.97(2), 151-164 (2011)].This thesis is based on the preprints [25,26,27].viii Summary Zusammenfassung Diese Arbeit befasst sich mit mathematisch rigorosen Herleitungen der kubischen nichtlinearen Schrödingergleichung für mehrere Vielteilchensysteme. Wir sind insbesondere an dynamischen Systemen interessiert, deren Wechselwirkungspotential teilweise oder komplett attraktiv gewählt werden kann.Zunächst untersuchen wir die Dynamik eines Bose-Einstein Kondensates in zwei Dimensionen.Das Wechselwirkungspotential ist hierbei entweder durch W β (x) = N -1+2β W (N β x), für alle β > 0, oder durch V N (x) = e 2N V (e N x) gegeben.Sowohl V , als auch W werden als als sphärisch symmetrisch und mit kompakten Träger angenommen, mit W, V ∈ L ∞ (R 2 , R). Weiterhin können W und V einen genügend kleinen negativen Anteil besitzen.In beiden Fällen beweisen wir die Konvergenz der reduzierten Dichtematrix der exakten Zeitentwicklung gegen den Projektor auf die Lösung der entsprechenden nichtlinearen Schrödinger-Gleichung.Die Konvergenz ist hierbei in der Spurnorm zu verstehen.Für das Potential V N zeigen wir, dass es entscheidend ist, die mikroskopische Struktur des Kondensats zu berücksichtigen, um die korrekte Dynamik zu erhalten.Als nächstes leiten wir die dreidimensionale zeitabhängige Gross-Pitaevskii-Gleichung ausgehend von einem wechselwirkenden N -Teilchen System von Bosonen her.Unsere Arbeit erweitert ein früheres Resultat [60] auf Wechselwirkungspotentiale, die nicht nichtnegativ sein müssen, sondern einen ausreichend kleinen negativen Teil aufweisen können.Eine Schlüsselabschätzung in unserem Beweis ist eine Operatorungleichung, welche zuerst von Jun Yin bewiesen wurde, siehe [72].Zuletzt präsentieren wir eine mikroskopische Herleitung der zweidimensionalen kubischen nichtlinearen Schrödinger-Gleichung.Das Wechselwirkungspotential, das wir in Betracht ziehen, ist gegeben durch W β (x) = N -1+2β W (N β x), wobei W ∈ L ∞ (R 2 , R) als sphärisch symmetrisch und mit kompakten Träger angenommen wird.Die Klasse der anfänglichen Wellenfunktionen wird so gewählt, dass die Varianz in der Energie klein ist.Außerdem nehmen wir an, dass der Hamilton-Operator H WStabilität der zweiten Art erfüllt, d.h.es ist H W β ,t ≥ -CN gegeben.Wir beweisen die Konvergenz der reduzierten Dichte-Matrix der exakten Zeitentwicklung gegen den Projektor auf die Lösung der entsprechenden nichtlinearen Schrödinger-Gleichung.Diese Konvergenz erfolgt im Falle A t p < ∞, für p > 2, in der Sobolev-Spurnorm, für allgemeinere externe Potenziale erfolgt diese in der Spurnorm.Für Potentiale der Form A(x) = C|x| s , C > 0, kann die Bedingung H W β ,t ≥ -CN für eine bestimmte Klasse von x Summary Wechselwirkungen W β erfüllt werden, für alle 0 < β < s+1 s+2 , siehe [47].Die in der Arbeit vorgenommenen Herleitungen basieren auf einer Arbeit von Pickl [Lett.Math.Phys.97(2), 151-164 (2011)].Diese Dissertation basiert auf den Vorveröffentlichungen [25, 26, 27].1 In two dimensions, it is well known that the operator inequality -∆ + 1 2 W ≥ 0 implies R 2 W (x)d 2 x ≥ 0, since otherwise the operator -∆ + 1 2 W has at least one bound state with negative energy.Therefore, it is not possible to choose a purely attractive potential in part (a).We refer the reader to [13] for a nice discussion about this topic. Chapter 3Derivation of the Two Dimensional Gross-Pitaevskii Equation