Gegenstand dieser Dissertation ist die Entwicklung neuer variationeller Algorithmen zur Untersuchung von stark korrelierten eindimensionalen Quantenfeldtheorien. Zu diesem Zweck wird das Dirac-Frenkel zeitabhaengige Variationsprinzip auf die Klasse der kontinuierlichen Matrix Produkt Zustaende (cMPS) angewandt. Die Dissertation beinhaltet im wesentlichen drei Hauptresultate: einen Ansatz zur Beschreibung von Anregungszustaenden niedriger Energie, ein Algorithmus fuer die Zeitentwicklung von Systemen mit offenen Randbedingungen sowie ein weiterer fuer jene mit periodischen Randbedingungen. Darueber hinaus verallgemeinern wir die renommierte Theorie von Gross und Pitaevskii, omnipraesent in der theoretischen Beschreibung von ultrakalten Bose Gasen, auf den Fall von stark korrelierten, eindimensionalen Systemen wo Molekularfeldnaeherungen typischerweise nicht anwendbar sind. Diese Verallgemeinerung beinhaltet die Gross-Pitaevskii Gleichung im Molekularfeldlimes aber geht weit darueber hinaus indem Verschraenkung und Quantenkorrelationen mitberuecksichtigt werden. Die Linearisierung dieser sogenannten Quantum Gross-Pitaevskii Gleichungen fuehrt zu einer quantenmechanischen Version der Bogoliubov de-Gennes Gleichungen. Diese Methoden werden dann dazu verwendet die Anregungen und die dynamischen Korrelationsfunktionen des Lieb-Liniger Models und einer nicht integrablen Erweiterung desselben zu untersuchen, wobei im Spektrum des ersteren solitonische Anregungen und im Spektrum des letzteren ein nicht trivialer, gebundener Zustand identifiziert wurde. Des Weiteren wird ein wechselwirkendes Bose Gas studiert, welches in der Anwesenheit eines $U(1)$-Eichpotentials auf eine ringfoermige Geometrie beschraenkt ist. Hierbei liegt der Fokus auf der Berechnung der dissipationsfreien Teilchen Stroeme, wobei zusaetzlich eine lokale Barriere in das System eingefuehrt wurde. Darueber hinaus werden Grundzustandseigenschaften eines zwei-komponentigen Bose Gases studiert.
Gegenstand dieser Dissertation ist die Entwicklung neuer variationeller Algorithmen zur Untersuchung von stark korrelierten eindimensionalen Quantenfeldtheorien. Zu diesem Zweck wird das Dirac-Frenkel zeitabhaengige Variationsprinzip auf die Klasse der kontinuierlichen Matrix Produkt Zustaende (cMPS) angewandt. Die Dissertation beinhaltet im wesentlichen drei Hauptresultate: einen Ansatz zur Beschreibung von Anregungszustaenden niedriger Energie, ein Algorithmus fuer die Zeitentwicklung von Systemen mit offenen Randbedingungen sowie ein weiterer fuer jene mit periodischen Randbedingungen. Darueber hinaus verallgemeinern wir die renommierte Theorie von Gross und Pitaevskii, omnipraesent in der theoretischen Beschreibung von ultrakalten Bose Gasen, auf den Fall von stark korrelierten, eindimensionalen Systemen wo Molekularfeldnaeherungen typischerweise nicht anwendbar sind. Diese Verallgemeinerung beinhaltet die Gross-Pitaevskii Gleichung im Molekularfeldlimes aber geht weit darueber hinaus indem Verschraenkung und Quantenkorrelationen mitberuecksichtigt werden. Die Linearisierung dieser sogenannten Quantum Gross-Pitaevskii Gleichungen fuehrt zu einer quantenmechanischen Version der Bogoliubov de-Gennes Gleichungen. Diese Methoden werden dann dazu verwendet die Anregungen und die dynamischen Korrelationsfunktionen des Lieb-Liniger Models und einer nicht integrablen Erweiterung desselben zu untersuchen, wobei im Spektrum des ersteren solitonische Anregungen und im Spektrum des letzteren ein nicht trivialer, gebundener Zustand identifiziert wurde. Des Weiteren wird ein wechselwirkendes Bose Gas studiert, welches in der Anwesenheit eines U(1)-Eichpotentials auf eine ringfoermige Geometrie beschraenkt ist. Hierbei liegt der Fokus auf der Berechnung der dissipationsfreien Teilchen Stroeme, wobei zusaetzlich eine lokale Barriere in das System eingefuehrt wurde. Darueber hinaus werden Grundzustandseigenschaften eines zwei-komponentigen Bose Gases studiert.
Teilchen mit halbzahligem Spin werden als Fermionen bezeichnet. Nach dem Pauli-Verbot dürfen sich zwei Fermionen nicht im selben quantenmechanischen Zustand befinden. Diese Einschränkung gilt jedoch nicht für Teilchen mit ganzzahligem Spin, auch Bosonen genannt. Durch den Wegfall dieser Einschränkung tritt in bosonischen Gasen bei sehr tiefen Temperaturen ein Phasenübergang auf, der so in einem Fermi-Gas oder einem klassischen Gas nicht zu beobachten ist. Die Teilchen des Bose-Gases kondensieren unterhalb einer kritischen Temperatur in den Grundzustand, wodurch dieser makroskopisch besetzt wird. Die Teilchen im Kondensat sind vollständig delokalisiert und können durch eine einzige Wellenfunktion beschrieben werden. Vorhergesagt wurde dieser neue Aggregatzustand von Albert Einstein im Jahre 1924 auf Grundlage der Arbeit von Satyendranath Bose und wird als Bose-Einstein-Kondensat bezeichnet. Der experimentelle Nachweis blieb über 70 Jahre aus und folgte im Jahr 1995. In der vorliegenden Arbeit werden Bose-Einstein-Kondensate untersucht, die sich entlang einer Richtung frei bewegen können. Zwischen den Teilchen besteht eine attraktive Kontaktwechselwirkung. In Mean-Field-Näherung, die Korrelationen zwischen den Teilchen vernachlässigt, können die Kondensate durch die nichtlineare Gross-Pitaevskii-Gleichung beschrieben werden. Stationäre analytische Lösungen der eindimensionalen Gross-Pitaevskii-Gleichung sind bekannt und werden für den Fall attraktiver Wechselwirkung als helle Solitonen bezeichnet. Allgemein sind Solitonen Wellenpakete, die sich ohne Änderung ihrer Form fortbewegen. Sie treten als Lösung von nichtlinearen Wellengleichungen auf und somit auch als Lösung der Gross-Pitaevskii-Gleichung. Ziel der Arbeit ist es jedoch nicht nur stationäre Lösungen zu untersuchen, sondern auch auf die Dynamik von Solitonen sowie deren Stöße untereinander einzugehen. Dazu werden die hellen Solitonen durch Gaußfunktionen approximiert, für die nach dem Variationsprinzip nach McLachlan Bewegungsgleichungen aufgestellt werden. Es gilt zum einen zu untersuchen, inwieweit sich die stationären Solitonen als Superposition von Gaußfunktionen beschreiben lassen und zum anderen wie effektiv sich die Dynamik von Stößen zwischen Solitonen mit gekoppelten Gaußfunktionen behandeln lässt. Für die Veranschaulichung der Dynamik wurden für einige Abbildungen der Arbeit zusätzlich Animationen angefertigt.
Diese Dissertation beschaftigt sich mit der Frage, inwiefern es moglich ist, Aussagen uber glo-
bale Eigenschaften eines komplexen Vielteilchensystems im thermodynamischen Limes aus der
Sicht einer lokalen Beschreibung seines aktuellen Zustandes zu treffen. Im Besonderen werden
Tensornetzwerkdarstellungen von klassischen oder Quantenzustanden verwendet, um ein- oder
zweidimensionale, stark korrelierte Vielteilchensysteme im Gleich- oder Ungleichgewicht zu
untersuchen. Dabei wird der Fokus auf Matrixproduktzustande (MPS) gelegt, einer speziell fur
eindimensionale Quantengitter geeignete Variante von Tensornetzwerken. Die lokalen Tensoren
als Bausteine solch einer Beschreibung werden verwendet, um lokale Objekte oder Grosen zu
konstruieren, anhand derer Aussagen uber generelle globale Eigenschaften des Systems getrof-
fen werden konnen.
Als gute Grundlage solcher Untersuchungen wird zunachst ein neuartiger und effizienter
Algorithmus fur die Optimierung einer MPS-Grundzustandsnaherung fur stark korrelierte ein-
dimensionale Spinketten im thermodynamischen Limes vorgestellt. Es wird gezeigt, dass dieser
Algorithmus bestehende Methoden in puncto Geschwindigkeit und Genauigkeit der Ergebnisse
bei weitem ubertrifft.
Mit dieser Methode errechnete Grundzustandsnaherungen werden nun verwendet, um die
aus den elementaren Tensoren konstruierte MPS-Transfermatrix zu untersuchen. Eine Betrach-
tung ihres Eigenspektrums zeigt verbluffende Verbindungen zwischen statischen Korrelations-
funktionen im Grundzustand und elementaren Anregungen eines Systems. Im Speziellen kon-
nen die Impulse und die Grose der Minima in der Energiedispersion der elementaren Anre-
gungen sehr genau uber die dominanten Eigenwerte der Transfermatrix bestimmt werden. Man
kann daher Informationen uber angeregte Zustande eines Systems blos aus einer lokalen Dar-
stellung des Grundzustandes gewinnen.
Des weiteren wird gezeigt, dass sich die Existenz von symmetriebrechenden Phasenuber-
gangen in einem bestimmten physikalischen System auf die Geometrie der konvexen Menge
aller moglichen reduzierten Dichtematrizen in diesem System zuruckfuhren lasst. Nichtanalyti-
zitaten auf der Oberflache solcher Mengen signalisieren das Auftreten von Symmetriebrechung
und eines zugehorigen (lokalen) Ordnungsparameters. Die Frage, ob ein System Symmetriebre-
chung zeigt, lasst sich daher uber eine Menge von lokalen Objekten (namlich den reduzierten
Dichtematrizen) beantworten.
Zu guter Letzt wird eine Variante des neu entwickelten Grundzustandsalgorithmus – ad-
aptiert fur die Berechnung reeller Zeitentwicklung – dazu verwendet, um dynamische Phasen-
ubergange in Spinketten mit langreichweitigen Wechselwirkungen im Rahmen eines globalen
Quenches zu untersuchen. Solche Phasenubergange zeigen charakteristische Nichtanalytizita-
ten in der Zeit in der Form von Zacken in der globalen Uberlagerung von zeitentwickeltem und
Ausgangszustand. Es wird gezeigt, dass diese Zacken von Kreuzungen im Spektrum der ge-
mischten Transfermatrix, welche aus den elementaren Tensoren einer MPS-Beschreibung bei-
der Zustande besteht, herruhren. Es ist also wiederholt ein Attribut eines lokalen Objektes, das
Zugang zu einer globalen Grose, namlich der Uberlappung zweier Quantenzustande, gewahrt.
Ziel dieser Forschungsarbeit ist die Untersuchung von Phasen der Quantenmaterie, die dynamischer Natur sind, d.h. Phasen, welche durch das Treiben eines Quanten-Vielteilchensystems aus dem Gleichgewicht erzeugt werden. Die untersuchten Systeme sind offene Quanten-Vielteilchensysteme, die mit den Freiheitsgraden ihrer Umgebung gekoppelt sind. Im Gegensatz zu Quantenphasenübergängen von isolierter Quantenmaterie, welche in der Regel eng mit den Eigenschaften des Grundzustands und den entsprechenden statischen Ordnungsparametern verbunden sind, wie z. B. Transporteigenschaften, Korrelationslänge oder topologische Phänomene, kann in offenen Quantensystemen, welche effektiv durch nicht-hermitsche Dynamik beschrieben werden, kein Grundzustand definiert werden, und die Charakterisierung der dynamisch induzierten Phasen ist weniger offensichtlich. In unserer Forschung untersuchen wir zwei Fälle von dynamischen Phasen in Quanten-Vielteilchensystemen. Zunächst betrachten wir ``quantum quenches'' in getrieben-dissipativen quadratischen fermionischen Systemen. Ein quantum quench bezieht sich hier auf die abrupte Änderung eines Systemparameters und die Entwicklung eines Anfangszustandes gemäß diesen neuen Bedingungen, wodurch eine Dynamik außerhalb des Gleichgewichts entsteht. Im Gegensatz zu isolierten Quantensystemen, in denen solche Protokolle gut untersucht sind, sind quantum quenches in offenen Quantensystemen kaum erforscht. In diesem Zusammenhang finden wir eine neue Art von dynamischer Phase, die eng mit einer bestimmten verallgemeinerten Form von Thermalisierung verbunden ist. Diese Form der Thermalisierung wird durch eine kombinierte Paritäts-Zeit-Symmetrie der getrieben-dissipativen fermionischen Systeme garantiert. Ähnlich wie bei integrablen isolierten Quantensystemen, die lokal zu einem verallgemeinerten Gibbs-Ensemble relaxieren nachdem sie aus dem Gleichgewicht gebracht wurden, zeigen wir, dass paritätszeitsymmetrische quadratische fermionische Systeme zu einem statistischen Ensemble relaxieren, das wir das paritätszeitsymmetrische verallgemeinerte Gibbs-Ensemble (PTGGE) nennen. Darüber hinaus stellen wir fest, dass Nullmoden des PTGGE die Oszillationsperioden der topologischen (Un-)Ordnungsparameter bestimmen, die an dynamischen Phasengrenzen mit kritischen Skalierungsexponenten divergieren. Weiters deutet die Modifikation der langwelligen effektiven Beschreibung durch ein langreichweitig gekoppeltes Modell und die dadurch veränderten kritischen Exponenten stark auf ein universelles Verhalten hin. Messungsinduzierte Phasen und Übergänge sind ein weiteres Beispiel im Bereich der dynamisch erzeugten Phasen. In diesem Fall erzeugt das Zusammenspiel von unitärer Evolution und häufigen Messungen in einem Quanten-Vielteilchensystem eine stochastische Dynamik mit einem Übergang in der Skalierung der Verschränkung des stationären Zustands. Insbesondere in einem System, das bei rein unitärer Evolution eine volumensabhängige Skalierung der Verschränkungsentropie aufweist, unterdrücken häufige Messungen die Erzeugung von Verschränkung im Durchschnitt über viele Realisationen der stochastischen Entwicklung, was zu einer flächenabhängigen Skalierung führt. Eine gängige Erklärung für dieses Phänomen ist das Einfrieren der Dynamik aufgrund häufiger projektiver Messungen, die einen Quanten-Zeno-Effekt hervorrufen. Wir zeigen, dass die Unterdrückung der Verschränkungserzeugung nicht nur bei projektiven Messungen auftritt, sondern dass vielmehr ein verallgemeinerter Zeno-Effekt aufgrund verallgemeinerter Messungen ausreicht, um die kohärente Dynamik zu unterdrücken, was analoge Signaturen in den stationären Observablen für projektive und verallgemeinerte Messungen verursacht. Des Weiteren gehen wir auf eine aktuelle Kontroverse ein, in der die Existenz einer dynamischen Phase mit kritischer Verschränkungsskalierung für freie Fermionen unter kontinuierlicher Messung lokaler Besetzungszahlen diskutiert wird. Durch eine präzise numerische Analyse in Verbindung mit analytischen Vorhersagen, die aus einer replizierten Keldysh-Feldtheorie für verallgemeinerte Messungen abgeleitet wurden, sind wir in der Lage, starke Hinweise für das Fehlen einer ausgedehnten kritischen Phase vorzulegen und das theoretische Verständnis weiterzuentwickeln, indem wir zeigen, dass die Kritikalität auf einen gut definierten kritischen Bereich endlicher Längenskalen beschränkt ist.
Diese Dissertation beschäftigt sich in einem weiten Sinn mit der Wechselwirkung von Atomen und Strahlungsfeld in nichtinertialen Bezugssystemen und in Anwesenheit von Gravitationsfeldern sowie den daraus folgenden Konsequenzen in der Atominterferometrie. Ausgehend von kovarianten Feldgleichungen werden allgemein-relativistische Korrekturterme zu den wichtigsten Gleichungen und Methoden der Quantenoptik hergeleitet. Im einzelnen sind dies die Pauli-Gleichung, die Dipolkopplung zwischen Atom und Strahlungsfeld, die Reduktion des atomaren Hilbert-Raumes auf wenige Zustände und die Quantisierung des Maxwell-Feldes. Dieser Formalismus wird dann dazu verwendet, die durch Beschleunigung, Rotation und Raum-Zeit-Krümmung verursachte Phasenverschiebung in Atominterferometern herzuleiten. Die dabei verwendete Methode ist rein algebraisch und baut auf der unitären Zeitentwicklung der Atome auf. Das Ergebnis gibt die Phasenverschiebung für beliebige Atominterferometer an, die Laser als Strahlteiler verwenden. Insbesondere ergibt sich, daß die durch die Beschleunigung induzierte Phasenverschiebung unabhängig vom Anfangszustand der Atome und linear in der Beschleunigung ist. Für das Ramsey- Interferometer wird diese Methode für eine umfangreiche Klasse äußerer Potentiale mit der WKB-Methode verglichen. Eine detaillierte Abschätzung für existierende Interferometer und leichter Modifikationen davon zeigt schließlich, daß diese Geräte dazu geeignet sein sollten, den bislang noch nicht experimentell abgesicherten Einfluß der Raum-Zeit-Krümmung auf Atome nachzuweisen. In einem anderen Teil dieser Arbeit wird der Begriff der Fermi-Koordinaten in der Relativitätstheorie untersucht. Der allgemeine Ausdruck für die Metrik in den Fermi-Koordinaten eines Beobachters im schwachen Gravitationsfeld wird hergeleitet. Da Fermi-Koordinaten nur in einer Umgebung des Beobachters konstruiert werden können, kommen sie nicht als Definition des Bezugssystems
Die kohärente Kontrolle von Quantenzuständen ist Gegenstand von Untersuchungen seitdem Quantensysteme in Laboren erzeugt werden. Die Aussicht, eines Tages einen Quantencomputer realisieren zu können, der Kohärenzeigenschaften von Quantensystemen nützt um die verfügbare Rechenleistung zu vervielfachen, ist dafür selbstverständlich eine wichtige Motivation, jedoch nicht die einzige. Präzise Kontrolle ermöglicht es, Systeme in bestimmten Quantenzuständen zu präparieren und zu manipulieren, etwa um Präzessionsmessungen zu realisieren. Ultrakalte Atome sind ein ideales Modellsystem für fortgeschrittene Kontrollschemata. Von ihrer Umgebung isoliert, verfügen sie über lange Kohärenzzeiten; gleichzeitig ist ihre Reaktion auf externe Anregungen im Vergleich zu anderen Systemen relativ einfach zu untersuchen. Außerdem können unterschiedliche Parameter über einen weiten Bereich abgestimmt werden, wie etwa die Dichte oder Wechselwirkungsstärke. Daraus ergibt sich die Möglichkeit, ein Spektrum von Quantentheorien experimentell zu untersuchen. Kohärente Kontrolle von Quantenzuständen in Systemen aus ultrakalten Atomen ist deshalb ein reiches Forschungsgebiet, das sowohl für fundamentale Tests der Quantentheorie als auch für praktische Anwendungen vielversprechend ist. In dieser Dissertation wurde ein Schema entwickelt um Bewegungszustände eines Bose-Einstein Kondensates gezielt zu manipulieren. Dies geschieht auf eine Art die nicht nur die Kohärenzeigenschaften des Systems bewahrt, sondern auch schnell im Vergleich zur typischen Zeitskala des Systems ist. Experimentell umgesetzt wird dies in einem elongierten Kondensat auf einem Atomchip, welches ursprünglich im transversalen Grundzustand des Fallenpotentials ist. Das Kondensat wird entlang der transversalen Richtung verschoben um höhere Bewegungszustände anzuregen. Mithilfe der Theorie der optimalen Kontrolle wird die Verschiebung des Kondensats optimiert um bestimmte Bewegungszustände oder deren ü berlagerung zu erhalten. Die Optimierungen der 'Schüttelpulse' basieren auf einer Beschreibung des Kondensates in einer mean-field Näherung. Verschiedene Überlagerungen von Bewegungszuständen konnten sowohl theoretisch als auch experimentell in 1.1 ms mit einer Effizienz von mehr als 98 % erreicht werden. Diese Art der Kontrolle wurde angewandt um erstmals ein Interferometer mit Bewegungszuständen zu realisieren. Die beiden Pfade des Interferometers sind hier der Grundzustand und erste tranversal angeregte Zustand. In der Zeit zwischen den beiden optimierten Bewegungspulsen die als Strahlteiler dienen, wird eine Phase akkumuliert. Die Herausforderung bei diesem Schema besteht darin, einen effizienten Puls für alle Phasen zu finden. Das Interferometer wurde numerisch optimiert und erfolgreich experimentell umgesetzt und lieferte einen Kontrast von 92 %. Die so erzeugten ü berlagerungen von Bewegungszuständen sind nicht stabil und es wurde eine Dämpfung auf einer Zeitskala von 10 ms beobachtet. Um ein besseres Verständnis zu erlangen wurden einige Dämpfungsmechanismen in Betracht gezogen und theoretische Modelle entwickelt. Insbesondere werden Dekohärenz und Dephasierung entlang der axialen Richtung des Kondensates untersucht. Ein transversales Vielteilchen- Modell, das drei Bewegungszustände beinhaltet, wurde entwickelt um daraus die Zeitskalen der Dämpfung sowie die Abhängigkeit von Parametern wie Atomzahl und Temperatur abzuleiten und mit den experimentellen Ergebnissen zu vergleichen. Die in dieser Dissertation präsentierten Ergebnisse demonstrieren schnelle und effiziente Kontrolle über Vibrationszustände und ebnen den Weg für praktische Anwendungen, wie etwa ein Interferometer mit Bewegungszuständen. Außerdem eröffnen sie eine neue Richtung für fundamentale Fragestellungen zur Nichtgleichgewichtsphysik in geschlossenen Systemen.
Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich zunächst mit dem Ausbau der Hartree-Fock-Bogoliubov Theorie (HFB-Theorie), bzw. mit der Frage nach deren Exaktheit. Es werden sowohl fermionische als auch bosonische Vielteilchensysteme betrachtet, wobei auf eine möglichst analoge Behandlung der beiden Statistiken Wert gelegt wurde. Eine zentrale Rolle für die jeweiligen Variationsprinzipien spielen in beiden Fällen die sogenannten quasi-freien Zustände, die durch das Verschwinden ihrer höheren trunkierten Korrelationen charakterisiert sind. Dieses letzte Phänomen untersuchen wir im bosonischen Fall im Detail. Durch die Übertragung des von Bach, Lieb und Solovej erbrachten Beweises der 1:1-Relation zwischen verallgemeinerten Dichtematrizen und quasi-freien Zuständen vom fermionischen in den bosonischen Kontext, können wir die Variationsprinzipien auf den konvexen Mengen der verallgemeinerten Dichtematrizen formulieren. Wir erhalten auf diese Weise einen deutlich einfacheren und konstruktiveren Beweis als beispielsweise den bereits bekannten Beweis der 1:1-Relation von Araki. Außerdem verallgemeinern wir auf den Fall nichtverschwindender Einpunktsfunktionen. Parallel entwickeln wir für beide Statistiken die mächtige Methode der kohärenten Zustände, wobei auch hier auf eine möglichst analoge Behandlung der beiden Fälle Wert gelegt wird. Dieser Teil der Arbeit kulminiert in der Berechnung des generierenden Funktionals von Gibbszuständen allgemeiner quadratischer Operatoren, die die Teilchenzahl möglicherweise nicht erhalten. Im bosonischen Fall können wir dieses Resultat benutzen, um die Quasi-Freiheit dieser Zustände zu zeigen. Wir beschäftigen uns dann mit der Behandlung wechselwirkender Vielteilchensysteme mit periodischen Randbedingungen. Hierbei betrachten wir Wechselwirkungen, die ähnlich wie das Coulomb Potential, als gewichtetes Mittel eines Produktes von lokalisierten Funktionen geschrieben werden können. Anders als etwa Fefferman und de la Llave oder Hainzel und Seiringer, nehmen wir als Lokalisierungsfunktionen periodifizierte Gaußfunktionen. Schließlich beschäftigen wir uns mit der Frage, wie der Approximationsfehler der HFB-Theorie zu kontrollieren sei. Eine wichtige Rolle spielen hierbei die sogenannten Korrelationsungleichungen, die es erlauben Erwartungswerte in quartischen Ausdrücken in den Teilchenvernichtern und Erzeugern möglichst ausschließlich durch quadratische solche abzuschätzen. Im fermionischen Fall stellt sich heraus, dass insbesondere normalgeordnete quartische Ausdrücke zu kontrollieren sind. Wir leiten eine entsprechende Korrelationsungleichung her, die allgemeiner als die von Bach sowie von Graf und Solovej verwendete ist, und benützen diese um die Grundzustandsenergie des fermionischen Jellium Modells nach unten abzuschätzen. Wir erhalten hierbei ein ähnliches Resultat wie das bereits bekannte. Im bosonischen Fall gelingt es lediglich eine Korrelationsungleichung herzuleiten, auf deren rechter Seite auch quartische Erwartungswerte des Typs des Quadrates des Teilchenzahloperators vorkommen. Dies überrascht jedoch nicht.