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The 2D limit of 3D Gross-Pitaevskii theory for Bose-Einstein condensates

Hartmuth Hofstätter

Published Jan 1, 2008• 0 citations
Publisher

Abstract

Im Rahmen der Gross-Pitaevskii Theorie zeigen wir, dass dreidimensionale Bose-Einstein Kondensate, welche durch ein Potential in eine Raumrichtung stark eingeschlossen werden, durch eine effektiv zweidimensionale Theorie korrekt beschrieben werden. Wir beweisen eine analytische Formel für die Konvergenz der Energie und führen numerische Rechnungen durch, die diese Ergebnisse eindeutig widerspiegeln.

DOI
10.25365/thesis.454

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•Jan 1, 2018•0 citations
Im Rahmen der Gross-Pitaevskii Theorie zeigen wir, dass dreidimensionale Bose-Einstein Kondensate, welche durch ein Potential in eine Raumrichtung stark eingeschlossen werden, durch eine effektiv zweidimensionale Theorie korrekt beschrieben werden. Wir beweisen eine analytische Formel für die Konvergenz der Energie und führen numerische Rechnungen durch, die diese Ergebnisse eindeutig widerspiegeln.
Gegenstand dieser Dissertation ist die Entwicklung neuer variationeller Algorithmen zur Untersuchung von stark korrelierten eindimensionalen Quantenfeldtheorien. Zu diesem Zweck wird das Dirac-Frenkel zeitabhaengige Variationsprinzip auf die Klasse der kontinuierlichen Matrix Produkt Zustaende (cMPS) angewandt. Die Dissertation beinhaltet im wesentlichen drei Hauptresultate: einen Ansatz zur Beschreibung von Anregungszustaenden niedriger Energie, ein Algorithmus fuer die Zeitentwicklung von Systemen mit offenen Randbedingungen sowie ein weiterer fuer jene mit periodischen Randbedingungen. Darueber hinaus verallgemeinern wir die renommierte Theorie von Gross und Pitaevskii, omnipraesent in der theoretischen Beschreibung von ultrakalten Bose Gasen, auf den Fall von stark korrelierten, eindimensionalen Systemen wo Molekularfeldnaeherungen typischerweise nicht anwendbar sind. Diese Verallgemeinerung beinhaltet die Gross-Pitaevskii Gleichung im Molekularfeldlimes aber geht weit darueber hinaus indem Verschraenkung und Quantenkorrelationen mitberuecksichtigt werden. Die Linearisierung dieser sogenannten Quantum Gross-Pitaevskii Gleichungen fuehrt zu einer quantenmechanischen Version der Bogoliubov de-Gennes Gleichungen. Diese Methoden werden dann dazu verwendet die Anregungen und die dynamischen Korrelationsfunktionen des Lieb-Liniger Models und einer nicht integrablen Erweiterung desselben zu untersuchen, wobei im Spektrum des ersteren solitonische Anregungen und im Spektrum des letzteren ein nicht trivialer, gebundener Zustand identifiziert wurde. Des Weiteren wird ein wechselwirkendes Bose Gas studiert, welches in der Anwesenheit eines U(1)U(1)U(1)-Eichpotentials auf eine ringfoermige Geometrie beschraenkt ist. Hierbei liegt der Fokus auf der Berechnung der dissipationsfreien Teilchen Stroeme, wobei zusaetzlich eine lokale Barriere in das System eingefuehrt wurde. Darueber hinaus werden Grundzustandseigenschaften eines zwei-komponentigen Bose Gases studiert.
In dieser Arbeit erörtern wir ein eindimensionales Lieb Liniger Modell für Bosonen mit einem zusätzlichen Zufallspotenzial. Für dieses Modell von schwach wechselwirkendem Bosegas wurde von Seiringer, Yngvason und Zagrebnov gezeigt, dass für N nach unendlich, wobei N die Anzahl an Teilchen bezeichnet, die Gross Pitaevskii Energie zur quantenmechanischen Energie konvergiert. Weiters wurde gezeigt, dass für den Vielteilchenlimes vollständige Bose Einstein Kondensation (BEC) existiert. Für die Diskussion von Superfluidität, ist eine genauere Analyse der Gross Pitaevskii Dichte nötig und für bestimmte Limiten wird diese Analyse in dieser Arbeit durchgeführt. Im Speziellen können wir zeigen, dass für schwache Wechselwirkung keine Superfluidität im Limes existiert, auch wenn Bose Einstein Kondensation vorkommt. Andererseits können wir zeigen, dass es einen Parameterbereich gibt, in dem vollständige Superfluidität stattfindet. Daher fordert die Existenz von Superfluidität stärkere Voraussetzungen als die Existenz von BEC, in diesem eindimensionalen Modell. In derselben Arbeit von Seiringer, Yngvason und Zagrebnov wurde gezeigt, dass in einem speziellen Parameterbereich, ein deterministischer Limes für die Gross Pitaevskii Energie existiert welche von dem Zufallspotenzial abhängt. In dieser Arbeit erweitern wir diesen Beweis um Abschätzungen für die Konvergenz in Wahrscheinlichkeit. Weiters beweisen wir, dass es möglich ist, diese Konvergenz auch für ein Bernoulli Zufallspotenzial zu erreichen.
Diese Dissertation untersucht die numerische Approximation von Grundzuständen rotierender Bose-Einstein-Kondensate, was die Minimierung des Gross-Pitaeviskii-Energiefunktionals E auf einer Riemannschen Hilbert-Mannigfaltigkeit S erfordert. Wir betrachten Finite-Elemente-Diskretisierungen, Riemannsche Gradientenverfahren u. Erweiterungen auf Mehrkomponentensysteme. Für einkomponentige Kondensate beweisen wir A-priori-Fehlerabschätzungen optimaler Ordnung in der L2^{2}2 u. H\˟{1}\)-Norm. Anschließend präsentieren wir ein Riemannsches Gradientenverfahren basierend auf Sobolev-Gradienten mit adaptiver Metrik für das globale Energiedissipation u. Konvergenz bewiesen werden. Lokale Konvergenzraten werden durch ein gewichtetes Eigenwertproblem charakterisiert. Zusätzlich wird ein konjugiertes Sobolev-Gradienten-Verfahren untersucht. Abschließend wird der Rahmen auf Mehrkomponentenkondensate auf einer Quotienten-Mannigfaltigkeit erweitert. Alle Ergebnisse werden durch numerische Experimente untermauert.
Die vorliegende Diplomarbeit beschaftigt sich mit der mathematischen Beschreibung eines Bose-Einstein Kondensats, das in einer lang gestreckten magneto-optischen Falle gefangen ist. Als zugrunde liegendes mathematisches Modell fungiert das Gross-Pitaevskii Energie Funktional. Anstatt wie bei herkommlichen dimensionalen Reduktionen der Gross-Pitaevskii Gleichung ublich, bei denen die Anregungsenergie in einer oder zwei Dimensionen viel groser als die Wechselwirkungsenergie ist, wird hier der Fall behandelt bei dem die Anregungsenergie in Querrichtung mit der Wechselwirkungsenergie vergleichbar ist. Diese Fragestellung wird durch einen neuartigen Ansatz fur die Wellenfunktion gelost, wodurch die Bestimmung der Grundzustandsenergie auf die folgenden zwei Probleme reduziert wird: 1) Losung eines zweidimensionalen Gross-Pitaevskii Problems mit Kopplungskonstante in einem beschrankten Intervall. 2) Losung eines eindimensionalen Gross-Pitaevskii Problems, wo die zweidimensionale Energie als Funktion der Kopplungskonstanten den Wechselwirkungsterm in dem eindimensionalen Energiefunktional bestimmt.
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