(English) The thesis considers a number of optimisation techniques applied in the context of quantum information theory. After a pedagogical introduction of both quantum information theory and optimisation, it considers three main avenues of research. The first is the well-known foundational open problem of mutually unbiased bases, which consists of finding sets of orthonormal bases that are each unbiased with one another. More specifically, it remains unknown whether one can find a set of 4 mutually unbiased bases in dimension 6. A variety of optimisation techniques are applied, including non-linear semidefinite programming, see-saw optimisation, semidefinite programming relaxations, branch-and-cut, gradient descent methods and the method of Lagrange multipliers, each providing further insights into the problem. The second avenue is that of Bell nonlocality, more specifically attempting to simplify the hierarchy of semidefinite programs known as the NPA (Navascués-Pironio-Acín) hierarchy used to find bounds on the maximum quantum violation of Bell inequalities. For the case in which one has a large number of inputs per party, advantage in both memory and time versus state-of-the-art solvers is demonstrated using a combination several optimisation techniques. The third avenue is that of many-body quantum physics, which encompasses a wide range of topics. The thesis considers the problems of bounding expectation values of observables over the steady-states of open quantum systems, finding improved Fermion-to-qubit mappings and solving the graph colouring problem with a novel qudit-inspired optimisation algorithm. In each case, advantage versus comparable methods is demonstrated. (Català) La tesi discorre sobre un nombre de tècniques d’optimització que poden aplicar-se en el context de la teoria de la informació quàntica. Després d’una introducció pedagògica tant de la teoria de la informació quàntica com de l’optimització, té en compte tres línies principals de recerca. En primer lloc, una de prou coneguda, el problema obert i fonamental de les bases mútuament imparcials, que consisteix en trobar conjunts de bases ortonormals que siguin imparcials entre si. En concret, encara es desconeix si hom pot trobar un conjunt de 4 bases mútuament imparcials amb la dimensió 6. S’hi apliquen diverses tècniques d’optimització, entre les quals hi ha la programació semidefinida no lineal, l’optimització cíclica, les relaxacions en programació semidefinida, el mètode Branch and cut, mètodes de gradient descendent i el mètode dels multiplicadors de Lagrange, i cadascuna aprofundeix amb noves perspectives al problema. La segona línia és la de la no localitat de Bell, en particular amb la intenció de simplificar la jerarquia de la programació semidefinida que rep el nom de jerarquia d'NPA (Navascués-Pironio-Acín), que s’utilitzen per trobar fites als valors que maximitzen quànticament la violació de les desigualtats de Bell. Pel cas en què hi ha un gran nombre d'entrades per cada part, es demostra l’avantatge tant en memòria com en temps envers els solucionadors més avançats utilitzant una combinació de diverses tècniques d’optimització. La tercera línia és la de la física quàntica de molts cossos, que abraça un ampli ventall de temes. La tesi considera els problemes de fitar els valors esperats dels observables en els estats estacionaris de sistemes quàntics oberts, per trobar millors aplicacions de fermions a qubits i resoldre el problema de coloració de grafs mitjançant un nou algorisme d’optimització inspirat en qudits. En cada cas, es demostra un avantatge respecte a mètodes comparables. (Español) La tesis considera varias técnicas de optimización aplicadas en el contexto de la teoría de la información cuántica. Luego de una introducción pedagógica a la teoría de la información cuántica y a la optimización, se abordan tres líneas principales de investigación. La primera es el afamado problema abierto fundamental de las bases mutuamente insesgadas, que consiste en encontrar conjuntos de bases ortonormales que sean iinsesgadas entre sí. Más específicamente, aún se desconoce si es posible encontrar un conjunto de 4 bases mutuamente insesgadas en dimensión 6. Se aplican diversas técnicas de optimización, incluyendo programación semidefinida no lineal, optimización see-saw, relajaciones de programación semidefinida, branch-and-cut, métodos de descenso de gradiente y el método de los multiplicadores de Lagrange, que ofrecen nuevas perspectivas sobre el problema. La segunda línea de investigación se centra en la no localidad de Bell, y más concretamente, en la simplificación de la jerarquía de programas semidefinidos conocida como jerarquía NPA (Navascués-Pironio-Acín), utilizada para encontrar cotas sobre la máxima violación cuántica de las desigualdades de Bell. En el caso de un gran número de entradas por parte, se demuestra una ventaja tanto en memoria como en tiempo frente a los solucionadores más avanzados, combinando diversas técnicas de optimización. La tercera línea de investigación trata sobre la física cuántica de muchos cuerpos, un campo que abarca una amplia variedad de temas. La tesis considera los problemas de acotar los valores esperados de observables en los estados estacionarios de sistemas cuánticos abiertos, encontrar mejores mapeos de fermiones a cúbits y resolver el problema de coloreo de grafos mediante un novedoso algoritmo de optimización inspirado en qudits. En cada caso, se muestra una ventaja en comparación con métodos similares.
(English) The thesis considers a number of optimisation techniques applied in the context of quantum information theory. After a pedagogical introduction of both quantum information theory and optimisation, it considers three main avenues of research. The first is the well-known foundational open problem of mutually unbiased bases, which consists of finding sets of orthonormal bases that are each unbiased with one another. More specifically, it remains unknown whether one can find a set of 4 mutually unbiased bases in dimension 6. A variety of optimisation techniques are applied, including non-linear semidefinite programming, see-saw optimisation, semidefinite programming relaxations, branch-and-cut, gradient descent methods and the method of Lagrange multipliers, each providing further insights into the problem. The second avenue is that of Bell nonlocality, more specifically attempting to simplify the hierarchy of semidefinite programs known as the NPA (Navascués-Pironio-Acín) hierarchy used to find bounds on the maximum quantum violation of Bell inequalities. For the case in which one has a large number of inputs per party, advantage in both memory and time versus state-of-the-art solvers is demonstrated using a combination several optimisation techniques. The third avenue is that of many-body quantum physics, which encompasses a wide range of topics. The thesis considers the problems of bounding expectation values of observables over the steady-states of open quantum systems, finding improved Fermion-to-qubit mappings and solving the graph colouring problem with a novel qudit-inspired optimisation algorithm. In each case, advantage versus comparable methods is demonstrated. (Català) La tesi discorre sobre un nombre de tècniques d’optimització que poden aplicar-se en el context de la teoria de la informació quàntica. Després d’una introducció pedagògica tant de la teoria de la informació quàntica com de l’optimització, té en compte tres línies principals de recerca. En primer lloc, una de prou coneguda, el problema obert i fonamental de les bases mútuament imparcials, que consisteix en trobar conjunts de bases ortonormals que siguin imparcials entre si. En concret, encara es desconeix si hom pot trobar un conjunt de 4 bases mútuament imparcials amb la dimensió 6. S’hi apliquen diverses tècniques d’optimització, entre les quals hi ha la programació semidefinida no lineal, l’optimització cíclica, les relaxacions en programació semidefinida, el mètode Branch and cut, mètodes de gradient descendent i el mètode dels multiplicadors de Lagrange, i cadascuna aprofundeix amb noves perspectives al problema. La segona línia és la de la no localitat de Bell, en particular amb la intenció de simplificar la jerarquia de la programació semidefinida que rep el nom de jerarquia d'NPA (Navascués-Pironio-Acín), que s’utilitzen per trobar fites als valors que maximitzen quànticament la violació de les desigualtats de Bell. Pel cas en què hi ha un gran nombre d'entrades per cada part, es demostra l’avantatge tant en memòria com en temps envers els solucionadors més avançats utilitzant una combinació de diverses tècniques d’optimització. La tercera línia és la de la física quàntica de molts cossos, que abraça un ampli ventall de temes. La tesi considera els problemes de fitar els valors esperats dels observables en els estats estacionaris de sistemes quàntics oberts, per trobar millors aplicacions de fermions a qubits i resoldre el problema de coloració de grafs mitjançant un nou algorisme d’optimització inspirat en qudits. En cada cas, es demostra un avantatge respecte a mètodes comparables. (Español) La tesis considera varias técnicas de optimización aplicadas en el contexto de la teoría de la información cuántica. Luego de una introducción pedagógica a la teoría de la información cuántica y a la optimización, se abordan tres líneas principales de investigación. La primera es el afamado problema abierto fundamental de las bases mutuamente insesgadas, que consiste en encontrar conjuntos de bases ortonormales que sean iinsesgadas entre sí. Más específicamente, aún se desconoce si es posible encontrar un conjunto de 4 bases mutuamente insesgadas en dimensión 6. Se aplican diversas técnicas de optimización, incluyendo programación semidefinida no lineal, optimización see-saw, relajaciones de programación semidefinida, branch-and-cut, métodos de descenso de gradiente y el método de los multiplicadores de Lagrange, que ofrecen nuevas perspectivas sobre el problema. La segunda línea de investigación se centra en la no localidad de Bell, y más concretamente, en la simplificación de la jerarquía de programas semidefinidos conocida como jerarquía NPA (Navascués-Pironio-Acín), utilizada para encontrar cotas sobre la máxima violación cuántica de las desigualdades de Bell. En el caso de un gran número de entradas por parte, se demuestra una ventaja tanto en memoria como en tiempo frente a los solucionadores más avanzados, combinando diversas técnicas de optimización. La tercera línea de investigación trata sobre la física cuántica de muchos cuerpos, un campo que abarca una amplia variedad de temas. La tesis considera los problemas de acotar los valores esperados de observables en los estados estacionarios de sistemas cuánticos abiertos, encontrar mejores mapeos de fermiones a cúbits y resolver el problema de coloreo de grafos mediante un novedoso algoritmo de optimización inspirado en qudits. En cada caso, se muestra una ventaja en comparación con métodos similares.
(English) The development of quantum computers promises to drastically reduce the time required to solve certain computational problems. Among their most promising applications is the field of machine learning. However, significant uncertainty remains in this area. In particular, it is still unclear under which learning scenarios quantum algorithms will outperform their classical counterparts. This thesis aims to deepen our understanding of when quantum speed-ups can be expected in machine learning tasks. Specifically, we examine the connection between learning speed-ups and the more extensively studied phenomenon of quantum computational speed-up. We conclude that, in cases where the training set can be classically generated, the two are equivalent concepts, and we provide examples of such functions based on the prime factorization problem. Importantly, quantum machine learning is not only concerned with improving classical learning algorithms using quantum computation but also with learning from quantum data. In this context, we investigate a learning scenario in which the inputs to the target functions are quantum states, thereby generalizing the classical supervised learning framework. To this end, we first focus on the problem of quantum hypothesis testing, which can serve as a subroutine for both the problems of evaluating a function and learning a function. Specifically, we derive several sequential methods for solving the problem of quantum hypothesis testing, along with a lower bound on the resources required. This lower bound immediately implies corresponding lower bounds for the problems of learning and evaluating functions. Additionally, we develop a learning method based on the classical shadows technique. Finally, after exploring how quantum processes can aid learning tasks, we examine how classical learning techniques can, in turn, enhance quantum computing. In particular, we study how classical machine learning methods can be used to mitigate the effects of noise in quantum devices, with a focus on quantum error mitigation. Specifically, novel feature maps are proposed for the technique known as Clifford data regression. First, a theoretical justification for these feature maps is provided, followed by an analysis and a subsequent evaluation of their performance through numerical experiments. It is concluded that, for some of the proposed feature maps, a performance improvement is indeed achieved. (Català) El desenvolupament dels ordinadors quàntics promet reduir dràsticament el temps necessari per a resoldre certs problemes computacionals. Entre les seues aplicacions més prometedores hi és l’aprenentatge automàtic. Tanmateix, encara persisteix una gran incertesa en aquest àmbit. En particular, encara no està clar en quins escenaris d’aprenentatge els algorismes quàntics superaran els seus homòlegs clàssics. Aquesta tesi té com a objectiu aprofundir en la nostra comprensió de quan es poden esperar acceleracions quàntiques en les tasques d’aprenentatge automàtic. En concret, examinem la connexió entre l’avantatge quàntic en l’aprenentatge i el fenomen més estudiat de l’avantatge quàntic computacional. Concloem que, en els casos en què el conjunt d’entrenament pot generar-se clàssicament, tots dos són conceptes equivalents, i proporcionem exemples d’aquestes funcions basats en el problema de la factorització. És important destacar que l’aprenentatge automàtic quàntic no només se centra a millorar els algorismes d’aprenentatge clàssic mitjançant la computació quàntica, sinó també a aprendre de dades quàntiques. En aquest context, investiguem un escenari d’aprenentatge en què les entrades a les funcions objectiu són estats quàntics, generalitzant així el marc clàssic d’aprenentatge supervisat. Per això, ens centrem primer en el problema de quantum hypothesis testing, que pot servir com a subrutina tant per a l’avaluació com per a l’aprenentatge de funcions. En concret, dissenyem diversos mètodes seqüencials per resoldre el problema de quantum hypothesis testing, juntament amb una cota inferior per als recursos necessaris. Aquesta cota inferior implica immediatament cotes inferiors corresponents per a l’aprenentatge i l’avaluació de funcions. A més, desenvolupem un mètode d’aprenentatge basat en la tècnica de classical shadows. Finalment, després d’explorar com els processos quàntics poden facilitar l’aprenentatge, examinem com les tècniques clàssiques d’aprenentatge poden, al seu torn, millorar la computació quàntica. En particular, estudiem com es poden utilitzar els mètodes clàssics d’aprenentatge automàtic per mitigar els efectes del soroll en dispositius quàntics, centrant-nos en la mitigació d’errors quàntics. En concret, es proposen nous vectors d’atributs per a la tècnica coneguda com a regressió de dades de Clifford. En primer lloc, es proporciona una justificació teòrica d’aquests vectors d’atributs, seguida d’una anàlisi i una posterior avaluació del seu rendiment mitjançant experiments numèrics. Es conclou que, per a alguns dels vectors d’atributs proposats, s’aconsegueix una millora del rendiment. (Español) El desarrollo de las computadoras cuánticas promete reducir drásticamente el tiempo necesario para resolver ciertos problemas computacionales. Entre sus aplicaciones más prometedoras se encuentra el aprendizaje automático. Sin embargo, todavía persiste una gran incertidumbre en este ámbito. En particular, aún no está claro en qué escenarios de aprendizaje los algoritmos cuánticos superarán a sus homólogos clásicos. Esta tesis tiene como objetivo profundizar nuestra comprensión de cuándo se pueden esperar aceleraciones cuánticas en las tareas de aprendizaje automático. En concreto, examinamos la conexión entre la ventaja cuántica en el aprendizaje y el fenómeno más estudiado de la ventaja cuántica computacional. Concluimos que, en los casos en que el conjunto de entrenamiento puede generarse clásicamente, ambos son conceptos equivalentes, y proporcionamos ejemplos de dichas funciones basados en el problema de factorización. Es importante destacar que el aprendizaje automático cuántico no solo se centra en mejorar los algoritmos de aprendizaje clásico mediante computación cuántica, sino también en aprender de datos cuánticos. En este contexto, investigamos un escenario de aprendizaje en el que las entradas a las funciones objetivo son estados cuánticos, generalizando así el marco clásico de aprendizaje supervisado. Para ello, nos centramos primero en el problema de quantum hypothesis testing, que puede servir como subrutina tanto para la evaluación como para el aprendizaje de funciones. En concreto, diseñamos varios métodos secuenciales para resolver el problema de quantum hypothesis testing, junto con una cota inferior para los recursos necesarios. Esta cota inferior implica inmediatamente cotas inferiores correspondientes para el aprendizaje y la evaluación de funciones. Además, desarrollamos un método de aprendizaje basado en la técnica de classical shadows. Finalmente, tras explorar cómo los procesos cuánticos pueden facilitar el aprendizaje, examinamos cómo las técnicas clásicas de aprendizaje pueden, a su vez, mejorar la computación cuántica. En particular, estudiamos cómo se pueden utilizar los métodos clásicos de aprendizaje automático para mitigar los efectos del ruido en dispositivos cuánticos, centrándonos en la mitigación de errores cuánticos. En concreto, se proponen nuevos vectores de atributos para la técnica conocida como regresión de datos de Clifford. En primer lugar, se proporciona una justificación teórica de estos vectores de atributos, seguida de un análisis y una posterior evaluación de su rendimiento mediante experimentos numéricos. Se concluye que, para algunos de los vectores de atributos propuestos, se logra una mejora del rendimiento.
This thesis focuses on the intersection of mathematical and computational optimization and quantum information. Main contributions are open-source software code: A hybrid approach mixing "traditional" nonconvex and convex methods can make difficult problems more accessible. A demonstration of how to efficiently implement such an algorithm, avoiding interfacial bottlenecks, is provided, finding optimal protocols to establish entanglement through a lossy channel. The central software package developed addresses polynomial optimization problems. Many problems naturally involve only a polynomial objective and constraint polynomials. Such problems can automatically be cast into semidefinite programs that provide a hierarchy of outer approximations. The resulting problems are often so large and scale so unfavorably with respect to the variable number and degree involved that the boundary of the doable is reached quickly. However, technical progress both in hardware and algorithms has pushed this boundary - but software frameworks for polynomial optimization have not followed in the same manner, often now making them the bottleneck that before was the solver. The package PolynomialOptimization.jl developed during this thesis aims to fill the gap and provide a very resource-efficient intermediate layer together with a wide number of algorithms to reduce the problem size, and naturally supporting complex numbers and semidefinite constraints ubiquitous in quantum information problems. Its application on an entanglement distribution problem is demonstrated, showing that even relaxations with semidefinite matrices of three- and four-digit size can be solved conveniently. Finally, a new way to calculate interior-point barriers for the cone of sums-of-squares matrices in a nearly time-optimal way is developed, whose efficient implementation has the potential of further reducing resource consumption.
(English) In this thesis, I focused on introducing tools to quantify the performance of quantum computing algorithms and their applications. The main focus is on two of the most popular application areas of quantum computing, quantum machine learning and quantum chemistry. To this end, I analyze the properties of quantum machine learning models by following statistical method techniques, which can help us build our understanding of the capabilities of such quantum models. Moreover, I introduce the teacher-student scheme as a computational tool to benchmark the performance of different quantum models and their training capabilities. Until large-scale benchmarking is available, these tools can help us understand the potential of quantum machine learning and guide the research in the right direction. Next, in recent years substantial effort have been devoted to the development of quantum algorithms for quantum chemistry applications. I introduce tools to assess the utility of various combinations of quantum chemistry algorithms. I perform extensive numerical simulations on computationally affordable systems of intermediate size to explore how quantum methods can accelerate tasks of quantum chemistry. These works set a foundation from which to further explore the requirements to achieve quantum advantage in quantum chemistry. Finally, I discuss how research in quantum computing has tended to fall into one of two camps: near-term intermediate scale quantum (NISQ) and fault-tolerant quantum computing (FTQC). Through a quantum chemistry application, I explore how to use quantum computers in transition between these two eras, namely the early fault-tolerant quantum computing (EFTQC) regime. (Català) En aquesta tesi, m'he centrat en la presentació d'eines per quantificar el rendiment dels algorismes de computació quàntica i les seves aplicacions. L'enfocament principal és en dues de les àrees d'aplicació més populars de la computació quàntica, l'aprenentatge automàtic quàntic i la química quàntica. Per a això, analitzo les propietats dels models d'aprenentatge automàtic quàntic seguint tècniques estadístiques, que poden ajudar-nos a construir el nostre coneixement sobre les capacitats d'aquests models quàntics. A més, introdueixo l'esquema mestre-alumne com a eina computacional per avaluar el rendiment de diferents models quàntics i les seves capacitats de formació. Fins que estigui disponible una avaluació a gran escala, aquestes eines ens poden ajudar a comprendre el potencial de l'aprenentatge automàtic quàntic i guiar la recerca en la direcció correcta. A continuació, en els últims anys s'ha dedicat un esforç substancial al desenvolupament d'algorismes quàntics per a aplicacions de química quàntica. Presento eines per avaluar la utilitat de diverses combinacions d'algorismes de química quàntica. Realitzo simulacions numèriques extenses en sistemes de mida intermèdia computacionalment assequibles per explorar com els mètodes quàntics poden accelerar tasques de química quàntica. Aquestes obres estableixen una base des de la qual explorar més els requisits per aconseguir avantatge quàntic en la química quàntica. Finalment, discuteixo com la recerca en computació quàntica ha tendit a caure en un dels dos camps: la computació quàntica d'escala intermèdia a curt termini (NISQ) i la computació quàntica tolerant a falles (FTQC). Mitjançant una aplicació de química quàntica, exploro com utilitzar ordinadors quàntics en la transició entre aquestes dues èpoques, coneguda com el règim de computació quàntica tolerant a falles inicial (EFTQC). (Español) En esta tesis, me enfoqué en presentar herramientas para cuantificar el rendimiento de los algoritmos de computación cuántica y sus aplicaciones. El principal enfoque está en dos de las áreas de aplicación más populares de la computación cuántica, el aprendizaje automático cuántico y la química cuántica. Con este fin, analizo las propiedades de los modelos de aprendizaje automático cuántico siguiendo técnicas de métodos estadísticos, que pueden ayudarnos a construir nuestra comprensión de las capacidades de dichos modelos cuánticos. Además, presento el esquema de maestro-alumno como una herramienta computacional para evaluar el rendimiento de diferentes modelos cuánticos y sus capacidades de entrenamiento. Hasta que esté disponible la evaluación comparativa a gran escala, estas herramientas pueden ayudarnos a comprender el potencial del aprendizaje automático cuántico y guiar la investigación en la dirección correcta. A continuación, en los últimos años se ha dedicado un esfuerzo sustancial al desarrollo de algoritmos cuánticos para aplicaciones de química cuántica. Introduzco herramientas para evaluar la utilidad de diversas combinaciones de algoritmos de química cuántica. Realizo extensas simulaciones numéricas en sistemas computacionalmente asequibles de tamaño intermedio para explorar cómo los métodos cuánticos pueden acelerar las tareas de química cuántica. Estos trabajos establecen una base desde la cual explorar más a fondo los requisitos para lograr una ventaja cuántica en la química cuántica. Finalmente, discuto cómo la investigación en computación cuántica tiende a caer en una de dos categorías: computación cuántica de escala intermedia a corto plazo (NISQ) y computación cuántica tolerante a fallos (FTQC). A través de una aplicación de química cuántica, exploro cómo utilizar las computadoras cuánticas en la transición entre estas dos épocas, es decir, el régimen de computación cuántica tolerante a fallos temprano (EFTQC).
Aquesta tesi estudia la verificació de sistemes quàntics en escenaris on l'accés a informació crucial és limitat. Mentre que en el control de qualitat clàssic els defectes poden, en principi, detectar-se de manera determinista, la naturalesa probabilística de la mecànica quàntica imposa limitacions inherents. Aquest fet planteja la pregunta: fins a quin punt és possible identificar de manera fiable defectes en estats i processos quàntics? Per respondre aquesta pregunta s'estudia la discriminació d'estats i canals quàntics en contextos universals, és a dir, quan no es coneix la forma específica de les hipòtesis. L'objectiu és establir rendiments de referència i dissenyar protocols òptims que continuïn sent vàlids sota condicions d'ignorància parcial. La manera d'abordar l'objectiu és mitjançant la combinació d'eines d'optimització convexa amb mètodes de teoria de representacions. La programació semidefinida ofereix el marc per formular els problemes de discriminació com a problemes d'optimització sobre operadors. Per la seva banda, la dualitat de Schur-Weyl i els esquemes d'associació permeten captar la simetria dels problemes estudiats, així com reduir de manera significativa la seva complexitat. Més enllà de la discriminació d'estats, l'isomorfisme de Choi-Jamiołkowski i el formalisme de xarxes quàntiques estenen aquestes tècniques a l'anàlisi de canals quàntics. La primera contribució se centra en el problema anomenat edge detection. Una seqüència de sistemes es divideix en dos dominis, cadascun preparat en un estat desconegut però diferent, i l'objectiu consisteix a identificar la frontera que els separa. Es presenta un protocol òptim per a aquest problema, juntament amb un càlcul eficient de la seva probabilitat d'èxit basat en la dualitat de Schur-Weyl i el formalisme de matrius de Gram. A més, s'explora un escenari mixt, en què els estats passen de ser coneguts a desconeguts, cosa que pot resultar útil per detectar defectes en processos de producció d'estats quàntics. La segona contribució introdueix la detecció quàntica d'anomalies múltiples, en què un conjunt de fonts ha de produir un estat de referència, encara que algunes poden fallar i generar estats anòmals. Es consideren dos casos. En el primer, tant l'estat de referència com els estats anòmals són coneguts; aquest problema es resol analíticament aprofitant l'estructura algebraica dels esquemes d'associació de Johnson, la qual cosa permet obtenir estratègies òptimes tant en el règim d'error mínim com en el d'identificació sense error (inequívoca). En el segon cas, ambdues classes d'estats són desconegudes, i es desenvolupa un protocol universal la optimalitat del qual s'estableix a través de la dualitat de Schur-Weyl. Finalment, la tercera contribució estén la detecció d'anomalies a l'àmbit dels canals quàntics. S'assumeix que els dispositius implementen una operació unitària donada, encara que un subconjunt d'aquests aplica en el seu lloc unitàries desconegudes. Es deriven protocols òptims sense error per identificar aquests dispositius defectuosos, emprant l'isomorfisme de Choi-Jamiołkowski i el formalisme de xarxes quàntiques. L'anàlisi mitjançant teoria de representació i la dualitat mixta de Schur-Weyl demostra que el rendiment òptim pot assolir-se amb estats d'entrada entrellaçats, sistemes auxiliars i estratègies paral·leles.
In this thesis, we present optimization tools for different problems in quantum information theory. First, we introduce an algorithm for quantum estate estimation. The algorithm consists of orthogonal projections on intersecting hyperplanes, which are determined by the probability distributions and the measurement operators. We show its performance, in both runtime and fidelity, considering realistic errors. Second, we present a technique for certifying quantum non-locality. Given a set of bipartite measurement frequencies, this technique finds a Bell inequality that maximizes the gap between the local hidden variable and the quantum value of a Bell inequality. Lastly, to study the quantum marginal problem, we introduce an operator and develop an algorithm, which takes as inputs a set of quantum marginals and eigenvalues, and outputs a density matrix, if exists, compatible with the prescribed data.
Entanglement and non-local correlations give rise to unprecedented phenomena with no classical analogue. As a result, they have settled themselves as fundamental properties in the study of quantum many-body systems, as well as key resources for emerging quantum technologies. However, the lack for general and efficient criteria to characterize them in many-body systems poses many challenges, often intractable. Consequently, despite the growing interest in their properties, the role of entanglement and non-local correlations in many-body systems remains largely unexplored. The subject of the present Thesis is to explore quantum many-body systems from an entanglement and non-local correlations perspective, aiming at expanding the interplay between quantum information processing and quantum many-body physics. We examine adequate properties, like symmetries, that allow us to delve into entanglement and non-local correlations in many-body systems of physical relevance. The original results that we present are achieved at the fundamental level, even though many practical methods that can be experimentally implemented stem from them. First, we explore the complexity to characterize entanglement in simplified cases. In particular, we consider the separability problem for diagonal symmetric states. We establish a connection with the field of quadratic conic optimization that allows us to provide significant sufficient criteria. Furthermore, it allows us to prove that obtaining necessary and sufficient criteria remains an NP-hard problem, even for a case with such a simplified structure. Second, the elusiveness of the characterization of entanglement motivates certification criteria for its detection, specially in the multipartite scenario. By means of non-local correlations, we provide device-independent certification criteria that characterizes the amount of entanglement present on a quantum many-body system. This type of certification does not rely on assumptions about the internal workings of the measuring device nor about the system itself. Moreover, by relying solely on non-local correlations, the criteria dismisses all the correlations that have a classical analogue, thus being a natural candidate as a certifier for emerging quantum technologies. Third, we explore non-local correlations in the vicinity of quantum critical points, which are known to stabilize large-scale entanglement. We show the presence of non-local correlations across the phase diagram via a certain Bell inequality. Furthermore, we show that the Bell inequality is maximally violated at the quantum critical point, hinting at a possible connection between many-body Bell correlators and quantum phase transitions. Fourth, we present a solution to the quantum marginal problem restricted to symmetric states. This allows to partially circumvent the inefficient representability inherent to the multipartite Hilbert space in cases of interest. In addition, we illustrate some of the applications that our solution brings on central quantum information problems. Namely, (i) as an undemanding and efficient variational method to optimize local Hamiltonians over symmetric states, (ii) to optimize few-body symmetric Bell inequalities over symmetric states and (iii) to explore which symmetric states cannot be self-tested solely from their marginals. Finally, we conclude by presenting a methodology to derive two-body symmetric Bell inequalities for three-outcomes. These novel Bell inequalities are natural candidates to explore the role of non-local correlations on quantum phenomena tailored to qutrit or spin-1 many-body systems. We select a particular Bell inequality to characterize and show that it reveals non-local correlations in the ground state of many-body Hamiltonians physically relevant to, e.g., nuclear physics. : L'entrellaçament i les correlacions no-locals donen lloc a fenòmens sense precedents ni analogia clàssica. Aquests fenòmens els han portat a establir-se com a propietats primordials per a l'estudi de sistemes quàntics amb molts cossos, així com a recursos primordials per a les tecnologies quàntiques emergents. Tanmateix, la manca de criteris generals i eficients per caracteritzar-los en sistemes de molts cossos suposa molts reptes, sovint intractables. Per consegüent, tot i l'interès creixent en les seves propietats, el rol de l'entrellaçament i les correlacions no-locals en sistemes de molts cossos continuen, en gran part, inexplorats. L'objectiu d'aquesta Tesi és explorar sistemes quàntics de molts cossos des de la perspectiva de l'entrellaçament i les correlacions no-locals, amb la voluntat d'ampliar la reciprocitat entre els camps del processament d'informació quàntica i la física quàntica de molts cossos. Examinem propietats adequades, com ara simetries, que ens permeten investigar l'entrellaçament i les correlacions no-locals en sistemes de molts cossos i d'interès físic. Els resultats originals que presentem s'obtenen en l'àmbit fonamental, al mateix temps que es proposen un seguit de mètodes pràctics que permeten ser experimentalment implementats. En primer lloc, explorem la complexitat en caracteritzar l'entrellaça-ment inclús en casos simplificats. En particular, considerem el problema de la separabilitat en estats simètrics diagonals. Establim una connexió amb el camp d'optimització cònica quadràtica que ens permet proporcionar diversos criteris suficients de separabilitat. A més, ens permet demostrar que criteris necessaris i suficients segueixen sent un problema NP-hard, fins i tot per a un cas amb una estructura tan simplificada. En segon lloc, l'evasivitat de la caracterització de l'entrellaçament motiva criteris de certificació per a la seva detecció, especialment en l'escenari multipartit. Mitjançant correlacions no-locals, proporcionem criteris independents del dispositiu que caracteritzen la quantitat d'ent-rellaçament present en un sistema quàntic de molts cossos. Aquest tipus de certificació no es basa en suposicions sobre el funcionament intern del dispositiu de mesura ni del mateix sistema. A més, al basar-se únicament en correlacions no-locals el criteri descarta totes les correlacions que tenen un anàleg clàssic, sent així un candidat natural com a certificador de tecnologies quàntiques. En tercer lloc, explorem correlacions no-locals en l'entorn de punts crítics quàntics, coneguts per estabilitzar l'entrellaçament a gran escala. A través de desigualtats de Bell, mostrem la presència de correlacions no-locals al llarg del diagrama de fase d'un model d'espins. A més, mostrem que la desigualtat de Bell es viola màximament en el punt crític, donant indicis d'una possible connexió entre la violació de certes desigualtats de Bell i transicions de fase quàntiques. En quart lloc, presentem una solució pel problema del marginal quàntic restringit a estats simètrics. La solució ens permet eludir parcialment la ineficient representabilitat inherent a l'espai de Hilbert multipartit en casos d'interès. A més, il·lustrem algunes de les aplicacions que la solució ofereix en problemes centrals d'informació quàntica. Concretament, (i) com a mètode variacional poc exigent i eficaç que ofereix optimitzar Hamiltonians locals respecte estats simètrics, (ii) per optimitzar desigualtats de Bell de pocs cossos i simètriques respecte d'estats simètrics i (iii) per explorar quins estats simètrics no es poden auto-validar només a partir dels seus marginals. Finalment, concloem presentant una metodologia que permet obtenir desigualtats de Bell simètriques de pocs cossos amb tres possibles resultats de mesura. Aquestes noves desigualtats de Bell permeten explorar el rol de les correlacions no-locals en fenòmens quàntics específics per a sistemes de molts cossos formats per qutrits o amb àtoms d'espín-1. Seleccionem una desigualtat de Bell a caracteritzar i mostrem que detecta correlacions no-locals en l'estat fonamental d'Hamiltonians físicament rellevant en, e.g., física nuclear. El entrelazamiento y las correlaciones no-locales dan lugar a fenómenos sin precedentes ni analogía clásica. Estos fenómenos les ha llevado a establecerse como propiedades clave para el estudio de sistemas cuánticos con muchos cuerpos, además de convertirse en recursos primordiales para las tecnologías cuánticas emergentes. Sin embargo, la falta de criterios generales y eficientes para caracterizarlos en sistemas de muchos cuerpos suponen muchos retos, a menudo intratables. Por consiguiente, a pesar del creciente interés en sus propiedades, el rol del entrelazamiento y las correlaciones no-locales en sistemas de muchos cuerpos siguen, en gran parte, inexplorados. El objetivo de esta Tesis es explorar sistemas cuánticos de muchos cuerpos desde la perspectiva del entrelazamiento y las correlaciones no-locales, con la voluntad de ampliar la sinergia entre el campo del procesamiento de información cuántica y la física cuántica de muchos cuerpos. Examinamos propiedades adecuadas, como simetrías, que nos permiten investigar el entrelazamiento y las correlaciones no-locales en sistemas de muchos cuerpos y de interés físico. Los resultados originales que presentamos se obtienen en el ámbito fundamental, al mismo tiempo que se proponen varios métodos prácticos que permiten ser experimentalmente implementados. En primer lugar, exploramos la complejidad en caracterizar el entrelazamiento en casos simplificados. En particular, consideramos el problema de la separabilidad en estados simétricos diagonales. Establecemos una conexión con el campo de la optimización cónica cuadrática que nos permite demostrar que obtener criterios necesarios y suficientes sigue siendo un problema NP-hard, incluso para un caso con una estructura tan simplificada. En segundo lugar, la evasividad de la caracterización del entrelazamiento motiva criterios de certificación para su detección, e