Esta tesis doctoral trata de diversos aspectos de la teoría cuántica (TC), que abarcan desde el campo de los fundamentos de la disciplina (en particular, la búsqueda de un conjunto de principios que seleccionen y distingan a la TC en el panorama de las teorías probabilísticas generales) hasta el reino de las aplicaciones en información y computación cuánticas. \nTodos los problemas que hemos abordado en nuestra investigación tienen un rasgo distintivo común: la teoría de grafos parece ser especialmente adecuada para describirlos y tratarlos. Y no sólo eso: el lenguaje y las herramientas de la teoría de grafos proporcionan una poderosa y nueva percepción que permite arrojar luz sobre tales problemas, y representan además un importante impulso para futuros desarrollos. \nPrecisamente, uno de los problemas que tuvimos que plantearnos en esta tesis, desde el primer momento, fue decidir su título. El alcance de la tesis era demasiado amplio como para poderlo comprimir en un título que fuese significativo, preciso y relativamente corto, y esto explica nuestra elección final: Quantum correlations and graphs, es decir,Correlaciones cuánticas y grafos, una declaración intencionadamente de amplio espectro y algo vaga con la que intentamos capturar los principales aspectos de nuestra investigación, quizá sin éxito. \nEn lo que concierne a la alusión a los grafos en el título, la principal razón para nuestra concisión es la siguiente: la tesis está dividida en dos partes en las que los grafos constituyen la herramienta matemática ubicua y versátil sobre la cual hemos basado toda nuestra investigación. Sin embargo, hemos de hacer notar que los grafos significan cosas muy distintas y juegan papeles bien diferentes en cada parte de la tesis. En la Parte I, que está dedicada a los grafos de exclusividad de desigualdades no contextuales (NC), los grafos dan cuenta de experimentos en los cuales algunas medidas se llevan a cabo sobre ciertos estados: los vértices de uno de tales grafos representan eventos, en tanto que las aristas describen relaciones de exclusividad mutua entre eventos, y sobre la base de dichos grafos nosotros construimos desigualdades NC y calculamos sus valores límite a partir de algunos números combinatorios propios de los grafos. En la Parte II, que está dedicada específicamente a los denominados estados grafo, los grafos por el contrario representan estados cuánticos entrelazados de muchos qubits. El grafo no sólo proporciona una ayuda para escribir el generador del estado grafo, sino que también sirve por así decir como una plantilla o guía para su preparación: los vértices representan qubits, y las aristas describen subsiguientes operaciones de entrelazamiento cada una de la cuales involucra a dos qubits. Todo esto prueba cuán fructífera y versátil llega a ser la teoría de grafos cuando se aplica a algunos problemas fundamentales en TC, lo que constituye una de la principales ideas que alientan la tesis. \nEntre estas dos partes de la tesis, en apariencia desligadas, hay no obstante una profunda conexión, que se explica con detalle al final de la tesis. En pocas palabras: hay una construcción que partiendo de cualquier grafo conexo de tres o más vértices que describe a un estado grafo lleva a un grafo de mayor orden y tamaño, siendo ´este último un grafo de exclusividad cuyos vértices representan todos los posibles eventos consistentes con el grupo estabilizador del estado grafo original, y cuyas aristas conectan eventos mutuamente excluyentes. Tal procedimiento transcribe en términos de teoría de grafos la conexión existente entre un estado grafo y una desigualdad de Bell violada máximamente por la TC. \nOtro comentario importante tiene que ver con correlaciones cuánticas, el otro elemento que aparece con concisión en el título: proporcionamos una definición general de correlaciones cuánticas en la Sec. 1.2.4, a la que referimos al lector para más detalle. Nosotros seleccionamos dos tipos de correlaciones cuánticas: correlaciones cuánticas proyectivas, y correlaciones cuánticas tipo Bell. Debemos enfatizar el hecho de que en la primera parte de esta tesis, a menos que se diga expresamente lo contrario, por correlaciones cuánticas se entenderá que se trata de correlaciones cuánticas proyectivas, es decir, correlaciones entre los resultados demedidas conjuntas de observables cuánticos proyectivos. Las razones para esta elección se aportan en la p. 46. Por otro lado, nuestro principal interés en la segunda parte de la tesis es la clasificación y preparación óptima de estados grafo. En este caso, las correlaciones cuánticas (en particular, correlaciones cuánticas tipo Bell) aparecen implícitamente al discutir la conexión existente entre los grafos de exclusividad, los estados grafo y una clase de desigualdades de Bell violada máximamente por los estados grafo. \nCon todas estas consideraciones en mente, pasamos a continuación a hacer una descripción resumida de nuestro trabajo de investigación. La tesis que presentamos, como ha quedado dicho, está estructurada en dos partes: \n1. La Parte I se titulaGrafos de exclusividad de desigualdades no contextuales, y está organizada en cuatro capítulos: \n• Capítulo 1:Aproximación a las correlaciones cuánticas mediante teoría de grafos. Éste es un capítulo introductorio, cuyo principal propósito es proporcionar el mínimo trasfondo teórico necesario para discutir los problemas y resultados de la primeraparte de la tesis, además de presentar nuestros primeros resultados más básicos. Comenzamos en la Sec. 1.1 con una descripción concisa y autocontenida del marcogeneral de las teorías operacionales, siguiendo las Refs. [1, 2]. Esta introducción concluye con la definición de exclusividad mutua entre eventos, en términos operacionales. Ello nos permite conectar la observación de Specker acerca de la mensurabilidad dos a dos y la mensurabilidad conjunta en TC con el principio de exclusividad(E), es decir, con el hecho de que la suma de las probabilidades de un conjunto de eventos mutuamente excluyentes dos a dos no puede exceder de 1. En la Sec. 1.2 pasamos revista a diferentes tipos de correlaciones entre resultados de medidas realizadas en un sistema, según las predicciones de ciertas teorías físicas. Seguimos las Refs. [3, 4, 5] en la discusión de las correlaciones locales, cuánticas, no-signalingand generales. Nos ocupamos de dos tipos de correlaciones cuánticas: proyectivas ytipo Bell, y seguidamente centramos nuestra atención en las correlaciones cuánticasproyectivas, proporcionando razones para dicha elección en la primera parte de la tesis. En la Sec. 1.3 definimos correlaciones no contextuales, e introducimos el concepto de desigualdad NC. La Sec. 1.4 se dedica a presentar la aproximación a las correlaciones cuánticas mediante teoría de grafos de Cabello-Severini-Winter (CSW), recogida en las Refs. [6, 7], atendiendo específicamente a dos resultados principales y varias propuestas de posible desarrollo ulterior de dichos autores, en las cuales se basa nuestra investigación. Presentamos nuestros primeros resultados básicos en la Sec. 1.5, relativos a la clasificación de los llamados grafos cuánticos contextuales (QCG), y concluimos resumiendo las conexiones entre esta clasificación y los problemas abordados en capítulos subsiguientes. \n• Capítulo 2: Grafos de exclusividad básicos en correlaciones cuánticas. \nEn este capítulo nos ocupamos de un problema fundamental: entender por qué la TC viola únicamente ciertas desigualdades NC, e identificar los principios físicos que impiden violaciones mayores que las producidas por la TC. \nUtilizamos, como herramienta principal a lo largo del capítulo, el grafo de exclusividad de una desigualdad NC que ya se ha introducido previamente en la Sec. 1.4.2. En la Sec. 2.3, presentamos una condición necesaria para la existencia de correlaciones cuánticas contextuales: demostramos que la TC viola únicamente aquellas desigualdades NC cuyos grafos de exclusividad contienen, como subgrafos inducidos, ciclos impares de cinco o más vértices y/o sus complementos. En la Sec. 2.4, mostramos que se puede obtener una cota inferior de la dimensión (i. e., del número de estados perfectamente distinguibles) del sistema cuántico utilizado para violar la desigualdad NC mediante la identificación de subgrafos inducidos en el grafo de exclusividad de la desigualdad NC. El resultado de la Sec. 2.3 sugiere que las desigualdades NC cuyos grafos de exclusividad son o bien un ciclo impar o bien su complemento son especialmente importantes para entender la manera en que la TC viola desigualdades NC. En la Sec. 2.5 mostramos que los ciclos impares son los grafos de exclusividad de una familia bien conocida de desigualdades NC, y que hay también una familia de desigualdades NC cuyos grafos de exclusividad son los complementos de los ciclos impares. Además, caracterizamos los valores máximos no contextual y cuántico de estas desigualdades NC y proporcionamos los estados cuánticos y las medidas que conducen a sus violaciones cuánticas máximas. Finalmente, en la Sec. 2.6 presentamos algunos resultados que ofrecen evidencias que apoyan la conjetura de que el principio E selecciona exactamente la máxima violación cuántica de la desigualdades NC discutidas en la Sec. 2.5. Finalizamos el capítulo con material adicional en la Sec. 2.7, en la que presentamos una tabla que cuenta el número de subgrafos de exclusividad básicos inducidos en los grafos de exclusividad de algunas desigualdades NC y demostraciones de Kochen-Specker (KS) conocidas. \n• Capítulo 3:Correlaciones cuánticas completamente contextuales. \nLas correlaciones cuánticas son contextuales. Sin embargo, en general, nada impide la existencia de correlaciones incluso más contextuales aún. El propósito del Capítulo 3 es identificar y poner a prueba una desigualdad NC en la cual la violación cuántica no pueda ser mejorada por ninguna hipotética teoría
Esta tesis doctoral trata de diversos aspectos de la teoría cuántica (TC), que abarcan desde el campo de los fundamentos de la disciplina (en particular, la búsqueda de un conjunto de principios que seleccionen y distingan a la TC en el panorama de las teorías probabilísticas generales) hasta el reino de las aplicaciones en información y computación cuánticas. \nTodos los problemas que hemos abordado en nuestra investigación tienen un rasgo distintivo común: la teoría de grafos parece ser especialmente adecuada para describirlos y tratarlos. Y no sólo eso: el lenguaje y las herramientas de la teoría de grafos proporcionan una poderosa y nueva percepción que permite arrojar luz sobre tales problemas, y representan además un importante impulso para futuros desarrollos. \nPrecisamente, uno de los problemas que tuvimos que plantearnos en esta tesis, desde el primer momento, fue decidir su título. El alcance de la tesis era demasiado amplio como para poderlo comprimir en un título que fuese significativo, preciso y relativamente corto, y esto explica nuestra elección final: Quantum correlations and graphs, es decir,Correlaciones cuánticas y grafos, una declaración intencionadamente de amplio espectro y algo vaga con la que intentamos capturar los principales aspectos de nuestra investigación, quizá sin éxito. \nEn lo que concierne a la alusión a los grafos en el título, la principal razón para nuestra concisión es la siguiente: la tesis está dividida en dos partes en las que los grafos constituyen la herramienta matemática ubicua y versátil sobre la cual hemos basado toda nuestra investigación. Sin embargo, hemos de hacer notar que los grafos significan cosas muy distintas y juegan papeles bien diferentes en cada parte de la tesis. En la Parte I, que está dedicada a los grafos de exclusividad de desigualdades no contextuales (NC), los grafos dan cuenta de experimentos en los cuales algunas medidas se llevan a cabo sobre ciertos estados: los vértices de uno de tales grafos representan eventos, en tanto que las aristas describen relaciones de exclusividad mutua entre eventos, y sobre la base de dichos grafos nosotros construimos desigualdades NC y calculamos sus valores límite a partir de algunos números combinatorios propios de los grafos. En la Parte II, que está dedicada específicamente a los denominados estados grafo, los grafos por el contrario representan estados cuánticos entrelazados de muchos qubits. El grafo no sólo proporciona una ayuda para escribir el generador del estado grafo, sino que también sirve por así decir como una plantilla o guía para su preparación: los vértices representan qubits, y las aristas describen subsiguientes operaciones de entrelazamiento cada una de la cuales involucra a dos qubits. Todo esto prueba cuán fructífera y versátil llega a ser la teoría de grafos cuando se aplica a algunos problemas fundamentales en TC, lo que constituye una de la principales ideas que alientan la tesis. \nEntre estas dos partes de la tesis, en apariencia desligadas, hay no obstante una profunda conexión, que se explica con detalle al final de la tesis. En pocas palabras: hay una construcción que partiendo de cualquier grafo conexo de tres o más vértices que describe a un estado grafo lleva a un grafo de mayor orden y tamaño, siendo ´este último un grafo de exclusividad cuyos vértices representan todos los posibles eventos consistentes con el grupo estabilizador del estado grafo original, y cuyas aristas conectan eventos mutuamente excluyentes. Tal procedimiento transcribe en términos de teoría de grafos la conexión existente entre un estado grafo y una desigualdad de Bell violada máximamente por la TC. \nOtro comentario importante tiene que ver con correlaciones cuánticas, el otro elemento que aparece con concisión en el título: proporcionamos una definición general de correlaciones cuánticas en la Sec. 1.2.4, a la que referimos al lector para más detalle. Nosotros seleccionamos dos tipos de correlaciones cuánticas: correlaciones cuánticas proyectivas, y correlaciones cuánticas tipo Bell. Debemos enfatizar el hecho de que en la primera parte de esta tesis, a menos que se diga expresamente lo contrario, por correlaciones cuánticas se entenderá que se trata de correlaciones cuánticas proyectivas, es decir, correlaciones entre los resultados demedidas conjuntas de observables cuánticos proyectivos. Las razones para esta elección se aportan en la p. 46. Por otro lado, nuestro principal interés en la segunda parte de la tesis es la clasificación y preparación óptima de estados grafo. En este caso, las correlaciones cuánticas (en particular, correlaciones cuánticas tipo Bell) aparecen implícitamente al discutir la conexión existente entre los grafos de exclusividad, los estados grafo y una clase de desigualdades de Bell violada máximamente por los estados grafo. \nCon todas estas consideraciones en mente, pasamos a continuación a hacer una descripción resumida de nuestro trabajo de investigación. La tesis que presentamos, como ha quedado dicho, está estructurada en dos partes: \n1. La Parte I se titulaGrafos de exclusividad de desigualdades no contextuales, y está organizada en cuatro capítulos: \n• Capítulo 1:Aproximación a las correlaciones cuánticas mediante teoría de grafos. Éste es un capítulo introductorio, cuyo principal propósito es proporcionar el mínimo trasfondo teórico necesario para discutir los problemas y resultados de la primeraparte de la tesis, además de presentar nuestros primeros resultados más básicos. Comenzamos en la Sec. 1.1 con una descripción concisa y autocontenida del marcogeneral de las teorías operacionales, siguiendo las Refs. [1, 2]. Esta introducción concluye con la definición de exclusividad mutua entre eventos, en términos operacionales. Ello nos permite conectar la observación de Specker acerca de la mensurabilidad dos a dos y la mensurabilidad conjunta en TC con el principio de exclusividad(E), es decir, con el hecho de que la suma de las probabilidades de un conjunto de eventos mutuamente excluyentes dos a dos no puede exceder de 1. En la Sec. 1.2 pasamos revista a diferentes tipos de correlaciones entre resultados de medidas realizadas en un sistema, según las predicciones de ciertas teorías físicas. Seguimos las Refs. [3, 4, 5] en la discusión de las correlaciones locales, cuánticas, no-signalingand generales. Nos ocupamos de dos tipos de correlaciones cuánticas: proyectivas ytipo Bell, y seguidamente centramos nuestra atención en las correlaciones cuánticasproyectivas, proporcionando razones para dicha elección en la primera parte de la tesis. En la Sec. 1.3 definimos correlaciones no contextuales, e introducimos el concepto de desigualdad NC. La Sec. 1.4 se dedica a presentar la aproximación a las correlaciones cuánticas mediante teoría de grafos de Cabello-Severini-Winter (CSW), recogida en las Refs. [6, 7], atendiendo específicamente a dos resultados principales y varias propuestas de posible desarrollo ulterior de dichos autores, en las cuales se basa nuestra investigación. Presentamos nuestros primeros resultados básicos en la Sec. 1.5, relativos a la clasificación de los llamados grafos cuánticos contextuales (QCG), y concluimos resumiendo las conexiones entre esta clasificación y los problemas abordados en capítulos subsiguientes. \n• Capítulo 2: Grafos de exclusividad básicos en correlaciones cuánticas. \nEn este capítulo nos ocupamos de un problema fundamental: entender por qué la TC viola únicamente ciertas desigualdades NC, e identificar los principios físicos que impiden violaciones mayores que las producidas por la TC. \nUtilizamos, como herramienta principal a lo largo del capítulo, el grafo de exclusividad de una desigualdad NC que ya se ha introducido previamente en la Sec. 1.4.2. En la Sec. 2.3, presentamos una condición necesaria para la existencia de correlaciones cuánticas contextuales: demostramos que la TC viola únicamente aquellas desigualdades NC cuyos grafos de exclusividad contienen, como subgrafos inducidos, ciclos impares de cinco o más vértices y/o sus complementos. En la Sec. 2.4, mostramos que se puede obtener una cota inferior de la dimensión (i. e., del número de estados perfectamente distinguibles) del sistema cuántico utilizado para violar la desigualdad NC mediante la identificación de subgrafos inducidos en el grafo de exclusividad de la desigualdad NC. El resultado de la Sec. 2.3 sugiere que las desigualdades NC cuyos grafos de exclusividad son o bien un ciclo impar o bien su complemento son especialmente importantes para entender la manera en que la TC viola desigualdades NC. En la Sec. 2.5 mostramos que los ciclos impares son los grafos de exclusividad de una familia bien conocida de desigualdades NC, y que hay también una familia de desigualdades NC cuyos grafos de exclusividad son los complementos de los ciclos impares. Además, caracterizamos los valores máximos no contextual y cuántico de estas desigualdades NC y proporcionamos los estados cuánticos y las medidas que conducen a sus violaciones cuánticas máximas. Finalmente, en la Sec. 2.6 presentamos algunos resultados que ofrecen evidencias que apoyan la conjetura de que el principio E selecciona exactamente la máxima violación cuántica de la desigualdades NC discutidas en la Sec. 2.5. Finalizamos el capítulo con material adicional en la Sec. 2.7, en la que presentamos una tabla que cuenta el número de subgrafos de exclusividad básicos inducidos en los grafos de exclusividad de algunas desigualdades NC y demostraciones de Kochen-Specker (KS) conocidas. \n• Capítulo 3:Correlaciones cuánticas completamente contextuales. \nLas correlaciones cuánticas son contextuales. Sin embargo, en general, nada impide la existencia de correlaciones incluso más contextuales aún. El propósito del Capítulo 3 es identificar y poner a prueba una desigualdad NC en la cual la violación cuántica no pueda ser mejorada por ninguna hipotética teoría
Esta tesis doctoral trata de diversos aspectos de la teoria cuantica (TC), que abarcan desde el campo de los fundamentos de la disciplina (en particular, la busqueda de un conjunto de principios que seleccionen y distingan a la TC en el panorama de las teorias probabilisticas generales) hasta el reino de las aplicaciones en informacion y computacion cuanticas.
Todos los problemas que hemos abordado en nuestra investigacion tienen un rasgo distintivo comun: la teoria de grafos parece ser especialmente adecuada para describirlos y tratarlos. Y no solo eso: el lenguaje y las herramientas de la teoria de grafos proporcionan una poderosa y nueva percepcion que permite arrojar luz sobre tales problemas, y representan ademas un importante impulso para futuros desarrollos.
Precisamente, uno de los problemas que tuvimos que plantearnos en esta tesis, desde el primer momento, fue decidir su titulo. El alcance de la tesis era demasiado amplio como para poderlo comprimir en un titulo que fuese significativo, preciso y relativamente corto, y esto explica nuestra eleccion final: Quantum correlations and graphs, es decir,Correlaciones cuanticas y grafos, una declaracion intencionadamente de amplio espectro y algo vaga con la que intentamos capturar los principales aspectos de nuestra investigacion, quiza sin exito.
En lo que concierne a la alusion a los grafos en el titulo, la principal razon para nuestra concision es la siguiente: la tesis esta dividida en dos partes en las que los grafos constituyen la herramienta matematica ubicua y versatil sobre la cual hemos basado toda nuestra investigacion. Sin embargo, hemos de hacer notar que los grafos significan cosas muy distintas y juegan papeles bien diferentes en cada parte de la tesis. En la Parte I, que esta dedicada a los grafos de exclusividad de desigualdades no contextuales (NC), los grafos dan cuenta de experimentos en los cuales algunas medidas se llevan a cabo sobre ciertos estados: los vertices de uno de tales grafos representan eventos, en tanto que las aristas describen relaciones de exclusividad mutua entre eventos, y sobre la base de dichos grafos nosotros construimos desigualdades NC y calculamos sus valores limite a partir de algunos numeros combinatorios propios de los grafos. En la Parte II, que esta dedicada especificamente a los denominados estados grafo, los grafos por el contrario representan estados cuanticos entrelazados de muchos qubits. El grafo no solo proporciona una ayuda para escribir el generador del estado grafo, sino que tambien sirve por asi decir como una plantilla o guia para su preparacion: los vertices representan qubits, y las aristas describen subsiguientes operaciones de entrelazamiento cada una de la cuales involucra a dos qubits. Todo esto prueba cuan fructifera y versatil llega a ser la teoria de grafos cuando se aplica a algunos problemas fundamentales en TC, lo que constituye una de la principales ideas que alientan la tesis.
Entre estas dos partes de la tesis, en apariencia desligadas, hay no obstante una profunda conexion, que se explica con detalle al final de la tesis. En pocas palabras: hay una construccion que partiendo de cualquier grafo conexo de tres o mas vertices que describe a un estado grafo lleva a un grafo de mayor orden y tamano, siendo ´este ultimo un grafo de exclusividad cuyos vertices representan todos los posibles eventos consistentes con el grupo estabilizador del estado grafo original, y cuyas aristas conectan eventos mutuamente excluyentes. Tal procedimiento transcribe en terminos de teoria de grafos la conexion existente entre un estado grafo y una desigualdad de Bell violada maximamente por la TC.
Otro comentario importante tiene que ver con correlaciones cuanticas, el otro elemento que aparece con concision en el titulo: proporcionamos una definicion general de correlaciones cuanticas en la Sec. 1.2.4, a la que referimos al lector para mas detalle. Nosotros seleccionamos dos tipos de correlaciones cuanticas: correlaciones cuanticas proyectivas, y correlaciones cuanticas tipo Bell. Debemos enfatizar el hecho de que en la primera parte de esta tesis, a menos que se diga expresamente lo contrario, por correlaciones cuanticas se entendera que se trata de correlaciones cuanticas proyectivas, es decir, correlaciones entre los resultados demedidas conjuntas de observables cuanticos proyectivos. Las razones para esta eleccion se aportan en la p. 46. Por otro lado, nuestro principal interes en la segunda parte de la tesis es la clasificacion y preparacion optima de estados grafo. En este caso, las correlaciones cuanticas (en particular, correlaciones cuanticas tipo Bell) aparecen implicitamente al discutir la conexion existente entre los grafos de exclusividad, los estados grafo y una clase de desigualdades de Bell violada maximamente por los estados grafo.
Con todas estas consideraciones en mente, pasamos a continuacion a hacer una descripcion resumida de nuestro trabajo de investigacion. La tesis que presentamos, como ha quedado dicho, esta estructurada en dos partes:
1. La Parte I se titulaGrafos de exclusividad de desigualdades no contextuales, y esta organizada en cuatro capitulos:
• Capitulo 1:Aproximacion a las correlaciones cuanticas mediante teoria de grafos. Este es un capitulo introductorio, cuyo principal proposito es proporcionar el minimo trasfondo teorico necesario para discutir los problemas y resultados de la primeraparte de la tesis, ademas de presentar nuestros primeros resultados mas basicos. Comenzamos en la Sec. 1.1 con una descripcion concisa y autocontenida del marcogeneral de las teorias operacionales, siguiendo las Refs. [1, 2]. Esta introduccion concluye con la definicion de exclusividad mutua entre eventos, en terminos operacionales. Ello nos permite conectar la observacion de Specker acerca de la mensurabilidad dos a dos y la mensurabilidad conjunta en TC con el principio de exclusividad(E), es decir, con el hecho de que la suma de las probabilidades de un conjunto de eventos mutuamente excluyentes dos a dos no puede exceder de 1. En la Sec. 1.2 pasamos revista a diferentes tipos de correlaciones entre resultados de medidas realizadas en un sistema, segun las predicciones de ciertas teorias fisicas. Seguimos las Refs. [3, 4, 5] en la discusion de las correlaciones locales, cuanticas, no-signalingand generales. Nos ocupamos de dos tipos de correlaciones cuanticas: proyectivas ytipo Bell, y seguidamente centramos nuestra atencion en las correlaciones cuanticasproyectivas, proporcionando razones para dicha eleccion en la primera parte de la tesis. En la Sec. 1.3 definimos correlaciones no contextuales, e introducimos el concepto de desigualdad NC. La Sec. 1.4 se dedica a presentar la aproximacion a las correlaciones cuanticas mediante teoria de grafos de Cabello-Severini-Winter (CSW), recogida en las Refs. [6, 7], atendiendo especificamente a dos resultados principales y varias propuestas de posible desarrollo ulterior de dichos autores, en las cuales se basa nuestra investigacion. Presentamos nuestros primeros resultados basicos en la Sec. 1.5, relativos a la clasificacion de los llamados grafos cuanticos contextuales (QCG), y concluimos resumiendo las conexiones entre esta clasificacion y los problemas abordados en capitulos subsiguientes.
• Capitulo 2: Grafos de exclusividad basicos en correlaciones cuanticas.
En este capitulo nos ocupamos de un problema fundamental: entender por que la TC viola unicamente ciertas desigualdades NC, e identificar los principios fisicos que impiden violaciones mayores que las producidas por la TC.
Utilizamos, como herramienta principal a lo largo del capitulo, el grafo de exclusividad de una desigualdad NC que ya se ha introducido previamente en la Sec. 1.4.2. En la Sec. 2.3, presentamos una condicion necesaria para la existencia de correlaciones cuanticas contextuales: demostramos que la TC viola unicamente aquellas desigualdades NC cuyos grafos de exclusividad contienen, como subgrafos inducidos, ciclos impares de cinco o mas vertices y/o sus complementos. En la Sec. 2.4, mostramos que se puede obtener una cota inferior de la dimension (i. e., del numero de estados perfectamente distinguibles) del sistema cuantico utilizado para violar la desigualdad NC mediante la identificacion de subgrafos inducidos en el grafo de exclusividad de la desigualdad NC. El resultado de la Sec. 2.3 sugiere que las desigualdades NC cuyos grafos de exclusividad son o bien un ciclo impar o bien su complemento son especialmente importantes para entender la manera en que la TC viola desigualdades NC. En la Sec. 2.5 mostramos que los ciclos impares son los grafos de exclusividad de una familia bien conocida de desigualdades NC, y que hay tambien una familia de desigualdades NC cuyos grafos de exclusividad son los complementos de los ciclos impares. Ademas, caracterizamos los valores maximos no contextual y cuantico de estas desigualdades NC y proporcionamos los estados cuanticos y las medidas que conducen a sus violaciones cuanticas maximas. Finalmente, en la Sec. 2.6 presentamos algunos resultados que ofrecen evidencias que apoyan la conjetura de que el principio E selecciona exactamente la maxima violacion cuantica de la desigualdades NC discutidas en la Sec. 2.5. Finalizamos el capitulo con material adicional en la Sec. 2.7, en la que presentamos una tabla que cuenta el numero de subgrafos de exclusividad basicos inducidos en los grafos de exclusividad de algunas desigualdades NC y demostraciones de Kochen-Specker (KS) conocidas.
• Capitulo 3:Correlaciones cuanticas completamente contextuales.
La motivacion de esta tesis es estudiar el entrelazamiento cuantico en general y bajo que circunstancias es maximo en particular. En primer lugar, se analizan desigualdades de Bell desde un punto de vista operacional, se presentan nuevas desigualdades para particulas de dimension mayor que dos y se estudian los estados que las violan maximamente. Dichos estados son del tipo GHZ para las desigualdades que involucran qubits. En el caso de experimentos con qutrits o particulas dimension local mayor, los estados que violan maximamente estas desigualdades son deformaciones de estados GHZ generalizados. Este resultado demuestra que aunque maximo entrelazamiento y la no-localidad son conceptos muy proximos, no son equivalentes. En segundo lugar, se estudia el entrelazamiento multipartito en cadenas de espines. En particular, se usa como figura de merito el hiperdeterminante y los invariantes polinomicos que lo forman, S y T. Estas figuras cuantifican un tipo concreto de entrelazamiento cuatripartito, tal y como se demuestra de un analisis de estados cuanticos bien conocidos como el GHZ o el W. Cuando aplicamos esta figura a una cadena de espines con interaccion tipo Ising, observamos un pico pronunciado cerca de la transicion de fase cuantica. Resultados similares se observan para los modelos de XXZ y de Haldane-Shastry para el caso de los invariantes S y T. Con todo, concluimos que estas figuras de merito son sensibles a las transiciones de fase cuanticas. La segunda parte de la tesis se focaliza en el campo de la computacion cuantica. Dicho campo ha experimentado un crecimiento relevante en los ultimos anos, debido en parte a la mejora tecnologica sobre el control de experimentos cuanticos. Con motivo de este crecimiento, diversas empresas han empezado a desarrollar prototipos de ordenadores cuanticos. Por esta razon, una de las lineas de investigacion en computacion cuantica consiste en proponer metodos para poner a prueba estas maquinas. Uno de los metodos presentados en esta tesis es la simulacion exacta de una cadena de espines con interaccion de tipo XY. Se explicita como debe de ser el circuito cuantico que lleva a cabo dicha simulacion y se propone la simulacion tanto de estados termicos como de la evolucion en el tiempo. Debido a que el modelo XY es resoluble analiticamente, se pueden comparar los resultados obtenidos de la simulacion con el ordenador cuantico con la solucion teorica. Al correr un circuito para cuatro qubits en dos ordenadores de la empresa IBM y uno de la empresa Rigetti computing, obtenemos resultados peores a los esperados. Con ello, concluimos que hay fuentes de error que no se estan teniendo en cuenta en general y que cobran relevancia incluso en circuitos tan pequenos. Ademas de este circuito, proponemos la simulacion de estados altamente entrelazados. La implementacion de estos circuitos constituye un test tan duro como necesario para un ordenador cuantico, debido a que la ventaja de los algoritmos cuanticos radica en la generacion de entrelazamiento. Para finalizar, estudiamos la generacion de entrelazamiento al nivel mas fundamental: la fisica de particulas. Obtenemos que la interaccion de QED viene dictada por el maximo entrelazamiento en aquellos procesos a “tree-level”. Aplicamos la misma filosofia en procesos que involucren corrientes debiles neutras (tambien a “tree-level”) y con ello obtenemos que el angulo de Weinberg debe ser de pi/6 si imponemos que las particulas finales deben estar maximamente entrelazadas, valor muy cercano al experimental.
En este trabajo, se analiza una teoría que es en cierto modo una extensión natural del campo de las telecomunicaciones clásicas a la mecánica cuántica. Dicha teoría se llama tomografía cuántica y es de hecho una imagen de la mecánica cuántica equivalente a las más habituales que son la imagen de Schrödinger o la de Heisenberg. Esta nueva imagen, difiere de las precedentes en que está muy ligada a la capacidad tecnológica a la hora de medir observables (momento, energía, etc.) en el campo de la óptica cuántica, ya que su objetivo primordial es el de conseguir reconstruir el estado de un sistema cuántico a partir de mediciones en el laboratorio, y dado al avance tecnológico del instrumental de laboratorio disponible como láseres y fotodetectores, cada vez está suscitando mayor interés. En el primer capítulo, veremos cómo nace esta idea de reconstruir estados cuánticos discutiendo brevemente la técnica clásica conocida como Tomografía Axial Computerizada (TAC). Esta técnica está basada en los trabajos de Johann Karl August Radon aplicando la transformada que lleva su nombre. Introduciremos la transformada de Radon de una función de probabilidad definida en el espacio de fases para ver cómo se aplica en el caso del TAC. Para aplicar esta idea para la reconstrucción de estados cuánticos, veremos, en primer lugar, que existe una extensión natural de las técnicas de demodulación de señales moduladas en amplitud (AM) en el campo de la óptica cuántica mostrando que el papel que cumple un mezclador puede ser reemplazado por una combinación de divisores de haz y fotodetectores y mostraremos explícitamente cómo reconstruir el operador densidad que describe un estado cuántico a través de un proceso reminiscente de la transformada de Radon clásica. El segundo capítulo será el corazón de este trabajo. En él, introduciremos de manera formal la descripción tomográfica de la mecánica cuántica. Presentaremos una teoría general, para ello, trataremos a los observables como elementos de un álgebra C_ y los estados serán funcionales lineales positivos que actúen en dicha algebra. Veremos que esta descripción de la mecánica cuántica puede dividirse en dos partes, una primera con el objetivo de obtener una fórmula para reconstruir el estado de un sistema cuántico a partir de una función definida sobre un conjunto llamado conjunto tomográfico, que será un conjunto de observables que tendrá que cumplir una serie de condiciones que expondremos debidamente. A esta primera parte de la teoría, la bautizaremos como Teoría de muestreo generalizada en sistemas cuánticos. La segunda parte estará relacionada con la parte puramente experimental. Lo que hace necesario tener que añadir esta segunda parte es el hecho de que la función definida anteriormente sobre el conjunto tomográfico, que llamaremos función de muestreo, en general, no puede ser medida por medio de los dispositivos con los que contamos en un laboratorio de óptica cuántica, sin embargo, a partir de las mediciones hechas con un fotodetector, podemos obtener distribuciones de probabilidad de cantidades relacionadas con los observables. Entonces, tomando esto último como motivación, esta segunda parte de la teoría consistirá en relacionar esa función de muestreo con una distribución de probabilidad que llamaremos tomograma, que será el resultado directo de un proceso de medida en el laboratorio, y la llamaremos Transformada generalizada positiva por motivos que se expondrán convenientemente. Uno de los problemas más sutiles de esta teoría consiste en hallar un conjunto tomográfico que cumpla las condiciones necesarias para permitir reconstruir el estado a partir de él. Sin embargo, veremos que de manera natural, las representaciones unitarias irreducibles de un grupo finito o de Lie compacto proporcionan conjuntos tomográficos que cumplen las condiciones requeridas, por eso, nos centraremos en el estudio de la reconstrucción de estados a partir de grupos relacionados con el sistema físico dado. Aunque también destacaremos que existen otras representaciones unitarias que nos permiten reconstruir el estado cuántico a partir de ellas, como lo es la representación unitaria irreducible del grupo de Heisenberg Weyl dada por el álgebra de Lie que forman los operadores momento y posición cuánticos que es el ejemplo con el que nace la tomografía cuántica introducido en el primer capítulo. En el tercer capítulo presentaremos un algoritmo numérico que se deriva a partir de unos estados que llamaremos estados adaptados que habremos definido en el capítulo anterior. Este algoritmo nace como un problema inverso, ya que hasta entonces nos habremos centrado en reconstruir estados a partir de un conjunto tomográfico, en especial, cuando el conjunto tomográfico está definido a partir de una representación unitaria de un grupo. Este problema inverso consiste en determinar qué información es posible obtener de una representación unitaria de un grupo si se tiene una familia de estados que describe un sistema físico relacionado con un grupo de simetría. La respuesta a esta pregunta es muy satisfactoria ya que es posible conocer la matriz de transformación de base que nos permita transformar la base, en la que está descrita la representación unitaria, en una base adaptada a los subespacios invariantes bajo la acción de todos los elementos de la representación. Este problema se conoce como descomposición de Clebsh Gordan, ya que dicha transformación aplicada a la representación unitaria la convierte en una matriz diagonal por bloques en la que cada bloque corresponde a una representación unitaria irreducible. La manera en la que resolveremos este problema es con un algoritmo numérico que sólo requiere dos estados adaptados como argumentos de entrada, que pueden ser obtenidos de manera directa si se conoce de forma explícita la representación unitaria que queremos reducir. Este algoritmo lo hemos bautizado con el nombre de SMILY. Hay que destacar que como este algoritmo se ha generado sólo aplicando ciertas transformaciones unitarias sobre matrices que representan un estado cuántico, tiene una extensión natural que podría implementarse en un ordenador cuántico. Para acabar esta tesis, generalizaremos la descripción tomográfica a campos clásicos y cuánticos. Para el caso clásico, primero realizaremos una descripción tomográfico para sistemas con finitos grados de libertad y obtendremos el equivalente tomográfico de la ecuación de Liouville para una densidad de probabilidad y tras esto, haremos el mismo análisis para sistemas con infinitos grados de libertad. Para obtener la descripción tomográfica para campos cuánticos, partiremos del concepto de segunda cuantización y mostraremos el equivalente tomográfico de los axiomas de Wightman Streater para una teoría cuántica de campos. Y para terminar, obtendremos un teorema de reconstrucción para campos escalares y calcularemos el tomograma de ciertos estados de un campo cuántico escalar libre. Comentemos esto último diciendo que es el inicio de una teoría que permitirá una descripción tomográfica de estados, por ejemplo ligados, para teorías con interacción. Para concluir este resumen, quisiera resaltar que el lector especializado, si lo considera conveniente, puede comenzar a leer a partir del segundo capítulo, ya que aunque el primer capítulo sirve como motivación de porqué desarrollar una descripción tomográfica de la mecánica cuántica, el texto puede comprenderse si previamente no se ha leído.
espanolLos sistemas cuanticos de muchos cuerpos ofrecen numerosos retos para diversos campos de la fisica y las matematicas, como la materia condensada, la teoria de la informacion cuantica, la teoria de operadores o el analisis numerico. Algunos de estos problemas surgen de la gran complejidad de estos sistemas, que dificulta su estudio mediante metodos clasicos, asi como del interes de la comunidad cientifica por comprender sus propiedades fisicas, tales como la dinamica, estructura de correlaciones o comportamiento tanto dentro como fuera del equilibrio. Entre las propiedades mas interesantes de estos sistemas se encuentra el entrelazamiento, un cierto tipo de correlacion cuantica que carece de analogo en sistemas clasicos y que se ha establecido como un recurso imprescindible en los campos de la informacion y computacion cuantica. La presente tesis doctoral profundiza en el estudio de correlaciones, localidad y entrelazamiento en sistemas cuanticos. En particular, se enfoca en herramientas matematicas como redes de tensores, cotas de Lieb Robinson y algoritmos cuanticos, para obtener resultados originales, tanto analiticos como numericos, de aplicacion directa en teoria de la informacion cuantica, materia condensada y metrologia cuantica. Los sistemas cuanticos que estudiamos consisten en conjuntos de particulas que interaccionan localmente unas con otras. La localidad de estos sistemas permite establecer una cota superior finita a la velocidad de propagacion de las excitaciones, tambien conocida como cota de Lieb Robinson. En esta tesis, demostramos que existen cotas de Lieb Robinson para modelos de espines que interaccionan en una red mediante un campo bosonico que tambien verifica una cota de Lieb Robinson en ausencia de acoplamiento espin boson. Aplicando estas cotas a sistemas de iones atrapados, observamos que la propagacion de las correlaciones de espin mediante los fonones de un cristal ionico puede ser mas rapida que el regimen explorado actualmente en los experimentos. Por este motivo, proponemos un esquema experimental para probar las cotas que consiste en medir las funciones de correlacion retardadas a traves de la fluorescencia del cristal. La localidad de las interacciones tambien impone restricciones sobre la estructura del entrelazamiento de los sistemas cuanticos y permite encontrar representaciones matematicas eficientes denominadas redes de tensores. Las redes de tensores son conjuntos de tensores interconectados que reflejan la estructura de entrelazamiento del sistema, reducen la complejidad de su representacion y capturan las propiedades fisicas mas relevantes de los estados cuanticos en los que estamos interesados. En esta tesis, utilizamos el caso unidimensional de las redes de tensores, tambien conocido como estados producto de matriz (MPS), para probar resultados analiticos y realizar simulaciones numericas. Mas especificamente, demostramos que una gran fraccionalizacion en la magnetizacion de una cadena de espines o la existencia de interacciones de largo alcance implican una gran cantidad de entrelazamiento en el estado de la cadena. Las correlaciones y el entrelazamiento se han revelado como recursos de gran utilidad en metrologia cuantica, estableciendo nuevas tecnicas de medida que mejoran la precision respecto a los metodos exclusivamente clasicos. En esta tesis, establecemos algoritmos cuanticos para medir las correlaciones temporales que se acumulan en un sistema cuantico tras su interaccion con pulsos de luz laser. A partir de esta nocion, introducimos el concepto de interferometria cuantica multipulso en el que un atomo o conjunto de atomos pueden actuar como un detector que mide de forma precisa diferencias entre pulsos de luz laser o propiedades de los pulsos. Por ultimo, aplicamos este concepto para caracterizar y estabilizar un peine de frecuencias con una mejora polinomial en la sensibilidad respecto a protocolos clasicos. EnglishThe study of quantum many-body systems poses a wide range of complex problemsin dierent areas of physics and mathematics, such as condensed matter,quantum information theory, operator theory or numerical analysis. Some ofthese problems arise due to the high complexity of these systems, which makestheir study unfeasible using classical approaches, as well as from the ever-growinginterest in understanding their dynamics, physical properties and behaviour bothin and out of equilibrium. Among the most interesting properties of these systemslies entanglement, a certain type of quantum correlation which is not present inclassical systems and which has proven to be essential for quantum computationand quantum information.This dissertation deals with the study of correlations, locality and entanglementin quantum systems. It relies on mathematical tools such as tensor networkrepresentations, Lieb-Robinson bounds and quantum algorithms in order to obtainoriginal results, both analytical and numerical, with practical applicationsto quantum information theory, condensed matter and quantum metrology...
El tema central de la tesis doctoral es el análisis de los sistemas cuánticos abiertos. Estos sistemas se caracterizan por estar sometidos a la interacción con el entorno, lo que provoca que su evolución deje de ser unitaria. Es por tanto necesario considerar modelos más allá de la ecuación de Schrödinger. Los sistemas cuánticos abiertos aparecen en numerosos campos, como la Física del Estado Sólido y la Dinámica Molecular. Por este motivo, un análisis detallado de sus propiedades y su dinámica es un tema digno de estudio con un gran abanico de aplicaciones. El enfoque elegido en esta tesis es el desarrollo de un formalismo geométrico que describa de forma adecuada las características de los sistemas cuánticos abiertos. La geometría diferencial ha demostrado ser una herramienta muy útil en el análisis de sistemas físicos. Desde mediados del siglo XX, se ha desarrollado con gran éxito una descripción geométrica de la Mecánica Clásica, principalmente en torno a las mecánicas lagrangiana y hamiltoniana. Por este motivo, resulta natural describir también los sistemas cuánticos en términos geométricos. Las ventajas de un formalismo geométrico resultan claras. Cuando tanto los sistemas clásicos como los cuánticos se describen en los mismos términos, es sencillo describir situaciones en las que existan interacciones clásico-cuánticas. Éste es el caso, por ejemplo, de muchos modelos de Dinámica Molecular, en los que los núcleos y los electrones son considerados respectivamente como partículas clásicas y cuánticas. Por otra parte, un formalismo geométrico de la Mecánica Cuántica posibilita un mejor entendimiento de las diferencias intrínsecas entre las teorías clásicas y las cuánticas. Dada su relevancia a lo largo de la tesis, el Capítulo 1 está enfocado al resumen y el análisis de la descripción geométrica de la imagen de Schrödinger de la Mecánica Cuántica. En formulación usual (algebraica), esta imagen se basa en la representación de los estados de los sistemas cuánticos mediante vectores en un espacio de Hilbert complejo. La transición a una formulación basada en geometría diferencial es inmediata para sistemas finito-dimensionales, dado que los espacios lineales de dimensión finita son casos triviales de variedades diferenciables. Las estructuras adicionales, en concreto el producto hermítico propio de los espacios de Hilbert y los escalares complejos, se describen mediante campos tensoriales en dichas variedades diferenciables, formando lo que se conoce como una estructura Kähler. Todos los ingredientes necesarios para el análisis de sistemas cuánticos pueden describirse en estas variedades de Kähler. Los observables se representan mediante funciones diferenciables, mientras que la dinámica se describe mediante curvas integrales de campos vectoriales hamiltonianos respecto a la forma simpléctica de la estructura Kähler. Esta caracterización puede llevarse a cabo en el espacio de Hilbert asociado a cualquier sistema cuántico finito-dimensional. Además, es posible analizar las propiedades geométricas del espacio proyectivo de Hilbert, el cual constituye el conjunto de estados puros del sistema. Su estructura Kähler puede ser deducida mediante un proceso de reducción de la estructura previamente obtenida en el espacio de Hilbert. Como aspecto novedoso, la tesis presenta en detalle este proceso de reducción, dotándolo de una descripción matemática adecuada. Todas las características de la imagen de Schrödinger pueden describirse de forma geométrica, lo que permite utilizar nuevas herramientas en el análisis de los sistemas cuánticos. Éste es precisamente el tema principal del Capítulo 2, en el cual se utilizan los sistemas de Lie-Kähler para resolver la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo. En geometría diferencial, un sistema de Lie es un sistema no homogéneo de ecuaciones diferenciales que admite una regla de superposición. En general, la obtención de esta regla de superposición es una ardua tarea, la cual puede aligerarse en presencia de estructuras adicionales que sean preservadas por la acción del sistema de Lie. De esta forma, según la estructura preservada, es posible hablar de sistemas de Lie-Hamilton, Lie-Dirac, etc. En el caso de la Mecánica Cuántica, una ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo es un sistema de Lie que preserva la estructura de Kähler previamente descrita. Es por tanto un nuevo tipo de sistema de Lie, al que resulta natural denominar de Lie-Kähler. El Capítulo 2 presenta las propiedades de estos nuevos sistemas y describe un método riguroso para la obtención de sus reglas de superposición. El formalismo geométrico puede extenderse más allá de la imagen de Schrödinger, lo que resulta necesario en el contexto de los sistemas cuánticos abiertos, dado que tanto estados puros como estados mezcla son necesarios para su descripción. Por este motivo, el Capítulo 3 resume la imagen de Heisenberg de la Mecánica Cuántica y su representación de los estados puros y mezcla como funcionales lineales en el álgebra de Lie-Jordan de observables. Se explica también como las estructuras algebraicas de los observables pueden representarse geométricamente en el espacio dual de funcionales lineales en el álgebra. Este es el punto de partida de una de las principales contribuciones de la tesis. Un proceso de reducción, similar al realizado en el análisis de la imagen de Schrödinger, permite describir las propiedades geométricas de la variedad de estados puros y mezcla del sistema. De esta forma, se obtienen dos campos tensoriales en la variedad de estados, los cuales representan correctamente las estructuras algebraicas de los observables. Puede por tanto concluirse que el formalismo geométrico presentado en la tesis es completamente equivalente a la descripción algebraica tradicional, ya que se logra describir adecuadamente todas las propiedades de los sistemas cuánticos. Además, el formalismo geométrico ofrece una visión más clara de las propiedades intrínsecas de la Mecánica Cuántica, lo que facilita una mejor comprensión de la teoría. Por otra parte, un análisis geométrico de la variedad de estados permite estudiar su estratificación y sus propiedades. La tesis demuestra que se trata de una variedad con borde, cuyos puntos extremales son precisamente los estados puros del sistema. La estratificación de esta variedad resulta importante a la hora de considerar la dinámica inducida por campos gradiente y hamiltonianos. Con el objetivo de ilustrar todas estas propiedades, se analizan unos casos sencillos pero con relevancia física. A lo largo de la tesis, se muestran diversas aplicaciones del formalismo geométrico al análisis de sistemas cuánticos abiertos. El Capítulo 4 presenta la descripción de la evolución markoviana de sistemas cuánticos abiertos. Se dice que una evolución es markoviana si depende únicamente en el estado actual del sistema y no de los estados en instantes anteriores, es decir, si el sistema "no tiene memoria". En Mecánica Cuántica, la evolución markoviana se obtiene a partir de la ecuación de Kossakowski-Lindblad, una ecuación diferencial de primer orden en la variedad de estados puros y mezcla de un sistema cuántico abierto. El formalismo geométrico describe esta ecuación como un campo tensorial en esta variedad, lo que permite analizar las propiedades de sus curvas integrales. De esta manera, es posible considerar diversos aspectos de la evolución markoviana desde un punto de vista geométrico. Cualquier evolución no-unitaria determina un cambio en las propiedades algebraicas de los observables cuánticos, lo que puede resultar en una contracción del álgebra. En términos geométricos, esta contracción puede entenderse mediante el límite de una familia de campos tensoriales definida por el flujo del campo tensorial de Kossakowski-Lindblad. Otra característica importante de esta evolución es la existencia de variedades límite. Sus propiedades pueden determinarse gracias a la estructura afín existente, lo que a su vez permite investigar su relación con las contracciones de álgebras de observables. Por último, se ofrece una descripción geométrica de los problemas de control de sistemas cuánticos abiertos. Un análisis geométrico de la Mecánica Cuántica permite aplicar a estos problemas los resultados de la teoría de control de grupos de Lie. Como consecuencia, es posible realizar una clasificación de los sistemas cuánticos abiertos según sus propiedades de controlabilidad. Otro ejemplo de sistemas cuánticos abiertos aparece en el contexto de la Dinámica Molecular. En el estudio de sistemas moleculares, debido al gran número de partículas presentes, la ecuación de Schrödinger no puede ser resuelta ni siquiera por métodos numéricos. Por tanto, resulta útil considerar aproximaciones a la ecuación de Schrödinger. En particular, existen muchos modelos que consideran un comportamiento clásico de algunas de las partículas, normalmente los núcleos. El Capítulo 5 resume las propiedades estos modelos moleculares, y en particular del conocido como modelo de Ehrenfest. Es posible llevar a cabo una descripción geométrica de este modelo, basándose en las descripciones de los subsistemas clásico y cuántico. Como resultado, las ecuaciones del modelo pueden escribirse como ecuaciones hamiltonianas en una variedad de Poisson. A partir de estas propiedades, la tesis presenta una generalización del modelo de Ehrenfest a distribuciones estadísticas. Este es un paso importante, ya que se demuestra que esta descripción estadística predice la aparición de efectos relacionados con el fenómeno de decoherencia, algo que no ocurre en el modelo de Ehrenfest estándar. Se han realizado simulaciones numéricas, cuyos resultados respaldan la descripción de sistemas moleculares mediante el modelo estadístico de Ehrenfest. Por último, en este contexto resulta posible considerar distribuciones estadísticas con temperatura. La tesis presenta estas dist
Esta Tesis constituye una contribucion a la representacion teorico-informacional de los sistemas complejos microscopicos (atomos, moleculas,...), que complementa la representacion energetica familiar que proporcionan las teorias basadas en la funcion de onda y en los funcionales de la densidad. El papel mas relevante en el tratamiento de los sistemas de una y de muchas particulas que se consideran en esta Tesis lo juegan las nociones de informacion, complejidad, divergencia, similitud y entrelazamiento de la densidad de probabilidad caracteristica de los estados cuanticos de tales sistemas.
En la primera parte de esta Tesis, titulada Information-theoretic Measures with Applications to Atomic Systems, se analizan varias medidas del contenido informacional y de la distancia teorico-informacional relativa de varios sistemas atomicos no-relativistas y relativistas, sus propiedades y sus aplicaciones a algunos fenomenos y procesos atomicos especificos. Ademas, hemos introducido tres nuevas medidas comparativas: el indice de similitud cuantica generalizada mono-parametrico, la medida de divergencia geometrica mono-parametrica y la complejidad relativa generalizada bi-parametrica. Estas novedosas medidas teorico-informacionales generalizan las medidas de similitud o semejanza, extiende las medidas de divergencia de Jensen, que cuantifican la disimilaridad entre dos o mas sistemas de muchos cuerpos, y mejora mediante una generalizacion el concepto de complejidad relativa.
En la segunda parte, titulada Quantum Entanglement in Harmonic Many-body Systems, se investigan las caracteristicas de entrelazamiento de los estados fundamental y de los estados excitados de los tres sistemas armonicos exactamente resolubles siguientes: el sistema de Moshinsky tri-dimensional de dos electrones en presencia de un campo magnetico externo, el sistema de Moshinsky mono-dimensional de tres electrones, y el sistema de tipo Moshinsky de muchos cuerpos que consta de Nn particulas de masa grande (?nucleos?) y Ne particulas de masa pequena (?electrones?) que interactuan armonicamente entre si y, ademas, estan confinados en un potencial armonico.
En estos sistemas, se analiza la dependencia del entrelazamiento con los diversos parametros del sistema, tales como la intensidad relativa entre la interaccion a dos cuerpos y el potencial de confinamiento o con la intensidad del campo magnetico, el numero de particulas, y la energia. Se observa que el entrelazamiento crece con la interaccion entre particulas. Para campos fuertes, el entrelazamiento es decreciente debido al efecto confinante del campo magnetico, y tiende a un valor asintotico finito que depende de la interaccion. Asimismo, se desarrolla un metodo perturbativo para lograr una mayor introspeccion en la dependencia energetica del entrelazamiento, asi como para explicar el valor finito, no nulo, del entrelazamiento que presentan los estados excitados en el limite de interaccion debil.
En la tercera parte, titulada Entanglement and Interference of Composite Bosons, se hace un tratamiento detallado del comportamiento bosonico de bosones formados por dos fermiones, que podemos observar en procesos de interferencia con dichos cobosones.
Investigamos la relacion entre el caracter compuesto de los cobosones y el entrelazamiento (descrito por la pureza de los estados mono-fermionicos). En este contexto, mejoramos sustancialmente las cotas existentes en la literatura, y se obtiene la forma explicita de los estados cuanticos que optimizan el indicador del caracter bosonico dado por la ratio de las constantes de normalizacion de los estados de N -cobosones para una pureza P dada. Las cotas obtenidas son optimas en el sentido de que se saturan para los estados extremales encontrados. La cota superior precisa obtenida cae cerca de la cota inferior cuando el producto N · P <<1, de forma que en este regimen no solo la desviacion del comportamiento perfectamente bosonico es pequena sino que puede ser tambien acotada de manera muy precisa por la pureza.
Por otro lado, se da un formalismo general que describe el proceso de interferencia de muchos bosones compuestos por dos fermiones fuertemente ligados donde usamos el modelo de Fermi-Hubbard para su interpretacion fisica. Tambien mostramos que el estado de muchos bifermiones se puede describir mediante una superposicion de estados con un numero diferente de bosones y fermiones perfectos, y como inferir el entrelazamiento y el comportamiento bosonico de los bifermiones en la dinamica de un beam-splitter. Final- mente, cabe senalar que esta superposicion permite entender el comportamiento no ideal bosonico de los bifermiones como un tipo de distinguibilidad parcial, y dar expresiones sencillas del recuento estadistico en los procesos de interferencia de condensados Bose-Einstein (BEC).