Esta tesis doctoral trata de diversos aspectos de la teoria cuantica (TC), que abarcan desde el campo de los fundamentos de la disciplina (en particular, la busqueda de un conjunto de principios que seleccionen y distingan a la TC en el panorama de las teorias probabilisticas generales) hasta el reino de las aplicaciones en informacion y computacion cuanticas.
Todos los problemas que hemos abordado en nuestra investigacion tienen un rasgo distintivo comun: la teoria de grafos parece ser especialmente adecuada para describirlos y tratarlos. Y no solo eso: el lenguaje y las herramientas de la teoria de grafos proporcionan una poderosa y nueva percepcion que permite arrojar luz sobre tales problemas, y representan ademas un importante impulso para futuros desarrollos.
Precisamente, uno de los problemas que tuvimos que plantearnos en esta tesis, desde el primer momento, fue decidir su titulo. El alcance de la tesis era demasiado amplio como para poderlo comprimir en un titulo que fuese significativo, preciso y relativamente corto, y esto explica nuestra eleccion final: Quantum correlations and graphs, es decir,Correlaciones cuanticas y grafos, una declaracion intencionadamente de amplio espectro y algo vaga con la que intentamos capturar los principales aspectos de nuestra investigacion, quiza sin exito.
En lo que concierne a la alusion a los grafos en el titulo, la principal razon para nuestra concision es la siguiente: la tesis esta dividida en dos partes en las que los grafos constituyen la herramienta matematica ubicua y versatil sobre la cual hemos basado toda nuestra investigacion. Sin embargo, hemos de hacer notar que los grafos significan cosas muy distintas y juegan papeles bien diferentes en cada parte de la tesis. En la Parte I, que esta dedicada a los grafos de exclusividad de desigualdades no contextuales (NC), los grafos dan cuenta de experimentos en los cuales algunas medidas se llevan a cabo sobre ciertos estados: los vertices de uno de tales grafos representan eventos, en tanto que las aristas describen relaciones de exclusividad mutua entre eventos, y sobre la base de dichos grafos nosotros construimos desigualdades NC y calculamos sus valores limite a partir de algunos numeros combinatorios propios de los grafos. En la Parte II, que esta dedicada especificamente a los denominados estados grafo, los grafos por el contrario representan estados cuanticos entrelazados de muchos qubits. El grafo no solo proporciona una ayuda para escribir el generador del estado grafo, sino que tambien sirve por asi decir como una plantilla o guia para su preparacion: los vertices representan qubits, y las aristas describen subsiguientes operaciones de entrelazamiento cada una de la cuales involucra a dos qubits. Todo esto prueba cuan fructifera y versatil llega a ser la teoria de grafos cuando se aplica a algunos problemas fundamentales en TC, lo que constituye una de la principales ideas que alientan la tesis.
Entre estas dos partes de la tesis, en apariencia desligadas, hay no obstante una profunda conexion, que se explica con detalle al final de la tesis. En pocas palabras: hay una construccion que partiendo de cualquier grafo conexo de tres o mas vertices que describe a un estado grafo lleva a un grafo de mayor orden y tamano, siendo ´este ultimo un grafo de exclusividad cuyos vertices representan todos los posibles eventos consistentes con el grupo estabilizador del estado grafo original, y cuyas aristas conectan eventos mutuamente excluyentes. Tal procedimiento transcribe en terminos de teoria de grafos la conexion existente entre un estado grafo y una desigualdad de Bell violada maximamente por la TC.
Otro comentario importante tiene que ver con correlaciones cuanticas, el otro elemento que aparece con concision en el titulo: proporcionamos una definicion general de correlaciones cuanticas en la Sec. 1.2.4, a la que referimos al lector para mas detalle. Nosotros seleccionamos dos tipos de correlaciones cuanticas: correlaciones cuanticas proyectivas, y correlaciones cuanticas tipo Bell. Debemos enfatizar el hecho de que en la primera parte de esta tesis, a menos que se diga expresamente lo contrario, por correlaciones cuanticas se entendera que se trata de correlaciones cuanticas proyectivas, es decir, correlaciones entre los resultados demedidas conjuntas de observables cuanticos proyectivos. Las razones para esta eleccion se aportan en la p. 46. Por otro lado, nuestro principal interes en la segunda parte de la tesis es la clasificacion y preparacion optima de estados grafo. En este caso, las correlaciones cuanticas (en particular, correlaciones cuanticas tipo Bell) aparecen implicitamente al discutir la conexion existente entre los grafos de exclusividad, los estados grafo y una clase de desigualdades de Bell violada maximamente por los estados grafo.
Con todas estas consideraciones en mente, pasamos a continuacion a hacer una descripcion resumida de nuestro trabajo de investigacion. La tesis que presentamos, como ha quedado dicho, esta estructurada en dos partes:
1. La Parte I se titulaGrafos de exclusividad de desigualdades no contextuales, y esta organizada en cuatro capitulos:
• Capitulo 1:Aproximacion a las correlaciones cuanticas mediante teoria de grafos. Este es un capitulo introductorio, cuyo principal proposito es proporcionar el minimo trasfondo teorico necesario para discutir los problemas y resultados de la primeraparte de la tesis, ademas de presentar nuestros primeros resultados mas basicos. Comenzamos en la Sec. 1.1 con una descripcion concisa y autocontenida del marcogeneral de las teorias operacionales, siguiendo las Refs. [1, 2]. Esta introduccion concluye con la definicion de exclusividad mutua entre eventos, en terminos operacionales. Ello nos permite conectar la observacion de Specker acerca de la mensurabilidad dos a dos y la mensurabilidad conjunta en TC con el principio de exclusividad(E), es decir, con el hecho de que la suma de las probabilidades de un conjunto de eventos mutuamente excluyentes dos a dos no puede exceder de 1. En la Sec. 1.2 pasamos revista a diferentes tipos de correlaciones entre resultados de medidas realizadas en un sistema, segun las predicciones de ciertas teorias fisicas. Seguimos las Refs. [3, 4, 5] en la discusion de las correlaciones locales, cuanticas, no-signalingand generales. Nos ocupamos de dos tipos de correlaciones cuanticas: proyectivas ytipo Bell, y seguidamente centramos nuestra atencion en las correlaciones cuanticasproyectivas, proporcionando razones para dicha eleccion en la primera parte de la tesis. En la Sec. 1.3 definimos correlaciones no contextuales, e introducimos el concepto de desigualdad NC. La Sec. 1.4 se dedica a presentar la aproximacion a las correlaciones cuanticas mediante teoria de grafos de Cabello-Severini-Winter (CSW), recogida en las Refs. [6, 7], atendiendo especificamente a dos resultados principales y varias propuestas de posible desarrollo ulterior de dichos autores, en las cuales se basa nuestra investigacion. Presentamos nuestros primeros resultados basicos en la Sec. 1.5, relativos a la clasificacion de los llamados grafos cuanticos contextuales (QCG), y concluimos resumiendo las conexiones entre esta clasificacion y los problemas abordados en capitulos subsiguientes.
• Capitulo 2: Grafos de exclusividad basicos en correlaciones cuanticas.
En este capitulo nos ocupamos de un problema fundamental: entender por que la TC viola unicamente ciertas desigualdades NC, e identificar los principios fisicos que impiden violaciones mayores que las producidas por la TC.
Utilizamos, como herramienta principal a lo largo del capitulo, el grafo de exclusividad de una desigualdad NC que ya se ha introducido previamente en la Sec. 1.4.2. En la Sec. 2.3, presentamos una condicion necesaria para la existencia de correlaciones cuanticas contextuales: demostramos que la TC viola unicamente aquellas desigualdades NC cuyos grafos de exclusividad contienen, como subgrafos inducidos, ciclos impares de cinco o mas vertices y/o sus complementos. En la Sec. 2.4, mostramos que se puede obtener una cota inferior de la dimension (i. e., del numero de estados perfectamente distinguibles) del sistema cuantico utilizado para violar la desigualdad NC mediante la identificacion de subgrafos inducidos en el grafo de exclusividad de la desigualdad NC. El resultado de la Sec. 2.3 sugiere que las desigualdades NC cuyos grafos de exclusividad son o bien un ciclo impar o bien su complemento son especialmente importantes para entender la manera en que la TC viola desigualdades NC. En la Sec. 2.5 mostramos que los ciclos impares son los grafos de exclusividad de una familia bien conocida de desigualdades NC, y que hay tambien una familia de desigualdades NC cuyos grafos de exclusividad son los complementos de los ciclos impares. Ademas, caracterizamos los valores maximos no contextual y cuantico de estas desigualdades NC y proporcionamos los estados cuanticos y las medidas que conducen a sus violaciones cuanticas maximas. Finalmente, en la Sec. 2.6 presentamos algunos resultados que ofrecen evidencias que apoyan la conjetura de que el principio E selecciona exactamente la maxima violacion cuantica de la desigualdades NC discutidas en la Sec. 2.5. Finalizamos el capitulo con material adicional en la Sec. 2.7, en la que presentamos una tabla que cuenta el numero de subgrafos de exclusividad basicos inducidos en los grafos de exclusividad de algunas desigualdades NC y demostraciones de Kochen-Specker (KS) conocidas.
• Capitulo 3:Correlaciones cuanticas completamente contextuales.
Esta tesis doctoral trata de diversos aspectos de la teoria cuantica (TC), que abarcan desde el campo de los fundamentos de la disciplina (en particular, la busqueda de un conjunto de principios que seleccionen y distingan a la TC en el panorama de las teorias probabilisticas generales) hasta el reino de las aplicaciones en informacion y computacion cuanticas.
Todos los problemas que hemos abordado en nuestra investigacion tienen un rasgo distintivo comun: la teoria de grafos parece ser especialmente adecuada para describirlos y tratarlos. Y no solo eso: el lenguaje y las herramientas de la teoria de grafos proporcionan una poderosa y nueva percepcion que permite arrojar luz sobre tales problemas, y representan ademas un importante impulso para futuros desarrollos.
Precisamente, uno de los problemas que tuvimos que plantearnos en esta tesis, desde el primer momento, fue decidir su titulo. El alcance de la tesis era demasiado amplio como para poderlo comprimir en un titulo que fuese significativo, preciso y relativamente corto, y esto explica nuestra eleccion final: Quantum correlations and graphs, es decir,Correlaciones cuanticas y grafos, una declaracion intencionadamente de amplio espectro y algo vaga con la que intentamos capturar los principales aspectos de nuestra investigacion, quiza sin exito.
En lo que concierne a la alusion a los grafos en el titulo, la principal razon para nuestra concision es la siguiente: la tesis esta dividida en dos partes en las que los grafos constituyen la herramienta matematica ubicua y versatil sobre la cual hemos basado toda nuestra investigacion. Sin embargo, hemos de hacer notar que los grafos significan cosas muy distintas y juegan papeles bien diferentes en cada parte de la tesis. En la Parte I, que esta dedicada a los grafos de exclusividad de desigualdades no contextuales (NC), los grafos dan cuenta de experimentos en los cuales algunas medidas se llevan a cabo sobre ciertos estados: los vertices de uno de tales grafos representan eventos, en tanto que las aristas describen relaciones de exclusividad mutua entre eventos, y sobre la base de dichos grafos nosotros construimos desigualdades NC y calculamos sus valores limite a partir de algunos numeros combinatorios propios de los grafos. En la Parte II, que esta dedicada especificamente a los denominados estados grafo, los grafos por el contrario representan estados cuanticos entrelazados de muchos qubits. El grafo no solo proporciona una ayuda para escribir el generador del estado grafo, sino que tambien sirve por asi decir como una plantilla o guia para su preparacion: los vertices representan qubits, y las aristas describen subsiguientes operaciones de entrelazamiento cada una de la cuales involucra a dos qubits. Todo esto prueba cuan fructifera y versatil llega a ser la teoria de grafos cuando se aplica a algunos problemas fundamentales en TC, lo que constituye una de la principales ideas que alientan la tesis.
Entre estas dos partes de la tesis, en apariencia desligadas, hay no obstante una profunda conexion, que se explica con detalle al final de la tesis. En pocas palabras: hay una construccion que partiendo de cualquier grafo conexo de tres o mas vertices que describe a un estado grafo lleva a un grafo de mayor orden y tamano, siendo ´este ultimo un grafo de exclusividad cuyos vertices representan todos los posibles eventos consistentes con el grupo estabilizador del estado grafo original, y cuyas aristas conectan eventos mutuamente excluyentes. Tal procedimiento transcribe en terminos de teoria de grafos la conexion existente entre un estado grafo y una desigualdad de Bell violada maximamente por la TC.
Otro comentario importante tiene que ver con correlaciones cuanticas, el otro elemento que aparece con concision en el titulo: proporcionamos una definicion general de correlaciones cuanticas en la Sec. 1.2.4, a la que referimos al lector para mas detalle. Nosotros seleccionamos dos tipos de correlaciones cuanticas: correlaciones cuanticas proyectivas, y correlaciones cuanticas tipo Bell. Debemos enfatizar el hecho de que en la primera parte de esta tesis, a menos que se diga expresamente lo contrario, por correlaciones cuanticas se entendera que se trata de correlaciones cuanticas proyectivas, es decir, correlaciones entre los resultados demedidas conjuntas de observables cuanticos proyectivos. Las razones para esta eleccion se aportan en la p. 46. Por otro lado, nuestro principal interes en la segunda parte de la tesis es la clasificacion y preparacion optima de estados grafo. En este caso, las correlaciones cuanticas (en particular, correlaciones cuanticas tipo Bell) aparecen implicitamente al discutir la conexion existente entre los grafos de exclusividad, los estados grafo y una clase de desigualdades de Bell violada maximamente por los estados grafo.
Con todas estas consideraciones en mente, pasamos a continuacion a hacer una descripcion resumida de nuestro trabajo de investigacion. La tesis que presentamos, como ha quedado dicho, esta estructurada en dos partes:
La Parte I se titulaGrafos de exclusividad de desigualdades no contextuales, y esta organizada en cuatro capitulos:
• Capitulo 1:Aproximacion a las correlaciones cuanticas mediante teoria de grafos. Este es un capitulo introductorio, cuyo principal proposito es proporcionar el minimo trasfondo teorico necesario para discutir los problemas y resultados de la primeraparte de la tesis, ademas de presentar nuestros primeros resultados mas basicos. Comenzamos en la Sec. 1.1 con una descripcion concisa y autocontenida del marcogeneral de las teorias operacionales, siguiendo las Refs. [1, 2]. Esta introduccion concluye con la definicion de exclusividad mutua entre eventos, en terminos operacionales. Ello nos permite conectar la observacion de Specker acerca de la mensurabilidad dos a dos y la mensurabilidad conjunta en TC con el principio de exclusividad(E), es decir, con el hecho de que la suma de las probabilidades de un conjunto de eventos mutuamente excluyentes dos a dos no puede exceder de 1. En la Sec. 1.2 pasamos revista a diferentes tipos de correlaciones entre resultados de medidas realizadas en un sistema, segun las predicciones de ciertas teorias fisicas. Seguimos las Refs. [3, 4, 5] en la discusion de las correlaciones locales, cuanticas, no-signalingand generales. Nos ocupamos de dos tipos de correlaciones cuanticas: proyectivas ytipo Bell, y seguidamente centramos nuestra atencion en las correlaciones cuanticasproyectivas, proporcionando razones para dicha eleccion en la primera parte de la tesis. En la Sec. 1.3 definimos correlaciones no contextuales, e introducimos el concepto de desigualdad NC. La Sec. 1.4 se dedica a presentar la aproximacion a las correlaciones cuanticas mediante teoria de grafos de Cabello-Severini-Winter (CSW), recogida en las Refs. [6, 7], atendiendo especificamente a dos resultados principales y varias propuestas de posible desarrollo ulterior de dichos autores, en las cuales se basa nuestra investigacion. Presentamos nuestros primeros resultados basicos en la Sec. 1.5, relativos a la clasificacion de los llamados grafos cuanticos contextuales (QCG), y concluimos resumiendo las conexiones entre esta clasificacion y los problemas abordados en capitulos subsiguientes.
• Capitulo 2: Grafos de exclusividad basicos en correlaciones cuanticas.
En este capitulo nos ocupamos de un problema fundamental: entender por que la TC viola unicamente ciertas desigualdades NC, e identificar los principios fisicos que impiden violaciones mayores que las producidas por la TC.
Utilizamos, como herramienta principal a lo largo del capitulo, el grafo de exclusividad de una desigualdad NC que ya se ha introducido previamente en la Sec. 1.4.2. En la Sec. 2.3, presentamos una condicion necesaria para la existencia de correlaciones cuanticas contextuales: demostramos que la TC viola unicamente aquellas desigualdades NC cuyos grafos de exclusividad contienen, como subgrafos inducidos, ciclos impares de cinco o mas vertices y/o sus complementos. En la Sec. 2.4, mostramos que se puede obtener una cota inferior de la dimension (i. e., del numero de estados perfectamente distinguibles) del sistema cuantico utilizado para violar la desigualdad NC mediante la identificacion de subgrafos inducidos en el grafo de exclusividad de la desigualdad NC. El resultado de la Sec. 2.3 sugiere que las desigualdades NC cuyos grafos de exclusividad son o bien un ciclo impar o bien su complemento son especialmente importantes para entender la manera en que la TC viola desigualdades NC. En la Sec. 2.5 mostramos que los ciclos impares son los grafos de exclusividad de una familia bien conocida de desigualdades NC, y que hay tambien una familia de desigualdades NC cuyos grafos de exclusividad son los complementos de los ciclos impares. Ademas, caracterizamos los valores maximos no contextual y cuantico de estas desigualdades NC y proporcionamos los estados cuanticos y las medidas que conducen a sus violaciones cuanticas maximas. Finalmente, en la Sec. 2.6 presentamos algunos resultados que ofrecen evidencias que apoyan la conjetura de que el principio E selecciona exactamente la maxima violacion cuantica de la desigualdades NC discutidas en la Sec. 2.5. Finalizamos el capitulo con material adicional en la Sec. 2.7, en la que presentamos una tabla que cuenta el numero de subgrafos de exclusividad basicos inducidos en los grafos de exclusividad de algunas desigualdades NC y demostraciones de Kochen-Specker (KS) conocidas.
• Capitulo 3:Correlaciones cuanticas completamente contextuales.
Esta tesis doctoral trata de diversos aspectos de la teoría cuántica (TC), que abarcan desde el campo de los fundamentos de la disciplina (en particular, la búsqueda de un conjunto de principios que seleccionen y distingan a la TC en el panorama de las teorías probabilísticas generales) hasta el reino de las aplicaciones en información y computación cuánticas. \nTodos los problemas que hemos abordado en nuestra investigación tienen un rasgo distintivo común: la teoría de grafos parece ser especialmente adecuada para describirlos y tratarlos. Y no sólo eso: el lenguaje y las herramientas de la teoría de grafos proporcionan una poderosa y nueva percepción que permite arrojar luz sobre tales problemas, y representan además un importante impulso para futuros desarrollos. \nPrecisamente, uno de los problemas que tuvimos que plantearnos en esta tesis, desde el primer momento, fue decidir su título. El alcance de la tesis era demasiado amplio como para poderlo comprimir en un título que fuese significativo, preciso y relativamente corto, y esto explica nuestra elección final: Quantum correlations and graphs, es decir,Correlaciones cuánticas y grafos, una declaración intencionadamente de amplio espectro y algo vaga con la que intentamos capturar los principales aspectos de nuestra investigación, quizá sin éxito. \nEn lo que concierne a la alusión a los grafos en el título, la principal razón para nuestra concisión es la siguiente: la tesis está dividida en dos partes en las que los grafos constituyen la herramienta matemática ubicua y versátil sobre la cual hemos basado toda nuestra investigación. Sin embargo, hemos de hacer notar que los grafos significan cosas muy distintas y juegan papeles bien diferentes en cada parte de la tesis. En la Parte I, que está dedicada a los grafos de exclusividad de desigualdades no contextuales (NC), los grafos dan cuenta de experimentos en los cuales algunas medidas se llevan a cabo sobre ciertos estados: los vértices de uno de tales grafos representan eventos, en tanto que las aristas describen relaciones de exclusividad mutua entre eventos, y sobre la base de dichos grafos nosotros construimos desigualdades NC y calculamos sus valores límite a partir de algunos números combinatorios propios de los grafos. En la Parte II, que está dedicada específicamente a los denominados estados grafo, los grafos por el contrario representan estados cuánticos entrelazados de muchos qubits. El grafo no sólo proporciona una ayuda para escribir el generador del estado grafo, sino que también sirve por así decir como una plantilla o guía para su preparación: los vértices representan qubits, y las aristas describen subsiguientes operaciones de entrelazamiento cada una de la cuales involucra a dos qubits. Todo esto prueba cuán fructífera y versátil llega a ser la teoría de grafos cuando se aplica a algunos problemas fundamentales en TC, lo que constituye una de la principales ideas que alientan la tesis. \nEntre estas dos partes de la tesis, en apariencia desligadas, hay no obstante una profunda conexión, que se explica con detalle al final de la tesis. En pocas palabras: hay una construcción que partiendo de cualquier grafo conexo de tres o más vértices que describe a un estado grafo lleva a un grafo de mayor orden y tamaño, siendo ´este último un grafo de exclusividad cuyos vértices representan todos los posibles eventos consistentes con el grupo estabilizador del estado grafo original, y cuyas aristas conectan eventos mutuamente excluyentes. Tal procedimiento transcribe en términos de teoría de grafos la conexión existente entre un estado grafo y una desigualdad de Bell violada máximamente por la TC. \nOtro comentario importante tiene que ver con correlaciones cuánticas, el otro elemento que aparece con concisión en el título: proporcionamos una definición general de correlaciones cuánticas en la Sec. 1.2.4, a la que referimos al lector para más detalle. Nosotros seleccionamos dos tipos de correlaciones cuánticas: correlaciones cuánticas proyectivas, y correlaciones cuánticas tipo Bell. Debemos enfatizar el hecho de que en la primera parte de esta tesis, a menos que se diga expresamente lo contrario, por correlaciones cuánticas se entenderá que se trata de correlaciones cuánticas proyectivas, es decir, correlaciones entre los resultados demedidas conjuntas de observables cuánticos proyectivos. Las razones para esta elección se aportan en la p. 46. Por otro lado, nuestro principal interés en la segunda parte de la tesis es la clasificación y preparación óptima de estados grafo. En este caso, las correlaciones cuánticas (en particular, correlaciones cuánticas tipo Bell) aparecen implícitamente al discutir la conexión existente entre los grafos de exclusividad, los estados grafo y una clase de desigualdades de Bell violada máximamente por los estados grafo. \nCon todas estas consideraciones en mente, pasamos a continuación a hacer una descripción resumida de nuestro trabajo de investigación. La tesis que presentamos, como ha quedado dicho, está estructurada en dos partes: \n1. La Parte I se titulaGrafos de exclusividad de desigualdades no contextuales, y está organizada en cuatro capítulos: \n• Capítulo 1:Aproximación a las correlaciones cuánticas mediante teoría de grafos. Éste es un capítulo introductorio, cuyo principal propósito es proporcionar el mínimo trasfondo teórico necesario para discutir los problemas y resultados de la primeraparte de la tesis, además de presentar nuestros primeros resultados más básicos. Comenzamos en la Sec. 1.1 con una descripción concisa y autocontenida del marcogeneral de las teorías operacionales, siguiendo las Refs. [1, 2]. Esta introducción concluye con la definición de exclusividad mutua entre eventos, en términos operacionales. Ello nos permite conectar la observación de Specker acerca de la mensurabilidad dos a dos y la mensurabilidad conjunta en TC con el principio de exclusividad(E), es decir, con el hecho de que la suma de las probabilidades de un conjunto de eventos mutuamente excluyentes dos a dos no puede exceder de 1. En la Sec. 1.2 pasamos revista a diferentes tipos de correlaciones entre resultados de medidas realizadas en un sistema, según las predicciones de ciertas teorías físicas. Seguimos las Refs. [3, 4, 5] en la discusión de las correlaciones locales, cuánticas, no-signalingand generales. Nos ocupamos de dos tipos de correlaciones cuánticas: proyectivas ytipo Bell, y seguidamente centramos nuestra atención en las correlaciones cuánticasproyectivas, proporcionando razones para dicha elección en la primera parte de la tesis. En la Sec. 1.3 definimos correlaciones no contextuales, e introducimos el concepto de desigualdad NC. La Sec. 1.4 se dedica a presentar la aproximación a las correlaciones cuánticas mediante teoría de grafos de Cabello-Severini-Winter (CSW), recogida en las Refs. [6, 7], atendiendo específicamente a dos resultados principales y varias propuestas de posible desarrollo ulterior de dichos autores, en las cuales se basa nuestra investigación. Presentamos nuestros primeros resultados básicos en la Sec. 1.5, relativos a la clasificación de los llamados grafos cuánticos contextuales (QCG), y concluimos resumiendo las conexiones entre esta clasificación y los problemas abordados en capítulos subsiguientes. \n• Capítulo 2: Grafos de exclusividad básicos en correlaciones cuánticas. \nEn este capítulo nos ocupamos de un problema fundamental: entender por qué la TC viola únicamente ciertas desigualdades NC, e identificar los principios físicos que impiden violaciones mayores que las producidas por la TC. \nUtilizamos, como herramienta principal a lo largo del capítulo, el grafo de exclusividad de una desigualdad NC que ya se ha introducido previamente en la Sec. 1.4.2. En la Sec. 2.3, presentamos una condición necesaria para la existencia de correlaciones cuánticas contextuales: demostramos que la TC viola únicamente aquellas desigualdades NC cuyos grafos de exclusividad contienen, como subgrafos inducidos, ciclos impares de cinco o más vértices y/o sus complementos. En la Sec. 2.4, mostramos que se puede obtener una cota inferior de la dimensión (i. e., del número de estados perfectamente distinguibles) del sistema cuántico utilizado para violar la desigualdad NC mediante la identificación de subgrafos inducidos en el grafo de exclusividad de la desigualdad NC. El resultado de la Sec. 2.3 sugiere que las desigualdades NC cuyos grafos de exclusividad son o bien un ciclo impar o bien su complemento son especialmente importantes para entender la manera en que la TC viola desigualdades NC. En la Sec. 2.5 mostramos que los ciclos impares son los grafos de exclusividad de una familia bien conocida de desigualdades NC, y que hay también una familia de desigualdades NC cuyos grafos de exclusividad son los complementos de los ciclos impares. Además, caracterizamos los valores máximos no contextual y cuántico de estas desigualdades NC y proporcionamos los estados cuánticos y las medidas que conducen a sus violaciones cuánticas máximas. Finalmente, en la Sec. 2.6 presentamos algunos resultados que ofrecen evidencias que apoyan la conjetura de que el principio E selecciona exactamente la máxima violación cuántica de la desigualdades NC discutidas en la Sec. 2.5. Finalizamos el capítulo con material adicional en la Sec. 2.7, en la que presentamos una tabla que cuenta el número de subgrafos de exclusividad básicos inducidos en los grafos de exclusividad de algunas desigualdades NC y demostraciones de Kochen-Specker (KS) conocidas. \n• Capítulo 3:Correlaciones cuánticas completamente contextuales. \nLas correlaciones cuánticas son contextuales. Sin embargo, en general, nada impide la existencia de correlaciones incluso más contextuales aún. El propósito del Capítulo 3 es identificar y poner a prueba una desigualdad NC en la cual la violación cuántica no pueda ser mejorada por ninguna hipotética teoría
En este trabajo, se analiza una teoría que es en cierto modo una extensión natural del campo de las telecomunicaciones clásicas a la mecánica cuántica. Dicha teoría se llama tomografía cuántica y es de hecho una imagen de la mecánica cuántica equivalente a las más habituales que son la imagen de Schrödinger o la de Heisenberg. Esta nueva imagen, difiere de las precedentes en que está muy ligada a la capacidad tecnológica a la hora de medir observables (momento, energía, etc.) en el campo de la óptica cuántica, ya que su objetivo primordial es el de conseguir reconstruir el estado de un sistema cuántico a partir de mediciones en el laboratorio, y dado al avance tecnológico del instrumental de laboratorio disponible como láseres y fotodetectores, cada vez está suscitando mayor interés. En el primer capítulo, veremos cómo nace esta idea de reconstruir estados cuánticos discutiendo brevemente la técnica clásica conocida como Tomografía Axial Computerizada (TAC). Esta técnica está basada en los trabajos de Johann Karl August Radon aplicando la transformada que lleva su nombre. Introduciremos la transformada de Radon de una función de probabilidad definida en el espacio de fases para ver cómo se aplica en el caso del TAC. Para aplicar esta idea para la reconstrucción de estados cuánticos, veremos, en primer lugar, que existe una extensión natural de las técnicas de demodulación de señales moduladas en amplitud (AM) en el campo de la óptica cuántica mostrando que el papel que cumple un mezclador puede ser reemplazado por una combinación de divisores de haz y fotodetectores y mostraremos explícitamente cómo reconstruir el operador densidad que describe un estado cuántico a través de un proceso reminiscente de la transformada de Radon clásica. El segundo capítulo será el corazón de este trabajo. En él, introduciremos de manera formal la descripción tomográfica de la mecánica cuántica. Presentaremos una teoría general, para ello, trataremos a los observables como elementos de un álgebra C_ y los estados serán funcionales lineales positivos que actúen en dicha algebra. Veremos que esta descripción de la mecánica cuántica puede dividirse en dos partes, una primera con el objetivo de obtener una fórmula para reconstruir el estado de un sistema cuántico a partir de una función definida sobre un conjunto llamado conjunto tomográfico, que será un conjunto de observables que tendrá que cumplir una serie de condiciones que expondremos debidamente. A esta primera parte de la teoría, la bautizaremos como Teoría de muestreo generalizada en sistemas cuánticos. La segunda parte estará relacionada con la parte puramente experimental. Lo que hace necesario tener que añadir esta segunda parte es el hecho de que la función definida anteriormente sobre el conjunto tomográfico, que llamaremos función de muestreo, en general, no puede ser medida por medio de los dispositivos con los que contamos en un laboratorio de óptica cuántica, sin embargo, a partir de las mediciones hechas con un fotodetector, podemos obtener distribuciones de probabilidad de cantidades relacionadas con los observables. Entonces, tomando esto último como motivación, esta segunda parte de la teoría consistirá en relacionar esa función de muestreo con una distribución de probabilidad que llamaremos tomograma, que será el resultado directo de un proceso de medida en el laboratorio, y la llamaremos Transformada generalizada positiva por motivos que se expondrán convenientemente. Uno de los problemas más sutiles de esta teoría consiste en hallar un conjunto tomográfico que cumpla las condiciones necesarias para permitir reconstruir el estado a partir de él. Sin embargo, veremos que de manera natural, las representaciones unitarias irreducibles de un grupo finito o de Lie compacto proporcionan conjuntos tomográficos que cumplen las condiciones requeridas, por eso, nos centraremos en el estudio de la reconstrucción de estados a partir de grupos relacionados con el sistema físico dado. Aunque también destacaremos que existen otras representaciones unitarias que nos permiten reconstruir el estado cuántico a partir de ellas, como lo es la representación unitaria irreducible del grupo de Heisenberg Weyl dada por el álgebra de Lie que forman los operadores momento y posición cuánticos que es el ejemplo con el que nace la tomografía cuántica introducido en el primer capítulo. En el tercer capítulo presentaremos un algoritmo numérico que se deriva a partir de unos estados que llamaremos estados adaptados que habremos definido en el capítulo anterior. Este algoritmo nace como un problema inverso, ya que hasta entonces nos habremos centrado en reconstruir estados a partir de un conjunto tomográfico, en especial, cuando el conjunto tomográfico está definido a partir de una representación unitaria de un grupo. Este problema inverso consiste en determinar qué información es posible obtener de una representación unitaria de un grupo si se tiene una familia de estados que describe un sistema físico relacionado con un grupo de simetría. La respuesta a esta pregunta es muy satisfactoria ya que es posible conocer la matriz de transformación de base que nos permita transformar la base, en la que está descrita la representación unitaria, en una base adaptada a los subespacios invariantes bajo la acción de todos los elementos de la representación. Este problema se conoce como descomposición de Clebsh Gordan, ya que dicha transformación aplicada a la representación unitaria la convierte en una matriz diagonal por bloques en la que cada bloque corresponde a una representación unitaria irreducible. La manera en la que resolveremos este problema es con un algoritmo numérico que sólo requiere dos estados adaptados como argumentos de entrada, que pueden ser obtenidos de manera directa si se conoce de forma explícita la representación unitaria que queremos reducir. Este algoritmo lo hemos bautizado con el nombre de SMILY. Hay que destacar que como este algoritmo se ha generado sólo aplicando ciertas transformaciones unitarias sobre matrices que representan un estado cuántico, tiene una extensión natural que podría implementarse en un ordenador cuántico. Para acabar esta tesis, generalizaremos la descripción tomográfica a campos clásicos y cuánticos. Para el caso clásico, primero realizaremos una descripción tomográfico para sistemas con finitos grados de libertad y obtendremos el equivalente tomográfico de la ecuación de Liouville para una densidad de probabilidad y tras esto, haremos el mismo análisis para sistemas con infinitos grados de libertad. Para obtener la descripción tomográfica para campos cuánticos, partiremos del concepto de segunda cuantización y mostraremos el equivalente tomográfico de los axiomas de Wightman Streater para una teoría cuántica de campos. Y para terminar, obtendremos un teorema de reconstrucción para campos escalares y calcularemos el tomograma de ciertos estados de un campo cuántico escalar libre. Comentemos esto último diciendo que es el inicio de una teoría que permitirá una descripción tomográfica de estados, por ejemplo ligados, para teorías con interacción. Para concluir este resumen, quisiera resaltar que el lector especializado, si lo considera conveniente, puede comenzar a leer a partir del segundo capítulo, ya que aunque el primer capítulo sirve como motivación de porqué desarrollar una descripción tomográfica de la mecánica cuántica, el texto puede comprenderse si previamente no se ha leído.
La motivacion de esta tesis es estudiar el entrelazamiento cuantico en general y bajo que circunstancias es maximo en particular. En primer lugar, se analizan desigualdades de Bell desde un punto de vista operacional, se presentan nuevas desigualdades para particulas de dimension mayor que dos y se estudian los estados que las violan maximamente. Dichos estados son del tipo GHZ para las desigualdades que involucran qubits. En el caso de experimentos con qutrits o particulas dimension local mayor, los estados que violan maximamente estas desigualdades son deformaciones de estados GHZ generalizados. Este resultado demuestra que aunque maximo entrelazamiento y la no-localidad son conceptos muy proximos, no son equivalentes. En segundo lugar, se estudia el entrelazamiento multipartito en cadenas de espines. En particular, se usa como figura de merito el hiperdeterminante y los invariantes polinomicos que lo forman, S y T. Estas figuras cuantifican un tipo concreto de entrelazamiento cuatripartito, tal y como se demuestra de un analisis de estados cuanticos bien conocidos como el GHZ o el W. Cuando aplicamos esta figura a una cadena de espines con interaccion tipo Ising, observamos un pico pronunciado cerca de la transicion de fase cuantica. Resultados similares se observan para los modelos de XXZ y de Haldane-Shastry para el caso de los invariantes S y T. Con todo, concluimos que estas figuras de merito son sensibles a las transiciones de fase cuanticas. La segunda parte de la tesis se focaliza en el campo de la computacion cuantica. Dicho campo ha experimentado un crecimiento relevante en los ultimos anos, debido en parte a la mejora tecnologica sobre el control de experimentos cuanticos. Con motivo de este crecimiento, diversas empresas han empezado a desarrollar prototipos de ordenadores cuanticos. Por esta razon, una de las lineas de investigacion en computacion cuantica consiste en proponer metodos para poner a prueba estas maquinas. Uno de los metodos presentados en esta tesis es la simulacion exacta de una cadena de espines con interaccion de tipo XY. Se explicita como debe de ser el circuito cuantico que lleva a cabo dicha simulacion y se propone la simulacion tanto de estados termicos como de la evolucion en el tiempo. Debido a que el modelo XY es resoluble analiticamente, se pueden comparar los resultados obtenidos de la simulacion con el ordenador cuantico con la solucion teorica. Al correr un circuito para cuatro qubits en dos ordenadores de la empresa IBM y uno de la empresa Rigetti computing, obtenemos resultados peores a los esperados. Con ello, concluimos que hay fuentes de error que no se estan teniendo en cuenta en general y que cobran relevancia incluso en circuitos tan pequenos. Ademas de este circuito, proponemos la simulacion de estados altamente entrelazados. La implementacion de estos circuitos constituye un test tan duro como necesario para un ordenador cuantico, debido a que la ventaja de los algoritmos cuanticos radica en la generacion de entrelazamiento. Para finalizar, estudiamos la generacion de entrelazamiento al nivel mas fundamental: la fisica de particulas. Obtenemos que la interaccion de QED viene dictada por el maximo entrelazamiento en aquellos procesos a “tree-level”. Aplicamos la misma filosofia en procesos que involucren corrientes debiles neutras (tambien a “tree-level”) y con ello obtenemos que el angulo de Weinberg debe ser de pi/6 si imponemos que las particulas finales deben estar maximamente entrelazadas, valor muy cercano al experimental.
El entrelazamiento cuántico es un fenómeno físico producido por la existencia de correlaciones entre los subsistemas que componen un sistema. Dos problemas surgen a la hora de tratar con este fenómeno. El primero consiste en ver cómo se comportan estas correlaciones, y el segundo se debe a que una vez estudiado el comportamiento de las correlaciones parece dejar abierta una posibilidad para realizar comunicación superluminal. El presente trabajo pretende establecer cuáles son las bases sobre las que aparecen dichos problemas para después argumentar cuál es la respuesta correcta. Con el fin de aclarar la notación matemática que se va a utilizar en este trabajo y su significado físico, se presenta un primer apartado para explicar el tratamiento de sistemas compuestos mediante la notación de Dirac. Una vez obtenidas las herramientas matemáticas necesarias, presentaremos un desarrollo histórico en el que se trata la problemática que aparece en la Mecánica Cuántica a la hora de tratar las correlaciones entre subsistemas comenzando con la denominada “Paradoja EPR” la cual hace la suposición de que el colapso de la función de onda no ocurre de forma instantánea en todo el espacio y con esta hipótesis se llega a la conclusión de que la Mecánica Cuántica no es una teoría completa. Siguiendo el desarrollo histórico, se presenta el llamado “Teorema de Bell” que explica las diferencias que se deben observar dependiendo de si la Mecánica Cuántica es la teoría correcta o si lo son las teorías que puedan surgir a partir de las conclusiones de la paradoja EPR. Se han realizado experimentos con el fin de ver cuál de los dos esquemas teóricos es el correcto y se ha obtenido que las teorías originadas a partir de la paradoja EPR entran en clara contradicción con los resultados experimentales, mientras que la suposición de la existencia de un colapso instantáneo de la función de onda está en perfecto acuerdo con los resultados, por lo que la Mecánica Cuántica se considera el esquema correcto. Dedicaremos un apartado para explicar algunos de estos experimentos y sus resultados. Finalmente, el tratamiento de la Mecánica Cuántica de los subsistemas correlacionados, teniendo en cuenta la existencia de un colapso instantáneo de la función de onda, parece dar lugar a la posibilidad de que se produzcan comunicaciones de velocidades superiores a la de la luz. Con el fin de presentar estas posibilidades y demostrar porque no son viables para comunicación superlumínica se presenta otro apartado.
ResumenEn la teoría cuántica de la medición existen dos problemas centrales: el problema de la lectura definida y el problema de la base preferida.El primer problema consiste en el hecho de que la teoría no puede dar cuenta de valores bien definidos registrados como resultados en la medición, puesto que predice que el estado final del sistema y aparato es una superposición sin valor definido.El segundo problema consiste en el hecho de que bajo ciertas circunstancias (referidas a la preparación del estado del sistema a medir) la teoría no puede dar cuenta, además, de una base bien definida de estados a la cual pertenece el resultado obtenido en la medición.Históricamente la pretendida resolución a estos problemas viene de la mano del formalismo de decoherencia, el cual se ha desarrollado como un intento de encontrar el limite clásico de la mecánica cuántica.El objetivo principal de esta tesis consiste en brindar una respuesta a los mencionados problemas sin apelar a decoherencia alguna.Respecto del problema de la base preferida presente en las correlaciones del estado final de la medición, mostraremos que, en lugar de resolverse apelando a una interacción posterior con el entorno, tal como en la teoría de la decoherencia, puede ser resuelto analizando el proceso previo a dicho estado final sin la necesidad del entorno.La esencia del procedimiento consiste en reconsiderar la medición, no como la mera correlación que se manifiesta en el estado final, sino como el proceso capaz de establecerla.Desde esta nueva perspectiva es posible diferenciar distintos procesos que conducen a distintas correlaciones, independientemente de que éstas puedan vincularse matemáticamente mediante un cambio de base.La eliminación de la ambigüedad de la base se logra al determinar qué proceso es caracterizado por el operador de evolución que conecta el estado inicial de la medición con el final.Estrictamente hablado, el problema no queda resuelto, sino más bien disuelto, al considerar que la medición involucra todo el proceso que desemboca en una correlación final, y ello sin la necesidad de agregar interacciones posteriores con sistemas como el entorno.Respecto del problema de la lectura definida nuestro objetivo es un poco más modesto.No vamos a resolver el problema estrictamente sino que, en el marco de ese problema, brindaremos una respuesta a la incompatibilidad que establece el postulado del colapso respecto de las evoluciones unitarias.La estrategia aquí es incorporar los aparatos de medición en el cálculo de las probabilidades condicionales establecidas para una secuencia de dos mediciones.Asumiendo valores definidos para la primera, demostramos que el postulado del colapso sobre el sistema puede ser derivado del propio formalismo de la teoría cuántica, aun cuando el sistema compuesto que incluye a los aparatos nunca abandona la evolución unitaria que predice la ecuación de Schrödinger
En esta Tesis desarrollamos dos formulaciones diferentes (pero vinculadas entre sí) del principio de incerteza de la mecánica cuántica para pares de observables actuando sobre un espacio de Hilbert finito, yendo más allá del alcance de las tradicionales relaciones de incerteza de Heisenberg, de Robertson y de Schröndinger. Una de las formulaciones que desarrollamos es una extensión de la desigualdad de Landau y Pollak al caso de medidas de operadores con valores positivos y estados mixtos. Para lograr esto hicimos uso de un enfoque geométrico, definiendo la incerteza asociada al resultado de la medición de un observable a partir de métricas entre estados cuánticos. Esto nos permitió mostrar, entre otros resultados, que la métrica de Wootters da la desigualdad más restrictiva a las probabilidades máximas de los observables. La otra formulación que desarrollamos se basa en un enfoque informacional. Para ello introducimos una familia de entropías generalizadas que cuantifican la incerteza asociada a un vector de probabilidad. Obtuvimos relaciones de incerteza tipo entrópicas resolviendo el problema de minimización de la suma de entropías generalizadas sujeta a la desigualdad de Landau–Pollak. De esta manera, extendimos los resultados de de Vicente y Sánchez-Ruiz que consideraban la entropía de Shannon a otras entropías, medidas cuánticas generalizadas y estados mixtos. Asimismo, realizamos un estudio comparativo entre las cotas obtenidas y otras disponibles en la literatura, obteniendo que en muchas de las situaciones consideradas nuestra cota es más fuerte. Además, consideramos el caso del qubit de manera particular y obtuvimos la cota óptima para este caso. Por último, estudiamos la conexión entre los principios de incerteza y complementariedad, en el contexto del interferómetro de Mach–Zehnder. Encontramos que las relaciones de Schrödinger y de Landau–Pollak para ciertos observables son equivalentes a la relación de dualidad onda–corpúsculo. Con respecto a las relaciones usando entropías, la equivalencia depende de la elección de los índices entrópicos. En particular, si los índices son iguales no existe tal equivalencia. Mostramos que esta situación sirve para discernir entre los diferentes estados de mínima incerteza.