"A equação de Klein-Gordon foi uma das primeiras tentativas de combinar a mecânica quânticacom a teoria da relatividade, antecedendo a equação de Dirac. Embora tenha suaslimitações, como não descrever partículas com spin ou não ter a densidade de probabilidadepositivamente definida, ela continua sendo uma ferramenta valiosa na física teórica. Nesteartigo apresentamos a dedução da equação de Klein-Gordon por meio da quantização dasequações de Hamilton, proporcionando uma ponte entre a mecânica clássica relativística ea mecânica quântica de campos."
"A equação de Klein-Gordon foi uma das primeiras tentativas de combinar a mecânica quânticacom a teoria da relatividade, antecedendo a equação de Dirac. Embora tenha suaslimitações, como não descrever partículas com spin ou não ter a densidade de probabilidadepositivamente definida, ela continua sendo uma ferramenta valiosa na física teórica. Nesteartigo apresentamos a dedução da equação de Klein-Gordon por meio da quantização dasequações de Hamilton, proporcionando uma ponte entre a mecânica clássica relativística ea mecânica quântica de campos."
"A mecânica quântica teve seus principais desenvolvimentos por volta de 1925.No entanto, apesar dos avanços, ainda não havia uma equação que a unisse com a mecânicarelativística, que também estava em expansão nesse período. Com o intuito de integrar asduas teorias, surgiu a equação de Klein-Gordon. Esta equação descreve partículas de spin 0e foi obtida de forma independente por vários físicos. Dessa forma, este artigo traz deduçõesdesta equação através da métrica de Minkowski e da lagrangiana e revisa o contexto históricoe as contribuições de físicos como Schrödinger, de Broglie, Klein, Pauli, Fock e Gordon,destacando a importância da equação de Klein-Gordon na evolução da mecânica quânticarelativística e seu papel na formulação da equação de Dirac. O objetivo é proporcionar umacompreensão acessível da origem e do impacto histórico dessa equação fundamental."
Com o interesse em estimular a divulgação científica relacionada à Mecânica Quântica Relativística, o presente trabalho traz os resultados do estudo do programa institucional de bolsa de iniciação científica, o PIBIC, que tem como objetivo o estudo da equação de Klein-Gordon e sua divulgação entre professores em formação. Para tornar a pesquisa viável, apresentamos uma revisão da literatura, considerando a apliação da equação, seus aspectos históricos e suas limitações. Na etapa seguinte, abordamos conteúdos específicos da mecânica quântica e da relatividade, como energia e momento relativísticos, notação relativística e equação de Schrödinger. Ainda discutimos a teoria de Klein-Gordon na Teoria Quântica de Campos. Por fim, buscamos entender a aplicabilidade de Klein-Gordon por meio do Paradoxo de Klein.
Em 1926, vários físicos, entre eles Klein, Fock e de Broglie, anunciaram essa equação como candidata a uma generalização da equação relativística usual da de Schrödinger.No entanto, cerca noventa anos atrás, também surgiu o problema da interpretação de probabilidade adequada a equação de Klein-Gordon, pois sua função de densidade de probabilidade indefinida permite a existência de probabilidades positivas e negativas, o que obstrui sua própria interpretação física.Em 1934, Pauli e Weisskopf resolveram o problema reinterpretando a equação de Klein-Gordon no contexto da teoria quântica de campo.A equação de campo foi satisfeita por um operador ϕ(x), que não era uma função de onda, mas um campo quântico, cujas excitações podem ser um número de partículas.Os estados de energia negativa foram reinterpretados como antipartículas e a densidade de probabilidade indefinida começou a desempenhar o papel da densidade de carga.A equação de Klein-Gordon é considerada uma equação adequada para partículas de spin nulo, como píons, descritas por campo escalar sem spin.Neste trabalho, procuramos apresentar os principais fatos históricos que contribuíram para o surgimento da equação de Klein-Gordon, assim como, estabelecer o formalismo inerente a sua dedução, análise, interpretação e aplicação.Também, temos o intuito de desenvolver um material monográfico que sintetize as informações à nível de graduação de forma a promover a divulgação da mecânica quântica relativística para professores em formação.
O problema de como descrever a dinâmica efetiva de partículas ou campos confinados a um espaço-tempo de baixa dimensão é de interesse em muitas áreas da física. Vários métodos foram propostos na literatura para atacar este problema. Recentemente, foram relatadas algumas evidências experimentais que são consistentes com a chamada abordagem de potencial confinante. À luz destes resultados, o objetivo desta tese é o de construir uma teoria quântica para partículas confinadas em uma subvariedade, imersa em um espaço-tempo plano, empregando o cenário conceitual da abordagem de potencial confinante. A tese está dividida em duas partes. A primeira parte é dedicada exclusivamente ao estudo da mecânica quântica em uma subvariedade. Para esta finalidade, deduzimos as equações efetivas de Schrödinger, Dirac e Klein-Gordon, em uma subvariedade curva, na presença de um campo electromagnético externo. Examinamos as características singulares estas equações e apresentamos algumas aplicações em física da matéria condensada. Na segunda parte, partimos da mecânica quântica na subvariedade e então formulamos a teoria quântica de campos (TQC) na subvariedade. Mostramos que a TQC \\"livre\\" em uma subvariedade pode ser representada esquematicamente como uma teoria de campos livres, em um fundo curvo, mais um potencial escalar e um campo externo SO(n - m) de Yang-Mills. Calculamos para essa teoria a ação efetiva em ordem de um laço para bósons e férmions a temperatura e potencial químico não nulos, em todas as ordens, usando a expansão de Seely-DeWitt. Para teorias com interações, demonstramos que a teoria conhecida como eletrodinâmica quântica reduzida (RQEDd?,de) pode ser recuperada a partir da abordagem de potencial confinante. Para uma teoria bidimensional, propomos uma grande classe de extensões do modelo de Schwinger, em que a interação entre férmions vai além do potencial linear. Demonstramos que, notavelmente, essas extensões são exatamente solúveis para férmions sem massa e que não há geração de massa dinâmica para os férmions. Além disso, construímos uma nova família de teorias que podem ser exatamente bosonizadas. Também mostramos que RQED4,2 tem as características necessárias para ser identificada como uma teoria de campo efetivo para fios de grafeno. Finalmente, estudamos o efeito da interação de campos magnéticos e pseudomagnéticos no grafeno. Para este sistema, calculamos o condensado fermiônico, a densidade de carga induzida de vácuo, a ação efetiva em ordem de um laço e a magnetização. Demonstramos que a presença de um campo pseudo-magnético diferente de zero torna possível observar experimentalmente uma densidade de carga induzida de vácuo. Além disso, vamos mostrar que é possível ter controle sobre a magnetização, bem como a massa dinâmica para cada vale no grafeno, quer seja por deformações ou variando o campo magnético aplicado.
Um seculo apos a sua descoberta, o eletron continua a ser um estranho dentro do eletromagnetismo classico. Varios foram os modelos propostos para descreve-lo. Pode-se dizer que a teoria mais bem sucedida foi formulada por Dirac em 1938, muito embora apresentando problemas tais como as pre-aceleracoes e solucoes auto-acelerantes. Uma alternativa a esta teoria foi proposta na decada de 50 pelo fisico italiano P. Caldirola, tendo por hipotese basica a existencia de um intervalo fundamental de tempo, o cronon. Com base nesta hipotese Caldirola propos uma descricao baseada em equacoes a diferencas finitas equivalentes a de Dirac mas livre dos problemas por ela apresentados. A extensao da hipotese do cronon a mecânica quântica nao-relativistica, resultando em formulacoes discretizadas da equacao de Schrodinger, produziu resultados relevantes como a derivacao da massa do muon e do tau a partir da massa do eletron.
Neste trabalho, analisamos as equacoes discretas com base no formalismo de Feynman e estudamos algumas de suas solucoes. Partindo dos operadores de evolucao associados as equacoes discretas, estendemos o procedimento a representacao de Heisenberg e encontramos uma representacao que, como no caso continuo, e equivalente a de Schrodinger .
Fazemos uma analise de compatibilidade entre as varias representacoes: Schrodinger, Heisenberg e operadores de densidade. Sao estudados alguns exemplos tipicos como, por exemplo, o oscilador harmonico simples. O formalismo de operadores de densidade e utilizado para analisar o problema da medida na mecânica quântica.
Finalmente, fazemos uma abordagem da equivalencia entre o formalismo discreto e a introducao de operadores nao-hermitianos na equacao de Schrodinger continua
Abstract
Este artigo destina-se a apresentar sob uma perspectiva didática os detalhes e procedimentos matemáticos necessários para a construção da equação diferencial quântica, sob regime relativístico, denominada Equação de Klein-Gordon-Fock (EK-G-F), admitindo o sistema de coordenadas da frente de luz. Para tanto, inicialmente, destacamos algumas propriedades algébricas da Teoria da Relatividade Especial de Einstein assim como apresentamos resumidamente as coordenadas da frente de luz em termos das coordenadas cartesianas e do parâmetro de evolução temporal, isto é, do espaço de Minkowski, obtendo dessa forma a EK-G-F tanto em coordenadas usuais do espaço de Minkowski, quanto em coordenadas da frente de Luz. Em seguida, para essas últimas coordenadas, desenvolvemos detalhadamente a estrutura algébrica da EK-G-F para uma partícula quântica eletricamente carregada em regime de relatividade especial e sob influência de configurações de campos magnéticos clássicos. Além disso, obtemos a EK-G-F com estrutura algébrica similar a uma equação diferencial quântica de Schrödinger. Por fim, como aplicação imediata do uso dessas coordenadas, desenvolvemos os trâmites e passos algébricos necessários para obtenção do operador de aniquilação do tipo integral de movimento, o qual configura-se como estrutura matemática necessária para construção dos estados quânticos coerentes.