Um seculo apos a sua descoberta, o eletron continua a ser um estranho dentro do eletromagnetismo classico. Varios foram os modelos propostos para descreve-lo. Pode-se dizer que a teoria mais bem sucedida foi formulada por Dirac em 1938, muito embora apresentando problemas tais como as pre-aceleracoes e solucoes auto-acelerantes. Uma alternativa a esta teoria foi proposta na decada de 50 pelo fisico italiano P. Caldirola, tendo por hipotese basica a existencia de um intervalo fundamental de tempo, o cronon. Com base nesta hipotese Caldirola propos uma descricao baseada em equacoes a diferencas finitas equivalentes a de Dirac mas livre dos problemas por ela apresentados. A extensao da hipotese do cronon a mecânica quântica nao-relativistica, resultando em formulacoes discretizadas da equacao de Schrodinger, produziu resultados relevantes como a derivacao da massa do muon e do tau a partir da massa do eletron.
Neste trabalho, analisamos as equacoes discretas com base no formalismo de Feynman e estudamos algumas de suas solucoes. Partindo dos operadores de evolucao associados as equacoes discretas, estendemos o procedimento a representacao de Heisenberg e encontramos uma representacao que, como no caso continuo, e equivalente a de Schrodinger .
Fazemos uma analise de compatibilidade entre as varias representacoes: Schrodinger, Heisenberg e operadores de densidade. Sao estudados alguns exemplos tipicos como, por exemplo, o oscilador harmonico simples. O formalismo de operadores de densidade e utilizado para analisar o problema da medida na mecânica quântica.
Finalmente, fazemos uma abordagem da equivalencia entre o formalismo discreto e a introducao de operadores nao-hermitianos na equacao de Schrodinger continua
Abstract
Um seculo apos a sua descoberta, o eletron continua a ser um estranho dentro do eletromagnetismo classico. Varios foram os modelos propostos para descreve-lo. Pode-se dizer que a teoria mais bem sucedida foi formulada por Dirac em 1938, muito embora apresentando problemas tais como as pre-aceleracoes e solucoes auto-acelerantes. Uma alternativa a esta teoria foi proposta na decada de 50 pelo fisico italiano P. Caldirola, tendo por hipotese basica a existencia de um intervalo fundamental de tempo, o cronon. Com base nesta hipotese Caldirola propos uma descricao baseada em equacoes a diferencas finitas equivalentes a de Dirac mas livre dos problemas por ela apresentados. A extensao da hipotese do cronon a mecânica quântica nao-relativistica, resultando em formulacoes discretizadas da equacao de Schrodinger, produziu resultados relevantes como a derivacao da massa do muon e do tau a partir da massa do eletron.
Neste trabalho, analisamos as equacoes discretas com base no formalismo de Feynman e estudamos algumas de suas solucoes. Partindo dos operadores de evolucao associados as equacoes discretas, estendemos o procedimento a representacao de Heisenberg e encontramos uma representacao que, como no caso continuo, e equivalente a de Schrodinger .
Fazemos uma analise de compatibilidade entre as varias representacoes: Schrodinger, Heisenberg e operadores de densidade. Sao estudados alguns exemplos tipicos como, por exemplo, o oscilador harmonico simples. O formalismo de operadores de densidade e utilizado para analisar o problema da medida na mecânica quântica.
Finalmente, fazemos uma abordagem da equivalencia entre o formalismo discreto e a introducao de operadores nao-hermitianos na equacao de Schrodinger continua
Abstract
Resumo Considerando aspectos gerais do movimento, o conteúdo de simetrias de Lie é deduzido como uma estrutura central para as teorias mecânicas. Este aparato algébrico está relacionado ao princípio variacional de Schwinger, que por vez, associa-se à formulação de Feynman, como é bem conhecido. É neste âmbito de simetrias que diferentes representações da mecânica quântica não-relativística são abordadas. A primeira, e mais natural neste contexto, é a formulação de Liouville-von Neumann em termos da matriz de densidade. Procurando soluções da equação de Liouville-von Neumann, a representação que se estabelece na equação de Schrödinger é obtida como um teorema. Neste caso, enfatizamos o significado da álgebra de Heisenberg na construção dos geradores do grupo de Galilei. Este procedimento, baseado apenas em simetrias, traz uma outra perspectiva de se abordar um problema antigo, mas ainda não completamente resolvido: a relação de Heisenberg para o observável tempo e o gerador de translação no tempo (o Hamiltoniano). A partir da matriz de densidade, a representação da mecânica quântica no espaço de fase, proposta por Wigner, é discutida, o que leva a representação simplética da mecânica quântica. A apresentação mais geral da mecânica quântica é estruturada no espaço de Fock, que aqui é abordado nesse contexto de simetrias. Como consequência, para qualquer tipo de de representação, a mecânica quântica é basicamente uma teoria quântica de campos. Esta interpretação se estabelece por consistência e conduz a soluções de certos problemas iniciais da mecânica quântica, como a noção de onda-partícula e o princípio da complementaridade.
introduçãoCálculos de estrutura eletrônica representam um desafio e um dos primeiros sucessos no estabelecimento da mecânica quântica.A solução do espectro eletrônico do átomo de hidrogênio por Bohr foi um dos marcos da ciência do século XX.Apesar do modelo equivocado, a utilização das hipóteses de quantização da energia e do momento angular, desenvolvidas por Planck 2 e Einstein, 3 indicava que o universo deveria ser representado por uma nova visão mecânica.A teoria capaz de descrever rigorosamente todos os fenômenos vem confirmando a formulação de Schrödinger/Heisenberg 4 como a representação fundamental a ser utilizada para representar, por exemplo, a distribuição eletrônica.Em resumo, a natureza do universo deve ser resolvida a partir da equação de Schrödinger, independente ou dependentemente do tempo.Especificamente em relação aos problemas de estrutura eletrônica, o que se pretende é encontrar uma função de onda que represente da melhor maneira possível o sistema físico em questão e por meio da qual serão determinadas suas propriedades estacionárias e/ou dinâmicas.De acordo com os postulados da mecânica quântica, as exigências fundamentais para que se tenha uma função de onda aceitável são que seja bem comportada e que satisfaça a equação de Schrödinger.5 Usualmente, analisa-se o problema físico em questão, constrói-se a equação de Schrödinger apropriada ao sistema, definem-se as condições de contorno apropriadas e procuram-se as soluções bem comportadas.No tratamento de elétrons, é necessário, ainda, que a função de onda represente um estado que caracterize uma distribuição de férmions.Matematicamente, essa restrição determina que a função 2 Planck (1901).3 Einstein (1905).4 Heisenberg (1925), Schrödinger (1926a).5 Levine (2008), McQuarrie (1997), Pilar (2001).Aplicações de química teórica no estudo de materiais 66 de onda troque de sinal quando dois elétrons quaisquer tenham suas coordenadas trocadas.Quando se considera mais de um estado eletrônico, ou seja, mais de uma função de onda para representar cada um desses estados, essas funções de onda devem ainda ser ortogonais entre si.Tais condições são sempre consideradas para se desenhar a função de onda ideal ou aproximada a fim de representar um sistema eletrônico qualquer.Não existe um único caminho para o desenvolvimento de uma função de onda ideal.Em alguns casos, busca-se a solução por meio da equação diferencial de Schrödinger ou considera-se o uso do princípio variacional, que determina que qualquer função de onda tentativa produzirá uma energia maior do que a energia exata do sistema e, na melhor das hipóteses, reproduzirá a energia exata.Grande parte dos métodos matemáticos utilizados para descrever estados eletrônicos teve seu desenvolvimento inicial nos primeiros 15 anos após as formulações de Heisenberg, em 1925, 6 e de Schrödinger, em 1926, 7 sobre a mecânica quântica.Essa afirmação pode ser verificada na literatura nos trabalhos seminais da teoria do funcional de densidade desenvolvidos por Thomas 8 e Fermi, 9 o método autoconsistente de Hartree, 10 o modelo de ligação de valência de Heitler 11 e a teoria de orbitais moleculares por meio da combinação linear de orbitais atômicos por Mulliken, em 1927, 12 e Hückel, em 1930, 13 a formulação relativística de Dirac, em 1928, 14 o método de interação de configurações por Hylleraas, em 1929, 15 a teoria de perturbação desenvolvida por Schrödinger 16 e Møller e Plesset, 17 o método multiconfiguracional de Hartree, em 1939, 18 etc.Muitos dos desenvolvimentos que ocorreram na tentativa de resolver a equação de Schrödinger estão associados com a evolução dos recursos computacionais.Pode-se dizer que a escala de evolução dos métodos de solução teve um avanço considerável a partir do desenvolvimento de computadores.Diferente do método Hartree-Fock, 19 algumas alternativas numéricas ficaram esquecidas por falta de recursos computacionais para sua solução.Uma dessas alternativas foi indicada pelo próprio Schrödinger, que observou uma enorme semelhança entre sua equação dependente do tempo e a equação de difusão definida pelas leis de Fick.20 Essa percepção levou Schrödinger a considerar a possibilidade de tratar sistemas quânticos 6 Heisenberg (1925).7 Schrödinger (1926a).8 Thomas (2008).9 Fermi (1927, 1928).10 Hartree (1927a, 1927b).11 Heitler e London (1927), Heitler (1931).12 Mulliken (1927, 1928).13 Hückel (1930, 1931).14 Dirac (1928).15 Hylleraas (1928).16 Schrödinger (1926b).17 Møller e Plesset (1934).18
A formulacao da mecânica quântica por integrais de caminho de Feynman surge como uma terceira representacao da teoria quântica, analoga as outras duas representacoes, de Schrodinger e de Heisenberg, de forma que sao matematicamente equivalentes. Entretanto, na representacao de Feynman o formalismo hamiltoniano e substituido pelo formalismo lagrangiano como ferramenta matematica utilizada na construcao da teoria quântica. Na integracao funcional da mecânica quântica, os operadores deixam de ser os principais objetos de estudo, tal como sao nas outras duas representacoes, dando lugar aos propagadores, que tem uma relacao intrinseca com o operador de evolucao temporal, sendo responsavel direto pela evolucao do estado quântico. Este estudo inicia-se com uma analise matematica do formalismo lagrangiano, fundamental para o desenvolvimento da teoria quântica por integrais de caminho de Feynman. Segue-se com a introducao do propagador quântico a partir da definicao do operador de evolucao temporal para uma hamiltoniana independente do tempo (sistema autonomo isolado). A partir desses conceitos, introduz-se a ideia da integral de caminho, onde agora tem-se que todos os caminhos sao possiveis, ao contrario da acao classica na qual o unico caminho possivel seria aquele em que a acao e um minimo. O estudo continua com a integral de trajetoria e sua analogia com a integral de Riemann. Em seguida, investiga-se as regras para dois eventos sucessivos, e tambem, as regras para varios eventos sucessivos. Por um, utiliza-se os conhecimentos obtidos da Integral de Caminho de Feynman para resolver o Oscilador Harmonico Simples e o Oscilador Harmonico Forcado, calculando-se suas autofuncoes e autovalores atraves do propagador quântico, obtendo-se resultados semelhantes aos encontrados por Schrodinger e Heisenberg, comprovando-se a equivalencia dessa representacao com as outras duas representacoes da mecânica quântica.
Na presente tese, usamos operadores invariantes lineares a luz do metodo de invariantes
dinâmicos para encontrar as solucoes exatas da equacao de Schrodinger para um
oscilador harmonico forcado generalizado dependente do tempo em termos das solucoes
de uma equacao diferencial de segunda ordem que descreve a amplitude de um oscilador
harmonico amortecido nao-for¸cado. Construimos as solucoes do tipo pacotes de ondas
gaussianos e calculamos as flutuacoes quânticas das coordenadas e momentos, bem como
da correlacao entre ambos. Como destaque, mostramos que a largura das flutuacoes e as
correlacoes do pacote gaussiano nao dependem da forca externa. Como caso particular,
aplicamos nosso formalismo ao conhecido oscilador forcado de Caldirola-Kanai. Depois,
fazemos uma descricao quântica da propagacao da luz num meio condutor, homogeneo,
linear e com densidade de carga nula, usando o modelo de oscilador harmonico dependente
de tempo numa abordagem fenomenologica usando o gauge de Coulomb, invariantes lineares
e o metodo do invariante dinâmico. Obtemos as funcoes de onda exatas para este
problema em termos de solucoes de uma equacao diferencial de segunda ordem que descreve
a amplitude do oscilador amortecido classico. Alem disso, construimos solucoes do
tipo pacotes de onda gaussianos e calculamos as flutuacoes e as correlacoes quânticas para
cada modo do campo eletromagnetico quantizado. Em seguida, estendemos nossa investiga
cao utilizando tambem um operador invariante quadratico. Encontramos as funcoes de
onda exatas para a equacao de Schrodinger para a luz num meio condutor com frequencia
dependente do tempo. Concluimos a presente tese abordando o problema de encontrar
funcoes de onda (solucoes da equacao de Schrodinger) exatas, com dependencia temporal,
para uma particula aprisionada por campos oscilantes.
Resumo O método de integrais de trajetória, desenvolvido por Feynman no artigo “Space-Time Approach to Non-Relativistic Quantum Mechanics” de 1948, é uma das formulações da teoria quântica que se junta, considerando a época do artigo, a duas anteriores: (i) a formulação, de certa forma o padrão apresentado em livros-textos, desenvolvida na década de 1920 por Schrödinger, Heisenberg, Dirac, Von Neumann, Born, Jordan e outros, e que se baseia no espaço de Hilbert e operadores que atuam nesse espaço, e (ii) a descrição no espaço de fase, também conhecida como a quantização de Moyal, que se baseia na função quasi-distribuição de Wigner proposta em 1932 e na lei de Correspondência de Weyl de 1927, e conduz à estrutura matemática não comutativa baseada no produto estrela (*). Neste trabalho, apresentamos uma revisão pedagógica de pontos considerados básicos para o desenvolvimento de Feynman. Destacamos a linha de pesquisa de Dirac na busca de analogias entre a Mecânica Clássica e a Mecânica Quântica, bem como os postulados formulados por Feynman no artigo acima citado, aspectos importantes para a compreensão da teoria mas pouco conhecidos e pouco divulgados de forma completa. Um exemplo é apresentado para elucidar o método e sua relação com a equação de Schrödinger dependente do tempo.
O problema de como descrever a dinâmica efetiva de partículas ou campos confinados a um espaço-tempo de baixa dimensão é de interesse em muitas áreas da física. Vários métodos foram propostos na literatura para atacar este problema. Recentemente, foram relatadas algumas evidências experimentais que são consistentes com a chamada abordagem de potencial confinante. À luz destes resultados, o objetivo desta tese é o de construir uma teoria quântica para partículas confinadas em uma subvariedade, imersa em um espaço-tempo plano, empregando o cenário conceitual da abordagem de potencial confinante. A tese está dividida em duas partes. A primeira parte é dedicada exclusivamente ao estudo da mecânica quântica em uma subvariedade. Para esta finalidade, deduzimos as equações efetivas de Schrödinger, Dirac e Klein-Gordon, em uma subvariedade curva, na presença de um campo electromagnético externo. Examinamos as características singulares estas equações e apresentamos algumas aplicações em física da matéria condensada. Na segunda parte, partimos da mecânica quântica na subvariedade e então formulamos a teoria quântica de campos (TQC) na subvariedade. Mostramos que a TQC \\"livre\\" em uma subvariedade pode ser representada esquematicamente como uma teoria de campos livres, em um fundo curvo, mais um potencial escalar e um campo externo SO(n - m) de Yang-Mills. Calculamos para essa teoria a ação efetiva em ordem de um laço para bósons e férmions a temperatura e potencial químico não nulos, em todas as ordens, usando a expansão de Seely-DeWitt. Para teorias com interações, demonstramos que a teoria conhecida como eletrodinâmica quântica reduzida (RQEDd?,de) pode ser recuperada a partir da abordagem de potencial confinante. Para uma teoria bidimensional, propomos uma grande classe de extensões do modelo de Schwinger, em que a interação entre férmions vai além do potencial linear. Demonstramos que, notavelmente, essas extensões são exatamente solúveis para férmions sem massa e que não há geração de massa dinâmica para os férmions. Além disso, construímos uma nova família de teorias que podem ser exatamente bosonizadas. Também mostramos que RQED4,2 tem as características necessárias para ser identificada como uma teoria de campo efetivo para fios de grafeno. Finalmente, estudamos o efeito da interação de campos magnéticos e pseudomagnéticos no grafeno. Para este sistema, calculamos o condensado fermiônico, a densidade de carga induzida de vácuo, a ação efetiva em ordem de um laço e a magnetização. Demonstramos que a presença de um campo pseudo-magnético diferente de zero torna possível observar experimentalmente uma densidade de carga induzida de vácuo. Além disso, vamos mostrar que é possível ter controle sobre a magnetização, bem como a massa dinâmica para cada vale no grafeno, quer seja por deformações ou variando o campo magnético aplicado.