Presque toutes les Théories de Champs Quantiques en dimension deux peuvent être considérées comme Théories de Champs Conformes perturbées. On montre que les méthodes de calcul pour les valeurs moyennes dans le vide et le développement à courte distance, combinés avec le bootstrap des facteurs de forme dans les théories intégrables permettent de calculer les fonctions de corrélation à deux points avec grande précision.
Presque toutes les Théories de Champs Quantiques en dimension deux peuvent être considérées comme Théories de Champs Conformes perturbées. On montre que les méthodes de calcul pour les valeurs moyennes dans le vide et le développement à courte distance, combinés avec le bootstrap des facteurs de forme dans les théories intégrables permettent de calculer les fonctions de corrélation à deux points avec grande précision.
Sur les fonctions de corrélation des théories quantiques intégrables des champs à 1+1 dimensions Les théories quantiques des champs sont des modèles physiques permettant une description pertinente et très précise de nombreux systèmes quantiques lorsque les effets relativistes commencent à entrer en jeu. Les fonctions de corrélation, objets d'intérêt physique majeur car directement mesurables expérimentalement, peuvent y être calculées de façon perturbative par développements formels, du moins dans le cas de théories avec faibles interactions. En revanche, dans une théorie générique en plein régime d'interaction, un calcul explicite et non-perturbatif de ces fonctions reste hors de portée à ce jour. Dans cette thèse, nous nous intéressons à une classe particulière de théories quantiques des champs en 1+1 dimensions et qui sont intégrables. Pour celles-ci, il existe un nombre infini de charges conservées et une algèbre de symétries permettant ainsi, du moins en principe, d'avoir accès à des formules explicites pour toutes les grandeurs d'intérêt du modèle, en particulier les fonctions de corrélation. Afin de pouvoir obtenir ces expressions, les travaux de Karowski-Weisz, Kirillov-Smirnov ainsi que Zamolodchikov-Zamolodchikov, ont permis l'élaboration de l'approche du bootstrap intégrable. Cette méthode, applicable à une théorie quantique des champs 1+1 dimensionnelle et intégrable, prend ses racines dans l'approche historique de la matrice de diffusion (matrice S) proposée par Heisenberg et Wheeler. Elle ouvre la voie au calcul explicite des fonctions de corrélation du modèle à partir de l'expression explicite de la matrice S. Les résultats obtenus jusqu'alors concernent exclusivement les fonctions de corrélation à 2 points. Dans cette thèse, nous obtenons divers types de représentations en terme de séries d'intégrales multiples pour les fonctions de corrélation multipoints du modèle de Sinh-Gordon, qui est le modèle intégrable le plus simple non-trivial de théorie quantique des champs en 1+1 dimensions. Sous l'hypothèse que ces séries d'intégrales multiples convergent, nous avons démontré que celles-ci définissent des distributions tempérées satisfaisant les axiomes de Wightman. Ce résultat connecte donc l'approche du bootstrap intégrable au schéma usuel de la construction rigoureuse d'une théorie quantique des champs. Cette thèse explore aussi l'implémentation du bootstrap intégrable pour certains corrélateurs du modèle de Sine-Gordon. Ce modèle exhibe une structure bien plus complexe en raison de la présence d'états liés, les breathers, et de degrés de liberté ayant des saveurs, les solitons/antisolitons.Pour ce modèle, nous avons pu calculer par la méthode de l'ansatz de Bethe off-shell les expressions explicites pour les facteurs de forme associés aux opérateurs "exponentielle du champ" et à ses variantes ne préservant pas la charge. Nos résultats sont en accord avec diverses conjectures obtenues précédemment par Lukyanov dans le cadre de la quantification angulaire. Nous rappelons ici que les facteurs de formes constituent les briques élémentaires permettant de calculer les fonctions de corrélation.
Bootstrap conforme en théorie conforme bidimensionnelle avec spectre non-diagonal La symétrie conforme impose de très fortes contraintes sur les théories quantiques des champs. En deux dimensions, l’algèbre des symétries conformes est infinie, et les théories conformes bidimensionnelles peuvent être complètement résolubles, dans le sens où toutes leurs fonctions de corrélation peuvent être calculées. Ces théories ont un grand domaine d'application, de la théorie des cordes jusqu'aux systèmes critiques en physique statistique, et elles ont été largement étudiées pendant les dernières décennies.Dans cette thèse nous étudions les théories conformes bidimensionnelles dont l’algèbre de symétrie est celle de Virasoro, en suivant l'approche connue sous le nom de bootstrap conforme. Sous l'hypothèse de l'existence de champs dégénérés, nous généralisons le bootstrap conforme analytique aux théories avec des spectres non-diagonaux. Nous écrivons les équations qui déterminent les constantes de structure, et nous trouvons des solutions explicites en termes de fonctions spéciales. Nous validons ces résultats en faisant des calculs numériques des fonctions de corrélation à quatre points dans des modèles minimaux diagonaux et non-diagonaux, et en vérifiant que la symétrie de croisement est respectée.En outre, nous construisons une proposition pour une famille de théories conformes non-diagonales et non-rationnelles pour toute charge centrale telle que Re(c) < 13. Cette proposition est motivée par les limites des spectres des modèles minimaux de la série D. Nous réalisons des calculs numériques des fonctions à quatre points dans ces théories, et nous trouvons qu'elles obéissent à la symétrie de croisement. Ces théories peuvent être interprétées comme des extensions non-diagonales de la théorie de Liouville.
Nous developpons dans cette these diverses methodes de calcul des fonctions de correlation et des facteurs de forme des modeles integrables quantiques basees sur l'ansatz de bethe algebrique. Nous traitons differents modeles integrables sur reseau, en particulier les chaines de spin de heisenberg xy, xxx et xxz, ainsi qu'un modele de bosons fortement correles sur reseau que nous appelons le modele de phase. Dans la premiere partie nous etudions le modele xy qui est le point de fermions libres pour la chaine de spin la plus generale xyz. Pour le calcul des fonctions de correlation sur la chaine finie et dans la limite thermodynamique nous utilisons la technique d'integration sur les variables de grassmann et les etats coherents correspondants. Les fonctions de correlations sont representees comme des determinants de matrices finies pour la chaine finie et comme des determinants de fredholm d'operateurs integraux dans la limite thermodynamique. Dans la deuxieme partie le modele de phase est etudie dans le cadre de l'ansatz de bethe algebrique. Nous calculons les fonctions de correlation a deux points et les facteurs de forme en utilisant la methode d'izergin et korepin. La troisieme partie est consacree aux cas plus generaux des chaines de spin de heisenberg xxx et xxz. Nous utilisons l'operateur de twist introduit initialement dans la theorie des groupes quantiques. Cette approche permet de resoudre le probleme inverse quantique pour la chaine finie et de representer les facteurs de forme pour la chaine finie comme des determinants de matrices finies. Nous montrons que ces representation sont adaptees a la limite thermodynamique et permettent en particulier de prouver la formule de baxter pour la magnetisation spontanee pour la chaine xxz dans le regime massif.
Le but de cette thèse est de développer une approche au calcul des fonctions de corrélation des modèles intégrables quantiques sur réseau dans le cadre de la version quantique de la méthode de séparation des variables (SoV). SoV est une méthode puissante applicable à une large classe de modèles quantiques intégrables avec des conditions aux limites variées. Cependant, le calcul des fonctions de corrélation reste dans ce cadre un problème encore largement ouvert. Nous considérons ici plus précisément deux modèles simples solubles par SoV : les chaînes de Heisenberg XXX et XXZ de spins 1/2, avec des conditions aux limites anti-périodiques, ou plus généralement des conditions aux limites quasi-périodiques avec un twist non diagonal. Nous rappelons leurs solutions par SoV, qui présentent des similitudes mais aussi des différences cruciales. Puis nous étudions les produits scalaires d'états séparés, une classe d'états qui contient notamment tous les états propres du modèle. Nous expliquons comment obtenir, pour ces produits scalaires, des représentations sous forme de déterminant utilisables pour l'étude du modèle. Nous expliquons également comment généraliser ces représentations dans le cas des facteurs de forme, c'est-à-dire des éléments matriciels des opérateurs locaux dans la base des états propres. Ces facteurs de forme sont d'un intérêt particulier pour le calcul des corrélations puisque toutes les fonctions de corrélation peuvent être obtenues sous forme de somme sur des facteurs de forme. Enfin, nous considérons des blocs élémentaires plus généraux pour les fonctions de corrélation, et expliquons comment retrouver, dans la limite thermodynamique du modèle, les représentations sous forme d'intégrales multiples précédemment obtenues à partir de l'étude des modèles périodiques par Ansatz de Bethe algébrique.
Séparation des variables et fonctions de corrélation des systèmes intégrables quantiques Le but de cette thèse est de développer une approche au calcul des fonctions de corrélation des modèles intégrables quantiques sur réseau dans le cadre de la version quantique de la méthode de séparation des variables (SoV). SoV est une méthode puissante applicable à une large classe de modèles quantiques intégrables avec des conditions aux limites variées. Cependant, le calcul des fonctions de corrélation reste dans ce cadre un problème encore largement ouvert. Nous considérons ici plus précisément deux modèles simples solubles par SoV : les chaînes de Heisenberg XXX et XXZ de spins 1/2, avec des conditions aux limites anti-périodiques, ou plus généralement des conditions aux limites quasi-périodiques avec un twist non diagonal. Nous rappelons leurs solutions par SoV, qui présentent des similitudes mais aussi des différences cruciales. Puis nous étudions les produits scalaires d'états séparés, une classe d'états qui contient notamment tous les états propres du modèle. Nous expliquons comment obtenir, pour ces produits scalaires, des représentations sous forme de déterminant utilisables pour l'étude du modèle. Nous expliquons également comment généraliser ces représentations dans le cas des facteurs de forme, c'est-à-dire des éléments matriciels des opérateurs locaux dans la base des états propres. Ces facteurs de forme sont d'un intérêt particulier pour le calcul des corrélations puisque toutes les fonctions de corrélation peuvent être obtenues sous forme de somme sur des facteurs de forme. Enfin, nous considérons des blocs élémentaires plus généraux pour les fonctions de corrélation, et expliquons comment retrouver, dans la limite thermodynamique du modèle, les représentations sous forme d'intégrales multiples précédemment obtenues à partir de l'étude des modèles périodiques par Ansatz de Bethe algébrique.
Dans ce mémoire d'habilitation je présente mes travaux recents sur les chaînes de spin quantiques. Les chaînes de spin constituent l'exemple le plus fondamental de modèles intégrables quantiques. Ces modèles ont plusieurs applications directes en théorie de la matière condensée, en physique statistique, en optique quantique, en théorie des champs et même en théorie des cordes mais ils sont aussi très importants car ils donnent une possibilité unique de traiter de manière exacte des phénomènes non perturbatifs inaccessibles par les autres moyens. Dans ce cadre le problème central de la théorie moderne des systèmes intégrables concerne le calcul explicite des fonctions de corrélation et des facteurs de forme et leur analyse asymptotique. La méthode présentée dans ce mémoire est basée sur l'ansatz de Bethe algébrique. Je montre comment cette méthode peut être utilisée pour le calcul des fonctions de corrélation à température nulle de la chaîne de spin 1/2 de Heisenberg. Le point principal de cette approche est la solution du problème inverse quantique obtenue pour la chaîne de spin 1/2 XXZ. Cette solution ainsi qu'une formule simple pour les produits scalaires des états de Bethe nous a permit d'obtenir les fonctions de corrélation les plus fondamentales ("les blocs élémentaires") sous forme d'intégrales multiples. Ces représentations sous forme d'intégrales multiples permettent de faire un analyse asymptotique pour quelques quantités physiques (probabilité de formation du vide) et même, dans certains cas particuliers, de les calculer d'une manière exacte. Il est possible d'obtenir à partir de ces représentations des résultats pour les fonctions à deux points, c'est à dire les fonctions de corrélation les plus importantes pour les applications. Un lien est établi entre ces intégrales multiples et les sommes de facteurs de forme. Ce résultat est généralisé aux fonctions de corrélation dynamiques. Je présente aussi dans ce mémoire les généralisations de cette méthode aux chaînes de spin supérieur à 1/2 et aux chaînes de spin à bords ouverts.