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On correlation functions of the 1+1 dimensional integrable quantum field theories

Alex Simon

Published Jul 20, 2026• 0 citations
Publisher

Abstract

Sur les fonctions de corrélation des théories quantiques intégrables des champs à 1+1 dimensions Les théories quantiques des champs sont des modèles physiques permettant une description pertinente et très précise de nombreux systèmes quantiques lorsque les effets relativistes commencent à entrer en jeu. Les fonctions de corrélation, objets d'intérêt physique majeur car directement mesurables expérimentalement, peuvent y être calculées de façon perturbative par développements formels, du moins dans le cas de théories avec faibles interactions. En revanche, dans une théorie générique en plein régime d'interaction, un calcul explicite et non-perturbatif de ces fonctions reste hors de portée à ce jour. Dans cette thèse, nous nous intéressons à une classe particulière de théories quantiques des champs en 1+1 dimensions et qui sont intégrables. Pour celles-ci, il existe un nombre infini de charges conservées et une algèbre de symétries permettant ainsi, du moins en principe, d'avoir accès à des formules explicites pour toutes les grandeurs d'intérêt du modèle, en particulier les fonctions de corrélation. Afin de pouvoir obtenir ces expressions, les travaux de Karowski-Weisz, Kirillov-Smirnov ainsi que Zamolodchikov-Zamolodchikov, ont permis l'élaboration de l'approche du bootstrap intégrable. Cette méthode, applicable à une théorie quantique des champs 1+1 dimensionnelle et intégrable, prend ses racines dans l'approche historique de la matrice de diffusion (matrice S) proposée par Heisenberg et Wheeler. Elle ouvre la voie au calcul explicite des fonctions de corrélation du modèle à partir de l'expression explicite de la matrice S. Les résultats obtenus jusqu'alors concernent exclusivement les fonctions de corrélation à 2 points. Dans cette thèse, nous obtenons divers types de représentations en terme de séries d'intégrales multiples pour les fonctions de corrélation multipoints du modèle de Sinh-Gordon, qui est le modèle intégrable le plus simple non-trivial de théorie quantique des champs en 1+1 dimensions. Sous l'hypothèse que ces séries d'intégrales multiples convergent, nous avons démontré que celles-ci définissent des distributions tempérées satisfaisant les axiomes de Wightman. Ce résultat connecte donc l'approche du bootstrap intégrable au schéma usuel de la construction rigoureuse d'une théorie quantique des champs. Cette thèse explore aussi l'implémentation du bootstrap intégrable pour certains corrélateurs du modèle de Sine-Gordon. Ce modèle exhibe une structure bien plus complexe en raison de la présence d'états liés, les breathers, et de degrés de liberté ayant des saveurs, les solitons/antisolitons.Pour ce modèle, nous avons pu calculer par la méthode de l'ansatz de Bethe off-shell les expressions explicites pour les facteurs de forme associés aux opérateurs "exponentielle du champ" et à ses variantes ne préservant pas la charge. Nos résultats sont en accord avec diverses conjectures obtenues précédemment par Lukyanov dans le cadre de la quantification angulaire. Nous rappelons ici que les facteurs de formes constituent les briques élémentaires permettant de calculer les fonctions de corrélation.

DOI
10.70675/c33adcf2z6160z4db7z8c5aza1307e25390b

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Un défi toujours actuel dans le domaine des systèmes intégrables quantiques est le calcul exact et explicite des fonctions de corrélation. Dans le cas de modèles simples tels que la chaîne de Heisenberg XXZ de spins 1/2, des progrès significatifs ont été réalisés ces dernières années. Les méthodes développées utilisent les symétries des modèles en volume infini (algèbre quantique affine) ou fini (algèbre de Yang-Baxter). L'objet de cette thèse est d'étendre le champ d'application de ce dernier type d'approche dans le cas où l'algèbre de Yang-Baxter sous-jacente est de type dynamique. C'est typiquement le cas du modèle de physique statistique solid-on-solid (SOS) qui décrit les interactions d'un paramètre de hauteur autour des faces d'un réseau bidimensionnel, avec des poids statistiques donnés par une matrice R elliptique solution de l'équation de Yang-Baxter dynamique.L'étude des fonctions de corrélation du modèle SOS est abordée dans le cadre de l'ansatz de Bethe algébrique et de la méthode de séparation des variables. Des représentations en termes de déterminants de fonctions usuelles sont obtenues par les deux méthodes pour les produits scalaires entre états et pour les facteurs de forme des opérateurs locaux en volume fini. Les formules obtenues dans le cadre de l'ansatz de Bethe algébrique sont ensuite utilisées pour représenter la fonction de corrélation à deux points sous la forme d'intégrales multiples, ainsi que pour le calcul de diverses quantités physiques à la limite thermodynamique, telles que les polarisations spontanées ou les probabilités de hauteurs locales. Ces dernières s'expriment sous forme d'intégrales multiples similaires à celles du modèle XXZ.

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Sur les fonctions de corrélation des théories quantiques intégrables des champs à 1+1 dimensions Les théories quantiques des champs sont des modèles physiques permettant une description pertinente et très précise de nombreux systèmes quantiques lorsque les effets relativistes commencent à entrer en jeu. Les fonctions de corrélation, objets d'intérêt physique majeur car directement mesurables expérimentalement, peuvent y être calculées de façon perturbative par développements formels, du moins dans le cas de théories avec faibles interactions. En revanche, dans une théorie générique en plein régime d'interaction, un calcul explicite et non-perturbatif de ces fonctions reste hors de portée à ce jour. Dans cette thèse, nous nous intéressons à une classe particulière de théories quantiques des champs en 1+1 dimensions et qui sont intégrables. Pour celles-ci, il existe un nombre infini de charges conservées et une algèbre de symétries permettant ainsi, du moins en principe, d'avoir accès à des formules explicites pour toutes les grandeurs d'intérêt du modèle, en particulier les fonctions de corrélation. Afin de pouvoir obtenir ces expressions, les travaux de Karowski-Weisz, Kirillov-Smirnov ainsi que Zamolodchikov-Zamolodchikov, ont permis l'élaboration de l'approche du bootstrap intégrable. Cette méthode, applicable à une théorie quantique des champs 1+1 dimensionnelle et intégrable, prend ses racines dans l'approche historique de la matrice de diffusion (matrice S) proposée par Heisenberg et Wheeler. Elle ouvre la voie au calcul explicite des fonctions de corrélation du modèle à partir de l'expression explicite de la matrice S. Les résultats obtenus jusqu'alors concernent exclusivement les fonctions de corrélation à 2 points. Dans cette thèse, nous obtenons divers types de représentations en terme de séries d'intégrales multiples pour les fonctions de corrélation multipoints du modèle de Sinh-Gordon, qui est le modèle intégrable le plus simple non-trivial de théorie quantique des champs en 1+1 dimensions. Sous l'hypothèse que ces séries d'intégrales multiples convergent, nous avons démontré que celles-ci définissent des distributions tempérées satisfaisant les axiomes de Wightman. Ce résultat connecte donc l'approche du bootstrap intégrable au schéma usuel de la construction rigoureuse d'une théorie quantique des champs. Cette thèse explore aussi l'implémentation du bootstrap intégrable pour certains corrélateurs du modèle de Sine-Gordon. Ce modèle exhibe une structure bien plus complexe en raison de la présence d'états liés, les breathers, et de degrés de liberté ayant des saveurs, les solitons/antisolitons.Pour ce modèle, nous avons pu calculer par la méthode de l'ansatz de Bethe off-shell les expressions explicites pour les facteurs de forme associés aux opérateurs "exponentielle du champ" et à ses variantes ne préservant pas la charge. Nos résultats sont en accord avec diverses conjectures obtenues précédemment par Lukyanov dans le cadre de la quantification angulaire. Nous rappelons ici que les facteurs de formes constituent les briques élémentaires permettant de calculer les fonctions de corrélation.
Dans ce mémoire d'habilitation je présente mes travaux recents sur les chaînes de spin quantiques. Les chaînes de spin constituent l'exemple le plus fondamental de modèles intégrables quantiques. Ces modèles ont plusieurs applications directes en théorie de la matière condensée, en physique statistique, en optique quantique, en théorie des champs et même en théorie des cordes mais ils sont aussi très importants car ils donnent une possibilité unique de traiter de manière exacte des phénomènes non perturbatifs inaccessibles par les autres moyens. Dans ce cadre le problème central de la théorie moderne des systèmes intégrables concerne le calcul explicite des fonctions de corrélation et des facteurs de forme et leur analyse asymptotique. La méthode présentée dans ce mémoire est basée sur l'ansatz de Bethe algébrique. Je montre comment cette méthode peut être utilisée pour le calcul des fonctions de corrélation à température nulle de la chaîne de spin 1/2 de Heisenberg. Le point principal de cette approche est la solution du problème inverse quantique obtenue pour la chaîne de spin 1/2 XXZ. Cette solution ainsi qu'une formule simple pour les produits scalaires des états de Bethe nous a permit d'obtenir les fonctions de corrélation les plus fondamentales ("les blocs élémentaires") sous forme d'intégrales multiples. Ces représentations sous forme d'intégrales multiples permettent de faire un analyse asymptotique pour quelques quantités physiques (probabilité de formation du vide) et même, dans certains cas particuliers, de les calculer d'une manière exacte. Il est possible d'obtenir à partir de ces représentations des résultats pour les fonctions à deux points, c'est à dire les fonctions de corrélation les plus importantes pour les applications. Un lien est établi entre ces intégrales multiples et les sommes de facteurs de forme. Ce résultat est généralisé aux fonctions de corrélation dynamiques. Je présente aussi dans ce mémoire les généralisations de cette méthode aux chaînes de spin supérieur à 1/2 et aux chaînes de spin à bords ouverts.
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