Séparation des variables et fonctions de corrélation des systèmes intégrables quantiques Le but de cette thèse est de développer une approche au calcul des fonctions de corrélation des modèles intégrables quantiques sur réseau dans le cadre de la version quantique de la méthode de séparation des variables (SoV). SoV est une méthode puissante applicable à une large classe de modèles quantiques intégrables avec des conditions aux limites variées. Cependant, le calcul des fonctions de corrélation reste dans ce cadre un problème encore largement ouvert. Nous considérons ici plus précisément deux modèles simples solubles par SoV : les chaînes de Heisenberg XXX et XXZ de spins 1/2, avec des conditions aux limites anti-périodiques, ou plus généralement des conditions aux limites quasi-périodiques avec un twist non diagonal. Nous rappelons leurs solutions par SoV, qui présentent des similitudes mais aussi des différences cruciales. Puis nous étudions les produits scalaires d'états séparés, une classe d'états qui contient notamment tous les états propres du modèle. Nous expliquons comment obtenir, pour ces produits scalaires, des représentations sous forme de déterminant utilisables pour l'étude du modèle. Nous expliquons également comment généraliser ces représentations dans le cas des facteurs de forme, c'est-à-dire des éléments matriciels des opérateurs locaux dans la base des états propres. Ces facteurs de forme sont d'un intérêt particulier pour le calcul des corrélations puisque toutes les fonctions de corrélation peuvent être obtenues sous forme de somme sur des facteurs de forme. Enfin, nous considérons des blocs élémentaires plus généraux pour les fonctions de corrélation, et expliquons comment retrouver, dans la limite thermodynamique du modèle, les représentations sous forme d'intégrales multiples précédemment obtenues à partir de l'étude des modèles périodiques par Ansatz de Bethe algébrique.
Séparation des variables et fonctions de corrélation des systèmes intégrables quantiques Le but de cette thèse est de développer une approche au calcul des fonctions de corrélation des modèles intégrables quantiques sur réseau dans le cadre de la version quantique de la méthode de séparation des variables (SoV). SoV est une méthode puissante applicable à une large classe de modèles quantiques intégrables avec des conditions aux limites variées. Cependant, le calcul des fonctions de corrélation reste dans ce cadre un problème encore largement ouvert. Nous considérons ici plus précisément deux modèles simples solubles par SoV : les chaînes de Heisenberg XXX et XXZ de spins 1/2, avec des conditions aux limites anti-périodiques, ou plus généralement des conditions aux limites quasi-périodiques avec un twist non diagonal. Nous rappelons leurs solutions par SoV, qui présentent des similitudes mais aussi des différences cruciales. Puis nous étudions les produits scalaires d'états séparés, une classe d'états qui contient notamment tous les états propres du modèle. Nous expliquons comment obtenir, pour ces produits scalaires, des représentations sous forme de déterminant utilisables pour l'étude du modèle. Nous expliquons également comment généraliser ces représentations dans le cas des facteurs de forme, c'est-à-dire des éléments matriciels des opérateurs locaux dans la base des états propres. Ces facteurs de forme sont d'un intérêt particulier pour le calcul des corrélations puisque toutes les fonctions de corrélation peuvent être obtenues sous forme de somme sur des facteurs de forme. Enfin, nous considérons des blocs élémentaires plus généraux pour les fonctions de corrélation, et expliquons comment retrouver, dans la limite thermodynamique du modèle, les représentations sous forme d'intégrales multiples précédemment obtenues à partir de l'étude des modèles périodiques par Ansatz de Bethe algébrique.
Le but de cette thèse est de développer une approche au calcul des fonctions de corrélation des modèles intégrables quantiques sur réseau dans le cadre de la version quantique de la méthode de séparation des variables (SoV). SoV est une méthode puissante applicable à une large classe de modèles quantiques intégrables avec des conditions aux limites variées. Cependant, le calcul des fonctions de corrélation reste dans ce cadre un problème encore largement ouvert. Nous considérons ici plus précisément deux modèles simples solubles par SoV : les chaînes de Heisenberg XXX et XXZ de spins 1/2, avec des conditions aux limites anti-périodiques, ou plus généralement des conditions aux limites quasi-périodiques avec un twist non diagonal. Nous rappelons leurs solutions par SoV, qui présentent des similitudes mais aussi des différences cruciales. Puis nous étudions les produits scalaires d'états séparés, une classe d'états qui contient notamment tous les états propres du modèle. Nous expliquons comment obtenir, pour ces produits scalaires, des représentations sous forme de déterminant utilisables pour l'étude du modèle. Nous expliquons également comment généraliser ces représentations dans le cas des facteurs de forme, c'est-à-dire des éléments matriciels des opérateurs locaux dans la base des états propres. Ces facteurs de forme sont d'un intérêt particulier pour le calcul des corrélations puisque toutes les fonctions de corrélation peuvent être obtenues sous forme de somme sur des facteurs de forme. Enfin, nous considérons des blocs élémentaires plus généraux pour les fonctions de corrélation, et expliquons comment retrouver, dans la limite thermodynamique du modèle, les représentations sous forme d'intégrales multiples précédemment obtenues à partir de l'étude des modèles périodiques par Ansatz de Bethe algébrique.
Séparation de variables quantiques pour les modèles intégrables de plus haut rangs et supersymétriques Le travail de cette thèse se situe dans le cadre de l’étude des modèles intégrables quantiques unidimensionnels sur réseau. Il est consacré au développement d’une nouvelle méthode de séparation de variables quantiques pour ces modèles. Cette approche vise à caractériser le spectre de la matrice de transfert qui contient l’ensemble des quantités conservées responsables de l’intégrabilité de tels modèles en construisant une base dite séparée de l’espace de Hilbert du système, permettant de réduire son problème spectral à N variables couplées, N grand voire infini, en N problèmes spectraux indépendants à une variable. Les fonctions d’ondes des états propres sont alors des produits de N fonctions d’onde à une variable. Une avancée récente a été la construction de telles bases à partir de la matrice de transfert elle-même, et la caractérisation du spectre via des équations de fusion découlant de la théorie des représentations de l’algèbre quantique de symétrie sous-jacente. Nous avons obtenu cette construction pour des modèles intégrables super-symétriques gl(m|n). Pour le cas gl(1|2) avec certaines conditions aux bords quasi-périodiques, cela nous a permis de caractériser complètement le spectre en termes de solutions d’un système discret d’équations cubiques aux différences finies, ainsi que de façon équivalente par une équation fonctionnelle appelée courbe spectrale quantique. Nous avons ensuite calculé des produits scalaires entre états séparés dans les modèles intégrables de plus haut rang, ce qui détermine la mesure associée aux bases séparées. Pour le modèle gl(3), cette mesure est pseudo-orthogonale et nous l’avons caractérisée complètement. Nous avons aussi proposé une famille de quantités conservées construisant une base et sa duale, toutes deux séparées et orthogonales l’une de l’autre, simplifiant ainsi les produits scalaires entre états séparées. Cela ouvre la voie au calcul des facteurs de forme et des fonctions de corrélation de ces systèmes.
Le travail de cette thèse se situe dans le cadre de l’étude des modèles intégrables quantiques unidimensionnels sur réseau. Il est consacré au développement d’une nouvelle méthode de séparation de variables quantiques pour ces modèles. Cette approche vise à caractériser le spectre de la matrice de transfert qui contient l’ensemble des quantités conservées responsables de l’intégrabilité de tels modèles en construisant une base dite séparée de l’espace de Hilbert du système, permettant de réduire son problème spectral à N variables couplées, N grand voire infini, en N problèmes spectraux indépendants à une variable. Les fonctions d’ondes des états propres sont alors des produits de N fonctions d’onde à une variable. Une avancée récente a été la construction de telles bases à partir de la matrice de transfert elle-même, et la caractérisation du spectre via des équations de fusion découlant de la théorie des représentations de l’algèbre quantique de symétrie sous-jacente. Nous avons obtenu cette construction pour des modèles intégrables super-symétriques gl(m|n). Pour le cas gl(1|2) avec certaines conditions aux bords quasi-périodiques, cela nous a permis de caractériser complètement le spectre en termes de solutions d’un système discret d’équations cubiques aux différences finies, ainsi que de façon équivalente par une équation fonctionnelle appelée courbe spectrale quantique. Nous avons ensuite calculé des produits scalaires entre états séparés dans les modèles intégrables de plus haut rang, ce qui détermine la mesure associée aux bases séparées. Pour le modèle gl(3), cette mesure est pseudo-orthogonale et nous l’avons caractérisée complètement. Nous avons aussi proposé une famille de quantités conservées construisant une base et sa duale, toutes deux séparées et orthogonales l’une de l’autre, simplifiant ainsi les produits scalaires entre états séparées. Cela ouvre la voie au calcul des facteurs de forme et des fonctions de corrélation de ces systèmes.
Dans ce mémoire d'habilitation je présente mes travaux recents sur les chaînes de spin quantiques. Les chaînes de spin constituent l'exemple le plus fondamental de modèles intégrables quantiques. Ces modèles ont plusieurs applications directes en théorie de la matière condensée, en physique statistique, en optique quantique, en théorie des champs et même en théorie des cordes mais ils sont aussi très importants car ils donnent une possibilité unique de traiter de manière exacte des phénomènes non perturbatifs inaccessibles par les autres moyens. Dans ce cadre le problème central de la théorie moderne des systèmes intégrables concerne le calcul explicite des fonctions de corrélation et des facteurs de forme et leur analyse asymptotique. La méthode présentée dans ce mémoire est basée sur l'ansatz de Bethe algébrique. Je montre comment cette méthode peut être utilisée pour le calcul des fonctions de corrélation à température nulle de la chaîne de spin 1/2 de Heisenberg. Le point principal de cette approche est la solution du problème inverse quantique obtenue pour la chaîne de spin 1/2 XXZ. Cette solution ainsi qu'une formule simple pour les produits scalaires des états de Bethe nous a permit d'obtenir les fonctions de corrélation les plus fondamentales ("les blocs élémentaires") sous forme d'intégrales multiples. Ces représentations sous forme d'intégrales multiples permettent de faire un analyse asymptotique pour quelques quantités physiques (probabilité de formation du vide) et même, dans certains cas particuliers, de les calculer d'une manière exacte. Il est possible d'obtenir à partir de ces représentations des résultats pour les fonctions à deux points, c'est à dire les fonctions de corrélation les plus importantes pour les applications. Un lien est établi entre ces intégrales multiples et les sommes de facteurs de forme. Ce résultat est généralisé aux fonctions de corrélation dynamiques. Je présente aussi dans ce mémoire les généralisations de cette méthode aux chaînes de spin supérieur à 1/2 et aux chaînes de spin à bords ouverts.
Les facteurs de forme et les fonctions de corrélation déterminent les quantités dynamiques mesurables associées aux modèles de théorie des champs et de mécanique statistique. Dans le cas de modèles intégrables en dimension 2, au-delà des propriétés du spectre ou de la fonction de partition, un des grands défis actuels concerne le calcul exact des facteurs de forme et des fonctions de corrélation.Le but de cette thèse est de développer une approche permettant de résoudre ce problème dans le cadre de la méthode de séparation des variables quantique de Skyanin. Cette méthode généralise au cas quantique et pour des systèmes avec un grand nombre de degrés de liberté la méthode de Hamilton-Jacobi en mécanique analytique. Le Hamiltonien est exprimé avec des opérateurs séparés, son spectre et ses états propres caractérisés par un système d'équations de Baxter résultant des structures algébriques de Yang-Baxter, caractéristiques de l'intégrabilité de ces modèles.Cette thèse a permis, pour les modèles de sine-Gordon (théorie des champs quantique) et de Potts chiral (modèle de physique statistique), le calcul des produits scalaires entre états propres du Hamiltonien, la résolution du problème inverse, i. e. l'expression des opérateurs du modèle en termes des variables séparées, ainsi que le calcul en termes de déterminants des facteurs de forme, i. e. des éléments de matrice des opérateurs locaux du modèle dans la base propre du Hamiltonien, ce qui constitue un pas important vers le calcul des fonctions de corrélation de ces modèles.
Les facteurs de forme et les fonctions de corrélation déterminent les quantités dynamiques mesurables associées aux modèles de théorie des champs et de mécanique statistique. Dans le cas de modèles intégrables en dimension 2, au-delà des propriétés du spectre ou de la fonction de partition, un des grands défis actuels concerne le calcul exact des facteurs de forme et des fonctions de corrélation.Le but de cette thèse est de développer une approche permettant de résoudre ce problème dans le cadre de la méthode de séparation des variables quantique de Skyanin. Cette méthode généralise au cas quantique et pour des systèmes avec un grand nombre de degrés de liberté la méthode de Hamilton-Jacobi en mécanique analytique. Le Hamiltonien est exprimé avec des opérateurs séparés, son spectre et ses états propres caractérisés par un système d'équations de Baxter résultant des structures algébriques de Yang-Baxter, caractéristiques de l'intégrabilité de ces modèles.Cette thèse a permis, pour les modèles de sine-Gordon (théorie des champs quantique) et de Potts chiral (modèle de physique statistique), le calcul des produits scalaires entre états propres du Hamiltonien, la résolution du problème inverse, i. e. l'expression des opérateurs du modèle en termes des variables séparées, ainsi que le calcul en termes de déterminants des facteurs de forme, i. e. des éléments de matrice des opérateurs locaux du modèle dans la base propre du Hamiltonien, ce qui constitue un pas important vers le calcul des fonctions de corrélation de ces modèles.