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Correlation Functions in Integrable Field Theories Related with Statistical Systems

V.A. Fateev

Published Nov 12, 2007• 0 citations
OpenAlex

Abstract

Nous calculons des fonctions de corrélation de champs d'intérêt physique pour des modèles sur réseau sous-critiques en adoptant la méthode des opérateurs de vertex sur réseau et nous montrons que les résultats coïncident avec les expressions dérivées par les méthodes de Théories Conformes perturbées.

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Sur les fonctions de corrélation des théories quantiques intégrables des champs à 1+1 dimensions Les théories quantiques des champs sont des modèles physiques permettant une description pertinente et très précise de nombreux systèmes quantiques lorsque les effets relativistes commencent à entrer en jeu. Les fonctions de corrélation, objets d'intérêt physique majeur car directement mesurables expérimentalement, peuvent y être calculées de façon perturbative par développements formels, du moins dans le cas de théories avec faibles interactions. En revanche, dans une théorie générique en plein régime d'interaction, un calcul explicite et non-perturbatif de ces fonctions reste hors de portée à ce jour. Dans cette thèse, nous nous intéressons à une classe particulière de théories quantiques des champs en 1+1 dimensions et qui sont intégrables. Pour celles-ci, il existe un nombre infini de charges conservées et une algèbre de symétries permettant ainsi, du moins en principe, d'avoir accès à des formules explicites pour toutes les grandeurs d'intérêt du modèle, en particulier les fonctions de corrélation. Afin de pouvoir obtenir ces expressions, les travaux de Karowski-Weisz, Kirillov-Smirnov ainsi que Zamolodchikov-Zamolodchikov, ont permis l'élaboration de l'approche du bootstrap intégrable. Cette méthode, applicable à une théorie quantique des champs 1+1 dimensionnelle et intégrable, prend ses racines dans l'approche historique de la matrice de diffusion (matrice S) proposée par Heisenberg et Wheeler. Elle ouvre la voie au calcul explicite des fonctions de corrélation du modèle à partir de l'expression explicite de la matrice S. Les résultats obtenus jusqu'alors concernent exclusivement les fonctions de corrélation à 2 points. Dans cette thèse, nous obtenons divers types de représentations en terme de séries d'intégrales multiples pour les fonctions de corrélation multipoints du modèle de Sinh-Gordon, qui est le modèle intégrable le plus simple non-trivial de théorie quantique des champs en 1+1 dimensions. Sous l'hypothèse que ces séries d'intégrales multiples convergent, nous avons démontré que celles-ci définissent des distributions tempérées satisfaisant les axiomes de Wightman. Ce résultat connecte donc l'approche du bootstrap intégrable au schéma usuel de la construction rigoureuse d'une théorie quantique des champs. Cette thèse explore aussi l'implémentation du bootstrap intégrable pour certains corrélateurs du modèle de Sine-Gordon. Ce modèle exhibe une structure bien plus complexe en raison de la présence d'états liés, les breathers, et de degrés de liberté ayant des saveurs, les solitons/antisolitons.Pour ce modèle, nous avons pu calculer par la méthode de l'ansatz de Bethe off-shell les expressions explicites pour les facteurs de forme associés aux opérateurs "exponentielle du champ" et à ses variantes ne préservant pas la charge. Nos résultats sont en accord avec diverses conjectures obtenues précédemment par Lukyanov dans le cadre de la quantification angulaire. Nous rappelons ici que les facteurs de formes constituent les briques élémentaires permettant de calculer les fonctions de corrélation.

•Jul 20, 2026•0 citations

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Nous developpons dans cette these diverses methodes de calcul des fonctions de correlation et des facteurs de forme des modeles integrables quantiques basees sur l'ansatz de bethe algebrique. Nous traitons differents modeles integrables sur reseau, en particulier les chaines de spin de heisenberg xy, xxx et xxz, ainsi qu'un modele de bosons fortement correles sur reseau que nous appelons le modele de phase. Dans la premiere partie nous etudions le modele xy qui est le point de fermions libres pour la chaine de spin la plus generale xyz. Pour le calcul des fonctions de correlation sur la chaine finie et dans la limite thermodynamique nous utilisons la technique d'integration sur les variables de grassmann et les etats coherents correspondants. Les fonctions de correlations sont representees comme des determinants de matrices finies pour la chaine finie et comme des determinants de fredholm d'operateurs integraux dans la limite thermodynamique. Dans la deuxieme partie le modele de phase est etudie dans le cadre de l'ansatz de bethe algebrique. Nous calculons les fonctions de correlation a deux points et les facteurs de forme en utilisant la methode d'izergin et korepin. La troisieme partie est consacree aux cas plus generaux des chaines de spin de heisenberg xxx et xxz. Nous utilisons l'operateur de twist introduit initialement dans la theorie des groupes quantiques. Cette approche permet de resoudre le probleme inverse quantique pour la chaine finie et de representer les facteurs de forme pour la chaine finie comme des determinants de matrices finies. Nous montrons que ces representation sont adaptees a la limite thermodynamique et permettent en particulier de prouver la formule de baxter pour la magnetisation spontanee pour la chaine xxz dans le regime massif.

•Jan 1, 1999•0 citations

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Le but de cette thèse est de développer une approche au calcul des fonctions de corrélation des modèles intégrables quantiques sur réseau dans le cadre de la version quantique de la méthode de séparation des variables (SoV). SoV est une méthode puissante applicable à une large classe de modèles quantiques intégrables avec des conditions aux limites variées. Cependant, le calcul des fonctions de corrélation reste dans ce cadre un problème encore largement ouvert. Nous considérons ici plus précisément deux modèles simples solubles par SoV : les chaînes de Heisenberg XXX et XXZ de spins 1/2, avec des conditions aux limites anti-périodiques, ou plus généralement des conditions aux limites quasi-périodiques avec un twist non diagonal. Nous rappelons leurs solutions par SoV, qui présentent des similitudes mais aussi des différences cruciales. Puis nous étudions les produits scalaires d'états séparés, une classe d'états qui contient notamment tous les états propres du modèle. Nous expliquons comment obtenir, pour ces produits scalaires, des représentations sous forme de déterminant utilisables pour l'étude du modèle. Nous expliquons également comment généraliser ces représentations dans le cas des facteurs de forme, c'est-à-dire des éléments matriciels des opérateurs locaux dans la base des états propres. Ces facteurs de forme sont d'un intérêt particulier pour le calcul des corrélations puisque toutes les fonctions de corrélation peuvent être obtenues sous forme de somme sur des facteurs de forme. Enfin, nous considérons des blocs élémentaires plus généraux pour les fonctions de corrélation, et expliquons comment retrouver, dans la limite thermodynamique du modèle, les représentations sous forme d'intégrales multiples précédemment obtenues à partir de l'étude des modèles périodiques par Ansatz de Bethe algébrique.

•Dec 14, 2020•0 citations

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•Jan 1, 2013•3 citations
Sur les fonctions de corrélation des théories quantiques intégrables des champs à 1+1 dimensions Les théories quantiques des champs sont des modèles physiques permettant une description pertinente et très précise de nombreux systèmes quantiques lorsque les effets relativistes commencent à entrer en jeu. Les fonctions de corrélation, objets d'intérêt physique majeur car directement mesurables expérimentalement, peuvent y être calculées de façon perturbative par développements formels, du moins dans le cas de théories avec faibles interactions. En revanche, dans une théorie générique en plein régime d'interaction, un calcul explicite et non-perturbatif de ces fonctions reste hors de portée à ce jour. Dans cette thèse, nous nous intéressons à une classe particulière de théories quantiques des champs en 1+1 dimensions et qui sont intégrables. Pour celles-ci, il existe un nombre infini de charges conservées et une algèbre de symétries permettant ainsi, du moins en principe, d'avoir accès à des formules explicites pour toutes les grandeurs d'intérêt du modèle, en particulier les fonctions de corrélation. Afin de pouvoir obtenir ces expressions, les travaux de Karowski-Weisz, Kirillov-Smirnov ainsi que Zamolodchikov-Zamolodchikov, ont permis l'élaboration de l'approche du bootstrap intégrable. Cette méthode, applicable à une théorie quantique des champs 1+1 dimensionnelle et intégrable, prend ses racines dans l'approche historique de la matrice de diffusion (matrice S) proposée par Heisenberg et Wheeler. Elle ouvre la voie au calcul explicite des fonctions de corrélation du modèle à partir de l'expression explicite de la matrice S. Les résultats obtenus jusqu'alors concernent exclusivement les fonctions de corrélation à 2 points. Dans cette thèse, nous obtenons divers types de représentations en terme de séries d'intégrales multiples pour les fonctions de corrélation multipoints du modèle de Sinh-Gordon, qui est le modèle intégrable le plus simple non-trivial de théorie quantique des champs en 1+1 dimensions. Sous l'hypothèse que ces séries d'intégrales multiples convergent, nous avons démontré que celles-ci définissent des distributions tempérées satisfaisant les axiomes de Wightman. Ce résultat connecte donc l'approche du bootstrap intégrable au schéma usuel de la construction rigoureuse d'une théorie quantique des champs. Cette thèse explore aussi l'implémentation du bootstrap intégrable pour certains corrélateurs du modèle de Sine-Gordon. Ce modèle exhibe une structure bien plus complexe en raison de la présence d'états liés, les breathers, et de degrés de liberté ayant des saveurs, les solitons/antisolitons.Pour ce modèle, nous avons pu calculer par la méthode de l'ansatz de Bethe off-shell les expressions explicites pour les facteurs de forme associés aux opérateurs "exponentielle du champ" et à ses variantes ne préservant pas la charge. Nos résultats sont en accord avec diverses conjectures obtenues précédemment par Lukyanov dans le cadre de la quantification angulaire. Nous rappelons ici que les facteurs de formes constituent les briques élémentaires permettant de calculer les fonctions de corrélation.
Nous developpons dans cette these diverses methodes de calcul des fonctions de correlation et des facteurs de forme des modeles integrables quantiques basees sur l'ansatz de bethe algebrique. Nous traitons differents modeles integrables sur reseau, en particulier les chaines de spin de heisenberg xy, xxx et xxz, ainsi qu'un modele de bosons fortement correles sur reseau que nous appelons le modele de phase. Dans la premiere partie nous etudions le modele xy qui est le point de fermions libres pour la chaine de spin la plus generale xyz. Pour le calcul des fonctions de correlation sur la chaine finie et dans la limite thermodynamique nous utilisons la technique d'integration sur les variables de grassmann et les etats coherents correspondants. Les fonctions de correlations sont representees comme des determinants de matrices finies pour la chaine finie et comme des determinants de fredholm d'operateurs integraux dans la limite thermodynamique. Dans la deuxieme partie le modele de phase est etudie dans le cadre de l'ansatz de bethe algebrique. Nous calculons les fonctions de correlation a deux points et les facteurs de forme en utilisant la methode d'izergin et korepin. La troisieme partie est consacree aux cas plus generaux des chaines de spin de heisenberg xxx et xxz. Nous utilisons l'operateur de twist introduit initialement dans la theorie des groupes quantiques. Cette approche permet de resoudre le probleme inverse quantique pour la chaine finie et de representer les facteurs de forme pour la chaine finie comme des determinants de matrices finies. Nous montrons que ces representation sont adaptees a la limite thermodynamique et permettent en particulier de prouver la formule de baxter pour la magnetisation spontanee pour la chaine xxz dans le regime massif.
Le but de cette thèse est de développer une approche au calcul des fonctions de corrélation des modèles intégrables quantiques sur réseau dans le cadre de la version quantique de la méthode de séparation des variables (SoV). SoV est une méthode puissante applicable à une large classe de modèles quantiques intégrables avec des conditions aux limites variées. Cependant, le calcul des fonctions de corrélation reste dans ce cadre un problème encore largement ouvert. Nous considérons ici plus précisément deux modèles simples solubles par SoV : les chaînes de Heisenberg XXX et XXZ de spins 1/2, avec des conditions aux limites anti-périodiques, ou plus généralement des conditions aux limites quasi-périodiques avec un twist non diagonal. Nous rappelons leurs solutions par SoV, qui présentent des similitudes mais aussi des différences cruciales. Puis nous étudions les produits scalaires d'états séparés, une classe d'états qui contient notamment tous les états propres du modèle. Nous expliquons comment obtenir, pour ces produits scalaires, des représentations sous forme de déterminant utilisables pour l'étude du modèle. Nous expliquons également comment généraliser ces représentations dans le cas des facteurs de forme, c'est-à-dire des éléments matriciels des opérateurs locaux dans la base des états propres. Ces facteurs de forme sont d'un intérêt particulier pour le calcul des corrélations puisque toutes les fonctions de corrélation peuvent être obtenues sous forme de somme sur des facteurs de forme. Enfin, nous considérons des blocs élémentaires plus généraux pour les fonctions de corrélation, et expliquons comment retrouver, dans la limite thermodynamique du modèle, les représentations sous forme d'intégrales multiples précédemment obtenues à partir de l'étude des modèles périodiques par Ansatz de Bethe algébrique.
Les théories des champs conformes logarithmiques (LCFTs) sont cruciales pour décrire le comportement critique de systèmes physiques variés: les transitions de phase dans les systèmes électroniques désordonnés sans interaction (comme par exemple la transition entre plateaux dans l'effet Hall quantique entier), les points critiques désordonnés dans les systèmes statistiques classiques (comme le modèle d'Ising avec liens aléatoires), ou encore les modèles géométriques critiques (comme la percolation ou les marches aléatoires auto-évitantes). Les LCFTs décrivent des théories non unitaires, qui ne seraient probablement pas pertinentes dans le contexte de la physique des particules, mais qui apparaissent naturellement en matière condensée et en physique statistique. Sans cette condition d'unitarité, toute la puissance algébrique qui a fait le succès des théories conformes est fortement compromise à cause de l'indécomposabilité'' de la théorie des représentations sous-jacente. Ceci a pour conséquence de modifier les fonctions de corrélation algébriques par des corrections logarithmiques, et réduit tout espoir de classification à néant. Le but de cette thèse est d'analyser ces théories logarithmiques en étudiant leur régularisation sur réseau, l'idée principale étant que la plupart des difficultés algébriques causées par l'indécomposabilité sont déjà présentes dans des systèmes de taille finie. Notre approche consiste à considérer des modèles statistiques critiques avec matrice de transfert non diagonalisable (ou des chaînes de spins critiques avec Hamiltonien non diagonalisable) et d'analyser leur limite thermodynamique à l'aide de différentes méthodes numériques, algébriques et analytiques. On explique en particulier comment mesurer numériquement les paramètres universels qui caractérisent les représentations indécomposables qui apparaissent à la limite continue. L'analyse détaillée d'une vaste classe de modèles sur réseau nous permet également de conjecturer une classification de toutes les LCFTs chirales pertinentes physiquement, pour lesquelles la seule symétrie est donnée par l'algèbre de Virasoro. Cette approche est aussi partiellement étendue aux théories non chirales, avec une attention particulière portée au problème bien connu de la formulation d'une théorie des champs cohérente qui décrirait la percolation en deux dimensions. On montre que les modèles sur réseaux périodiques ou avec bords peuvent être reliés algébriquement seulement dans le cas des modèles minimaux, impliquant des conséquences intéressantes pour les théories des champs sous-jacentes. Un certain nombre d'applications aux systèmes désordonnés et aux modèles géométriques sont également abordées, avec en particulier une discussion détaillée des observables avec comportement logarithmique au point critique dans le modèle de Potts en dimension arbitraire.