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Vieweg+Teubner eBooks

Quantenmechanik I

Albrecht Lindner

Published Jan 1, 1994• 0 citations
Publisher

Abstract

Von einem Naturgesetz verlangen wir, daß es ohne Ausnahme gelte: Alle Beobachter sollen unter gleichen Bedingungen zum gleichen Ergebnis kommen. Freilich sind „gleiche Bedingungen “ gewöhnlich nur innerhalb von Fehlergrenzen wiederherstellbar: Bei N Wiederholungen streuen die Meßwerte x i in der statistischen Gesamtheit mit einem mittleren Fehler (der Einzelmessung) $$ \Delta x \equiv \sqrt {\overline {{{\left( {x - \bar x} \right)}^2}} } = \sqrt {\overline {{x^2}} - {{\bar x}^2}} $$ um den Mittelwert $$ \bar x \equiv \frac{1}{N}\sum\nolimits_{i = 1}^N {{x_i}} $$ .

DOI
10.1007/978-3-663-01224-5_4

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Quantenmechanik I

Albrecht Lindner

Von einem Naturgesetz verlangen wir, daß es ohne Ausnahme gelte: Alle Beobachter sollen unter gleichen Bedingungen zum gleichen Ergebnis kommen Freilich sind „gleiche Bedingungen“ gewöhnlich nur innerhalb von Fehlergrenzen wiederherstellbar: Bei N Wiederholungen streuen die Meßwerte x i in der statistischen Gesamtheit mit einem mittleren Fehler (der Einzelmessung) $$\Delta x \equiv \sqrt {{\overline {{{{(x - \bar{x})}}^{2}}} }} = \sqrt {{\overline {{{x}^{2}}} - {{{\bar{x}}}^{2}}}}$$ um den Mittelwert $$\bar{x} \equiv \frac{1}{N}\sum\nolimits_{{i = 1}}^{N} {{{x}_{i}}.}$$ . (Entsprechend ist $$\overline {{{x}^{2}}}$$ der Mittelwert der Quadrate der Meßwerte. Diese Begriffe wurden im Kapitel 1.3 ausführlich erläutert.)

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AuszugWir betrachten Ja/Nein-Experimente, bei denen nur die Frage interessiert, ob ein bestimmter Effekt eintritt oder nicht. Beispiele dafür sind der Münzwurf (Frage: „Zahl“?), Geburtenstatistik (Frage: „Knabe“?) oder bei Observablen der Physik die Fragestellung „Wert im Intervall I“? Wir denken uns das Experiment unter gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholbar, wobei das Ergebnis einer Einzelmessung nicht vorhersehbar ist. Der interessierende Effekt trete bei N-maliger Wiederholung кN-mal auf. Dann lehrt die Erfahrung, daß sich die $$ relative H\ddot aufigkeit h_N : = \frac{{k_N }}{N} $$ für wachsendes N auf eine Zahl p ∈ [0,1] einpendelt (Gesetz der großen Zahl). Wir unterstellen im folgenden die Existenz einer solchen Erfolgswahrscheinlichkeit p; dabei stehen p = 1 bzw. p = 0 für die Extremfälle, daß der Effekt mit Sicherheit eintritt bzw. nicht eintritt.

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In den vorangegangenen Kapiteln haben wir fast alle wesentlichen Erscheinungen, die bei Atomen auftreten, bereits besprochen, aber nur für ein einziges Elektron. Es wird sich herausstellen, daß vieles bei Mehrelektronen-Atomen ganz ähnlich ist. Um ein System mit mehreren Elektronen behandeln zu können, müssen wir uns jedoch zuerst mit den eigentümlichen Konsequenzen befassen, die aus den quantenmechanischen Regeln für ein System von gleichen Teilchen folgen. Es ist ja nicht möglich, ein einzelnes Elektron oder ein anderes Teilchen in irgendeiner Weise zu markieren, so daß seine Identität zu einem späteren Zeitpunkt oder an einem anderen Ort festgestellt werden kann. Bei zwei Elektronen, die durch wohldefmierte Wellenpakete beschrieben werden und die weit voneinander entfernt sind, braucht man keine Verwechslung zu befürchten. Innerhalb der Ausdehnung des Wellenpakets, d. h. innerhalb eines Bereiches, in dem die Unschärferelation gilt, ist es jedoch prinzipiell nicht möglich, die Koordinaten eines Teilchens zu verfolgen. Sobald sich daher die beiden Elektronen gleichzeitig in ein Gebiet des Orts-und Impulsraums bewegen, das durch die Unschärferelation umrissen ist, gibt es prinzipiell keine Möglichkeit mehr, die Koordinaten der Teilchen auseinanderzuhalten. Bei allen quantenmechanischen Aussagen müssen wir dem Rechnung tragen. Nach der Grundregel (2.4) sollten wir erwarten, daß die Wahrscheinlichkeitsamplituden für die beiden Teilchen in irgendeiner Weise kohärent addiert werden müssen. Das hat äußerst fundamentale Konsequenzen und führt zu Gesetzmäßigkeiten, die den gesamten Aufbau der Materie beherrschen. Das wird in diesem Kapitel behandelt.

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Von einem Naturgesetz verlangen wir, daß es ohne Ausnahme gelte: Alle Beobachter sollen unter gleichen Bedingungen zum gleichen Ergebnis kommen. Freilich sind „gleiche Bedingungen “ gewöhnlich nur innerhalb von Fehlergrenzen wiederherstellbar: Bei N Wiederholungen streuen die Meßwerte x i in der statistischen Gesamtheit mit einem mittleren Fehler (der Einzelmessung) Δx≡(x−xˉ)2‾=x2‾−xˉ2\Delta x \equiv \sqrt {\overline {{{\left( {x - \bar x} \right)}^2}} } = \sqrt {\overline {{x^2}} - {{\bar x}^2}}Δx≡(x−xˉ)2​​=x2−xˉ2​ um den Mittelwert xˉ≡1N∑i=1Nxi\bar x \equiv \frac{1}{N}\sum\nolimits_{i = 1}^N {{x_i}}xˉ≡N1​∑i=1N​xi​ .
Von einem Naturgesetz verlangen wir, daß es ohne Ausnahme gelte: Alle Beobachter sollen unter gleichen Bedingungen zum gleichen Ergebnis kommen Freilich sind „gleiche Bedingungen“ gewöhnlich nur innerhalb von Fehlergrenzen wiederherstellbar: Bei N Wiederholungen streuen die Meßwerte x i in der statistischen Gesamtheit mit einem mittleren Fehler (der Einzelmessung) Δx≡(x−xˉ)2‾=x2‾−xˉ2\Delta x \equiv \sqrt {{\overline {{{{(x - \bar{x})}}^{2}}} }} = \sqrt {{\overline {{{x}^{2}}} - {{{\bar{x}}}^{2}}}}Δx≡(x−xˉ)2​​=x2−xˉ2​ um den Mittelwert xˉ≡1N∑i=1Nxi.\bar{x} \equiv \frac{1}{N}\sum\nolimits_{{i = 1}}^{N} {{{x}_{i}}.}xˉ≡N1​∑i=1N​xi​. . (Entsprechend ist x2‾\overline {{{x}^{2}}}x2 der Mittelwert der Quadrate der Meßwerte. Diese Begriffe wurden im Kapitel 1.3 ausführlich erläutert.)
AuszugWir betrachten Ja/Nein-Experimente, bei denen nur die Frage interessiert, ob ein bestimmter Effekt eintritt oder nicht. Beispiele dafür sind der Münzwurf (Frage: „Zahl“?), Geburtenstatistik (Frage: „Knabe“?) oder bei Observablen der Physik die Fragestellung „Wert im Intervall I“? Wir denken uns das Experiment unter gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholbar, wobei das Ergebnis einer Einzelmessung nicht vorhersehbar ist. Der interessierende Effekt trete bei N-maliger Wiederholung кN-mal auf. Dann lehrt die Erfahrung, daß sich die relativeHa¨ufigkeithN:=kNN relative H\ddot aufigkeit h_N : = \frac{{k_N }}{N} relativeHa¨ufigkeithN​:=NkN​​ für wachsendes N auf eine Zahl p ∈ [0,1] einpendelt (Gesetz der großen Zahl). Wir unterstellen im folgenden die Existenz einer solchen Erfolgswahrscheinlichkeit p; dabei stehen p = 1 bzw. p = 0 für die Extremfälle, daß der Effekt mit Sicherheit eintritt bzw. nicht eintritt.
In einfachen Beschreibungen des Streuvorganges wird das durchaus einleuchtende Ergebnis dieses Kapitels sofort genannt: Fällt eine ebene Welle exp (ikˉ⋅rˉ) \left( {i\bar k \cdot \bar r} \right) (ikˉ⋅rˉ) (den Zeitfaktor exp (-iwt) läßt man gewöhnlich fort) auf ein Streuzentrum, so überlagert sich der ursprünglichen Welle eine auslaufende Kugelwelle f(θ) exp (ikr)/r, wobei es entscheidend auf die Streuamplitude f(θ) ankommt.
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