Von einem Naturgesetz verlangen wir, daß es ohne Ausnahme gelte: Alle Beobachter sollen unter gleichen Bedingungen zum gleichen Ergebnis kommen Freilich sind „gleiche Bedingungen“ gewöhnlich nur innerhalb von Fehlergrenzen wiederherstellbar: Bei N Wiederholungen streuen die Meßwerte x i in der statistischen Gesamtheit mit einem mittleren Fehler (der Einzelmessung) $$\Delta x \equiv \sqrt {{\overline {{{{(x - \bar{x})}}^{2}}} }} = \sqrt {{\overline {{{x}^{2}}} - {{{\bar{x}}}^{2}}}}$$ um den Mittelwert $$\bar{x} \equiv \frac{1}{N}\sum\nolimits_{{i = 1}}^{N} {{{x}_{i}}.}$$ . (Entsprechend ist $$\overline {{{x}^{2}}}$$ der Mittelwert der Quadrate der Meßwerte. Diese Begriffe wurden im Kapitel 1.3 ausführlich erläutert.)
Von einem Naturgesetz verlangen wir, daß es ohne Ausnahme gelte: Alle Beobachter sollen unter gleichen Bedingungen zum gleichen Ergebnis kommen Freilich sind „gleiche Bedingungen“ gewöhnlich nur innerhalb von Fehlergrenzen wiederherstellbar: Bei N Wiederholungen streuen die Meßwerte x i in der statistischen Gesamtheit mit einem mittleren Fehler (der Einzelmessung) Δx≡(x−xˉ)2=x2−xˉ2 um den Mittelwert xˉ≡N1∑i=1Nxi. . (Entsprechend ist x2 der Mittelwert der Quadrate der Meßwerte. Diese Begriffe wurden im Kapitel 1.3 ausführlich erläutert.)
Von einem Naturgesetz verlangen wir, daß es ohne Ausnahme gelte: Alle Beobachter sollen unter gleichen Bedingungen zum gleichen Ergebnis kommen. Freilich sind „gleiche Bedingungen “ gewöhnlich nur innerhalb von Fehlergrenzen wiederherstellbar: Bei N Wiederholungen streuen die Meßwerte x i in der statistischen Gesamtheit mit einem mittleren Fehler (der Einzelmessung) Δx≡(x−xˉ)2=x2−xˉ2 um den Mittelwert xˉ≡N1∑i=1Nxi .
AuszugWir betrachten Ja/Nein-Experimente, bei denen nur die Frage interessiert, ob ein bestimmter Effekt eintritt oder nicht. Beispiele dafür sind der Münzwurf (Frage: „Zahl“?), Geburtenstatistik (Frage: „Knabe“?) oder bei Observablen der Physik die Fragestellung „Wert im Intervall I“? Wir denken uns das Experiment unter gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholbar, wobei das Ergebnis einer Einzelmessung nicht vorhersehbar ist. Der interessierende Effekt trete bei N-maliger Wiederholung кN-mal auf. Dann lehrt die Erfahrung, daß sich die relativeHa¨ufigkeithN:=NkN für wachsendes N auf eine Zahl p ∈ [0,1] einpendelt (Gesetz der großen Zahl). Wir unterstellen im folgenden die Existenz einer solchen Erfolgswahrscheinlichkeit p; dabei stehen p = 1 bzw. p = 0 für die Extremfälle, daß der Effekt mit Sicherheit eintritt bzw. nicht eintritt.
ZusammenfassungDie Quantenmechanik in ihrer ursprünglichen, von Heisenberg begründeten Matrizenform war ausschließlich zur Behandlung abgeschlossener, periodischer Systeme geeignet. Sie beschrieb mögliche Zustände und Obergänge, sie erlaubte die Energieniveaus zu berechnen sowie die Schwingungen der „virtuellen Resonatoren“, die den Quantensprüngen zugeordnet sind; aber sie konnte nicht vorhersagen, wie sich ein System unter bestimmten äußeren Bedingungen verhalten würde. Bald aber zeigte es sich, daß auf Grund der Matrizenmechanik wenigstens statistische Aussagen über das Verhalten eines Systems möglich sind, wenn dieses locker mit einem anderen System gekoppelt ist. Dann ist seine Energie nicht konstant, ihre Matrix hat nicht nur Diagonalelemente; aber ihr Mittelwert ist eine Diagonalmatrix und das Element, das die mittlere Energie im n=ten Zustande unter der Wirkung der Störung bedeutet, läßt sich auffassen als das Resultat von Quantensprüngen zwischen dem n=ten Zustande und allen andern Zuständen des ungestörten Systems, wobei jedem Sprunge eine aus der Koppelung berechenbare Übergangswahrscheinlichkeit zukommt. Dagegen läßt sich nichts über den Zeitpunkt eines Quantensprunges aussagen. Die Weiterentwicklung der Quantenmechanik hat ihren statistischen Charakter immer deutlicher zum Vorschein gebracht, besonders als es gelang, aperiodische Vorgänge der Behandlung zu unterwerfen. Von den
Wir ziehen ein System in Betracht, das aus einer sehr großen Anzahl gleicher Teilchen besteht, wie dies z. B. bei einem homogenen Gas der Fall ist, und wollen dieses System zunächst auf Grund der im Kapitel II ausgearbeiteten allgemeinen quantenmechanischen Theorie behandeln. Die Voraussetzungen für das folgende sind, daß die Teilchen vollkommen gleich, also voneinander nicht unterscheidbar sind, weiterhin daß die Wechselwirkung zwischen den Teilchen klein ist und vernachlässigt werden kann. Der Zustand des Gesamtsystems läßt sich dann durch den Zustand der einzelnen Teilchen beschreiben. Die Eigenfunktionen mit Berücksichtigung des Spins und die entsprechenden Energieeigenwerte der Einteilchenzustände bezeichnen wir mit φ k 1 , φ k 2 ,…bzw. E k 1 , E k 2 … ]] <![CDATA[φk1,φk2,…bzw.Ek1,Ek2… die Anzahl der Teilchen sei N. Wie wir im § 9 gesehen haben, gehören zum Energieeigenwert E k = E k 1 + E k 2 +…+ E k N ]] <![CDATA[Ek=Ek1+Ek2+…+EkN des Gesamtsystems die folgenden Eigenfunktionen x k ( i )= φ k 1 ( i 1 ) φ k 2 ( i 2 )… φ k N ( i N ) ]] <![CDATA[xk(i)=φk1(i1)φk2(i2)…φkN(iN) des Gesamtsystems, wo i 1, i 2,..., i N eine Permutation (i) der Zahlen 1, 2,..., N bedeutet. Die Anzahl der voneinander linear unabhängigen Eigenfunktionen x k (i) beträgt, falls die Einteilcheneigenfunktionen φ k i ]] <![CDATA[φki alle voneinander verschieden sind, N!; falls sich unter den φ k i ]] <![CDATA[φki auch gleiche befinden, so wird ihre Anzahl reduziert, denn es sind dann diejenigen Permutationen, welche nur die Argumente gleicher φ k i ]] <![CDATA[φki vertauschen, unwirksam und daher auszuschließen.
Unsere bisherigen, recht ausführlichen Betrachtungen zur Statistischen Physik waren rein klassischer Natur. Natürlich würde es uns nicht schwerfallen, Grenzen ihrer Gültigkeit aufzudecken, d.h. Widersprüche zum Experiment aufzuspüren, so wie es uns ja auch mit der Klassischen Mechanik ergangen ist. Letztlich benötigt die korrekte Naturbeschreibung natürlich die übergeordnete Quantenmechanik. Wir werden also die Klassische Statistische Physik des ersten Kapitels auf eine Quantenstatistik umzuschreiben haben. Dabei wird sich herausstellen, daß die grundlegenden Konzepte der Statistik dieselben bleiben, daß sie allerdings auch mit einigen typisch quantenmechanischen Aspekten zu kombinieren sind. Erinnern wir uns noch einmal: Klassisch gelingt die vollständige Beschreibung eines physikalischen Systems durch Angabe der Phase π = (q, p), die sich den Hamiltonschen Bewegungsgleichungen (1.13) entsprechend zeitabhängig im Phasenraum ändert und damit die Phasentrajektorie des Systems definiert. Statistische Methoden werden notwendig bei unvollständiger Information über die zur Lösung der Bewegungsgleichungen unverzichtbaren Anfangsbedingungen, was für makroskopische Systeme der Regelfall ist.
Abstract Von den Anfängen der Quantenmechanik bis heute gibt es Versuche, sie als statistische Theorie über Ensembles individueller ‚klassischer’︁ Systeme zu interpretieren. Die Bedingungen, unter denen Theorien verborgener Parameter zu deterministischen Beschreibungen dieser individuellen Systeme als ‚klassisch’︁ angesehen werden können, wurden von Einstein, Podolsky und Rosen 1935 formuliert: 1. Physikalische Systeme sind im Prinzip separierbar. 2. Zu jeder physikalischen Größe, deren Wert man ohne Störung des betrachteten Systems mit Sicherheit voraussagen kann, existiert ein ihr entsprechendes Element der physikalischen Realität. Zusammen sind sie, wie Bell 1964 gezeigt hat, prinzipiell unverträglich mit der Quantenmechanik und unhaltbar angesichts neuerer Experimente. Diese erweisen einmal mehr die Quantenmechanik als richtige Theorie. Um ihre Ergebnisse zu verstehen, müssen wir entweder die in der klassischen Physik als selbstverständlich angesehene Annahme der Separierbarkeit physikalischer Systeme aufgeben oder unseren Begriff der physikalischen Realität revidieren. Eine Untersuchung des Begriffs der Separabilität und einige Überlegungen zum Problem der Messung von Observablen zeigen, daß eine Änderung des Begriffs der physikalischen Realität unumgänglich ist. Der revidierte Realitätsbegriff sollte mit klassischer Physik und Quantenmechanik verträglich sein, um ein einheitliches Weltbild zu ermöglichen.