W r & la relación de dispersión cliadrática fi'k'.2ni común, donde m es la masa del 1 ..-"_I -. , b&n, Generalizamos aún más estudiando un espectro de energías que corresponde a un conjurito infinito de alambres con una separación c entre alambres adyacentes para así modelar a 10s superconductores OrgániCC-metálicos casi-unidimensionales..Finalmente, con:;ideramos un modelo estadíst,ico simple de una mezcla d,e fei.mi-Ones no apareados junto con pares de Cooper bosónicos que satisfacen una relaci6n cli dispersión lineal, que permite una condensación de Bcse-Einstein (BE) en dir;:eilsionc< *lavores que la unidad, en vez de d > ' 2 como ocurre en el caso donde la relación de dispeisión es cuadrática.Usando el modelo de interacción de Bardeen-Cooper-Schrieffer (BcS), calculamos la T, de una BEC para la mezcla y encontramos que es mayor que la T, calculada con la teoría estadística familiar BCS.Calcularnos también T, considerando densidades de estado (DOS, por Sus Siglas en inglés), que reflejan la estructura de bandas electrónicas de 16s planos de cobre-oxígeno características de los cupratos superconductores.Las DOS consideradas aquí son la del escenario de Van Hove, que contiene una singularidad logarítmica, y la DOS con una singularidad de potencia asociada con un punto silla extendido (extended saddle point) en la curva de energía us.momento.'Ina teoría microscópica predictiva (:.uE exp1iq:ie el fenómeno de la superconductividad.' .* ' .%1' 1 mhiero de onda de Fermi; en este cas.], la ecuación (2.13) se puede escribir como ' .i)lidiInos suponer.En la gráfica inferior derecha se muestran los valores de ' I :"ir~i '. * j'' 'Pif'dades de coherencia en 3D.h l f C J V 0 e t al. 1631 hacen una revisión ' ' -L-'s 'le diluidos atrapados, Grether et al. [67) consideran gases de -' j = +l.De esta forma encontramos de (3.30) qiie :y.
W r & la relación de dispersión cliadrática fi'k'.2ni común, donde m es la masa del 1 ..-"_I -. , b&n, Generalizamos aún más estudiando un espectro de energías que corresponde a un conjurito infinito de alambres con una separación c entre alambres adyacentes para así modelar a 10s superconductores OrgániCC-metálicos casi-unidimensionales..Finalmente, con:;ideramos un modelo estadíst,ico simple de una mezcla d,e fei.mi-Ones no apareados junto con pares de Cooper bosónicos que satisfacen una relaci6n cli dispersión lineal, que permite una condensación de Bcse-Einstein (BE) en dir;:eilsionc< lavores que la unidad, en vez de d > ' 2 como ocurre en el caso donde la relación de dispeisión es cuadrática.Usando el modelo de interacción de Bardeen-Cooper-Schrieffer (BcS), calculamos la T, de una BEC para la mezcla y encontramos que es mayor que la T, calculada con la teoría estadística familiar BCS.Calcularnos también T, considerando densidades de estado (DOS, por Sus Siglas en inglés), que reflejan la estructura de bandas electrónicas de 16s planos de cobre-oxígeno características de los cupratos superconductores.Las DOS consideradas aquí son la del escenario de Van Hove, que contiene una singularidad logarítmica, y la DOS con una singularidad de potencia asociada con un punto silla extendido (extended saddle point) en la curva de energía us.momento.'Ina teoría microscópica predictiva (:.uE exp1iq:ie el fenómeno de la superconductividad.' . ' .%1' 1 mhiero de onda de Fermi; en este cas.], la ecuación (2.13) se puede escribir como ' .i)lidiInos suponer.En la gráfica inferior derecha se muestran los valores de ' I :"ir~i '. * j'' 'Pif'dades de coherencia en 3D.h l f C J V 0 e t al. 1631 hacen una revisión ' ' -L-'s 'le diluidos atrapados, Grether et al. [67) consideran gases de -' j = +l.De esta forma encontramos de (3.30) qiie :y.
Se aborda el problema de los electrones correlacionados en las proximidades de singularidades de Van Hove. Esta cuestion es revelante para ayudar a comprender las propiedades fisicas de los superconductores de alta temperatura. Se ha elegido el modelo Hubbard t-t?para centrar todas las discusiones y calculos que se han realizado. El modelo de Hubbard t-t?, ademas de contener todos los elementos esenciales para discutir este problema, tiene el interes adicional de que reproduce otras propiedades generales de los oxidos de cobre. Se deduce un modelo efectivo renormalizable para los electrones cercanos a una singularidad de Van Hove y se obtiene el diagrama de fases del modelo repulsivo en funcion de U y t?al llenado de la singularidad con tecnicas de grupo de renormalizacion. Se determina el estado fundamental del modelo de Hubbard t-t?en la red 4x4 en funcion de U y t?por el metodo de la diagonalizacion exacta. Tambien se calcula el valor medio del operador numero en espacio de momentos para el estado fundamental y se comprueba el llenado de los puntos de silla en el regimen de acoplo fuerte. Se deduce un modelo efectivo renormalizable con interrelaciones extendidas y se analiza el efecto de estas interrelaciones en el diagrama del modelo de Hubbard reclusivo. Por ultimo se establece un diagrama de fases del modelo de Hubbard t-t?con U menor que 0. Se incluye apendice con el origen y la descripcion del modelo de Hubbard. Tambien se incluye bibliografia.
I. 3.4.1.Unidades At'Ómic2q 1.3.5.Aplicaciones de la Ecuación de Onda.Átorno de en el desxrollo de la física teórica.it;í c'omo en la descripción de l a serie espectral de Balmer o en el modelo atómico de Bohr Para su resolución, se considera al átomo como un sistema de dos pa-tículai;; interactuantes.con masas m l y 7n2.Donde l a energía potencial del sistema es I' = -2 e 2 / r ..\qui r es la distancia núcleo-electrón Z es el n h e r o atómico.L a ecuación en coordenadas carte5ianas se expresa ~01110:En donde el potencial es: [3.IS) (3.16) I. 3.5.1.Solnción de (q jLas soluciones de l a s diferentes @,n(oj.se cspresan como:(3.17a) (3.171 !I; 1.3.5.2.Solución de @17,(0) Las ecuaciones que satisfacen esta función son conocida?como funciones o polinomios asociados de Legendre 4 m (cos O) [2], donde 1 es el nimero cu6ntico azimut~al ,v m es el nmgni.tico.El polinomio puede normalizarse >' adquiere l a siguiente forma (3.1 S) 1.3.5.3.Solución de &(rj .(3.19) La matriz de segundo orden se puede expresar en f:loriou de los orbitales naturale:+ de espín.l a expresión de un determinante de Slater r 1 = -~{ ~/ J : \ .; ¡ l ' l l ( 2 !?; ( 2 / -{ < t i i L 1 q k ( L k ; ( l / ?} I : ; .\ : . .>:. kl Con l a matriz de segundo orden se pueden obtemr Fropiedades de dos electrones.en un esquema de Hartree-Fock, como la energía potencial.también se puede obteser la OD11 operador de una partícula.y de elIa se pueden determinar propiedades EOnoelectrónicas como la energía cinética.Como se observa en la Ec. (3.75).1.3.7.3.Matrices Densidad Libres de Espín XLuchos operadores en la mecáuica cuántica no involucran coordenadas de espin.como el hamiltoniano de la Ec. (3.7.5j, lo que pernlitirá reducir las matrices de ias Ecs.(3.67.3.68, 3.69) a partir de la ODM.Se definen las matrices densidad reducidas de espin de primer y segundo orden como [38].La matriz densidad reducida densidad de c a r p se expresan en de espin y por lo tanto la densidad ,:-ctrbnicit o función de fa ODM y del mismo r ~: en funcicjn ,le los orbitales zaturales de espín (_\S@!.Ec ( 3 .3 ) .p ( r : r' 1 k La densidad electrónica en función de los orbitales naturales es donde .nkson los números de ocupación de los orbitales naturales & en el intervalo de 1.3.7.4 Representación en el Espacio de Momentos El principio de incertidumbre nos indica que es imposible determinar con precisión en un sistema cuántico al mismo tiempo la posición y el momento.Las primeras aplicaciones del concepto de espacio fase a la mecánica cuzintica hicieron uso de las funciones de \%-igner y Husimi [do].Estas funciones dan información contenida en l a matriz densidad de en un sistema.El estado cte a n sistema nlec~nico-L.u,i:;icvest& descrito pc)r 1 .m elen?ento X.rf, definido en un espacio de Hilbert.En cuzlquier representación específica de este espacio.es reer:;Fii--tzado por una c:oordenada er! particular.Las coordenadas o reT1r-t~secraciones de la-partículas nxis cornunes e11 ia mecinica cuántict son la ysi(::Gu \el momento.€1 estado descrito por el elenlento J( bra; se define C O I ~~ un espacio dud.Estas matrices están conectadas ;>\ir l m a tranifornlada clr Fourier.pero no e x i ~~e una relacicjn maten-:.Atica rigurosa y directa entre p(Fi y su contraparte en el e:--\PC.. ':o de momentos (6) :, 1. Las ODYI son equivalentes por la Ec. (i3.90 y contienen la misma informacidn ',el +:enla.pero a(@! contiene informacicin de los r:3n?entos fuera de !a diagonal ' ; ; , A OD\! en la representación de posici6n J-ofrrect.ccc:xnuciones no locales de la tJ! i, '\I desde la perspectiva espacial.-~ ., 1.3.8.Teoría de la Información El problema de reconstruir una función a parrir de un conjunto finito de datos es común en diversos problemas.Usualmente el conjunto finito de datos no es suficiente únicamente para determinar la función!y algca Tipo de función debe ser elegida del conjunto de todas las fuociones que tienen los datos correct,os.Se debe entender por mejor función a aquella que sea tan cercana c o x 0 sea posible.a la función original que generó los datos [13-47].En 1948, Claude Shannon [48j introdujo una nueva vía probabilística para considerar la comunicación y crear simultáneamente l a primera teoría maternática r!r la entropía.motivado por el problema de la tIransrriisi6n deficiente en una comunic~ión ruidosa en un canal.Sus ideas fueron aplicadas rGp:damente.J-se crearon dos gri-.:dei:líneas de investigación: 'ia teoría de la inforn:,ic:ox que elnplea l a probabilidnc'.,I:'(.estudiar las características estadísticas de lcs i-a: x y sistemas de comunicac:,.:l.x+la teoría de codificación.la cual usa princip&n:ez-e el iilgebra S la seometn',t.-;<irc\ proporcionar códigos pitra diversas situaciorie-s., . . .Shcinnon propuso algunos axiomas para la incerriduzhre e11 una transmisión de infamación.Estos axiomas se basan c, n la suposición de tener un conjunto de posibles eventos cuyas probabilidades son p 7;). . . . .pn. los criterios establecidos permiten medir la aparición de un evento.h a medida Hip:.p;. . .p1 ) requiere de que se cu11:pldn ciertas condiciones.e H debe ser continua en pi o Si I a s probabilidades pi son iguales, entonces p2 = 1 ; 12. y H debe ser una función monótona y creciente.Para event,os igualmente probables hay mas elección.o incertidumbre cuando hay miis posibles evenios e Si una elección se dit-ide en dos sucesit-as elecciones, el valor original de H debe ser la suma promediada de los valores individuales de H Shannon [48] estableció el siguiente Teorema : L,a ~n i c a f u n c i ó n H que satlsfuce las tres condiciones anteriores tiene la forma, 1".Esti función H = -C ( y i ) ¿ o g ( p i ) (la h' indica la cantidad de elección de una unidad de medida).juega un papel cent,ral en l a riledida de la información.elección e ir?cer-idumbre.y su forma se asocia al de la en-ropía de !a xeclinica estadística ;-!!I Esta h c i ó n H se puede utilizar para.Ln entropía para u n conjunto discreto de probitbiiidades ?l. ., p T 2 .ha sido detiuicia ec la Ec. (3.91).De una manera análoga Shannon definid la entropía de una disrribución continua con la función de distrihuci6n i S !CORN -481: . .Después de la teoría propuest,a por Shamon.6: se ha utilizado en una gran variedad de aplicaciones, entre ellas en la r~constr1,:I :. .I y análisis de informaci6n.Se ha aplicado rambii.nen los G i ~i m o s años en ei ?studio de fencimenos físicos ,y químic0.sLas probabilidades de la densidad de !it, mtropías de Shannon.se vbtierlrn C?P las funciones de onda en la representacicin de posiciolles (II 1 :-;.(,Ec.:3.%l 1.de la función de onda en lit de momentos @ I :. . . .~ y, (Ec. 3 .$S;.Las ent ropi~.. (ic, Shannon normalizadas al número de electrones se expresan como: (3.94) Gadre J-colaboradores -51; . .han utilizado ia suma de las entropías como una cantidad para evaluar la calidad de las bases, ya que con esta cantidad se consideran ambos espacios complementarios \k (rl: . . ., r,) y @'jpl. . . .p,), y esto se debe a que una cant,idad es mínima cuando la otra se masimiza.Esta suma de entropías se expresa COIllO Esta suma de entropias Sr [52:.proveé u x t medida balanceada de la incert,idun?breen sisema.tornando e3 cuenta las conliiciones de fronrzra de la distrihucidn ec aml~os espacios.
Hemos desarrollado (en colaboraci´on con numerosos colegas y estudiantes de Argentina,Brasil, Espa~na, Estados Unidos, Rusia y Sud´africa) una nueva teor´ıa estad´ıstica desuperconductores que constituye un modelo microsc´opico, es decir, que parte de un hamiltonianodin´amico definido, y que es de car´acter muy general. Recientemente logramos unificarlas teor´ıas estad´ısticas de Bardeen-Cooper-Schrieffer (BCS) y la teor´ıa de la condensaci´onde Bose-Einstein (BEC, por sus siglas en ingl´es). La teor´ıa BCS, sin embargo, es incapazde describir correctamente los superconductores modernos, y mucho menos predecir nuevossuperconductores. La unificaci´on lograda se obtiene a trav´es de un modelo “completo” bos´onfermi´on en el que - a diferencia de los tratamientos comunes - no se desprecian los paresde Cooper de agujeros en la BEC, sino que forman parte integral del propio formalismo. Unmodelo bos´on-fermi´on representa un gas binario de fermiones (e.g., los electrones portadoresde carga) y de bosones (e.g., los pares de electrones llamados de Cooper). El nuevo modelocontiene como casos particulares todas las teor´ıas estad´ısticas continuas de la superconductividaden sistemas de muchos electrones, incluyendo las de BCS y de la BEC. Los paresde Cooper por definici´on se trasladan dentro del mar de Fermi del material. Como resultadospr´acticos de la unificaci´on se tiene que el nuevo modelo: a) reproduce las temperaturascr´ıticas Tc de todos los superconductores conocidos sin abandonar la din´amica convencionalelectr´on-fon´on; b) sugiere que aquellos superconductores con portadores tipo agujero en suestado normal tendr´an Tc’s sistem´aticamente m´as altas, como se verifica emp´ıricamente;y c) predice la posibilidad de superconductores a temperatura ambiente pero ´unicamente v´ıacondensados tipo BE de agujeros.
En esta tesis estudiamos dos temas relacionados con la informacion cuantica y la topologia: los superconductores topologicos y la correccion cuantica topologica de errores.
Los superconductores topologicos han sido ampliamente estudiados, hecho parcialmente motivado por la busqueda de fermiones de Majorana en sistemas de materia condensada. Estas cuasiparticulas son anyones no abelianos y se pueden utilizar para el procesamiento de informacion cuantica. Recientemente se han presentado varias propuestas y experimentos en los que se obtienen superconductores topologicos mediante la construccion de heteroestructuras. Dichas heteroestructuras generalmente consisten en un superconductor de onda s acoplado a un semiconductor. En la primera publicacion exploramos la posibilidad de disenar un superconductor topologico utilizando un superconductor padre de onda d acoplado a un gas de electrones bidimensional con interaccion de espin-orbita y un campo Zeeman. Hallamos una expresion analitica de los estados de Majorana y comparamos estos resultados con los obtenidos cuando se usa un superconductor de onda s convencional. Observamos que, a pesar de la dependencia angular del acoplo de onda d, la localizacion de los fermiones de Majorana es muy similar para el mismo valor de la constante de acoplo superconductora. Puesto que los superconductores de onda d corresponden en general a superconductores de alta temperatura y, por consiguiente, con un valor mucho mayor para el acoplo superconductor, podemos esperar una localizacion mas pronunciada para este tipo de configuraciones. Ademas, empleamos un invariante topologico que muestra la naturaleza topologica del superconductor y verificamos la robustez de los modos de energia cero frente el ruido estatico. La segunda publicacion investiga otras interacciones superconductoras mas exoticas: acoplamientos sin nodos compatibles con la simetria de un cristal tetragonal. Calculamos el diagrama de fases topologicas en presencia de un campo Zeeman y acoplamiento espin-orbita. Asimismo, analizamos en detalle los altos numeros de Chern obtenidos, los modos de borde masivo y los modos de energia cero.
La correccion cuantica de errores es una elemento esencial en la consecucion ordenadores cuanticos tolerantes a fallos. Los codigos topologicos de correccion cuantica de errores se destacan como uno de los candidatos mas eficientes y prometedores para lograr este ultimo fin. La tercera publicacion utiliza la conexion entre los ordenes topologicos y los codigos topologicos de correccion de errores para definir un nuevo codigo topologico, basado en el modelo del doble semion. Usamos una version modificada de los operadores de plaqueta del modelo del doble semion para construir los operadores de cadena y los operadores logicos necesarios para una memoria cuantica. El codigo resultante se ajusta al formalismo del estabilizador, pero no es un codigo formado por operadores de Pauli ni CSS. En la cuarta publicacion exploramos mas a fondo el codigo desarrollado en la tercera publicacion y obtenemos el umbral de error para dos tipos de ruido: el ruido independiente de inversion de bits y fases, y el ruido de despolarizacion. Si bien esta tarea generalmente se aborda realizando un mapeo a un modelo mecanico estadistico, la estructura de los operadores de plaquetas hace que este sea demasiado complejo. En su lugar, aprovechamos el rendimiento casi optimo de algunos decodificadores neuronales para calcular los valores de umbral. Tambien hacemos una comparacion con el codigo torico de Kitaev y constatamos la presencia de algunas diferencias como consecuencia de que el codigo semionico no esta compuesto unicamente de operadores de Pauli. Por ultimo, comparamos el rendimiento de perceptrones multicapa y redes neuronales convolucionales para la tarea de decodificacion, encontrando que las segundas son mas apropiadas para efectuar esta tarea.
En esta Tesis estudiamos el proceso de transición cuántico-clásica en teoría de campos. Extendiendoel formalismo de la funcional de influencia de Feynman y Vernon, estudiamos el procesode pérdida de coherencia para campos autointeractuantes en espacios planos y para modelos degravedad cuántica. En primer lugar, después de destacar los principales resultados para una partícula Brownianacuántica acoplada a un entorno de osciladores armónicos, consideramos una teoría de campos conautointeracción en el espacio de Minkowski. Calculamos una acción efectiva de granulado gruesointegrando los modos del campos cuyas longitudes de onda sean menores que cierta longitud crítica. A partir de esta acción efectiva obtenemos la ecuación de evolución para la matriz densidadreducida. Calculamos los coeficientes de difusión de esta ecuación y analizamos el proceso depérdida de coherencia para las longitudes de onda mayores que la crítica. Luego, con el objetode analizar la formación de estructuras en modelos inflacionarios, generalizamos los resultadosa campos acoplados conformemente a la métrica de de Sitter. Mostramos que la pérdida decoherencia es efectiva si la longitud de onda crítica es mayor que el radio de Hubble. Por otro lado, estudiamos el límite clásico en modelos de gravedad escalar-tensorial en dosdimensiones. Analizamos diferentes acoplamientos entre el campo dilatónico y el campo de materia. Discutimos el proceso de radiación de Hawking en los distintos modelos. A partir de uncálculo exacto de la funcional de influencia, estudiamos las condiciones bajo las cuales es posibleque la pérdida de coherencia sea efectiva en métricas cosmológicas para asegurar la validez de laaproximación semiclásica. Finalmente estudiamos modelos en cuatro dimensiones donde campos masivos se acoplan ala geometria del espacio-tiempo de manera arbitraria. Calculamos las ecuaciones de Einstein-Langevinpara estudiar el efecto de las fluctuaciones cuánticas inducidas por los campos de materiasobre la geometría clásica.
Los corrales cuánticos presentan propiedades interesantes debido a la interesante \ncombinación de confinamiento y focalización algunas de las cuales fueron observadas experimentalmente. Estudiamos el comportamiento estático y dinámico de estos sistemas. \nEn primer lugar analizamos el caso del corral cuántico no interactuante (sin impurezas), y con parámetros realistas obtuvimos los autoestados la elipse con el modelo de pared dura. Posteriormente estudiamos el sistema en presencia de dos impurezas de Kondo de espín S = 1/2 localizadas en los focos de la elipse. Éstas interactúan con los electrones itinerantes en la elipse vía un término de superintercambio J. Diagonalizamos este sistema numéricamente y estudiamos propiedades tales como correlación de espín y correlaciones dinámicas. Encontramos que, para valores de J chicos comparado con el ancho de banda, \nlos espines están en un estado singlete para número par de electrones en la elipse o triplete para número impar (régimen RKKY). En ese límite es posible describir el comportamiento a bajas energías con un hamiltoniano efectivo entre las impurezas. Para valores grandes de J más estados electrónicos están involucrados y los espines se descorrelacionan formando un estado de Kondo local con los electrones itinerantes. Estudiamos algunas magnitudes de la teoría de la información cuántica que es una herramienta alternativa para el análisis de sistemas cuánticos. Calculamos la entropía de von Neumann para diversas particiones del \nsistema y caracterizamos el cambio de régimen de RKKY al de Kondo ante el incremento de J, de acuerdo a los resultados obtenidos con el cálculo de funciones de correlaciones estáticas y dinámicas. \nAdicionalmente consideramos fluctuaciones de carga en los estados de las impurezas y analizamos propiedades estáticas y dinámicas en función de los parámetros relevantes del sistema. El modelo estudiado consiste de dos impurezas de Anderson localizadas en los focos e hibridizadas con magnitud V a los electrones en la elipse. Con el estudio de la correlación de espín entre las impurezas, y entre una impureza y los electrones en un mismo foco, caracterizamos los regímenes RKKY y Kondo. Esto está de acuerdo con los resultados obtenidos con la densidad de estados electrónica calculada usando un modelo más realista que incluye la hibridización con estados del continuo. \nEncontramos una relación entre el entrelazamiento entre las impurezas de espín y \nobservables físicos del sistema. Con ésto obtuvimos el diagrama de fases de entrelazamiento entre las impurezas para llenado par e impar, que presenta regiones en las que están entrelazadas y otras de estados separables.Mostramos resultados numéricos que sustentan las relaciones encontradas. \nComo aplicación adicional de los conceptos de información cuántica al estudio de las propiedades físicas de sistemas correlacionados, analizamos una cadena de espín S = 1 con condiciones de contorno abiertas y con interacción a primeros vecinos bilineal y bicuadrática (β). En particular estudiamos los modelos de Heisenberg (β = 0) y AKLT (β = 1/3). Realizamos diversos estudios en sistemas bipartitos puros y mixtos. Para caracterizar el entrelazamiento en un sistema bipartito puro usamos la entropía de von Neumann, en cambio para un sistema bipartito mixto, usamos la negatividad. Estos estudios nos permitieron estudiar las excitaciones de espín 1/2 localizadas en los bordes de la cadena [87, 88]. \nUn resultado interesante aparece cuando analizamos el entrelazamiento entre dos \npartes del sistema; que es máximo entre los extremos de la cadena y disminuye hacia el centro, reflejando el carácter fraccionario y la localización de las excitaciones de espín del modelo, que han sido observadas experimentalmente. \nEn conclusión, usando tanto técnicas tradicionales (correlaciones estáticas y dinámicas) como novedosas (información cuántica) para el estudio de sistemas interactuantes, investigamos el comportamiento de algunos sistemas nanoscópicos paradigmáticos. Para ésto utilizamos técnicas tanto analíticas como numéricas de actualidad. Esperamos que los resultados obtenidos en esta tesis sean útiles para una mejor comprensión de estos sistemas, así como para posibles aplicaciones nanotecnológicas. \n