I. 3.4.1.Unidades At'Ómic2q 1.3.5.Aplicaciones de la Ecuación de Onda.Átorno de en el desxrollo de la física teórica.it;í c'omo en la descripción de l a serie espectral de Balmer o en el modelo atómico de Bohr Para su resolución, se considera al átomo como un sistema de dos pa-tículai;; interactuantes.con masas m l y 7n2.Donde l a energía potencial del sistema es I' = -2 e 2 / r ..\qui r es la distancia núcleo-electrón Z es el n h e r o atómico.L a ecuación en coordenadas carte5ianas se expresa ~01110:En donde el potencial es: [3.IS) (3.16) I. 3.5.1.Solnción de (q jLas soluciones de l a s diferentes @,n(oj.se cspresan como:(3.17a) (3.171 !I; 1.3.5.2.Solución de @17,(0) Las ecuaciones que satisfacen esta función son conocida?como funciones o polinomios asociados de Legendre 4 m (cos O) [2], donde 1 es el nimero cu6ntico azimut~al ,v m es el nmgni.tico.El polinomio puede normalizarse >' adquiere l a siguiente forma (3.1 S) 1.3.5.3.Solución de &(rj .(3.19) La matriz de segundo orden se puede expresar en f:loriou de los orbitales naturale:+ de espín.l a expresión de un determinante de Slater r 1 = -~{ ~/ J : \ .; ¡ l ' l l ( 2 !?; ( 2 / -{ < t i i L 1 q k ( L k ; ( l / ?} I : ; .\ : . .>:. kl Con l a matriz de segundo orden se pueden obtemr Fropiedades de dos electrones.en un esquema de Hartree-Fock, como la energía potencial.también se puede obteser la OD11 operador de una partícula.y de elIa se pueden determinar propiedades EOnoelectrónicas como la energía cinética.Como se observa en la Ec. (3.75).1.3.7.3.Matrices Densidad Libres de Espín XLuchos operadores en la mecáuica cuántica no involucran coordenadas de espin.como el hamiltoniano de la Ec. (3.7.5j, lo que pernlitirá reducir las matrices de ias Ecs.(3.67.3.68, 3.69) a partir de la ODM.Se definen las matrices densidad reducidas de espin de primer y segundo orden como [38].La matriz densidad reducida densidad de c a r p se expresan en de espin y por lo tanto la densidad ,:-ctrbnicit o función de fa ODM y del mismo r ~: en funcicjn ,le los orbitales zaturales de espín (_\S@!.Ec ( 3 .3 ) .p ( r : r' 1 k La densidad electrónica en función de los orbitales naturales es donde .nkson los números de ocupación de los orbitales naturales & en el intervalo de 1.3.7.4 Representación en el Espacio de Momentos El principio de incertidumbre nos indica que es imposible determinar con precisión en un sistema cuántico al mismo tiempo la posición y el momento.Las primeras aplicaciones del concepto de espacio fase a la mecánica cuzintica hicieron uso de las funciones de \%-igner y Husimi [do].Estas funciones dan información contenida en l a matriz densidad de en un sistema.El estado cte a n sistema nlec~nico-L.u,i:;icvest& descrito pc)r 1 .m elen?ento X.rf, definido en un espacio de Hilbert.En cuzlquier representación específica de este espacio.es reer:;Fii--tzado por una c:oordenada er! particular.Las coordenadas o reT1r-t~secraciones de la-partículas nxis cornunes e11 ia mecinica cuántict son la ysi(::Gu \el momento.€1 estado descrito por el elenlento J( bra; se define C O I ~~ un espacio dud.Estas matrices están conectadas ;>\ir l m a tranifornlada clr Fourier.pero no e x i ~~e una relacicjn maten-:.Atica rigurosa y directa entre p(Fi y su contraparte en el e:--\PC.. ':o de momentos (6) :, 1. Las ODYI son equivalentes por la Ec. (i3.90 y contienen la misma informacidn ',el +:enla.pero a(@! contiene informacicin de los r:3n?entos fuera de !a diagonal ' ; ; , A OD\! en la representación de posici6n J-ofrrect.ccc:xnuciones no locales de la tJ! i, '\I desde la perspectiva espacial.-~ ., 1.3.8.Teoría de la Información El problema de reconstruir una función a parrir de un conjunto finito de datos es común en diversos problemas.Usualmente el conjunto finito de datos no es suficiente únicamente para determinar la función!y algca Tipo de función debe ser elegida del conjunto de todas las fuociones que tienen los datos correct,os.Se debe entender por mejor función a aquella que sea tan cercana c o x 0 sea posible.a la función original que generó los datos [13-47].En 1948, Claude Shannon [48j introdujo una nueva vía probabilística para considerar la comunicación y crear simultáneamente l a primera teoría maternática r!r la entropía.motivado por el problema de la tIransrriisi6n deficiente en una comunic~ión ruidosa en un canal.Sus ideas fueron aplicadas rGp:damente.J-se crearon dos gri-.:dei:líneas de investigación: 'ia teoría de la inforn:,ic:ox que elnplea l a probabilidnc'.,I:'(.estudiar las características estadísticas de lcs i-a: x y sistemas de comunicac:,.:l.x+la teoría de codificación.la cual usa princip&n:ez-e el iilgebra S la seometn',t.-;<irc\ proporcionar códigos pitra diversas situaciorie-s., . . .Shcinnon propuso algunos axiomas para la incerriduzhre e11 una transmisión de infamación.Estos axiomas se basan c, n la suposición de tener un conjunto de posibles eventos cuyas probabilidades son p 7;). . . . .pn. los criterios establecidos permiten medir la aparición de un evento.h a medida Hip:.p;. . .p1 ) requiere de que se cu11:pldn ciertas condiciones.e H debe ser continua en pi o Si I a s probabilidades pi son iguales, entonces p2 = 1 ; 12. y H debe ser una función monótona y creciente.Para event,os igualmente probables hay mas elección.o incertidumbre cuando hay miis posibles evenios e Si una elección se dit-ide en dos sucesit-as elecciones, el valor original de H debe ser la suma promediada de los valores individuales de H Shannon [48] estableció el siguiente Teorema : L,a ~n i c a f u n c i ó n H que satlsfuce las tres condiciones anteriores tiene la forma, 1".Esti función H = -C ( y i ) ¿ o g ( p i ) (la h' indica la cantidad de elección de una unidad de medida).juega un papel cent,ral en l a riledida de la información.elección e ir?cer-idumbre.y su forma se asocia al de la en-ropía de !a xeclinica estadística ;-!!I Esta h c i ó n H se puede utilizar para.Ln entropía para u n conjunto discreto de probitbiiidades ?l. ., p T 2 .ha sido detiuicia ec la Ec. (3.91).De una manera análoga Shannon definid la entropía de una disrribución continua con la función de distrihuci6n i S !CORN -481: . .Después de la teoría propuest,a por Shamon.6: se ha utilizado en una gran variedad de aplicaciones, entre ellas en la r~constr1,:I :. .I y análisis de informaci6n.Se ha aplicado rambii.nen los G i ~i m o s años en ei ?studio de fencimenos físicos ,y químic0.sLas probabilidades de la densidad de !it, mtropías de Shannon.se vbtierlrn C?P las funciones de onda en la representacicin de posiciolles (II 1 :-;.(,Ec.:3.%l 1.de la función de onda en lit de momentos @ I :. . . .~ y, (Ec. 3 .$S;.Las ent ropi~.. (ic, Shannon normalizadas al número de electrones se expresan como: (3.94) Gadre J-colaboradores -51; . .han utilizado ia suma de las entropías como una cantidad para evaluar la calidad de las bases, ya que con esta cantidad se consideran ambos espacios complementarios \k (rl: . . ., r,) y @'jpl. . . .p,), y esto se debe a que una cant,idad es mínima cuando la otra se masimiza.Esta suma de entropías se expresa COIllO Esta suma de entropias Sr [52:.proveé u x t medida balanceada de la incert,idun?breen sisema.tornando e3 cuenta las conliiciones de fronrzra de la distrihucidn ec aml~os espacios.
I. 3.4.1.Unidades At'Ómic2q 1.3.5.Aplicaciones de la Ecuación de Onda.Átorno de en el desxrollo de la física teórica.it;í c'omo en la descripción de l a serie espectral de Balmer o en el modelo atómico de Bohr Para su resolución, se considera al átomo como un sistema de dos pa-tículai;; interactuantes.con masas m l y 7n2.Donde l a energía potencial del sistema es I' = -2 e 2 / r ..\qui r es la distancia núcleo-electrón Z es el n h e r o atómico.L a ecuación en coordenadas carte5ianas se expresa 01110:En donde el potencial es: [3.IS) (3.16) I. 3.5.1.Solnción de (q jLas soluciones de l a s diferentes @,n(oj.se cspresan como:(3.17a) (3.171 !I; 1.3.5.2.Solución de @17,(0) Las ecuaciones que satisfacen esta función son conocida?como funciones o polinomios asociados de Legendre 4 m (cos O) [2], donde 1 es el nimero cu6ntico azimutal ,v m es el nmgni.tico.El polinomio puede normalizarse >' adquiere l a siguiente forma (3.1 S) 1.3.5.3.Solución de &(rj .(3.19) La matriz de segundo orden se puede expresar en f:loriou de los orbitales naturale:+ de espín.l a expresión de un determinante de Slater r 1 = -{ / J : \ .; ¡ l ' l l ( 2 !?; ( 2 / -{ < t i i L 1 q k ( L k ; ( l / ?} I : ; .\ : . .>:. kl Con l a matriz de segundo orden se pueden obtemr Fropiedades de dos electrones.en un esquema de Hartree-Fock, como la energía potencial.también se puede obteser la OD11 operador de una partícula.y de elIa se pueden determinar propiedades EOnoelectrónicas como la energía cinética.Como se observa en la Ec. (3.75).1.3.7.3.Matrices Densidad Libres de Espín XLuchos operadores en la mecáuica cuántica no involucran coordenadas de espin.como el hamiltoniano de la Ec. (3.7.5j, lo que pernlitirá reducir las matrices de ias Ecs.(3.67.3.68, 3.69) a partir de la ODM.Se definen las matrices densidad reducidas de espin de primer y segundo orden como [38].La matriz densidad reducida densidad de c a r p se expresan en de espin y por lo tanto la densidad ,:-ctrbnicit o función de fa ODM y del mismo r : en funcicjn ,le los orbitales zaturales de espín (_\S@!.Ec ( 3 .3 ) .p ( r : r' 1 k La densidad electrónica en función de los orbitales naturales es donde .nkson los números de ocupación de los orbitales naturales & en el intervalo de 1.3.7.4 Representación en el Espacio de Momentos El principio de incertidumbre nos indica que es imposible determinar con precisión en un sistema cuántico al mismo tiempo la posición y el momento.Las primeras aplicaciones del concepto de espacio fase a la mecánica cuzintica hicieron uso de las funciones de %-igner y Husimi [do].Estas funciones dan información contenida en l a matriz densidad de en un sistema.El estado cte a n sistema nlecnico-L.u,i:;icvest& descrito pc)r 1 .m elen?ento X.rf, definido en un espacio de Hilbert.En cuzlquier representación específica de este espacio.es reer:;Fii--tzado por una c:oordenada er! particular.Las coordenadas o reT1r-tsecraciones de la-partículas nxis cornunes e11 ia mecinica cuántict son la ysi(::Gu \el momento.€1 estado descrito por el elenlento J( bra; se define C O I ~~ un espacio dud.Estas matrices están conectadas ;>\ir l m a tranifornlada clr Fourier.pero no e x i ~~e una relacicjn maten-:.Atica rigurosa y directa entre p(Fi y su contraparte en el e:--\PC.. ':o de momentos (6) :, 1. Las ODYI son equivalentes por la Ec. (i3.90 y contienen la misma informacidn ',el +:enla.pero a(@! contiene informacicin de los r:3n?entos fuera de !a diagonal ' ; ; , A OD! en la representación de posici6n J-ofrrect.ccc:xnuciones no locales de la tJ! i, '\I desde la perspectiva espacial.- ., 1.3.8.Teoría de la Información El problema de reconstruir una función a parrir de un conjunto finito de datos es común en diversos problemas.Usualmente el conjunto finito de datos no es suficiente únicamente para determinar la función!y algca Tipo de función debe ser elegida del conjunto de todas las fuociones que tienen los datos correct,os.Se debe entender por mejor función a aquella que sea tan cercana c o x 0 sea posible.a la función original que generó los datos [13-47].En 1948, Claude Shannon [48j introdujo una nueva vía probabilística para considerar la comunicación y crear simultáneamente l a primera teoría maternática r!r la entropía.motivado por el problema de la tIransrriisi6n deficiente en una comunición ruidosa en un canal.Sus ideas fueron aplicadas rGp:damente.J-se crearon dos gri-.:dei:líneas de investigación: 'ia teoría de la inforn:,ic:ox que elnplea l a probabilidnc'.,I:'(.estudiar las características estadísticas de lcs i-a: x y sistemas de comunicac:,.:l.x+la teoría de codificación.la cual usa princip&n:ez-e el iilgebra S la seometn',t.-;<irc\ proporcionar códigos pitra diversas situaciorie-s., . . .Shcinnon propuso algunos axiomas para la incerriduzhre e11 una transmisión de infamación.Estos axiomas se basan c, n la suposición de tener un conjunto de posibles eventos cuyas probabilidades son p 7;). . . . .pn. los criterios establecidos permiten medir la aparición de un evento.h a medida Hip:.p;. . .p1 ) requiere de que se cu11:pldn ciertas condiciones.e H debe ser continua en pi o Si I a s probabilidades pi son iguales, entonces p2 = 1 ; 12. y H debe ser una función monótona y creciente.Para event,os igualmente probables hay mas elección.o incertidumbre cuando hay miis posibles evenios e Si una elección se dit-ide en dos sucesit-as elecciones, el valor original de H debe ser la suma promediada de los valores individuales de H Shannon [48] estableció el siguiente Teorema : L,a n i c a f u n c i ó n H que satlsfuce las tres condiciones anteriores tiene la forma, 1".Esti función H = -C ( y i ) ¿ o g ( p i ) (la h' indica la cantidad de elección de una unidad de medida).juega un papel cent,ral en l a riledida de la información.elección e ir?cer-idumbre.y su forma se asocia al de la en-ropía de !a xeclinica estadística ;-!!I Esta h c i ó n H se puede utilizar para.Ln entropía para u n conjunto discreto de probitbiiidades ?l. ., p T 2 .ha sido detiuicia ec la Ec. (3.91).De una manera análoga Shannon definid la entropía de una disrribución continua con la función de distrihuci6n i S !CORN -481: . .Después de la teoría propuest,a por Shamon.6: se ha utilizado en una gran variedad de aplicaciones, entre ellas en la rconstr1,:I :. .I y análisis de informaci6n.Se ha aplicado rambii.nen los G i i m o s años en ei ?studio de fencimenos físicos ,y químic0.sLas probabilidades de la densidad de !it, mtropías de Shannon.se vbtierlrn C?P las funciones de onda en la representacicin de posiciolles (II 1 :-;.(,Ec.:3.%l 1.de la función de onda en lit de momentos @ I :. . . . y, (Ec. 3 .$S;.Las ent ropi.. (ic, Shannon normalizadas al número de electrones se expresan como: (3.94) Gadre J-colaboradores -51; . .han utilizado ia suma de las entropías como una cantidad para evaluar la calidad de las bases, ya que con esta cantidad se consideran ambos espacios complementarios \k (rl: . . ., r,) y @'jpl. . . .p,), y esto se debe a que una cant,idad es mínima cuando la otra se masimiza.Esta suma de entropías se expresa COIllO Esta suma de entropias Sr [52:.proveé u x t medida balanceada de la incert,idun?breen sisema.tornando e3 cuenta las conliiciones de fronrzra de la distrihucidn ec aml~os espacios.
Esta memoria de tesis doctoral consta de dos partes. En la primera, titulada 'Medidas de informacion de sistemas cuanticos', se presenta una contribucion a la teoria de informacion de sistemas mecano-cuanticos y a la teoria de funciones especiales. La segunda parte del trabajo, bajo el titulo de 'Excitaciones Rydberg colectivas de un gas atomico confinado en una red circular', esta enmarcada en el campo de la fisica de atomos ultrafrios, estados Rydberg y sistemas multiparticulares complejos. A continuacion se describen brevemente los contenidos de esta memoria de tesis. Al principio de cada una de las partes, se presentara una introduccion y motivacion mas detalladas de las mismas. En la Parte I, se estudia la informacion de Fisher, que es una medida teorica de informacion de caracter local. Este objetivo se aborda desde un punto de vista tanto matematico como fisico. En primer lugar, se determina la informacion de Fisher (traslacionalmente invariante) de los sistemas hidrogenoides multidimensionales tanto en el espacio de posiciones como en el de momentos. Para ello, se hace un uso exhaustivo de las propiedades algebraicas de las funciones especiales que controlan las funciones de onda de los estados cuanticos de estos sistemas, es decir, los polinomios de Laguerre y Gegenbauer junto con los armonicos hiperesfericos. El resultado obtenido depende explicitamente de la dimension y de los numeros cuanticos del correspondiente estado. A continuacion, se pone de manifiesto el papel que juega la informacion de Fisher en la teoria de estimacion de parametros. En particular, se deriva analiticamente la informacion de Fisher con respecto al parametro que caracteriza los polinomios ortogonales de Jacobi, Laguerre, Gegenbauer y Grosjean. En la Parte II, se analizan las propiedades espectrales y dinamicas de un gas de atomos Rydberg confinado en una red optica circular monodimensional excitados mediante un campo laser. Este estudio se comienza abordando el regimen de bloqueo perfecto, donde se considera prohibida la excitacion simultanea de dos atomos situados en pozos contiguos de la red. En este caso, se investiga la evolucion temporal de varias magnitudes fisicas, tales como la densidad de estados Rydberg, la correlacion y el entrelazamiento, mediante la resolucion numerica de la ecuacion Schrodinger. Este regimen se caracteriza por el estado de equilibrio que alcanzan algunos de los valores esperados de los observables alrededor del cual muestran pequenas fluctuaciones. Se ha hecho especial hincapie en el analisis del origen de la termalizacion de este sistema cuantico aislado, investigando su relacion con el conjunto microcanonico. A continuacion, se considera el regimen dominado por la interaccion con el campo laser. Se muestra que en este caso el sistema es analiticamente resoluble, y permite la creacion de estados multiparticulares entrelazados. Se han estudiado las propiedades de dichos estados, y propuesto un esquema experimental para excitarlos.
En aquesta tesi presentem un conjunt d'estudis sobre sistemes atomics on els efectes quantics son especialment destacats. Aquests estudis s'han dut a terme aplicant diverses tecniques de la fisica teorica de molts cossos.
En primer lloc hem estudiat la possible existencia d'una transicio de fase superfluida en un gas ultrafred d'atoms fermionics, mitjancant una generalitzacio de la teoria BCS de la superconductivitat que dona especial rellevancia al paper jugat per l'asimetria de densitat entre les dues especies, i permet que l'estat fonamental presenti un trencament espontani de simetria.
En una segona part, hem estudiat la dinamica d'un condensat de Bose-Einstein el grau de llibertat d'espi del qual pot evolucionar dins d'una trampa optica quasi-unidimensional, tant a temperatura zero com finita, mitjancant una formulacio de camp mitja.
Finalment, hem dut a terme un estudi detallat de l'estat fonamental i la tensio lineal de sistemes bidimensional d'heli-4, primerament mitjancant les tecniques de Monte Carlo, i posteriorment amb un funcional de la densitat construit amb aquest objectiu.
RESUM EN CASTELLA:
En esta tesis se presenta un conjunto de estudios sobre sistemas atomicos donde los efectos cuanticos son especialmente destacados. Dichos estudios se han llevado a cabo aplicando varias tecnicas de la fisica teorica de muchos cuerpos.
En primer lugar, se ha estudiado la posible existencia de una transicion superfluida en un gas ultrafrio de atomos fermionicos mediante una generalizacion de la teoria BCS de la superconductividad que presta especial atencion al papel jugado por la asimetria de densidad entre las dos especies, y permite que el estado fundamental presente una rotura espontanea de simetria.
En una segunda parte, se ha estudiado la dinamica de un condensado de Bose-Einstein cuyo grado de libertad de espin puede evolucionar en una trampa optica cuasi-unidimensional, tanto a temperatura cero como finita, mediante una formulacion de campo medio.
Finalmente, se ha llevado a cabo un estudio detallado del estado fundamental y la tension lineal de sistemas bidimensionales de helio-4, primeramente mediante las tecnicas de Monte Carlo, y posteriormente con un funcional de la densidad construido al efecto.
PALABRAS CLAVE: Atomos frios, Aparejamiento, Condensado espinorial, Helio, Dos dimensiones
SUMMARY:
This thesis presents a set of studies on atomic systems where quantum efects are particularly relevant. These studies have been developed by applying a variety of tools from many-body physics.
First of all, we have studied the prospects for the existance of a superfluid transition in an ultracold gas of fermionic atoms, by generalizing the BCS theory of superconductivity to the case when the two species that pair have different densities and the ground state may spontaneously break one or more symmetries.
In a second part, we have studied the dynamics of a Bose-Einstein condensate whose spin degree of freedom is free to evolve inside a quasi-onedimensional optical trap. We have used a mean-field formulation to address both the zero temperature case and the finite temperature one.
Finally, we have performed a careful study of the ground state and the line tension of two-dimensional systems of helium-4. First, we have used Monte Carlo techniques, then with a Density Functional built on-purpose.
KEYWORDS: Cold gases, Pairing, Spinor condensate, Helium, Two dimensions
En este trabajo, se analiza una teoría que es en cierto modo una extensión natural del campo de las telecomunicaciones clásicas a la mecánica cuántica. Dicha teoría se llama tomografía cuántica y es de hecho una imagen de la mecánica cuántica equivalente a las más habituales que son la imagen de Schrödinger o la de Heisenberg. Esta nueva imagen, difiere de las precedentes en que está muy ligada a la capacidad tecnológica a la hora de medir observables (momento, energía, etc.) en el campo de la óptica cuántica, ya que su objetivo primordial es el de conseguir reconstruir el estado de un sistema cuántico a partir de mediciones en el laboratorio, y dado al avance tecnológico del instrumental de laboratorio disponible como láseres y fotodetectores, cada vez está suscitando mayor interés. En el primer capítulo, veremos cómo nace esta idea de reconstruir estados cuánticos discutiendo brevemente la técnica clásica conocida como Tomografía Axial Computerizada (TAC). Esta técnica está basada en los trabajos de Johann Karl August Radon aplicando la transformada que lleva su nombre. Introduciremos la transformada de Radon de una función de probabilidad definida en el espacio de fases para ver cómo se aplica en el caso del TAC. Para aplicar esta idea para la reconstrucción de estados cuánticos, veremos, en primer lugar, que existe una extensión natural de las técnicas de demodulación de señales moduladas en amplitud (AM) en el campo de la óptica cuántica mostrando que el papel que cumple un mezclador puede ser reemplazado por una combinación de divisores de haz y fotodetectores y mostraremos explícitamente cómo reconstruir el operador densidad que describe un estado cuántico a través de un proceso reminiscente de la transformada de Radon clásica. El segundo capítulo será el corazón de este trabajo. En él, introduciremos de manera formal la descripción tomográfica de la mecánica cuántica. Presentaremos una teoría general, para ello, trataremos a los observables como elementos de un álgebra C_ y los estados serán funcionales lineales positivos que actúen en dicha algebra. Veremos que esta descripción de la mecánica cuántica puede dividirse en dos partes, una primera con el objetivo de obtener una fórmula para reconstruir el estado de un sistema cuántico a partir de una función definida sobre un conjunto llamado conjunto tomográfico, que será un conjunto de observables que tendrá que cumplir una serie de condiciones que expondremos debidamente. A esta primera parte de la teoría, la bautizaremos como Teoría de muestreo generalizada en sistemas cuánticos. La segunda parte estará relacionada con la parte puramente experimental. Lo que hace necesario tener que añadir esta segunda parte es el hecho de que la función definida anteriormente sobre el conjunto tomográfico, que llamaremos función de muestreo, en general, no puede ser medida por medio de los dispositivos con los que contamos en un laboratorio de óptica cuántica, sin embargo, a partir de las mediciones hechas con un fotodetector, podemos obtener distribuciones de probabilidad de cantidades relacionadas con los observables. Entonces, tomando esto último como motivación, esta segunda parte de la teoría consistirá en relacionar esa función de muestreo con una distribución de probabilidad que llamaremos tomograma, que será el resultado directo de un proceso de medida en el laboratorio, y la llamaremos Transformada generalizada positiva por motivos que se expondrán convenientemente. Uno de los problemas más sutiles de esta teoría consiste en hallar un conjunto tomográfico que cumpla las condiciones necesarias para permitir reconstruir el estado a partir de él. Sin embargo, veremos que de manera natural, las representaciones unitarias irreducibles de un grupo finito o de Lie compacto proporcionan conjuntos tomográficos que cumplen las condiciones requeridas, por eso, nos centraremos en el estudio de la reconstrucción de estados a partir de grupos relacionados con el sistema físico dado. Aunque también destacaremos que existen otras representaciones unitarias que nos permiten reconstruir el estado cuántico a partir de ellas, como lo es la representación unitaria irreducible del grupo de Heisenberg Weyl dada por el álgebra de Lie que forman los operadores momento y posición cuánticos que es el ejemplo con el que nace la tomografía cuántica introducido en el primer capítulo. En el tercer capítulo presentaremos un algoritmo numérico que se deriva a partir de unos estados que llamaremos estados adaptados que habremos definido en el capítulo anterior. Este algoritmo nace como un problema inverso, ya que hasta entonces nos habremos centrado en reconstruir estados a partir de un conjunto tomográfico, en especial, cuando el conjunto tomográfico está definido a partir de una representación unitaria de un grupo. Este problema inverso consiste en determinar qué información es posible obtener de una representación unitaria de un grupo si se tiene una familia de estados que describe un sistema físico relacionado con un grupo de simetría. La respuesta a esta pregunta es muy satisfactoria ya que es posible conocer la matriz de transformación de base que nos permita transformar la base, en la que está descrita la representación unitaria, en una base adaptada a los subespacios invariantes bajo la acción de todos los elementos de la representación. Este problema se conoce como descomposición de Clebsh Gordan, ya que dicha transformación aplicada a la representación unitaria la convierte en una matriz diagonal por bloques en la que cada bloque corresponde a una representación unitaria irreducible. La manera en la que resolveremos este problema es con un algoritmo numérico que sólo requiere dos estados adaptados como argumentos de entrada, que pueden ser obtenidos de manera directa si se conoce de forma explícita la representación unitaria que queremos reducir. Este algoritmo lo hemos bautizado con el nombre de SMILY. Hay que destacar que como este algoritmo se ha generado sólo aplicando ciertas transformaciones unitarias sobre matrices que representan un estado cuántico, tiene una extensión natural que podría implementarse en un ordenador cuántico. Para acabar esta tesis, generalizaremos la descripción tomográfica a campos clásicos y cuánticos. Para el caso clásico, primero realizaremos una descripción tomográfico para sistemas con finitos grados de libertad y obtendremos el equivalente tomográfico de la ecuación de Liouville para una densidad de probabilidad y tras esto, haremos el mismo análisis para sistemas con infinitos grados de libertad. Para obtener la descripción tomográfica para campos cuánticos, partiremos del concepto de segunda cuantización y mostraremos el equivalente tomográfico de los axiomas de Wightman Streater para una teoría cuántica de campos. Y para terminar, obtendremos un teorema de reconstrucción para campos escalares y calcularemos el tomograma de ciertos estados de un campo cuántico escalar libre. Comentemos esto último diciendo que es el inicio de una teoría que permitirá una descripción tomográfica de estados, por ejemplo ligados, para teorías con interacción. Para concluir este resumen, quisiera resaltar que el lector especializado, si lo considera conveniente, puede comenzar a leer a partir del segundo capítulo, ya que aunque el primer capítulo sirve como motivación de porqué desarrollar una descripción tomográfica de la mecánica cuántica, el texto puede comprenderse si previamente no se ha leído.
Esta tesis es una contribucion multidisciplinar a la teoria de funciones especiales (ver Parte I: Funciones especiales y teoria de la informacion), a la teoria de la informacion de los sistemas cuanticos (ver Parte II: Mecanica cuantica y teoria de la informacion, Relaciones de incertidumbre), y a la fisica molecular (ver Parte III: Dimeros alcalinos en campos electricos).
En la Parte I, que esta conformada por tres capitulos, se investigan varias medidas de informacion de las soluciones de ecuaciones diferenciales de tipo hipergeometrico e hipergeometrico generalizado. Entre las citadas soluciones se encuentran un gran numero de funciones especiales de la matematica aplicada y de la fisica matematica, que aparecen de forma natural en la formulacion matematica de una gran cantidad de problemas fisicos. Se calcula la informacion de Fisher y las entropias de Shannon, Renyi y Tsallis, que cuantifican de forma complementaria el esparcimiento de estas funciones de un modo mas apropiado que la varianza. Ademas, se consideran otras medidas de informacion, como los planos y los productos de informacion, que combinan dos de las medidas de esparcimiento ya citadas.
El Capitulo 1 introduce los elementos fundamentales de la teoria de la informacion que se usaran en las dos primeras partes: las medidas teoricas de informacion, tales como e.g. la entropia de Shannon, y la informacion de Fisher. Ademas, se mencionan algunas de sus propiedades y, en particular, las relaciones de incertidumbre que satisfacen. El Capitulo 2 aborda el calculo analitico de la informacion de Fisher de las densidades de probabilidad, asociadas a las soluciones de ecuaciones diferenciales de tipo hipergeometrico e hipergeometrico generalizado, a partir de los valores esperados de los coeficientes de dichas ecuaciones diferenciales. Este estudio se hace de forma general para cualquier ecuacion y posteriormente se presentan casos concretos con el fin de ilustrar esta tecnica. El Capitulo 3 presenta dos nuevas medidas de informacion: el plano de Cramer-Rao, en el cual se representan la informacion de Fisher y la varianza, y el producto de Cramer-Rao, consistente en el producto de estas dos medidas de esparcimiento. Las tres familias de polinomios clasicas, i.e. Hermite, Laguerre y Jacobi, se estudian en el marco de estas nuevas medidas de informacion.
La Parte II de la Tesis, que consta de los capitulos 4 al 6, aborda el calculo de las distintas medidas de informacion de sistemas mecano-cuanticos realistas, encontrandose nuevas relaciones de incertidumbre y cotas a magnitudes fisicas relevantes como la propia informacion de Fisher o la energia cinetica. Ademas, en el segundo y tercer capitulo de esta parte se hace hincapie en los sistemas sometidos a potenciales centrales, entre los que se incluyen todos los sistemas de dos cuerpos cuya interaccion depende unicamente de la distancia entre los mismos, como es el caso del atomo hidrogenoide; o sistemas prototipicos clave en el desarrollo de la mecanica cuantica y con multitud de aplicaciones, como es el oscilador armonico.
El Capitulo 4 plantea el calculo de la entropia de Shannon y la informacion de Fisher de la densidad de probabilidad mecano-cuantica de una particula en un potencial central lineal monodimensional. Mientras la informacion de Fisher se calcula de forma analitica para todos los estados del sistema, para la entropia de Shannon se halla su comportamiento asintotico en el limite de los estados altamente excitados. En el Capitulo 5 se aborda el problema general del calculo de la informacion de Fisher para sistemas centrales en espacios de dimensionalidad arbitraria. Se encuentran expresiones cerradas de la informacion de Fisher en los espacios de posiciones y momentos en terminos de los valores esperados radiales de la densidad de probabilidad y se halla una relacion de incertidumbre basada en estas medidas de informacion. Esta relacion es comparable a la relacion de incertidumbre entropica de Bialynicki-Birula y Mycielski basada en la entropia de Shannon, y a la relacion de incertidumbre de Heisenberg basada en la varianza, la cual, ademas, se consigue mejorar para estos sistemas. En el Capitulo 6 se continua el estudio de los sistemas centrales de dimensionalidad arbitraria, centrandose en la acotacion de la energia cinetica de sistemas monoparticulares por medio de algunos valores esperados radiales de posicion. Finalmente, habida cuenta de la reciprocidad entre los espacios de posiciones y momentos, se pueden definir cotas similares para la susceptibilidad diamagnetica a partir de las cotas a la energia cinetica.
En la tercera y ultima parte de esta tesis, que consta de los capitulos 7 y 8, se estudia de la dinamica rotacional de las moleculas diatomicas heteronucleares bajo la accion de campos electricos externos homogeneos y variables con el tiempo. En los ultimos anos, el analisis teorico y experimental de moleculas ultrafrias, tanto de sus propiedades como de su produccion, se ha convertido en una piedra angular de la moderna fisica molecular. El tratamiento de estos sistemas en presencia de campos externos requiere una atencion especial. Estos campos permiten atrapar, enfriar y manipular el sistema, modificando simultaneamente de forma significativa su estructura interna. Este trabajo es una contribucion al analisis teorico del control de los movimientos rotacional y vibracional por medio de campos electricos dependientes del tiempo.
El Capitulo 7 es meramente descriptivo e incluye las herramientas teorico-computacionales necesarias para este trabajo. En el se deriva el Hamiltoniano que gobierna el movimiento rovibracional de un dimero polar en presencia de dichos campos electricos, y se indican las aproximaciones realizadas; en particular la de Born-Oppenheimer, que permite separar el movimiento electronico del nuclear. Ademas, se exponen las aproximaciones del rotador rigido y el rotador efectivo al Hamiltoniano que describen la accion del campo en la dinamica rotacional de aquellos sistemas que se pueden considerar como rigidos. Se concluye describiendo brevemente la tecnica computacional hibrida empleada para llevar a cabo la evolucion temporal, que combina el metodo de division del operador evolucion o metodo del split-operator, la transformada de Fourier rapida, y las representaciones de variable discreta y de base finita.
En el Capitulo 8 se discuten y analizan los resultados obtenidos para la molecula de LiCs sometida a una combinacion de campos electricos dependientes del tiempo. En primer lugar, el campo solo tiene componente en el eje z del sistema de referencia del laboratorio, y se lleva a cabo un encendido y apagado exponencial del mismo. Se realiza un detallado analisis de la dinamica rotacional en los regimenes de intensidad constante y post-pulso, al variar los tiempos caracteristicos de este proceso. En particular, se ha demostrado que es posible predecir de forma robusta el numero de estados pendulares o de ondas parciales necesarios para describir correctamente la dinamica rotacional en estos dos regimenes. Sin embargo, una vez que el campo ha sido apagado, la contribucion especifica de cada estado rotacional es muy sensible a los tiempos de encendido y apagado. El paquete de ondas final muestra una gran variedad de fenomenos de localizacion y orientacion molecular. Estos efectos son periodicos en el tiempo, y su periodo es una fraccion del periodo rotacional molecular.
En segundo lugar, tras encender la componente z del campo, este se rota hacia el eje x manteniendo siempre la intensidad constante, y finalmente se apaga. Se ha investigado la variacion de la dinamica rotacional con la duracion de la rotacion, centrando nuestra atencion en la posibilidad de transferir poblacion a estados con numero cuantico magnetico no nulo. Se ha mostrado que la contribucion de esos niveles es significativa solo si la rotacion es no-adiabatica, i.e. su duracion ha de ser inferior al periodo rotacional de la molecula. De hecho el regimen adiabatico se alcanza para giros de duracion igual o superior a un periodo rotacional. Finalmente, se ha analizado tambien el efecto de la rotacion del campo sobre los fenomenos de localizacion y orientacion del paquete de ondas final.
La teoria de informacion cuantica se basa en la idea de que los sistemas cuanticos pueden ser usados como ?transportadores? de informacion. Por tanto, para ser usados de este modo, se necesitan usar las leyes de la Mecanica Cuantica que describe el comportamiento de los sistemas fisicos en la escala atomica. Este comportamiento incrementa las posibilidades de procesamiento de la informacion y tareas de comunicacionPara poder usar los sistemas cuanticos para transportar informacion se necesita codificar, almacenar, procesar y extraer la informacion en estos sistemas y, en muchas situaciones, se necesitara trabajar con muchos sistemas cuanticos. Durante los ultimos 30 anos se ha producido un gran avance en la captura y control de los sistemas cuanticos de muchos cuerpos. Sin embargo, entender totalmente las fases de la materia y sus propiedades es todavia un reto para la comunidad fisica. Las propiedades de las diferentes fases de la materia dependen del modo en el que los atomos estan organizados u ordenados en los materiales. Asi, diferentes simetrias en la organizacion de un material dan lugar a diferentes fases y, por tanto, diferentes propiedades del material. En esta tesis estudiamos las restricciones que las simetrias imponen en la estructura de los estados entrelazados de muchos cuerpos. Ademas, damos aplicaciones en la teoria del entrelazamiento, en criptografia cuantica y en fisica de la materia condensada. Uno de los objetivos es estudiar los sistemas multipartitos con simetria permutacional. Estudiamos el entrelazamiento geometrico en este tipo de estados, conectando con algunos resultados clasicos de la teoria de espacios de Banach. Motivados por la necesidad criptografica de protocolos con anonimicidad perfecta, demostramos la existencia de un estado maximamente entrelazado en este contexto, y las implicaciones que esto tiene. En particular, recuperamos como corolarios algunos resultados recientes de clonacion secuencial.Posteriormente damos una caracterizacion en los tensores locales de la existencia de una simetria global en los Projected Entangled Pair States (PEPS). Esta caracterizacion nos permite relacionar algunas de las propiedades indicadoras de orden topologico y dar una version del teorema Lieb-Schultz-Mattis para PEPS entre otros.El siguiente problema de la tesis estudia la entropia de entrelazamiento genericas de los estados fundamentales de hamiltonianos locales con simetria de translacion en 1D. En particular probamos que con alta probabilidad, la matriz de densidad reducida de estos estados tiene maxima entropia. Para obtener este resultado, mejoramos las cotas previas de la funcion de Weingarten en la teoria de matrices aleatorias.Por otra parte, damos una relacion de incertidumbre cuantica con las siguientes propiedades: usa la entropia ?min? como medida de incertidumbre, garantiza incertidumbre en todas menos una de las posibles mediciones y se puede aplicar a conjuntos de mediciones generales. Como aplicacion damos un protocolo de identificacion cuantico y analizamos su seguridad.