Zweiteilchensysteme

Herbert V. R. Pietschmann

Eckhard Kreisel

Abstract Es existieren keine gebundenen Zustände des Zweiteilchensystems in der Riemann‐Machschen Quantenmechanik. Das Energie‐Spektrum ist notwendig positiv semidefinit und kontinuierlich, in Analogie zum freien Teilchen der Quantenmechanik.

Harry Pfeifer, Herbert Schmiedel

Das Wasserstoffatom (hydrogen atom) ist das einfachste Atom. Es besteht aus einem Proton als Atomkern und einem Elektron. Es stellt damit ein Zweiteilchensystem (two-particle system) dar. Die im Abschn.26.3, S.418ff., für ein Teilchen formulierten Axiome sind für Mehrteilchensysteme entsprechend zu erweitern. An Stelle von Gl.(561), S.419, gilt für ein Zweiteilchensystem 585 $$\left( {\frac{1}{{2{m_1}}}{{( - i\hbar gra{d_1})}^2} + \frac{1}{{2{m_2}}}{{( - i\hbar gra{d_2})}^2} + {E_{pot}}({{\vec r}_1},{{\vec r}_2})} \right)\Psi ({\vec r_1},{\vec r_2},t) = i\hbar \frac{\partial }{{\partial t}}\Psi ({\vec r_1},{\vec r_2},t),$$ wobei der Operator grad i nur auf die Koordinaten $${\vec r_i}$$ ] des Teilchens i mit der Ruhemasse m i wirkt (i = 1, 2). Das ProduktΨ*Ψdτ1dτ2=∣Ψ∣2dτ1dτ2 stellt die Wahrscheinlichkeit dar, z. Zt. t das Teilchen 1 im Volumenelement dτ1 an der Stelle $${\vec r_1}$$ und gleichzeitig das Teilchen 2 im Volumenelement dτ2 an der Stelle $${\vec r_2}$$ zu finden. Beim Wasserstoffatom setzen wir m1=mc, $${\vec r_1} = {\vec r_e}$$ und m2=mp, $${\vec r_2} = {\vec r_p}$$ wobei me bzw. mp die Ruhemasse des Elektrons bzw. des Protons bezeichnet. $$\vec r = {\vec r_e} - {\vec r_p}$$ ist der Abstandsvektor des Elektrons vom Proton (s. Fig.232). Auf Grund des 3. Newton’schen Axioms kann man das Zweikörperproblem auf die Bewegung eines Teilchens mit der reduzierten Masse 586 $$\mu = \frac{{{m_e}{m_p}}}{{{m_e} + {m_p}}} \approx 0,9995 {m_e}$$ und dem Abstandsvektor $$\vec r$$ zurückführen.

Wolfgang Nolting

Harry Pfeifer, Herbert Schmiedel, Ralf Stannarius

Das Wasserstoffatom (hydrogen atom) ist das einfachste Atom. Es besteht aus einem Proton als Atomkern und einem Elektron. Es stellt damit ein Zweiteilchen-system (two-particle system) dar. Die im Abschn.26.3, S.434ff., für ein Teilchen formulierten Axiome sind für Mehrteilchensysteme entsprechend zu erweitern. An Stelle von Gl. (575), S.434, gilt für ein Zweiteilchensystem 599 $$\left( {\frac{1}{{2{m_1}}}{{\left( { - i\hbar gra{d_1}} \right)}^2} + \frac{1}{{2{m_2}}}{{\left( { - i\hbar gra{d_2}} \right)}^2} + {E_{pot}}\left( {{{\overrightarrow r }_1},{{\overrightarrow r }_2}} \right)} \right)\Psi \left( {{{\overrightarrow r }_1},{{\overrightarrow r }_2},t} \right) = i\hbar \frac{\partial }{{\partial t}}\Psi \left( {{{\overrightarrow r }_1},{{\overrightarrow r }_2},t} \right),$$ wobei der Operator gradi nur auf die Koordinaten $$\overrightarrow {{r_i}} $$ des Teilchens i mit der Ruhemasse m i wirkt (i = 1, 2). Das Produkt Ψ*Ψdτ1dτ2=|Ψ|2dτ1dτ2 Sellt die Wahrscheinlichkeit dar, zur Zeit t das Teilchen $$\overrightarrow {{r_1}} $$ im Volumenelement dτ2 an der Stelle i und gleichzeitig das Teilchen 2 im Volumenelement dτ2 an der Stelle $$\overrightarrow {{r_2}} $$ zu finden. $$\psi \left( {\overrightarrow {{r_1}} ,\overrightarrow {{r_2}} ,t} \right)$$ heißt Zweiteilchen-Wellenfunktion (two-particle wavefunction). Beim Wasserstoffatom haben wir also m1 = me, $$\overrightarrow {{r_1}} = \overrightarrow {{r_e}} $$ und m2 = mp und $$\overrightarrow {{r_2}} = \overrightarrow {{r_p}} $$ zu setzen, wobei me bzw. mp die Ruhemasse des Elektrons bzw. des Protons be-zeichnet. $$\overrightarrow {{r_{}}} = \overrightarrow {{r_e}} - \overrightarrow {{r_p}} $$ ist der Abstandsvektor des Elektrons vom Proton (s.Abb.235). Auf Grund des 3. Newton’schen Axioms kann man das Zweikörperproblem auf die Bewegung eines Teilchens mit der reduzierten Masse (reduced mass) 600 $$\mu = \frac{{{m_e}{m_p}}}{{{m_e} + {m_p}}} \approx 0,9995{m_e}$$ und dem Abstandsvektor $$\overrightarrow r $$ zurückführen.

Wolfgang Nolting