Questo lavoro di tesi si propone di analizzare un semplice sistema di bosoni non interagenti, approfondendo le leggi della meccanica statistica quantistica e in particolare il fenomeno del condensato di Bose-Einstein. La configurazione sulla quale e vincolato a stare il sistema di bosoni considerato e una circonferenza. In particolare si analizzera la possibilita di condensazione su un sistema unidimensionale, studiandone le caratteristiche fondamentali come la temperatura critica e la frazione di condensato. Successivamente si cerchera di estendere lo studio ad un sistema di particelle vincolate a muoversi su una superficie toroidale, impostando l’equazione di Schrodinger per ricavare una formula di quantizzazione dell’energia per questa configurazione.
Questo lavoro di tesi si propone di analizzare un semplice sistema di bosoni non interagenti, approfondendo le leggi della meccanica statistica quantistica e in particolare il fenomeno del condensato di Bose-Einstein. La configurazione sulla quale e vincolato a stare il sistema di bosoni considerato e una circonferenza. In particolare si analizzera la possibilita di condensazione su un sistema unidimensionale, studiandone le caratteristiche fondamentali come la temperatura critica e la frazione di condensato. Successivamente si cerchera di estendere lo studio ad un sistema di particelle vincolate a muoversi su una superficie toroidale, impostando l’equazione di Schrodinger per ricavare una formula di quantizzazione dell’energia per questa configurazione.
La condensazione di Bose-Einstein e un e etto sico che si veri ca in gas di
particelle bosoniche, con momento di spin intero, quando viene portato a temperature
dell'ordine del K. In tale condizione un gruppo di particelle ha energia cinetica nulla
e percio si presenta all'osservatore come fase condensata dello stesso gas. La scoperta
teorica di questo fenomeno fu il risultato del lavoro di A. Einstein e S.N. Bose, nel biennio
1924-25, ma non era possibile veri care praticamente la correttezza delle loro previsioni
a causa dell'inesistenza di opportuni apparati sperimentali. Verso l'ultimo ventennio
del secolo scorso, dopo essere stata accantonata per diversi anni, la BEC venne ripresa
in considerazione. Grazie alla recente tecnologia dei laser e stata allora possibile nel
1995 l'osservazione in laboratorio di una frazione di gas bosonico condensato. La tesi
costituisce un percorso cronologico dei passaggi chiave che hanno portato questo e etto
tipico della meccanica statistica a diventare da una semplice ipotesi teorica un evento
reale riproducibile in laboratorio.
Recentemente la condensazione di Bose-Einstein e stata ottenuta con atomi diluiti ed ultrafreddi in condizioni di microgravita su un razzo [Nature, 562, 391 (2018)]. Si pensa ora di studiare il condensato di Bose-Einstein in trappole a bolla che, in assenza di gravita, confinano gli atomi in maniera uniforme su un sottile guscio sferico. Lo studente, dopo una fase iniziale di studio della letteratura, utilizzando il formalismo della meccanica statistica quantistica, calcolera la temperatura critica di condensazione di Bose-Einstein e la frazione condensata di un gas di bosoni non interagenti che si muovono sulla superficie di una sfera. Solo nel limite del raggio della sfera che tende an infinito, corrispondente ad un sistema bidimensionale piatto, ci si aspetta di ottenere una temperatura critica di condensazione uguale a zero, in accordo con il teorema di Mermin-Wagner.
Lo studio di sistemi statistici di molte particelle e un problema di grande interesse in fisica. In questo lavoro si e studiato un particolare sistema di particelle: un sistema statistico di fermioni non relativistici, in equilibrio termico, ad una temperatura maggiore di zero fissata e volume finito arbitrariamente grande. Il modello utilizzato per studiare questo sistema e il modello di Hubbard sul reticolo. Questo modello descrive il comportamento di fermioni che interagiscono tra di loro tramite un'interazione repulsiva a corto raggio. Passo fondamentale di questo lavoro e stato formulare la serie perturbativa della funzione di correlazione del modello di Hubbard come un integrale di Grassmann-Gauss finito dimensionale, definito rigorosamente come un funzionale lineare su un'algebra di Grassmann di dimensione finita.
Il presente lavoro di tesi si concentra sullo studio della condensazione di Bose-Einstein in un gas di atomi di 87 Rb confinato in una trappola armonica anisotropa. Regolando la durata del processo di raffreddamento evaporativo, finalizzato alla riduzione della temperatura del sistema, il gas è stato analizzato in presenza di una frazione condensata variabile tra l'1% e il 25%. Tramite procedure di fitting, i dati sperimentali ottenuti per la distribuzione di densità sono stati confrontati con i profili previsti teoricamente per il condensato e per la componente termica, ricavati adottando la descrizione semiclassica degli stati eccitati e l'approssimazione di Thomas-Fermi nella condizione di gas diluito. Dai valori ottimali dei parametri restituiti dai fit, si è calcolata la temperatura critica nell'ipotesi di gas ideale, ottenendo valori dell'ordine di 100 nK, variabili in funzione della durata dell'evaporazione secondo un andamento qualitativamente compatibile con la previsione teorica. Per stimare la temperatura critica con maggiore accuratezza, si sono valutate le correzioni da apportare ai risultati ottenuti, dovute al numero finito di particelle del gas e alle interazioni interatomiche.
Il concetto di trasformazione tra sistemi di riferimento e racchiuso nell'idea di simmetria. Definiti, nel primo capitolo, i concetti di simmetria fisica e algebrica, si osserva come in meccanica quantistica ogni simmetria algebrica possa essere estesa ad una simmetria fisica. Usando alcuni risultati della teoria delle rappresentazioni, brevemente esposti nel secondo capitolo, verra affrontato l'argomento principale del lavoro di tesi: la ricerca di una descrizione quanto-meccanica della fisica in sistemi di riferimento non inerziali. Nel terzo capitolo si propone un'analisi della generalizzazione del gruppo delle rototraslazioni: un gruppo di dimensione infinita ad un parametro, chiamato gruppo lineare euclideo. Trovati i generatori del gruppo ad un parametro si costruiscono gli operatori unitari associati: essi, agendo sull'hamiltoniana, danno luogo a termini analoghi alle forze fittizie nell'equazione di Schroedinger. Viene infine proposta una discussione dei termini aggiuntivi che appaiono nell'hamiltoniana e della loro relazione con la presenza di un potenziale gravitazionale.
Dall'analisi risulta che il prinipio di equivalenza, illustrato nell'introduzione, viene generalmente violato in meccanica quantistica.
La meccanica quantistica è una delle più grandi conquiste intellettuali del xx secolo. Le sue leggiregolano il mondo atomico e subatomico e si riverberano su una miriade di fenomeni del mondomacroscopico, dalla formazione dei cristalli alla superconduttività, dalle proprietà dei fluidi a bassatemperatura agli spettri di emissione di una candela che brucia o di una supernova che esplode, daimeccanismi di combustione della fornace solare ai principi di base delle nanotecnologie. Non c’èquasi nulla nel mondo che ci circonda su cui non soffi l’alito delle leggi quantistiche. Tuttavia, per come è usualmente presentata nei libri di testo, la meccanica quantistica è sostanzialmenteun’insieme di regole per calcolare le distribuzioni di probabilità dei risultati di qualunqueesperimento (nel dominio di validità della meccanica quantistica). In quanto tale, non ci forniscedirettamente una descrizione della realtà. Una descrizione della realtà, cioè un’ ontologia, dovrebbedirci che cosa c’è nel mondo e come si comporta, quali sono i processi che si realizzano a livellomicroscopico e, di conseguenza, fornirci una spiegazione del formalismo quantistico.