Lo studio di sistemi statistici di molte particelle e un problema di grande interesse in fisica. In questo lavoro si e studiato un particolare sistema di particelle: un sistema statistico di fermioni non relativistici, in equilibrio termico, ad una temperatura maggiore di zero fissata e volume finito arbitrariamente grande. Il modello utilizzato per studiare questo sistema e il modello di Hubbard sul reticolo. Questo modello descrive il comportamento di fermioni che interagiscono tra di loro tramite un'interazione repulsiva a corto raggio. Passo fondamentale di questo lavoro e stato formulare la serie perturbativa della funzione di correlazione del modello di Hubbard come un integrale di Grassmann-Gauss finito dimensionale, definito rigorosamente come un funzionale lineare su un'algebra di Grassmann di dimensione finita.
Lo studio di sistemi statistici di molte particelle e un problema di grande interesse in fisica. In questo lavoro si e studiato un particolare sistema di particelle: un sistema statistico di fermioni non relativistici, in equilibrio termico, ad una temperatura maggiore di zero fissata e volume finito arbitrariamente grande. Il modello utilizzato per studiare questo sistema e il modello di Hubbard sul reticolo. Questo modello descrive il comportamento di fermioni che interagiscono tra di loro tramite un'interazione repulsiva a corto raggio. Passo fondamentale di questo lavoro e stato formulare la serie perturbativa della funzione di correlazione del modello di Hubbard come un integrale di Grassmann-Gauss finito dimensionale, definito rigorosamente come un funzionale lineare su un'algebra di Grassmann di dimensione finita.
In questo lavoro abbiamo analizzato le proprietà di scala che un sistema di Fermioni ultrafreddi su reticolo d-dimensionale, descritto dal modello di Hubbard, sviluppa in presenza di un potenziale esterno di natura armonica accoppiato alla densità di particelle. L'analisi proposta dimostra che nel Regime Diluito indotto dal potenziale confinante è possibile descrivere le proprietà di scala della teoria su reticolo tramite uno studio delle proprietà dello stato fondamentale di un equivalente modello continuo. La nostra analisi, prevalentemente incentrata sul caso in dimensione d=1, ha mostrato che in in questo caso il limite di scala del problema su reticolo è perfettamente descritto dal modello di Gaudin-Yang armonico. Questo risultato è stato verificato tramite un confronto esplicito fra i risultati ottenuti per via numerica e per via analitica sul caso semplificato a due corpi, in assenza di polarizzazione di spin. Lo studio dei casi in d=2 e d=3 ha mostrato che il limite di scala del sistema, a meno di correzioni che compaiono in d=2, è descritto da un modello continuo di Fermioni non interagenti e sottoposti ad un potenziale armonico.
In questo articolo viene analizzata una procedura per la modellizzazione e simulazione di sistemi quantistici di particelle identiche non interagenti. In particolare, viene illustrato un algoritmo numerico che si dimostra in grado di prendere in considerazione gli effetti quantistici di indistinguibilità delle particelle identiche, in generale, e del Principio di Pauli per i fermioni. I risultati delle simulazioni condotte, per semplicità, su sistemi bidimensionali, permettono di rendere conto delle principali proprietà termodinamiche di diverse tipologie di sistemi (classici e quantistici) evidenziandone, al tempo stesso, analogie e differenze.
Il concetto di trasformazione tra sistemi di riferimento e racchiuso nell'idea di simmetria. Definiti, nel primo capitolo, i concetti di simmetria fisica e algebrica, si osserva come in meccanica quantistica ogni simmetria algebrica possa essere estesa ad una simmetria fisica. Usando alcuni risultati della teoria delle rappresentazioni, brevemente esposti nel secondo capitolo, verra affrontato l'argomento principale del lavoro di tesi: la ricerca di una descrizione quanto-meccanica della fisica in sistemi di riferimento non inerziali. Nel terzo capitolo si propone un'analisi della generalizzazione del gruppo delle rototraslazioni: un gruppo di dimensione infinita ad un parametro, chiamato gruppo lineare euclideo. Trovati i generatori del gruppo ad un parametro si costruiscono gli operatori unitari associati: essi, agendo sull'hamiltoniana, danno luogo a termini analoghi alle forze fittizie nell'equazione di Schroedinger. Viene infine proposta una discussione dei termini aggiuntivi che appaiono nell'hamiltoniana e della loro relazione con la presenza di un potenziale gravitazionale.
Dall'analisi risulta che il prinipio di equivalenza, illustrato nell'introduzione, viene generalmente violato in meccanica quantistica.
Questo libro fornisce un'introduzione completa al campo delle transizioni di fase che permeano molte aree della fisica. I concetti alla base di questi fenomeni sono parte del linguaggio moderno della fisica dello stato solido e della meccanica statistica, della fisica delle particelle elementari così come della recente teoria delle stringhe. Il modello di Ising, tra i più noti della meccanica statistica, è una guida per avvicinarsi alla teoria generale dei fenomeni critici poiché la sua qualità essenziale, la semplicità, consente di evidenziarne facilmente gli aspetti fondamentali. Tuttavia, la sua ricchezza teorica e matematica costituisce il punto di partenza per l'approfondimento di molti altri temi ormai entrati nel bagaglio scientifico dei moderni ricercatori in fisica e in matematica. Il testo affronta gli argomenti trattati con un approccio didattico, includendo una larga parte di materiale di base in meccanica statistica, teoria dei campi, fisica dello stato solido, analisi complessa, algebra di Lie. Ciascun capitolo è accompagnato da una serie di esercizi di ampio spettro con diversi gradi di difficoltà. Testo utile per i vari corsi di dottorato in Fisica, questo libro è anche rivolto agli studenti dei corsi di laurea specialistica in Fisica e in Matematica e, in generale, a tutti coloro che sono interessati ai recenti sviluppi di quest'area molto viva della ricerca contemporanea.
In summary, these three projects addressed long-standing problems, opened up novel research perspectives and proposed/discussed state-of-the-art experiments in the exciting field of photonic lattices.They thus represent a valuable contribution to condensed matter physics as well as quantum optics and will foster further research in these areas.v Riassunto Generalmente i fotoni interagiscono solo debolmente con la materia alla maggior parte delle frequenze.Tuttavia, in sistemi quantistici ingegnerizzati, interazioni fotone-fotone di livello elevato possono essere ottenute accoppiando luce e materia in varie architetture di elettrodinamica quantistica (QED) delle cavità, dove i fotoni confinati in cavità miniaturizzate interagiscono con pochi atomi (reali o artificiali) esibenti grandi momenti di dipolo.L'utilizzo dei sistemi di cavità QED come elementi costitutivi di simulatori e computer quantistici ne ha contribuito in modo estremamente significativo allo sviluppo e al progresso.Allo stesso tempo, la possibilità di ingegnerizzare fotoni fortemente correlati, combinata con la natura intrinsecamente fuori dall'equilibrio dei sistemi di cavità, ha aperto diverse prospettive di ricerca nello studio della fisica non-equilibrio a molti corpi con la luce.I recenti sforzi sperimentali sono stati dedicati all'aumento progressivo della dimensione nei sistemi di cavità, al fine di implementare algoritmi quantistici, nonché per la ricerca di fasi di fotoni fortemente correlati in sistemi estesi.Disporre le cavità e gli atomi in un reticolo offre la possibilità di realizzare effetti collettivi derivanti dalle interazioni fotone-fotone, nonché dalla combinazione tra la dinamica coerente e quella pompata-dissipativa.Oggi, i reticoli fotonici costituiscono un'area di ricerca emergente al confine tra la fisica della materia condensata e l'ottica quantistica; questi sistemi sono descritti dal modello di Bose-Hubbard o dal cosiddetto modello di Jaynes-Cummings-Hubbard, che ha avuto origine agli inizi dell'ottica quantistica.All'interno di questa area di ricerca vi sono importanti questioni aperte, tra cui: qual è il destino delle fasi ordinate in scenari fuori dell'equilibrio?Qual è il ruolo del pompaggio e della dissipazione?Qual è l'importanza della geometria del reticolo nei sistemi pompati-dissipativi? Questi sono i compiti a cui ci dedichiamo in questa tesi.Nel primo progetto, studiamo un reticolo di cavità non-lineari accoppiate descritto dalla versione non-equilibrio del modello di Bose-Hubbard.Utilizzando un'approssimazione di campo medio, dimostriamo che la trasformazione continua tra stati a bassa e ad alta densità di fotoni, ereditata dalla singola cavità, si trasforma in una transizione isteretica di tipo gas-liquido oltre un valore critico del parametro di tunnel tra cavità vicine J. Il confine che separa le trasformazioni vi continue da quelle isteretiche presenta un marcato effetto di commensurabilità quantistica nel numero di fotoni per cavità, che ricorda i famosi lobi di Mott nella fase di equilibrio del modello di Bose-Hubbard.Questo risultato risolve un problema di lunga data e serve da ispirazione a nuovi esperimenti sulle fasi correlate in reticoli fotonici.Nella seconda parte del progetto studiamo uno sviluppo in 1/z (con z il numero di primi-vicini nel reticolo) per migliorare l'approssimazione di campo medio.Abbiamo dimostrato che questo metodo è particolarmente adatto per l'analisi di reticoli bidimensionali, che hanno recentemente suscitato notevole interesse sperimentale ma sono difficili da simulare esattamente con le tecniche disponibili.Nel secondo progetto, introduciamo la frustrazione geometrica nei reticoli fotonici.La frustrazione dà luogo a bande piatte nella relazione di dispersione, che sono estremamente sensibili alle perturbazioni e possono condurre a fasi esotiche della materia, finora principalmente esplorate in sistemi di spin e atomi freddi.Nella prima parte del progetto studiamo la relazione tra frustrazione e interazioni in un reticolo fotonico fuori dall'equilibrio che esibisce una banda piatta ed è descritto da una variante del modello di Jaynes-Cummings-Hubbard. Mostriamo come realizzare correlazioni tra i fotoni in un sistema pompato-dissipativo eliminando l'energia cinetica attraverso la frustrazione.Questo spinge il sistema verso uno stato incompressibile di fotoni, caratterizzato da un ordine cristallino a breve distanza e period-doubling.La seconda parte del progetto è dedicata alla relazione tra frustrazione e disordine.Analizziamo la scoperta sperimentale, che il pompaggio incoerente di un reticolo frustrato di microcavità a semiconduttore è in grado di creare un condensato di eccitoni-polaritoni che esibisce coerenza temporale ma non spaziale.Utilizzando la teoria di Anderson sulla localizzazione caratterizziamo gli effetti del disordine nel sistema e otteniamo una spiegazione soddisfacente dei risultati sperimentali.I risultati di questi due progetti aprono la strada per le simulazioni quantistiche di sistemi frustrati fuori dall'equilibrio e la realizzazione di stati esotici di luce esibenti correlazioni spaziali non banali.Nel terzo progetto, studiamo le proprietà di trasporto di un reticolo dissipativo di cavità accoppiate.Analizziamo l'interazione tra fotoni e materia, quando un singolo sistema a due livelli (qubit) è accoppiato al reticolo fotonico, che costituisce un sistema aperto.Il qubit agisce come un difetto nel reticolo e dà luogo a stati legati di tipo polaritonico, localizzati attorno alla cavità contenente il qubit.vii Caratterizzando la matrice di trasmissione del reticolo, dimostriamo che gli stati legati si trasformano in stati quasi-legati, ma con una vita media estremamente aumentata rispetto ai modi di Bloch standard del reticolo dissipativo.Questo sistema è stato recentemente realizzato in un circuito QED e può essere utilizzato in informazione quantistica e per controllare il trasporto di fotoni all'interno di una banda proibita.In sintesi, questi tre progetti hanno risolto problemi aperti, aperto nuove prospettive di ricerca e proposto/discusso esperimenti nel settore in continuo sviluppo dei reticoli fotonici.Essi rappresentano quindi un valido contributo alla fisica della materia condensata e all'ottica quantistica e favoriranno ulteriori ricerche in queste discipline.