Challenges
Datasets
Workspaces
Papers
Discussions
Leaderboard
Log inSign up
Challenges
Datasets
Workspaces
Papers
Discussions
Leaderboard
Blog
Job Board
Q3AS

© 2026 Aqora Quantum S.A.S.

TermsPrivacyLegal Notice

The "Peierls substitution" and the exotic Galilei group

Christian Duval, P. A. Horváthy

Published Feb 28, 2000• 36 citations
OpenAlex

Abstract

Owing to the two-parameter central extension of the planar Galilei group, anon relativistic particle in the plane admits an extra structure, which yieldsnoncommuting coordinates. For a particle moving in a magnetic fieldperpendicular to the plane, the two parameters combine with the magnetic fieldto provide an effective mass. For vanishing effective mass the phase spaceadmits a two-dimensional reduction, which represents the condensation tocollective ``Hall'' motions and justifies the rule called ``Peierlssubstitution''. Then Geometric Quantization yields the wave functions proposedby Laughlin to describe the Fractional Quantum Hall Effect.

Related papers

Noncommuting coordinates in the Hall effect and in vortex dynamics

P. A. Horváthy

Laughlin's Ansatz to explain the fractional Quantum Hall effect is derived by coupling a particle associated with ``exotic'' the two-fold central extension of the planar Galilei group. The reduced system is identical to the one used to describe the dynamics of vortices in an incompressible planar fluid.

arXiv:hep-th/0307175•Jul 18, 2003•3 citations

The exotic Galilei group and the “Peierls substitution”

Christian Duval, P. A. Horváthy

arXiv:hep-th/0002233•Physics Letters B•Apr 1, 2000•294 citations

The exotic Galilei group and

Christian Duval, Parc de Grandmont

Taking advantage of the two-parameter central extension of the planar Galilei group, we construct a non relativistic particle model in the plane. Owing to the extra structure, the coordinates do not commute. Our model can be viewed as the non-relativistic counterpart of the relativistic anyon considered before by Jackiw and Nair. For a particle moving in a magnetic field perpendicular to the plane, the two parameters combine with the magnetic field to provide an effective mass. For vanishing effective mass the phase space admits a two-dimensional reduction, which represents the condensation to collective “Hall” motions, and justifies the rule called “Peierls substitution”. Quantization yields the wave functions proposed by Laughlin to describe the Fractional Quantum Hall Effect.

•Jan 1, 2008•1 citation

Peindre l'effet Hall quantique fractionnaire

Nicolas Regnault

Bien qu´il ait été découvert il y a plus de vingt ans et couronné d´un prix Nobel en 1998, l'effet Hall quantique fractionnaire reste un sujet vivant. Parmi les problématiques qui ont émergé récemment, on peut citer la possibilité de trouver une physique similaire dans les gaz atomiques ultrafroids en rotation et les prédictions concernant l'existence de statistiques exotiques au delà des statistiques fermioniques, bosoniques ou même fractionnaires, du nom de statistiques non abéliennes. Ces dernières suscitent un vif intérêt : il a été montré qu´elles pouvaient être utilisées comme base pour le calcul quantique en étant robuste par construction à la décohérence, actuellement le principal obstacle au développement de l ´ordinateur quantique. Avoir une vision de l´effet Hall quantique fractionnaire permettrait d ´appréhender l´intégralité des phénomènes en jeu reste un objectif à atteindre. Ce système est l´archétype même de ceux où physique quantique et interactions entre particules sont si imbriquées, que les schémas usuels d ´approximations ne sont plus valides. Suivant le nombre de particules et l ´intensité du champ magnétique, des modèles différents permettaient d ´appréhender la nature des phénomènes en jeu jusqu´à ce jour. Les plus célèbres sont le liquide de Laughlin, le modèle des fermions composites de Jain, ou encore l´état de Moore-Read. Pour autant, aucune de ces approches n ´est ¨universelle¨. Nous présenterons une approche reposant sur des liquides quantiques colorés. Chaque groupe de particules avec une couleur donnée forme un liquide de Laughlin. L´utilisation de couleurs est une manière artificielle de distinguer les particules alors qu´elles sont toutes identiques. En réalité, elles sont en quelques sorte toutes ¨grises¨. Nous proposons une procédure qui permet de rendre les particules de nouveau ¨grises¨. Cette méthode est l ´analogue d´une photographie d´une peinture couleur avec un appareil photo noir et blanc. L´image en noir et blanc révèle de façon surprenante la structure interne du liquide quantique : il est constitué de gouttelettes formées à partir d´un nombre de particules égal au nombre de couleurs utilisées initialement. Les résultats de calculs numériques menés pour valider cette approche, semblent indiquer que cette structure est une caractéristique commune des différentes approches de l´effet Hall quantique fractionnaire.

•Dec 4, 2008•0 citations

Anyon wave equations and the noncommutative plane

P. A. Horváthy, Mikhail S. Plyushchay

The “Jackiw–Nair” nonrelativistic limit of the relativistic anyon equations provides us with infinite-component wave equations of the Dirac–Majorana–Lévy-Leblond type for the “exotic” particle, associated with the two-fold central extension of the planar Galilei group. An infinite dimensional representation of the Galilei group is found. The velocity operator is studied, and the observable coordinates describing a noncommutative plane are identified.

arXiv:hep-th/0404137•Physics Letters B•Jun 22, 2004•110 citations

Galilean invariance and linear response theory for Fractional Quantum Hall Effect

Andrey Gromov, Alexander G. Abanov

Bulletin of the American Physical Society•Mar 20, 2013•0 citations
Owing to the two-parameter central extension of the planar Galilei group, anon relativistic particle in the plane admits an extra structure, which yieldsnoncommuting coordinates. For a particle moving in a magnetic fieldperpendicular to the plane, the two parameters combine with the magnetic fieldto provide an effective mass. For vanishing effective mass the phase spaceadmits a two-dimensional reduction, which represents the condensation tocollective Hall'' motions and justifies the rule called Peierlssubstitution''. Then Geometric Quantization yields the wave functions proposedby Laughlin to describe the Fractional Quantum Hall Effect.
Taking advantage of the two-parameter central extension of the planar Galilei group, we construct a non relativistic particle model in the plane. Owing to the extra structure, the coordinates do not commute. Our model can be viewed as the non-relativistic counterpart of the relativistic anyon considered before by Jackiw and Nair. For a particle moving in a magnetic field perpendicular to the plane, the two parameters combine with the magnetic field to provide an effective mass. For vanishing effective mass the phase space admits a two-dimensional reduction, which represents the condensation to collective “Hall” motions, and justifies the rule called “Peierls substitution”. Quantization yields the wave functions proposed by Laughlin to describe the Fractional Quantum Hall Effect.
Bien qu´il ait été découvert il y a plus de vingt ans et couronné d´un prix Nobel en 1998, l'effet Hall quantique fractionnaire reste un sujet vivant. Parmi les problématiques qui ont émergé récemment, on peut citer la possibilité de trouver une physique similaire dans les gaz atomiques ultrafroids en rotation et les prédictions concernant l'existence de statistiques exotiques au delà des statistiques fermioniques, bosoniques ou même fractionnaires, du nom de statistiques non abéliennes. Ces dernières suscitent un vif intérêt : il a été montré qu´elles pouvaient être utilisées comme base pour le calcul quantique en étant robuste par construction à la décohérence, actuellement le principal obstacle au développement de l ´ordinateur quantique. Avoir une vision de l´effet Hall quantique fractionnaire permettrait d ´appréhender l´intégralité des phénomènes en jeu reste un objectif à atteindre. Ce système est l´archétype même de ceux où physique quantique et interactions entre particules sont si imbriquées, que les schémas usuels d ´approximations ne sont plus valides. Suivant le nombre de particules et l ´intensité du champ magnétique, des modèles différents permettaient d ´appréhender la nature des phénomènes en jeu jusqu´à ce jour. Les plus célèbres sont le liquide de Laughlin, le modèle des fermions composites de Jain, ou encore l´état de Moore-Read. Pour autant, aucune de ces approches n ´est ¨universelle¨. Nous présenterons une approche reposant sur des liquides quantiques colorés. Chaque groupe de particules avec une couleur donnée forme un liquide de Laughlin. L´utilisation de couleurs est une manière artificielle de distinguer les particules alors qu´elles sont toutes identiques. En réalité, elles sont en quelques sorte toutes ¨grises¨. Nous proposons une procédure qui permet de rendre les particules de nouveau ¨grises¨. Cette méthode est l ´analogue d´une photographie d´une peinture couleur avec un appareil photo noir et blanc. L´image en noir et blanc révèle de façon surprenante la structure interne du liquide quantique : il est constitué de gouttelettes formées à partir d´un nombre de particules égal au nombre de couleurs utilisées initialement. Les résultats de calculs numériques menés pour valider cette approche, semblent indiquer que cette structure est une caractéristique commune des différentes approches de l´effet Hall quantique fractionnaire.