Bien qu´il ait été découvert il y a plus de vingt ans et couronné d´un prix Nobel en 1998, l'effet Hall quantique fractionnaire reste un sujet vivant. Parmi les problématiques qui ont émergé récemment, on peut citer la possibilité de trouver une physique similaire dans les gaz atomiques ultrafroids en rotation et les prédictions concernant l'existence de statistiques exotiques au delà des statistiques fermioniques, bosoniques ou même fractionnaires, du nom de statistiques non abéliennes. Ces dernières suscitent un vif intérêt : il a été montré qu´elles pouvaient être utilisées comme base pour le calcul quantique en étant robuste par construction à la décohérence, actuellement le principal obstacle au développement de l ´ordinateur quantique. Avoir une vision de l´effet Hall quantique fractionnaire permettrait d ´appréhender l´intégralité des phénomènes en jeu reste un objectif à atteindre. Ce système est l´archétype même de ceux où physique quantique et interactions entre particules sont si imbriquées, que les schémas usuels d ´approximations ne sont plus valides. Suivant le nombre de particules et l ´intensité du champ magnétique, des modèles différents permettaient d ´appréhender la nature des phénomènes en jeu jusqu´à ce jour. Les plus célèbres sont le liquide de Laughlin, le modèle des fermions composites de Jain, ou encore l´état de Moore-Read. Pour autant, aucune de ces approches n ´est ¨universelle¨. Nous présenterons une approche reposant sur des liquides quantiques colorés. Chaque groupe de particules avec une couleur donnée forme un liquide de Laughlin. L´utilisation de couleurs est une manière artificielle de distinguer les particules alors qu´elles sont toutes identiques. En réalité, elles sont en quelques sorte toutes ¨grises¨. Nous proposons une procédure qui permet de rendre les particules de nouveau ¨grises¨. Cette méthode est l ´analogue d´une photographie d´une peinture couleur avec un appareil photo noir et blanc. L´image en noir et blanc révèle de façon surprenante la structure interne du liquide quantique : il est constitué de gouttelettes formées à partir d´un nombre de particules égal au nombre de couleurs utilisées initialement. Les résultats de calculs numériques menés pour valider cette approche, semblent indiquer que cette structure est une caractéristique commune des différentes approches de l´effet Hall quantique fractionnaire.
Bien qu´il ait été découvert il y a plus de vingt ans et couronné d´un prix Nobel en 1998, l'effet Hall quantique fractionnaire reste un sujet vivant. Parmi les problématiques qui ont émergé récemment, on peut citer la possibilité de trouver une physique similaire dans les gaz atomiques ultrafroids en rotation et les prédictions concernant l'existence de statistiques exotiques au delà des statistiques fermioniques, bosoniques ou même fractionnaires, du nom de statistiques non abéliennes. Ces dernières suscitent un vif intérêt : il a été montré qu´elles pouvaient être utilisées comme base pour le calcul quantique en étant robuste par construction à la décohérence, actuellement le principal obstacle au développement de l ´ordinateur quantique. Avoir une vision de l´effet Hall quantique fractionnaire permettrait d ´appréhender l´intégralité des phénomènes en jeu reste un objectif à atteindre. Ce système est l´archétype même de ceux où physique quantique et interactions entre particules sont si imbriquées, que les schémas usuels d ´approximations ne sont plus valides. Suivant le nombre de particules et l ´intensité du champ magnétique, des modèles différents permettaient d ´appréhender la nature des phénomènes en jeu jusqu´à ce jour. Les plus célèbres sont le liquide de Laughlin, le modèle des fermions composites de Jain, ou encore l´état de Moore-Read. Pour autant, aucune de ces approches n ´est ¨universelle¨. Nous présenterons une approche reposant sur des liquides quantiques colorés. Chaque groupe de particules avec une couleur donnée forme un liquide de Laughlin. L´utilisation de couleurs est une manière artificielle de distinguer les particules alors qu´elles sont toutes identiques. En réalité, elles sont en quelques sorte toutes ¨grises¨. Nous proposons une procédure qui permet de rendre les particules de nouveau ¨grises¨. Cette méthode est l ´analogue d´une photographie d´une peinture couleur avec un appareil photo noir et blanc. L´image en noir et blanc révèle de façon surprenante la structure interne du liquide quantique : il est constitué de gouttelettes formées à partir d´un nombre de particules égal au nombre de couleurs utilisées initialement. Les résultats de calculs numériques menés pour valider cette approche, semblent indiquer que cette structure est une caractéristique commune des différentes approches de l´effet Hall quantique fractionnaire.
Le liquide de luttinger constitue le meilleur exemple de metal non-liquide de fermi connu. Il designe une classe d'universalite pour des systemes unidimensionnels caracterises par une dynamique purement collective sans quasi-particules de landau. Des realisations experimentales du liquide de luttinger existent, par exemple sur les bords d'un gaz d'electrons bidimensionnel sous champ magnetique tel que le fluide de hall fractionnaire. De nombreux modeles integrables exactement solubles font aussi partie de cette classe : la chaine d'heisenberg, le modele de hubbard de facon tres remarquable, les solutions exactes font apparaitre dans le spectre d'excitations des etats fractionnaires, qui ne portent plus les nombres quantiques de l'electron : par exemple le holon du modele de hubbard porte une charge unite mais n'a pas de spin. Cependant, aucune analyse detaillee de la theorie effective decrivant le liquide de luttinger qui ferait clairement apparaitre des etats fractionnaires dans le spectre n'existait. Dans cette these, nous avons montre explicitement que cette theorie effective admettait des excitations fractionnaires et avons decrit en detail leur construction. Nous avons pu ainsi obtenir toute une serie de resultats nouveaux sur les excitations fractionnaires, ce qui nous a conduit a faire un certain nombre de predictions. Nous avons trouve de facon tres remarquable qu'il n'y avait non plus une mais deux excitations elementaires correspondant au spinon des chaines de spin et une seconde qui est isomorphe a une quasi-particule de laughlin de l'effet hall fractionnaire. Cette derniere serait susceptible d'etre observee experimentalement. Les fonctions d'onde du fondamental et des excitations ont aussi ete calculees. Ces resultats ont ete ensuite generalises au liquide de luttinger avec spin : nous introduisons un formalisme qui nous permet de decrire de facon exhaustive le spectre fractionnaire dans des situations avec separation spin-charge ou meme sans separation spin-charge (comme par exemple pour des systemes sous champ magnetique comme le modele de hubbard sous champ).
Depuis une trentaine d'années, les phases topologiques ont suscité un intérêt important parce qu'elles ne peuvent être comprises dans le cadre de la théorie de Landau des transitions de phases. Par définition, ces phases ne peuvent être distingués des phases triviales par une mesure locale et il est donc difficile de les identifier. Parmi les différentes techniques utilisées pour identifier les phases topologiques, les mesures d'intrication, introduites dans le cadre de l'informatique quantique, se sont révélées fructueuses. Li et Haldane ont proposé d'utiliser le spectre d'intrication : il s'agit du spectre de la matrice densité réduite obtenue lors d'un découpage du système en deux sous-parties. Ils ont montré que, pour les états modèles de l'effet Hall quantique fractionnaire, le comptage des états du spectre d'intrication possède une partie universelle dont le comptage est relié à celui des excitations de bord du système. Au cours de ma thèse, j'ai cherché à comprendre ce que permettait d'obtenir le spectre d'intrication appliqué aux phases de l'effet Hall quantique fractionnaire qui est l'exemple typique de phases topologiques en interaction forte. Mes premiers travaux ont consisté à étudier le spectre d'intrication, tel que l'avait défini Li et Haldane. J'ai ainsi montré qu'au-delà des états modèles il était possible de définir un gap d'intrication. J'ai aussi relié les structures au-dessus du gap d'intrication aux excitations de type quasitrous-quasiparticules. Par la suite, j'ai défini deux autres spectres d'intrication qui repose sur des découpages différents du système. Le spectre d'intrication par particule permet d'accéder à d'autres excitations de type quasitrous alors que le spectre d'intrication géométrique règle un certain nombre de problèmes que la définition de Li et Haldane posait. Enfin, j'ai utilisé ces outils pour identifier les phases, similaires à celles de l'effet Hall quantique fractionnaire, émergentes pour un gaz de bosons dans un réseau optique ou dans les isolants de Chern fractionnaires.
Les isolants topologiques sont des isolants qui ne peuvent être différenciés des isolants atomiques que par une grandeur physique non locale appelée invariant topologique. L'effet Hall quantique et son équivalent sans champ magnétique l'isolant de Chern sont des exemples d'isolants topologiques. En présence d'interactions fortes, des excitations exotiques appelées anyons peuvent apparaître dans les isolants topologiques. L'effet Hall quantique fractionnaire (EHQF) est la seule réalisation expérimentale connue de ces phases. Dans ce manuscrit, nous étudions numériquement les conditions d'émergence de différents isolants topologiques fractionnaires. Nous nous concentrons d'abord sur l'étude de l'EHQF sur le tore. Nous introduisons une méthode de construction projective des états EHQF les plus exotiques complémentaire par rapport aux méthodes existantes. Nous étudions les excitations de basse énergie sur le tore de deux états EHQF, les états de Laughlin et de Moore-Read. Nous proposons des fonctions d'onde pour les décrire, et vérifions leur validité numériquement. Grâce à cette description, nous caractérisons les excitations de basse énergie de l'état de Laughlin dans les isolants de Chern. Nous démontrons également la stabilité d'autres états de l'EHQF dans les isolants de Chern, tels que les états de fermions composites, Halperin et NASS. Nous explorons ensuite des phases fractionnaires sans équivallent dans la physique de l'EHQF, d'abord en choisissant un modèle dont l'invariant topologique a une valeur plus élevée, puis en imposant au système la conservation de la symétrie par renversement du temps, ce qui modifie la nature de l'invariant topologique.
Gaz quantiques à plusieurs composantes sous champ de jauge La première observation de la condensation de Bose-Einstein (BEC) dans les vapeurs atomiques diluées a été une percée fondamentale, vérifiant le concept théorique prédit par Bose et Einstein il y a plusieurs décennies, révélant la propriété statistique des particules quantiques. Depuis lors, un nouveau champ est apparu et les expérimentateurs sont en mesure d'étudier cette matière artificielle de manière très propre et contrôlable. Les systèmes à atomes froids nous permettent d’explorer toute une série de phénomènes fondamentaux extrêmement difficiles voire impossibles à étudier dans des matériaux réels, tels que l’oscillation de Bloch, la transition superfluide-Mott, la topologie de la structure de la bande, le magnétisme orbital, pour ne nommer que ceux-ci. Ces progrès permettent la simulation quantique d'une grande classe d'hamiltoniens soumis au champ magnétique. En effet, les phénomènes de matière condensée sous de forts champs magnétiques intriguent toujours et sont au centre des recherches modernes. Une échelle est la géométrie la plus simple où l'on peut avoir un aperçu des effets d’un champ de jauge synthétique.dans un systèmes quantiques à deux dimensions.La première partie de cette thèse est consacrée à l'étude de l'échelle à double anneau soumise à des flux de jauge.À travers des calculs numériques et analytiques, nous explorons le diagramme de phases du système en révélant les phases connues telles que la phase de Meissner, vortex et « biased ladder » phases, ainsi que l’effet de commensurabilité du flux total. Grâce à l'approximation de Bogoliubov, nous pouvons déduire le spectre d'excitation du système et la nature des modes à basse énergie dans les différentes phases, révélant des effets de supersolidités ainsi d'oscillation de Josephson entre les anneaux. Le régime d'interaction infinie entre le boson nous a permis d'utiliser une cartographie exacte entre fermions et bosons à l'aide de la transformation de Jordan-Wigner pour caractériser les propriétés de l'état fondamental. Nous explorons le régime intermédiaire des interactions via la théorie des Liquide de Luttinger. Grâce à l’expansion de mode et à l’approche de re-fermionisation de l’Hamiltonien bosonisé du double anneau sous flux de jauge, nous montrons les particularités de la condition aux limites périodiques de taille finie sur le courant dans le double anneau en présence d’une barrière permettant la simulation d’un champ de jauge.Les excitons-polaritons dans les microcavités semi-conductrices constituent un formidable terrain de jeu pour l'étude des fluides quantiques de la lumière où des effets remarquables, similaires à ceux observés dans les expériences sur les atomes froids, se produisent. Même si ce fluide quantique de lumière est supposé être composé d’un état macroscopiquement occupé la nature hors équilibre du gaz rend la comparaison avec les condensats typiques des expériences d’atomes froids plutôt non triviale.La deuxième partie de la thèse est consacrée à l'étude des excitons-polariton dans le réseau en nid d'abeille. Dans ces réseaux les excitations à faible énergie sont des particules de Dirac sans masse et chirales. Les exciton-polaritons, qui sont des particules composites de lumière, retrouvent leur caractère relativiste dans ce reseau mais dans un contexte où la condensation est possible. Les caractéristiques des bosons dans le réseau en nid d’abeilles, y compris les fonctions de Green retardés, le mécanisme de sélection de la zone de Brillouin et le lien avec la géométrie du réseau. Nous montrons que les modes de désintégration sont supprimés en raison de la symétrie du réseau menant à la possibilité de créer un état sombre polaritonique. On obtient ensuite le spectre d’excitation de Bogoliubov. La courbe de bistabilité habituelle est instable au-dessus du point C, montrant la chute de la théorie du champ moyen en raison de la possibilité d'un état hautement non classique. Enfin, expérience et théorie sont comparées.
Etude numérique des isolants topologiques fractionnaires Les isolants topologiques sont des isolants qui ne peuvent être différenciés des isolants atomiques que par une grandeur physique non locale appelée invariant topologique. L'effet Hall quantique et son équivalent sans champ magnétique l'isolant de Chern sont des exemples d'isolants topologiques. En présence d'interactions fortes, des excitations exotiques appelées anyons peuvent apparaître dans les isolants topologiques. L'effet Hall quantique fractionnaire (EHQF) est la seule réalisation expérimentale connue de ces phases. Dans ce manuscrit, nous étudions numériquement les conditions d'émergence de différents isolants topologiques fractionnaires. Nous nous concentrons d'abord sur l'étude de l'EHQF sur le tore. Nous introduisons une méthode de construction projective des états EHQF les plus exotiques complémentaire par rapport aux méthodes existantes. Nous étudions les excitations de basse énergie sur le tore de deux états EHQF, les états de Laughlin et de Moore-Read. Nous proposons des fonctions d'onde pour les décrire, et vérifions leur validité numériquement. Grâce à cette description, nous caractérisons les excitations de basse énergie de l'état de Laughlin dans les isolants de Chern. Nous démontrons également la stabilité d'autres états de l'EHQF dans les isolants de Chern, tels que les états de fermions composites, Halperin et NASS. Nous explorons ensuite des phases fractionnaires sans équivallent dans la physique de l'EHQF, d'abord en choisissant un modèle dont l'invariant topologique a une valeur plus élevée, puis en imposant au système la conservation de la symétrie par renversement du temps, ce qui modifie la nature de l'invariant topologique.
Les travaux reunis dans cette these comportent deux parties. La premiere partie est dediee a l'etude de la solution exacte des modeles de type calogero-sutherland. Ces modeles decrivent des particules en une dimension, en interaction proportionnelle a l'inverse de la distance qui les separe au carre, et sont les exemples les plus simples de systemes a statistique fractionnaire. Ils jouent un role important dans la modelisation des phenomenes physiques en basse dimension, decrivant les excitations de bord dans l'effet hall ou la distribution des niveaux d'energie pour des grains metalliques desordonnes. Deux types de conditions aux bords compatibles avec l'integralite ont ete consideres: les conditions periodiques et les bords reflechissants. La connaissance de la solution exacte permet, dans le cas periodique, de calculer les fonctions de correlation. La structure integrale de ces systemes est retrouvee dans le cadre de la theorie conforme. Cela permet de decomposer l'espace de fock de la theorie conforme selon le contenu en quasi-particules de statistique fractionnaire. Dans la deuxieme partie de la these, les methodes de la theorie conforme sont adaptes a l'etude des systemes desordonnes. Le phenomene etudie est la transition entre plateaux dans l'effet hall entier, a travers un modele de fermions en deux dimensions en potentiel aleatoire. Sous certaines hypotheses, le point critique de ce systeme est decrit par une theorie conforme ayant comme symetrie une super-algebre de courants. Cette theorie est etudiee en detail et le calcul des fonctions de correlation des champs primaires met en evidence l'apparition d'une dependance logarithmique, phenomene inhabituel pour une theorie conforme. Cependant, cette theorie ne fournit pas l'exposant critique attendu pour la transition localisation/delocalisation