Differently from the majority of the other phases of matter, which are characterized by local order parameters, the topological phases are characterized by integer or semi-integer numbers, the topological invariants, which are depending on global properties and robust against impurities or deformations. In the last decade, the study of the topological phases of matter has been developing parallel to the field of quantum simulation. Quantum simulators are fully controllable experimental platforms simulating the dynamics of systems of interest by the use of the mapping between the two Hamiltonians. These simulators represent a key resource in the study of topological phases of matter because their observation in natural systems is usually highly problematic and sometimes impossible. Quantum simulators are commonly realized with cold atoms in optical lattices or with photonic systems. The unitary and time-periodic protocols, known as quantum walks, are a versatile class of photonic quantum simulators. The purpose of this PhD thesis is to design feasible protocols to simulate and characterize topological non-interacting crystalline Hamiltonians in 1 and 2 dimensions. Moreover, this thesis contains the description of the experiments that have been completed using the theoretical proposals. In details: i) We demonstrate that the topological invariant associated to chiral symmetric 1D Hamiltonians becomes apparent through the long time limit of a bulk observable, the mean chiral displacement (MCD). This detection method converges rapidly and requires no additional elements (i.e. external fields) or filled bands. The MCD has been used to characterize the topology of a chiral-symmetric 1D photonic quantum walk and to detect a signature of the so-called topological Anderson insulating phase in a disordered chiral symmetric wire simulated with ultracold atoms. ii) We designed the protocol to measure the topological invariant that characterizes a 2D photonic quantum walk simulating a Chern insulator. A diferencia de la mayoría de las otras fases de la materia, caracterizadas por un parámetro de orden local, las fases topológicas de la materia se definen por su invariante topológico que depende de las propiedades globales del sistema y es robusto frente a la presencia de impurezas y/o deformaciones. En la última década, el estudio de las fases topológicas de la materia se ha desarrollado en paralelo con el campo de la simulación cuántica. Un simulador cuántico es unas plataformas experimental altamente controlable cuyo objetivo es simular la dinámica de un sistema de interés, mediante la correspondencia entre los dos Hamiltonianos. Estos simuladores representan un recurso clave en el estudio de las fases topológicas dado que su observación en sistemas reales es en general muy problemática y en determinadas ocasiones hasta imposible. Normalmente, los simuladores cuánticos se crean mediante átomos fríos en redes ópticas o con sistemas fotónicos. Los paseos cuánticos (quantum walks), un proceso unitario y temporalmente periódico, representan una de las clases mas versátiles de simuladores cuánticos. El propósito de esta tesis de doctorado es el diseño de protocolos para la simulación y la caracterización de Hamiltonianos topológicos no interactivos de estructuras cristalinas, tanto en una como en dos dimensiones. Además, en esta tesis se expone la descripción de experimentos llevados a cabo a partir del modelo teórico propuesto. En detalle: Demostramos que el invariante topologico asociado a la simetría quiral en una dimensión se hace aparente a partir del limite a tiempos largos de un observable del volumen (bulk), el desplazamiento quiral medio (MCD, por sus siglas en inglés). Este método de detección converge de manera rápida y no necesita de elementos adicionales (es decir, de campos externos) o bandas pobladas. El MCD ha sido utilizado para caracterizar la topología de un paseo cuántico en una dimensión con simetria quiral y para detectar la fase topológica aislante de Anderson en hilos quirales con desorden, simulados con átomos ultra fríos. Hemos diseñado un protocolo para medir el invariante topológico que caracteriza un paseo cuántico en dos dimensiones simulando un aislante de Chern.
Differently from the majority of the other phases of matter, which are characterized by local order parameters, the topological phases are characterized by integer or semi-integer numbers, the topological invariants, which are depending on global properties and robust against impurities or deformations. In the last decade, the study of the topological phases of matter has been developing parallel to the field of quantum simulation. Quantum simulators are fully controllable experimental platforms simulating the dynamics of systems of interest by the use of the mapping between the two Hamiltonians. These simulators represent a key resource in the study of topological phases of matter because their observation in natural systems is usually highly problematic and sometimes impossible. Quantum simulators are commonly realized with cold atoms in optical lattices or with photonic systems. The unitary and time-periodic protocols, known as quantum walks, are a versatile class of photonic quantum simulators. The purpose of this PhD thesis is to design feasible protocols to simulate and characterize topological non-interacting crystalline Hamiltonians in 1 and 2 dimensions. Moreover, this thesis contains the description of the experiments that have been completed using the theoretical proposals. In details: i) We demonstrate that the topological invariant associated to chiral symmetric 1D Hamiltonians becomes apparent through the long time limit of a bulk observable, the mean chiral displacement (MCD). This detection method converges rapidly and requires no additional elements (i.e. external fields) or filled bands. The MCD has been used to characterize the topology of a chiral-symmetric 1D photonic quantum walk and to detect a signature of the so-called topological Anderson insulating phase in a disordered chiral symmetric wire simulated with ultracold atoms. ii) We designed the protocol to measure the topological invariant that characterizes a 2D photonic quantum walk simulating a Chern insulator. A diferencia de la mayoría de las otras fases de la materia, caracterizadas por un parámetro de orden local, las fases topológicas de la materia se definen por su invariante topológico que depende de las propiedades globales del sistema y es robusto frente a la presencia de impurezas y/o deformaciones. En la última década, el estudio de las fases topológicas de la materia se ha desarrollado en paralelo con el campo de la simulación cuántica. Un simulador cuántico es unas plataformas experimental altamente controlable cuyo objetivo es simular la dinámica de un sistema de interés, mediante la correspondencia entre los dos Hamiltonianos. Estos simuladores representan un recurso clave en el estudio de las fases topológicas dado que su observación en sistemas reales es en general muy problemática y en determinadas ocasiones hasta imposible. Normalmente, los simuladores cuánticos se crean mediante átomos fríos en redes ópticas o con sistemas fotónicos. Los paseos cuánticos (quantum walks), un proceso unitario y temporalmente periódico, representan una de las clases mas versátiles de simuladores cuánticos. El propósito de esta tesis de doctorado es el diseño de protocolos para la simulación y la caracterización de Hamiltonianos topológicos no interactivos de estructuras cristalinas, tanto en una como en dos dimensiones. Además, en esta tesis se expone la descripción de experimentos llevados a cabo a partir del modelo teórico propuesto. En detalle: Demostramos que el invariante topologico asociado a la simetría quiral en una dimensión se hace aparente a partir del limite a tiempos largos de un observable del volumen (bulk), el desplazamiento quiral medio (MCD, por sus siglas en inglés). Este método de detección converge de manera rápida y no necesita de elementos adicionales (es decir, de campos externos) o bandas pobladas. El MCD ha sido utilizado para caracterizar la topología de un paseo cuántico en una dimensión con simetria quiral y para detectar la fase topológica aislante de Anderson en hilos quirales con desorden, simulados con átomos ultra fríos. Hemos diseñado un protocolo para medir el invariante topológico que caracteriza un paseo cuántico en dos dimensiones simulando un aislante de Chern.
For a long time, quantum states of matter have been successfully characterized by the Ginzburg-Landau formalism that was able to classify all different types of phase transitions. This view changed with the discovery of the quantum Hall effect and topological insulators. The latter are materials that host metallic edge states in an insulating bulk, some of which are protected by the existing symmetries. Complementary to the search of topological phases in condensed matter, great efforts have been made in quantum simulations based on cold atomic gases. Sophisticated laser schemes provide optical lattices with different geometries and allow to tune interactions and the realization of artificial gauge fields. At the same time, new concepts coming from quantum information, based on entanglement, are pushing the frontier of our understanding of quantum phases as a whole. The concept of entanglement has revolutionized the description of quantum many-body states by describing wave functions with tensor networks (TN) that are exploited for numerical simulations based on the variational principle. This thesis falls within the framework of the studies in condensed matter physics: it focuses indeed on the so-called synthetic realization of quantum states of matter, more specifically, of topological ones, which may have on the long-run outfalls towards robust quantum computers. We propose a theoretical investigation of cold atoms in optical lattice pierced by effective (magnetic) gauge fields and subjected to experimentally relevant interactions, by adding a modern numerical approach based on TN algorithms. More specifically, this work will focus on (i) interacting topological phases in quasi-1D systems and, in particular, the Creutz-Hubbard model, (ii) the connection between condensed matter and high energy physics studying the Gross-Neveu model and the discretization of Wilson-Hubbard model, (iii) implementing tensor network-based algorithms. Durante mucho tiempo, los estados cuánticos de la materia se han caracterizado con éxito por el formalismo de Ginzburg-Landau que permitió de clasificar todos los diferentes tipos de transiciones de fase. Esta visión cambió con el descubrimiento del efecto Hall cuántico y los aislantes topológicos. Estos últimos son materiales que albergan estados de borde metálicos en una masa aislante, algunos de los cuales están protegidos por las simetrías existentes. Conjuntamente a la búsqueda de fases topológicas en materia condensada, se han hecho grandes esfuerzos en simulaciones cuánticas basadas en gases atómicos fríos. Los sofisticados esquemas láser proporcionan redes ópticas con diferentes geometrías y permiten ajustar las interacciones y la realización de campos de gauge artificial. Al mismo tiempo, los nuevos conceptos que provienen de la información cuántica, basados en el entanglement, están empujando la frontera de nuestra comprensión de las fases cuánticas en su conjunto. El concepto de entanglement ha revolucionado la descripción de los estados cuánticos de muchos cuerpos al describir las funciones de onda con redes tensoras (TN) que se explotan para simulaciones numéricas basadas en el principio de variación. Esta tesis se enmarca en los estudios de física de la materia condensada: en particular, se centra en la llamada realización sintética de los estados cuánticos de la materia, más específicamente, de los topológicos, que pueden tener en las salidas a largo plazo hacia computadoras cuánticas robustas. Se propone una investigación teórica de los átomos fríos en la red óptica con campos de gauge efectivos y sometidos a interacciones relevantes experimentalmente, agregando un enfoque numérico moderno basado en algoritmos TN. Más específicamente, este trabajo se centrará en (i) fases topológicas en los sistemas cuasi-1D y, en particular, el modelo Creutz-Hubbard, (ii) la conexión entre la materia condensada y la física de alta energía estudiando el modelo Gross-Neveu y el discretización del modelo Wilson-Hubbard, (iii) implementación de algoritmos basados en redes tensoras.
The last decades have witnessed impressive technical advances in all the fields of quantum science, including solid-state systems or atomic, molecular, and optical physics, allowing one to control materials at the microscopic scale with a high degree of precision. This development opens the road for the investigation of complex many-body phenomena in quantum materials, which cannot be easily inferred from the behavior of their individual constituents. Indeed, interactions in quantum many-body systems can lead to richer physics compared to the noninteracting case, as they are deeply connected with spontaneous symmetry breaking, quantum correlations, i.e., entanglement, and some collective behaviors. On the one hand, in some cases, the motivation to study such interacting systems is the possibility to synthesize them in the lab, such as for instance with cold atoms in optical lattices. The latter platform can be used as a quantum simulator of systems that were regarded just as toy models in the last century, as it is the case of topological insulators: materials characterized by a global topological invariant leading to protected surface modes. While so far experiments have concentrated their efforts on engineering noninteracting topological insulators, state-of-the art techniques can also be used to study the role of interactions in these systems. In this context, the first goal of this thesis is to investigate novel effects in interaction-induced topological insulators. In the one-dimensional case, we reveal the topological nature of fermionic chains with frustrated interactions, which could be realized with dipolar quantum gases. For the two-dimensional case, we focus on topological Mott insulators, for which we propose an experimental scheme based on Rydberg-dressed atoms. Furthermore, we show that these systems can exhibit rich spatial features intertwined with their topological protection, owing to the interacting nature of the phase. On the other hand, there are some paradigmatic cases, as in high-Tc superconductors, where exotic experimental results clearly point towards the need of finding a microscopic model in a many-body interacting framework. In the particular case of high-Tc superconductors, their complex composition and unknown exact form of intrinsic interactions make it challenging to characterize their rich phase diagram: such materials not only host a high-Tc superconducting phase, but also other exotic phases, such as the strange metal or pseudogap phases. In this regard, the second goal of this thesis is to gain physical insight of the pseudogap phase of cuprate high-Tc superconductors. To this aim, we numerically study the effect of interactions between electrons and bond phonons within a particular Hamiltonian modeling of the system. We show that, by properly accounting for the subtle interplay between electron-electron and electron-phonon interactions, one can indeed numerically reproduce the main experimental features of the pseudogap phase. Finally, the study of collective interaction-induced effects is also needed to analyze the quantum advantage theoretically claimed for some systems. In particular, many-body interactions and entanglement are sometimes regarded as a resource for quantum thermodynamic machines: devices that perform tasks related to refrigeration, heat-to-work conversion, or energy storage. On this basis, the third goal of this thesis is to study fundamental bounds imposed by quantum mechanics to collective charging effects in systems for energy storage, called quantum batteries. Les últimes dècades han presenciat grans avenços tècnics en tots els camps de la física quàntica, com en física de l'estat sòlid, o en física atòmica, molecular i òptica, els quals han permès controlar materials a escala microscòpica amb alta precisió. Aquests avenços obren la porta a l'estudi de fenòmens complexos de diverses partícules en materials quàntics, els quals no poden ser explicats de manera simple a partir del comportament individual de cadascuna d'aquestes partícules. En aquest sentit, les interaccions en sistemes quàntics de vàries partícules poden donar lloc a una física més rica en comparació amb el cas sense interaccions, ja que aquestes estan profundament connectades amb la ruptura espontània de simetria, correlacions quàntiques com l'entrellaçament, i alguns fenòmens col·lectius. Per una banda, una de les motivacions per estudiar aquests sistemes amb interaccions ve donada per la possibilitat de sintetitzar-los al laboratori, per exemple amb àtoms freds en xarxes òptiques. Aquesta plataforma pot ser emprada com a simulador quàntic de sistemes que al llarg del segle passat eren considerats models purament teòrics, com és el cas dels aïllants topològics: materials caracteritzats per un invariant global topològic, el qual dona lloc a estats de superfície protegits. Tot i que de moment els experiments s'han enfocat a simular aïllants topològics sense interaccions, aquestes també es poden estudiar experimentalment amb les tècniques més avançades. En aquest context, el primer objectiu d'aquesta tesi és investigar nous fenòmens en aïllants topològics generats a través d'interaccions. En una dimensió, descobrim la naturalesa topològica de cadenes d'electrons amb interaccions frustrades, que podrien ser simulades amb gasos dipolars. En dues dimensions, ens centrem en l'estudi d'aïllants topològics de tipus Mott, pels quals proposem una implementació experimental basada en àtoms de Rydberg parcialment excitats, i mostrem que, degut a les interaccions inherents a aquest tipus de fases, aquestes poden presentar propietats espacials interessants entrellaçades amb la topologia. Per altra banda, hi ha alguns casos paradigmàtics, com el dels superconductors a altes temperatures, en què per explicar resultats experimentals exòtics és necessari trobar un model microscòpic en un marc de diverses partícules amb interaccions. En el cas particular dels superconductors a altes temperatures, la seva composició complexa i el desconeixement de la forma de les interaccions internes fan difícil caracteritzar el seu diagrama de fases: més enllà de la fase superconductora, aquests materials també presenten altres fases interessants com la del metall estrany o la fase de pseudogap. En aquest cas, el segon objectiu d'aquesta tesi és entendre millor la física de la fase de pseudogap dels cuprates, una família de de materials superconductors a altes temperatures. Amb aquesta finalitat, estudiem numèricament l'efecte d'interaccions electró-fonó, dins d'una modelització Hamiltoniana del sistema. Mostrem que, quan és té en compte la interrelació entre interaccions electró-fonó i electró-electró de manera adequada, es poden reproduir de forma numèrica les principals propietats experimentals de la fase de pseudogap. Finalment, l'estudi d'efectes col·lectius causats per interaccions també és necessari per analitzar els avantatges quàntics que s'han predit de manera teòrica en alguns sistemes. En concret, les interaccions entre diverses partícules i l'entrellaçament quàntic són considerats com a recursos per les màquines termodinàmiques quàntiques: dispositius que s'encarreguen de realitzar tasques com refrigerar, convertir calor en treball, o emmagatzemar energia. En aquesta direcció, el tercer objectiu d’aquesta tesi és estudiar els límits fonamentals imposats per la mecànica quàntica als efectes col·lectius de càrrega en sistemes emprats per emmagatzemar energia, les bateries quàntiques. Las últimas décadas han presenciado grandes avances técnicos en todos los campos de la física cuántica, como en física del estado sólido, o en física atómica, molecular y óptica, que han permitido controlar materiales a escala microscópica con alta precisión. Estos avances abren la puerta al estudio de fenómenos complejos de diversas partículas en materiales cuánticos, que no pueden ser explicados de manera simple a partir del comportamiento individual de cada una de estas partículas. En este sentido, las interacciones en sistemas cuánticos de varias partículas pueden dar lugar a una física más rica en comparación con el caso sin interacciones, puesto que éstas están profundamente conectadas con la ruptura espontánea de simetría, correlaciones cuánticas como el entrelazamiento, y algunos fenómenos colectivos. Por un lado, una de las motivaciones para estudiar estos sistemas con interacciones viene dada por la posibilidad de sintetizarlos en el laboratorio, por ejemplo con átomos fríos en redes ópticas. Esta plataforma puede utilizarse como simulador cuántico de sistemas considerados como modelos puramente teóricos en el siglo pasado, como los aislantes topológicos: materiales caracterizados por un invariante global topológico, que da lugar a estados de superficie protegidos. Aunque por el momento los experimentos se han enfocado a simular aislantes topológicos sin interacciones, éstas también pueden estudiarse experimentalmente con las técnicas más avanzadas. En ese contexto, el primer objetivo de esta tesis es investigar nuevos fenómenos en aislantes topológicos generados a través de interacciones. En una dimensión, descubrimos la naturaleza topológica de cadenas de electrones con interacciones frustradas, que podrían ser simuladas con gases dipolares. En dos dimensiones, nos centramos en el estudio de aislantes topológicos de tipo Mott, por los que proponemos una implementación con átomos de Rydberg parcialmente excitados, mostrando que, debido a las interacciones inherentes a este tipo de fases, éstas pueden presentar propiedades espaciales interesantes entrelazadas con la topología. Por otro lado, existen algunos casos paradigmáticos, como el de los superconductores a altas temperaturas, en los que para explicar resultados experimentales exóticos es necesario encontrar un modelo microscópico en un marco de diver
The outstanding progress achieved in the last decades to isolate and manipulate individual quantum systems has revolutionized the way in which quantum many-body phenomena, appearing across Nature's different energy scales, can be investigated. By employing atomic systems such as ultracold atoms in optical lattices, an enormous range of paradigmatic models from condensed-matter and high-energy physics are being currently studied using table-top experiments, turning Feynman's idea of a quantum simulator into a reality.Quantum simulators offer the possibility to gather information about complex quantum systems, which are either not accessible to experiments or whose properties can not be easily derived using standard analytical or numerical approaches. These synthetic quantum systems can be designed precisely such that they are described under the same models as natural systems, and their remarkable control allows to probe the relevant phenomena associated to them. Apart from their quantum simulation capabilities, atomic systems can also be employed to generate quantum matter with novel properties beyond those found in Nature, offering interesting prospects for quantum technological applications. In this thesis, we investigate the possibilities that cold-atom systems present to address, in particular, quantum matter with non-trivial topological properties. Using mixtures of ultracold atoms, we analyze various quantum simulation strategies to access several many-body phenomena for which a satisfactory understanding is still lacking. Moreover, we show how such platforms display strongly-correlated topological effects beyond those found in natural systems. We first focus on models inspired by condensed-matter physics. More precisely, we propose how lattices dynamics, similar to those described by phonons in solid crystals, can be implemented in an otherwise static optical lattice. By coupling the former to quantum matter using a mixture of bosonic atoms, we reproduce typical effects described by electronic systems, such as topological defects or charge fractionalization. We then extend these results and find novel features, from boson fractionalization to intertwined topological phases.We then consider the quantum simulation of high-energy-physics problems. By using Bose-Fermi mixtures, we show how non-perturbative phenomena characteristic of non-abelian gauge theories, such as quark confinement, emerge in simpler models that are within the reach of current technology. Finally, we investigate how the interplay between gauge invariance and strong correlations gives rise to various mechanisms to prepare robust topological order in near-term quantum simulators.In summary, our results show several connections between different areas of theoretical and experimental physics, and indicate how these can be harnessed further to advance our understanding of strongly-correlated quantum matter, as well as to utilize the latter for new technological applications. El enorme progreso llevado a cabo en las últimas decadas para aislar y manipular sistemas cuánticos individuales ha revolucionado la manera de investigar fenómenos cuánticos de muchos cuerpos, los cuales se presentan a diferentes escalas energéticas en la naturaleza. Actualmente, una gran variedad de modelos paradigmáticos en física de la materia condensada y de altas energías se estudian experimentalmente utilizando sistemas atómicos tales como átomos ultrafríos en retículos ópticos, llevando a la realidad la idea de simulador cuántico de Feynman. Los simuladores cuánticos ofrecen la posibilidad de obtener información sobre otros sistemas cuánticos más complejos que, o bien no son accesibles experimentalmente, o cuyas propiedades no se pueden predecir fácilmente utilizando técnicas analíticas o numéricas usuales. Estos sistemas cuánticos sintéticos se pueden diseñar de tal manera que se encuentren descritos precisamente por los mismos modelos que los anteriores y, gracias a su notable control, permiten investigar los fenómenos más relevantes asociados a ellos. Aparte de su uso como simuladores cuánticos, estos sistemas atómicos se pueden utilizar para crear nuevos tipos de materia cuántica cuyas propiedades pueden ser diferentes de aquellas encontradas en la naturaleza, ofreciendo así aplicaciones interesantes en tecnología cuántica. En esta tesis investigamos las posibilidades que los sistemas de átomos fríos ofrecen para obtener materia cuántica con propiedades topológicas no triviales. Analizamos, en particular, diferentes estrategias de simulación cuántica para acceder a varios fenómenos de muchos cuerpos que aún no se entienden de forma satisfactoria, utilizando para ello mezclas de átomos ultrafríos. Mostramos además como estas plataformas pueden dar lugar a efectos topológicos fuertemente correlacionados que van más allá de los encontrados hasta ahora en sistemas naturales. Primero nos enfocamos en modelos inspirados por sistemas de materia condensada. En particular, proponemos como implementar retículos dinámicos, los cuales suelen ser estáticos en sitemas ópticos, de manera que podamos simular las partículas fonónicas que aparecen en sólidos cristalinos. Acoplamos estos últimos a materia cuántica utilizando una mezcla de átomos bosónicos, lo cual nos permite reproducir algunos de los efectos típicos que aparecen en sitemas electrónicos, tales como defectos topológicos o fraccionalización de la carga. Por último, extendemos estos resultados encontrando rasgos nuevos, desde la fraccionalización de bosones hasta fases topológicas entrelazadas. Consideramos además simulaciones cuánticas para problemas en física de altas energías. Utilizando mezclas de átomos bosónicos y fermiónicos, mostramos como algunos fenómenos no perturbativos característicos de teorías gauge no abelianas, tales como el confinamiento de quarks, pueden aparecer en modelos más sencillos, los cuales están al alcance de la tecnología actual. Finalmente, investigamos como la interacción entre simetría gauge y correlaciones fuertes puede dar lugar a nuevos mecanismos para genera orden topológico más robusto en simuladores cuánticos a corto plazo. En resumen, nuestros resultados muestras varias conexiones entre diferentes areas de la física teórica y experimental, e indican como estas pueden ser exploradas para avanzar en el conocmiento de la materia cuántica fuertemente correlacionada, así como en las posibles aplicaciones tecnológicas de esta última.
El incipiente campo de los ordenes topologicos ha sido ampliamente estudiado tanto por las comunidad de fisica de la materia condensada como por la de simulacion cuantica. Sin embargo, es poco lo que se conoce sobre el comportamiento de estos ordenes topologicos en presencia de ruido externo o efectos disipativos.
En la primera parte de esta tesis, hemos estudiado como los estados de borde de un aislante topologico se vuelven intestables cuando se ponen en interaccion con banos termicos. Motivados por estos resultados, hemos generalizado la nocion de aislante topologico de tipo Chern para el caso de dinamicas Liouvillianas. Estas dinamicas caracterizan sistemas en presencia de disipacion que no puede ser descritos por un Hamiltoniano. Para alcanzar este objetivo de generalizacion hemos definido un nuevo indicador topologico que esta relacionado con la conductividad Hall cuantica a temperatura finita. Este formalismo describe tambien el caracter mixto de los estados de borde del aislante topologico. A modo de ejemplo, hemos estudiado modelos explicitos de aislantes topologicos acoplados a distintos canales de disipacion.
Por otra lado, hemos encontrado nuevas fases cuanticas y topologicas que permanecen cuantizadas a temperatura finita. La construccion de las mismas esta basada en la fase de Uhlman, que es una fase geometrica cuantica definida para matrices densidad; utilizadas estas ultimas para describir estados cuanticos con ruido. Empleando esta nueva herramienta, hemos sido capaces de caracterizar aislantes y superconductores topologicos a temperatura finita tanto en una como en dos dimensiones espaciales. Desde el punto de vista experimental, hemos propuesto un protocolo (independiente del estado del sistema) para medir la fase de Uhlmann topologica en un contexto de simulacion cuantica.
En la segunda parte de la tesis hemos centrado nuestros esfuerzos en el estudio de sistemas topologicos que presentan efectos de largo alcance. Los ordenes topologicos de tipo symmetry-protected han emergido tradicionalmente a partir de interacciones de corto alcance. Sin embargo, se desconoce en gran medida el rol que juegan las interacciones de largo alcance en la fisica de estos sistemas topologicos.
En esta parte de la tesis hemos analizado como las fases topologicas superconductoras se ven afectadas por la inclusion de acoplos de largo alcance. De manera muy resenable, hemos encontrado nuevas quasi-particulas topologicas debido a las interacciones de largo alcance, que no estaban presentes en modelos de corto alcance. Se trata de fermiones de Dirac no-locales protegidos por la topologia del propio sistema. Ademas, hemos estudiado como los invariantes topologicos se ven modificados por la presencia de efectos de largo alcance.
Por ultimo, en la seccion de apendices de esta tesis, hemos utilizados diversos metodos numericos para estudiar transiciones de fase cuanticas inducidas por disipacion. De esta manera, hemos considerado sistemas cuanticos con un termino disipativo que conduce el sistema a un estado estacionario de no equilibrio. En particular, hemos demostrado que la inclusion de flucturaciones de corto alcance en los sistemas fuera del equilibrio, modifica significativamente la topologia del diagrama de fases. Este es un hecho que por el contrario no se observa en la termodinamica de equilibrio.
This thesis is a contribution to the research field of quantum simulations of topological phases of matter, i.e. quantum states characterized by a non-local order parameter.The aim of the research on quantum simulations is to overcome the difficulties encountered in the study of quantum mechanical models with conventional numerical methods.The proposed way to accomplish this task is the direct exploitation of controllable quantum systems whose properties, for instance low-energy physics, mimic those of the model to be studied.We study several problems connected to the objective of creating a quantum simulator of topological phases of matter.In particular, we discuss how to engineer the Hamiltonian of topological models, how to measure quantities which unravel topological orders, and how to quantify the reliability of topological quantum memories.The first direction of investigation considered in this thesis regards the development of new techniques to simulate topological states of matter with cold atoms in optical lattices.We propose a scheme based on an unconventional use of a bi-chromatic optical lattice to engineer the Hamiltonians of several topological insulators and of the related non-interacting relativistic models.We also focus on the Pfaffian wavefunction, a topological state supporting non-Abelian quasi-excitations arising in the presence of three-body interactions.We present a proposal for the realization with optical lattices of systems characterized by such interactions and discuss the possibility of using such a scheme to create a topological state, such as the mentioned wavefunction.The second line of research considered in this thesis concerns the detection of a string operator in optical lattices.We report on an experiment, to which we provided theoretical support, aimed at the measurement of the non-local order parameter of a one-dimensional Mott insulator; we support the discussion with the relevant theoretical background.Although the Mott insulator is not a topological phase, the measurement of string observables is crucial to reveal the non-local order of several topological states, and the developed experimental protocol is expected to be relevant in future experiments.The third contribution of this thesis is related to the use of topological phases to build a quantum computer, which is a specific example of a quantum simulator.We focus on the important problem of understanding whether it is possible to reliably store quantum information in topological states.We consider one specific class of topological quantum memories, namely those based on a fermionic topological superconductor with zero-energy Majorana modes.At the end of the storage period, we take into account the possibility of applying an operation aimed at the recovery of the information initially encoded into the system and then diminished by the time evolution.In particular, we vii
Los estados de redes tensoriales describen estados cuanticos de muchos cuerpos de forma local. Estos estados aproximan eficientemente los estados de baja energia de sistemas con interacciones locales y con gap ademas de describir exactamente estados cuanticos de muchos cuerpos de enorme importancia (aquellos que son puntos fijos de un proceso de renormalizacion). Los estados de redes tensoriales constituyen una herramienta analitica muy valiosa para el estudio de sistemas fuertemente correlacionados. En esta tesis analizamos redes tensoriales que describen fases cuanticas que albergan un tipo de order no local: el orden topologico. Uno de los aspectos mas importantes de un sistema con orden topologico es la existencia de excitaciones de cuasiparticulas con propiedades inusuales bajo intercambio que difieren tanto de los bosones o fermiones. Estas excitaciones, denominadas anyones, emergen como un comportamiento colectivo de los constituyentes del sistema y pueden transformase de forma no trivial bajo las simetrias globales del sistema.
Resulta que el sector de baja energia de algunos modelos topologicos, incluidos los anyones, tienen una descripcion en terminos de estados de redes de tensores. Ademas, el orden topologico, una propiedad global, se codifica localmente como una simetria en los tensores individuales. Esta codificacion es crucial debido a que cuando una estructura local que caracteriza una propiedad local es identificada matematicamente, uno puede centrarse en esa familia de estados de redes tensoriales para estudiar sistematicamente sus propiedades. En este sentido, los estados de redes tensoriales surgen como el marco formal para trabajar en la fisica de muchos cuerpos. El objetivo de esta tesis es contribuir a la clasificacion de redes de tensores topologicas en dos dimensiones con simetrias.
Una cuestion importante, relacionada con la caracterizacion local de simetrias globales, es como caracterizar la relacion que existe entre tensores que describen el mismo estado de red tensorial y que, por ende, deberian considerarse equivalentes.
En esta tesis obtenemos esta relacion para algunas clases de estados de redes de tensores previamente estudiados, inyectivos y normales, mejorando los resultados existentes relajando algunas hipotesis. Ademas, probamos esta relacion para estados de redes tensoriales que describen fases topologicas, donde ningun resultado previo existia. Concretamente, lo probamos para la familia que describe los modelos dobles cuanticos de un grupo finito, los denominados PEPS G-inyectivos. Una vez tenemos este teorema, se pueden caracterizar y clasificar simetrias globales que actuan localmente en cada sitio de la red.
Clasificamos simetrias globales que actuan de forma local, provenientes de un grupo finito Q, en PEPS G-inyectivos. Obtenemos un numero finito de clases para cada par (Q,G). Esta clasificacion esta relacionada con las posibles extensiones de grupo, E, de G por Q. Ademas, proporcionamos un metodo para construir un representante de cada clase, concluyendo que nuestra clasificacion es completa. Los representantes tambien se construyen usando la teoria de extensiones de grupo, empezando por una representacion de la extension E y restringiendo localmente el tensor a los elementos de G. Este representante esta dado en una forma de punto fijo de renormalizacion, lo que facilita la obtencion de todas las propiedades de la fase cuantica. Debido a que un sistema con orden topologico y simetria estara lejos de ese representante, es necesario un metodo para detectar la fase. Nosotros resolvemos ese problema proponiendo unos invariantes de la fase y sus correspondientes parametros de orden para detectar el patron de fraccionalizacion de la simetria en un estado determinado. Los parametros de orden propuestos capturan la fase mediante la deteccion de cantidades invariantes en la extension de grupo. Concluimos la tesis formulando algunas preguntas matematicas abiertas en el campo de los PEPS.