Formulation de la mécanique quantique dans l'espace de Hilbert

Richard Pérusse

L'objet du présent mémoire consiste à abstraire les principes essentiels de la mécanique ondulatoire de Schrödinger et, suivant Dirac et von Neumann, à les reformuler dans le cadre abstrait de la théorie des opérateurs autoadjoints dans l'espace de Hilbert. On donnera d'abord un bref aperçu historique relatant les débuts de la mécanique ondulatoire pour ensuite en décrire les outils et les concepts. On prendra soin d'en dégager tous ces points de la mécanique ondulatoire devant être généralisés plus loin. Le chapitre suivant traite de la théorie spectrale des opérateurs autoadjoints dans l'espace de Hilbert et constitue le coeur du présent mémoire. On y définira tous les concepts mathématiques nécessaires à la formulation de la mécanique quantique tels que: spectres d'opérateurs autoadjoints, mesures spectrales, fonctions d'opérateurs autoadjoints, et autres. Une fois en possession de ces outils mathématiques, on passera à la formulation des postulats de la mécanique quantique dans l'espace de Hilbert.

Sidali Mohammdi, Abdelhakim Gharbi, promoteur

Cristina Flesia, C. Piron

On montre que la theorie de Lax et Phillips s'applique directement a la mecanique quantique si on traite le parametre t correspondant au temps comme une regle de superselection continue et qu'ainsi on decrit le systeme dans un espace plus grand que l'espace de Hilbert usuel

Michel Mizony

C. Piron

Pierre-Cyril Aubin-Frankowski

Cette étude présente comment la théorie des noyaux reproduisants d'Aronszajn permet de fonder des liens entre d'une part la mécanique classique et les fonctions valeur et d'autre part les espaces de Hilbert de la mécanique quantique. Nous montrons que le principe de moindre action et le propagateur de Feynman définis sur des trajectoires sont des exemples de noyaux reproduisants. A chaque lagrangien correspond ainsi un espace de Hilbert qu'il n'est pas nécessaire de postuler a priori. Les noyaux reproduisants permettent une description fonctionnelle, et non distributionnelle, des espaces de la mécanique quantique dont l'espace de Fock. Cet essai ouvre sur plusieurs directions de recherche et ne résout pas encore la construction formelle de l'intégrale de Feynman. Il rassemble en revanche un faisceau d'indices sur le pouvoir explicatif des noyaux reproduisants dans les approches variationnelles des mécaniques classique et quantique.