Cette étude présente comment la théorie des noyaux reproduisants d'Aronszajn permet de fonder des liens entre d'une part la mécanique classique et les fonctions valeur et d'autre part les espaces de Hilbert de la mécanique quantique. Nous montrons que le principe de moindre action et le propagateur de Feynman définis sur des trajectoires sont des exemples de noyaux reproduisants. A chaque lagrangien correspond ainsi un espace de Hilbert qu'il n'est pas nécessaire de postuler a priori. Les noyaux reproduisants permettent une description fonctionnelle, et non distributionnelle, des espaces de la mécanique quantique dont l'espace de Fock. Cet essai ouvre sur plusieurs directions de recherche et ne résout pas encore la construction formelle de l'intégrale de Feynman. Il rassemble en revanche un faisceau d'indices sur le pouvoir explicatif des noyaux reproduisants dans les approches variationnelles des mécaniques classique et quantique.
Cette étude présente comment la théorie des noyaux reproduisants d'Aronszajn permet de fonder des liens entre d'une part la mécanique classique et les fonctions valeur et d'autre part les espaces de Hilbert de la mécanique quantique. Nous montrons que le principe de moindre action et le propagateur de Feynman définis sur des trajectoires sont des exemples de noyaux reproduisants. A chaque lagrangien correspond ainsi un espace de Hilbert qu'il n'est pas nécessaire de postuler a priori. Les noyaux reproduisants permettent une description fonctionnelle, et non distributionnelle, des espaces de la mécanique quantique dont l'espace de Fock. Cet essai ouvre sur plusieurs directions de recherche et ne résout pas encore la construction formelle de l'intégrale de Feynman. Il rassemble en revanche un faisceau d'indices sur le pouvoir explicatif des noyaux reproduisants dans les approches variationnelles des mécaniques classique et quantique.
L'hypothèse des sauts quantiques (qu'un point matériel ne peut émettre ou recevoir d'actions extérieures qu'à des intervalles d'action hamiltonienne égaux à h) impose au champ ambiant des forces électromagnétiques une propagation apparente régie par une équation d'ondes où intervient l'action hamiltonienne de l'électron-explorateur nécessaire pour déceler le champ. Cette action hamiltonienne étant d'autre part déterminée par le champ extérieur à la manière classique, l'équation définitive qui régit le champ ambiant résulte de l'élimination de l'action hamiltonienne entre l'équation d'ondes et les équations de la mécanique classique. Cette élimination, immédiate dans le cas de l'approximation de Schrodinger, ne peut se faire dans le cas de la mécanique relativiste qu'en passant des équations du second ordre (des ondes et d'Hamilton-Jacobi) à des équations du premier ordre équivalentes et donne alors le système d'équations de Dirac. Ces équations de Dirac une fois résolues, on peut calculer en fonction de leurs solutions, au moyen des équations précédentes du premier ordre, la quantité de mouvement et l'énergie d'un électron-explorateur en un point quelconque du champ ambiant. Le fait que la position initiale d'un électron vrai est indéterminée dans les données du problème ne permet alors de traiter l'étude de la trajectoire de l'électron que statistiquement, par les méthodes classiques de la mécanique statistique. On retrouve ainsi, dans le cas des trajectoires « possibles » de la mécanique classique, les interprétations statistiqnes prises en hypothèse par Dirac. Un appendice revient sur l'approximation de Schrödinger, précise la différence des électrons vrais et des électrons explorateurs, et interprète l'expérience de Davisson et Germer.
Dans l'optique de la mecanique stochastique, une formulation probabiliste de la mecanique quantique dans l'espace des phases est proposee. Notre approche utilise la fonction de wigner qui offre, dans un cadre general, une description d'un systeme quantique dans l'espace des phases. Alors que la mecanique stochastique ne considere que les etats purs du systeme, les proprietes de la fonction introduite par wigner nous permettent de traiter les etats de melange aussi bien que les etats purs. Apres avoir precise, en premiere partie, les proprietes essentielles de cette fonction et rappele son lien avec les operateurs de weyl, nous donnons dans une deuxieme partie une analyse heuristique de la mecanique quantique en terme de fluide. L'interpretation habituelle de la fonction de wigner comme etant une densite dans l'espace des phases, nous amene a considerer le cas d'un systeme soumis a l'action d'une force derivant d'un potentiel qui est la transformee de fourier d'une mesure bornee. Nous montrons que l'on peut alors envisager la fonction de wigner comme une difference de deux fonctions positives telles qu'a chacune de ces fonctions soit associe un processus de markov. Notre conception de fluide quantique consiste a interpreter ces deux fonctions comme etant les densites d'un fluide compose de deux types de particules differents mais dans lequel seule la difference de ces densites est observee. L'evolution de chaque type de particule est alors donnee par le processus de markov associe. Dans le cas particulier ou l'espace de hilbert du systeme est de dimension finie, une telle construction de processus peut alors rigoureusement etre effectuee. Cette etude est realisee dans une troisieme partie ou la dimension n de l'espace de hilbert est supposee impaire. La raison d'un tel choix est due au fait que le groupe des residus modulo n, que nous utilisons, possede dans ce cas une racine carree. Nous construisons, en premier lieu, une theorie des operateurs de weyl et des fonctions de wigner discretises. En augmentant l'espace des phases discretise d'une variable dichotomique egale a +1 ou -1, nous prouvons l'existence d'un processus de markov evoluant dans cet espace, tel que la fonction de wigner soit egale a la valeur moyenne partielle de cette variable dichotomique. Dans un article ecrit en collaboration avec p. Combe, m. Sirugue et m. Sirugue-collin, nous montcrons que ce formalisme peut etre applique a l'etude d'un spin entier. Enfin, en appendice, nous donnons les proprietes des processus de markov qui sont utiles a notre expose
La mécanique classique ne tient pas compte du fait que les forces d'interaction qui agissent sur l'électron sont propagées par ondes. D'autre part, la théorie de Maxwell ne définit aucune fréquence des ondes dont elle étudie la propagation. L'apparition de la discontinuité manifestée par les théories des quanta est attribuée à une propriété fondamentale de la matière, qui ne peut émettre ou recevoîr d'actions extérieures qu'à des intervalles d'action hamiltonnienne égaux à h. Ceci permet de définir des fréquences pour le champ ambiant, champ des forces extérieures agissant sur l'électron. Le champ ambiant apparaît ainsi discontinu du fait des électrons explorateurs qui sont nécessaires pour le faire apparaître, et on lui substitue, pour l'étude mathématique, un champ continu fictif de même amplitude et de même fréquence. Seules certaines de ces fréquences sont stables, permettent l'équilibre entre le champ ambiant et l'électron qui y est plongé : ce sont les fréquences données par l'équation de Schrodinger, qui est retrouvée à partir des conceptions précédentes : c'est donc une équation de condition ajoutée aux équations de la mécanique classique. C'est essentiellement parce qu'on traite un problème de conditions aux limites que les « fréquences critiques » apparaissent. (Le succès de l'interprétation statistique de l'équation de Schrodinger est attribuée aux propriétés générales d'une méthode d'intégration d'une équation aux dérivées partielles.) En même temps, une interprétation de la cinquième dimension est proposée, et la raison donnée de la simplification qu'elle apporte aux calculs. La théorie présente conduit naturellement à considérer le système d'équations de Dirac et à donner une signification géométrique aux « spinvariables » qu'il a introduites.
Après le bouleversement à la fois intellectuel et philosophique qu'ont suscité la théorie des quanta et celle de la relativité restreinte, le vingtième siècle a été confronté au besoin d'approfondir la nature exacte des interactions fondamentales.La contribution du physicien Richard Feynman (11 mai 1918 - 15 février 1988) dans l'étude de ces interactions concerne notre travail. Pour cela Feynman suggéra, avec beaucoup d'audace, la formulation mathématique des intégrales de chemins.Les travaux de Feynman en mécanique quantique à travers la genèse, le développement et la pérennité du concept d'intégrale de chemins constituent l'objet de notre thèse.La thèse est structurée en neuf chapitres:Le premier chapitre se situe entre 1900 et 1941 et concerne la partie historique de la mécanique quantique. Nous trouvons aussi li description d'un panorama complet (1927 à 1941) des problèmes de cette nouvelle physique associée au couplageentre les champs électromagnétiques et les charges électriques au niveau quantique.Le deuxième chapitre se situe entre 1935 et 1939 et correspond à la période pendant laquelle Feynman est étudiant au Massachusetts Institut ofîechnology. Il met en valeur la manière dont Feynman s'est construit, afin de comprendre lanature de l'homme, son mode de pensée et son originalité. Il permet de déceler l'origine de sa motivation en prenant acte de ce qui ne le satisfaisait pas dans les théories quantiques de l'époque.Le troisième chapitre est situé dans la période allant de 1939 à 1941. Il correspond aux années de Feynman à Princeton en vue d'obtenir son doctorat. Nous traçons en détail l'histoire de ses différentes étapes de recherche qui vont peu à peu l'orienter vers la découverte de l'intégrale de chemins en terminant par la manière dont il retrouve en 1941 l'équation de Schrodinger.Le quatrième chapitre montre les réflexions et le travail de Feynman concernant la construction de l'action qui fera l'objet de sa thèse de doctorat présentée en juin 1942 et d'autre part comment il relie la fonction d'onde au Lagrangien afin de voir se dessiner tout naturellement la notion de chemins d'une particule dans l'espace-temps.Le cinquième chapitre couvrant une période allant de 1942 à 1948 est focalisé sur l'idée pour Feynman de bâtir un nouveau formalisme en mécanique quantique, basé sur la construction d'une intégrale comprenant comme variable d'intégration une fonction représentant tous les chemins que peut prendre une particule dans l'espace-temps.Le sixième chapitre concerne les deux importantes publications de septembre 1949 qui consistent en la mise en forme de dessins permettant de visualiser l'intégrale de chemins . Nous montrons aussi la méthode de calcul allouée à ces diagrammes.Dans le septième chapitre, nous examinons les travaux de divers mathématiciens (de 1951 à 2020) qui tentent d'apporter un cadre rigoureux aux intégrales de chemins selon différentes approches.Les huitième et neuvième chapitres sont dédiés à la recherche et à l'étude de la pérennité de l'intégrale de chemins respectivement d'une part à travers la théorie quantique des champs et d'autre part à travers les travaux en mathématique pure pouvant faciliter des connexions entre leurs différentes branches, allant même jusqu'à extrapoler des nouveaux points de vue.
En partant des différentes formulations d'un problème classique de propagation d'ondes planes en champ libre, on montre comment obtenir l'équation quantique associée à un problème mécanique donné en partant de l'équation de conservation de l'énergie totale. On illustre l'efficacité de cette reformulation en retrouvant des équations quantiques usuelles, relativistes ou non, appartenant aux familles d'équations de Schrödinger, de Klein-Gordon et de Dirac. L'étude des conséquences de cette reformulation permet notamment de proposer des éléments de réponses à des problèmes tels que la réduction de la fonction d'onde, la superposition quantique, la dualité onde/corpuscule, ou les inégalités d'Heisenberg. En effet, on constate que la description quantique d'un problème donné ne concerne pas l'espace-temps ordinaire mais un espace-temps quantique virtuel. Ainsi, dans le cadre de la reformulation proposée, la description quantique se révèle incapable de rendre compte des grandeurs telles que la position, la quantité de mouvement ou les trajectoires des particules composant le système étudié.
Outre l'etude d'une classe de potentiels quasi-exactement soluble, ce travail contient des resultats originaux obtenus dans le cadre des integrales de parcours : 1) le propagateur relatif a une particule confinee dans un secteur a ete obtenu dans le formalisme de Feynman et dans l'espace des phases, la particule etant soumise a un potentiel harmonique et a un potentiel coulombien. Il a ete etabli que pour certaines valeurs de l'angle d'ouverture, le propagateur est la somme de termes correspondant aux contributions de tous les parcours classiques. La singularite coulombienne engendrant l'effondrement du propagateur, a pu etre rejetee a l'infini moyennant une transformation spatio-temporelle, ramenant ainsi le probleme a celui, bien connu, du potentiel de Poschel-Teller modifie. 2. La ressemblance formelle existant entre les integrales de parcours et les integrales de Wiener, a permis de resoudre de nombreux problemes de la physique statistique. Nous avons ainsi remplace dans nos calculs, le potentiel quantique de depart, par un potentiel effectif classique harmonique. Cette approximation nous a permis d'etudier, dans divers systemes de coordonnees, l'energie libre et la densite de particules d'un systeme soumis a des familles de potentiels de type coulombien perturbe et oscillateur anharmonique, en tenant compte de l'isotropie, ou de l'anisotropie de la pulsation du potentiel effectif classique. 3. Le propagateur relatif au lagrangien quadratique en vitesse a pu etre obtenu par la methode polygonale, en exploitant la forme doublement quadratique du lagrangien, qui a permis d'ecrire l'action sous forme matricielle, et d'obtenir, par integrations successives, la forme habituelle du propagateur