L'objet du présent mémoire consiste à abstraire les principes essentiels de la mécanique ondulatoire de Schrödinger et, suivant Dirac et von Neumann, à les reformuler dans le cadre abstrait de la théorie des opérateurs autoadjoints dans l'espace de Hilbert. On donnera d'abord un bref aperçu historique relatant les débuts de la mécanique ondulatoire pour ensuite en décrire les outils et les concepts. On prendra soin d'en dégager tous ces points de la mécanique ondulatoire devant être généralisés plus loin. Le chapitre suivant traite de la théorie spectrale des opérateurs autoadjoints dans l'espace de Hilbert et constitue le coeur du présent mémoire. On y définira tous les concepts mathématiques nécessaires à la formulation de la mécanique quantique tels que: spectres d'opérateurs autoadjoints, mesures spectrales, fonctions d'opérateurs autoadjoints, et autres. Une fois en possession de ces outils mathématiques, on passera à la formulation des postulats de la mécanique quantique dans l'espace de Hilbert.
L'objet du présent mémoire consiste à abstraire les principes essentiels de la mécanique ondulatoire de Schrödinger et, suivant Dirac et von Neumann, à les reformuler dans le cadre abstrait de la théorie des opérateurs autoadjoints dans l'espace de Hilbert. On donnera d'abord un bref aperçu historique relatant les débuts de la mécanique ondulatoire pour ensuite en décrire les outils et les concepts. On prendra soin d'en dégager tous ces points de la mécanique ondulatoire devant être généralisés plus loin. Le chapitre suivant traite de la théorie spectrale des opérateurs autoadjoints dans l'espace de Hilbert et constitue le coeur du présent mémoire. On y définira tous les concepts mathématiques nécessaires à la formulation de la mécanique quantique tels que: spectres d'opérateurs autoadjoints, mesures spectrales, fonctions d'opérateurs autoadjoints, et autres. Une fois en possession de ces outils mathématiques, on passera à la formulation des postulats de la mécanique quantique dans l'espace de Hilbert.
Cet article propose une étude comparée des axiomatiques de la mécanique quantique chez Paul Dirac et John von Neumann. Il montre que les deux auteurs partagent l'essentiel du contenu formel tout en divergeant sur la manière d'ordonner et de justifier les concepts fondamentaux, ainsi que sur le statut des notions primitives. Chez Dirac, la théorie se déploie à partir des transformations et l'invariance des représentations. Chez von Neumann, elle est reconstruite dans le cadre abstrait de la théorie spectrale et des opérateurs statistiques. Cet article décrit d'abord séparément les notions primitives, définitions et résultats dérivés chez chacun des deux auteurs, puis compare leur traitement de la superposition, de l'espace des états, des observables, des probabilités et de la mesure quantique. Il montre enfin que la divergence devient maximale sur la question de la complétude : Dirac demeure méthodologiquement neutre sur les variables cachées, tandis que von Neumann intègre l'indéterminisme statistique à la structure même de son axiomatique. On en conclut que la formulation standard ultérieure de la mécanique quantique procède du tressage de deux héritages complémentaires: le calcul des changements de base et le primat opératoire des représentations pour Dirac ; l'explicitation axiomatique de l'espace de Hilbert abstrait, la théorie des opérateurs et le formalisme statistique pour von Neumann.
La notion de dualité onde-particule a été centrale dans le développement de la mécanique quantique. Introduite principalement par Louis DE BROGLIE dans sa thèse de 1924, elle a permis à ce dernier d’ébaucher une nouvelle théorie pour décrire le monde microscopique : la mécanique ondulatoire. Néanmoins, cette description mécanique ainsi que sa forme plus rigoureuse, nommée théorie de la double solution, ont été rapidement abandonnées en raison de leur complexité, en faveur du formalisme quantique moderne et de l’interprétation de l’École de Copenhague.Un regain d’intérêt pour ces questions est survenu au cours des deux dernières décennies, qui ont vu apparaître des expériences mettant en œuvre de possibles analogues macroscopiques de la mécanique quantique. On pense en particulier aux expériences de Yves COUDER de 2005, ayant permis de reproduire une forme de dualité onde-particule, ainsi que les phénomènes quantiques associés. L’objectif de cette thèse est donc double : d’une part, construire un modèle analogue de la dualité onde-particule, qui sera entièrement classique et mécanique et, d’autre part, utiliser ce modèle pour poursuivre les travaux de Louis DE BROGLIE sur la mécanique ondulatoire, en cherchant à construire une théorie d’onde pilote couplant deux ondes à une particule.Nous explorerons ainsi, à la fois les considérations mécaniques d’un tel modèle et les généralisations et abstractions nécessaires pour appliquer ce modèle macroscopique à l’échelle des particules quantiques. Ce second point nous permettra d’aborder des discussions plus fondamentales, sur la question de l’interprétation de la mécanique quantique, dans le contexte du théorème de Bell, des expériences d’Aspect, ainsi que de la théorie de de Broglie-Bohm.
Sommaire.2014 Le but du mémoire est d'exposer les principes généraux de la nouvelle conception ondulatoire de la mécanique suggérée par l'auteur et confirmée par les récents travaux de Schrodinger.L'auteur a cherché d'abord à montrer, dans le cas particulier des champs constants, comment les résultats de Schrodinger prolongent et complètent les siens; puis il examine si les mêmes idées peuvent être étendues aux champs variables et à la dynamique des systèmes.Résumant enfin la manière dont Schrodinger a pu ramener la mécanique quantique d'Heisenberg, Born et Jordan à la nouvelle mécanique ondula- toire, il indique rapidement, en terminant, les problèmes que pose le raccord de la théorie électromagnétique avec l'ensemble de ces conceptions.SÉRIE VI. -TOME VII.NOVEMBRE 1926 N-IJ 1. I. -DYNAMIQUE ONDULATOIRE DU POINT MATÉRIEL DANS LN CH.1J1P ' Pour interpréter les faits expérimentaux, les physiciens ont été amenés à considérer surtout le type suivant de solution de l'équation ( t ) : OÙ '1 est une constante appelée la fréquence de l'onde, et -1, une fonction représentant son (1) Voir notamment Thèse de doctorat, )Iasson, i924, et J. Phys., t. 7 (1926).1-6.(2) Ann.der Phys., t. 79 (i926), 351, 489 et 734.Je désignerai ces trois mémoires par les lettres A, B, C.
Nous donnons des formes modifiées des développements de la théorie quantique des perturbations pour des problèmes stationnaires ou non stationnaires. Les formes modifiées du développement stationnaire de Schrödinger sont plus simples que le développement original. La forme modifiée du développement non stationnaire de Dirac ne contient pas des termes séculaires et elle se rattache étroitement à une des formes modifiées du développement de Schrödinger. Nos développements ne sont pas des séries de puissances d'un paramètre; ils penvent être tous obtenus comme des séries de Liouville-Neumann. Tous ces développements contiennent les énergies perturbées, comme le développement de Brillouin et Wigner. La théorie des perturbations des opérateurs de densité et celle des perturbations des opérateurs, dans la représentation de Heisenberg sont étudiées.
On essaie de construire la mécanique quantative relativiste en partant de l'hypothèse que toute grandeur physique possède quatre composantes dans l'espace-temps, qui sont fonctions d'un paramètre quadrivectoriel, point de l'espace-temps. Le schéma mathématique de la théorie est constitué par l'algèbre et l'analyse des quaternions, oû les fonctions dépendent d'un paramètre quaternionien. L'auteur est ainsi amené à développer l'analyse quaternionienne. L'équation de Dirac s'obtient d'une manière simple et directe de la transformation la plus générale de Lorentz, appliquée au quadrivecteur quantité de mouvement énergie P, lors du passage du système de l'observateur au système propre du corpuscule, en remplaçant dans cette transformation P par j/i ∂X + e/c A, conformément au postulat quantique. Pour parvenir aux équations de la mécanique quantique relativiste on admet que les éléments de matrice sont des quaternions, fonctions exponentielles du point de l'espace-temps. Les relations d'incertitude auxquelles on aboutit pour les grandeurs canoniquement conjuguées, ont la variance relativiste correcte. Les équations fondamentales de la mécanique quantique quaternionienne conduisent, par ailleurs, à la formulation quadri-vectorielle du principe de Ritz, en accord parfait avec la théorie de la relativité.
La dynamique d'un système quantique gouverné par un hamiltonien dépendant du temps de manière périodique peut être décrite à l'aide d'un opérateur de Floquet sur un espace de Hilbert convenable. La nature spectrale de cet opérateur donne des informations sur le comportement temporel asymptotique du système concerné. Deux modèles sont étudiés dans cette perspective. La première analyse que nous proposons, prolonge et complète les travaux de Combescure sur la dynamique de systèmes stationnaires à spectre discret, simple, frappés périodiquement par une perturbation de rang un. Un premier résultat est d'abord obtenu lorsque les valeurs propres du système stationnaire sont données par un polynôme vérifiant certaines conditions arithmétiques et lorsque la perturbation est convenablement choisie : le spectre de l'opérateur de Floquet est alors singulier continu. Nous montrons ensuite que sous certaines hypothèses sur la croissance de ces valeurs propres, ce spectre reste singulier continu pour presque toute période au sens de la mesure de Lebesgue et tout choix convenable de la perturbation de rang un. Une stratégie d'analyse spectrale différente est ensuite mise en place pour une classe d'opérateurs de Floquet intervenant dans un modèle de conduction électronique et ayant une représentation matricielle multi-diagonale. Bien que ces opérateurs soient bâtis autour d'un nombre de paramètres plus importants, nous montrons que dans une certaine limite motivée par des considérations physiques, l'étude spectrale est seulement gouvernée par deux suites de phases. Lorsque ces phases sont engendrées par certains processus ergodiques, nous montrons que le spectre de l'opérateur de Floquet est singulier. Lorsqu'elles sont données par une construction périodique, le spectre présente une portion absolument continue ainsi qu'un nombre fini de valeurs propres isolées et de multiplicité un.