Cet article propose une étude comparée des axiomatiques de la mécanique quantique chez Paul Dirac et John von Neumann. Il montre que les deux auteurs partagent l'essentiel du contenu formel tout en divergeant sur la manière d'ordonner et de justifier les concepts fondamentaux, ainsi que sur le statut des notions primitives. Chez Dirac, la théorie se déploie à partir des transformations et l'invariance des représentations. Chez von Neumann, elle est reconstruite dans le cadre abstrait de la théorie spectrale et des opérateurs statistiques. Cet article décrit d'abord séparément les notions primitives, définitions et résultats dérivés chez chacun des deux auteurs, puis compare leur traitement de la superposition, de l'espace des états, des observables, des probabilités et de la mesure quantique. Il montre enfin que la divergence devient maximale sur la question de la complétude : Dirac demeure méthodologiquement neutre sur les variables cachées, tandis que von Neumann intègre l'indéterminisme statistique à la structure même de son axiomatique. On en conclut que la formulation standard ultérieure de la mécanique quantique procède du tressage de deux héritages complémentaires: le calcul des changements de base et le primat opératoire des représentations pour Dirac ; l'explicitation axiomatique de l'espace de Hilbert abstrait, la théorie des opérateurs et le formalisme statistique pour von Neumann.
Cet article propose une étude comparée des axiomatiques de la mécanique quantique chez Paul Dirac et John von Neumann. Il montre que les deux auteurs partagent l'essentiel du contenu formel tout en divergeant sur la manière d'ordonner et de justifier les concepts fondamentaux, ainsi que sur le statut des notions primitives. Chez Dirac, la théorie se déploie à partir des transformations et l'invariance des représentations. Chez von Neumann, elle est reconstruite dans le cadre abstrait de la théorie spectrale et des opérateurs statistiques. Cet article décrit d'abord séparément les notions primitives, définitions et résultats dérivés chez chacun des deux auteurs, puis compare leur traitement de la superposition, de l'espace des états, des observables, des probabilités et de la mesure quantique. Il montre enfin que la divergence devient maximale sur la question de la complétude : Dirac demeure méthodologiquement neutre sur les variables cachées, tandis que von Neumann intègre l'indéterminisme statistique à la structure même de son axiomatique. On en conclut que la formulation standard ultérieure de la mécanique quantique procède du tressage de deux héritages complémentaires: le calcul des changements de base et le primat opératoire des représentations pour Dirac ; l'explicitation axiomatique de l'espace de Hilbert abstrait, la théorie des opérateurs et le formalisme statistique pour von Neumann.
L'objet du présent mémoire consiste à abstraire les principes essentiels de la mécanique ondulatoire de Schrödinger et, suivant Dirac et von Neumann, à les reformuler dans le cadre abstrait de la théorie des opérateurs autoadjoints dans l'espace de Hilbert. On donnera d'abord un bref aperçu historique relatant les débuts de la mécanique ondulatoire pour ensuite en décrire les outils et les concepts. On prendra soin d'en dégager tous ces points de la mécanique ondulatoire devant être généralisés plus loin. Le chapitre suivant traite de la théorie spectrale des opérateurs autoadjoints dans l'espace de Hilbert et constitue le coeur du présent mémoire. On y définira tous les concepts mathématiques nécessaires à la formulation de la mécanique quantique tels que: spectres d'opérateurs autoadjoints, mesures spectrales, fonctions d'opérateurs autoadjoints, et autres. Une fois en possession de ces outils mathématiques, on passera à la formulation des postulats de la mécanique quantique dans l'espace de Hilbert.
La mécanique quantique est à la base de la technologie moderne. Elle a donné lieu à de nombreuses applications en physique, en chimie et même en biologie.Introduction à la mécanique quantique 2 étudie l’équation de Schrödinger, les puits, les marches et les barrières de potentiel. Les propriétés des bases orthonormées dans l’espace des fonctions d’onde de carré sommable et les notations de Dirac relatives aux kets et aux bras dans l’espace des états sont également examinées.Cet ouvrage analyse les notions d’opérateur linéaire, d’opérateur hermitien, d’observable, de conjugaison hermitienne et de commutateur. La représentation des kets, des bras et des opérateurs dans l’espace des états est exposée, tout comme l’équation aux valeurs propres et l’équation caractéristique. Enfin, ce second volume présente la définition de la valeur moyenne d’une observable et son équation d’évolution, l’étude des systèmes conservatifs et l’établissement du théorème d’Ehrenfest.
Les aspects théoriques les plus fondamentaux de la notion de complémentarité sont successivement étudiés. Dans la première partie la notion de complémentarité de Bohr est précisée et on montre de quelle façon cette notion est venue profoundément modifier les conceptions physiques. Dans une seconde partie la théorie générale des prévisions est résumée et ses principaux résultats sont énoncés pour permettre de mener ? une façon précise une discussion sur la notion de complémentarité: le problème des prévisions est ? abord posé, puis décomposé en trois problèmes successifs grâce àľ introduction des eAléments initiaux et des eAléments de prévision.LCaron; opérateur ?évolution est ensuite défini. Puis on montre de quelle manière le calcul des prévisions conduit à une généralisation de la décomposition spectrale. II intervient alors une certaine fonction f dont la forme est déterminée. La notion de grandeur ?état est alors définie; lorsqu'il existe une telle grandeur le formalisme du calcul des prévisions se simplifle et se ramène au schèma ? un point en mouvement dans un espace de phases. Une théorie dans laquelle il existe une grandeur ?état est appelée théorie objectiviste. Par opposition une théorie telle qu'il n'existe pas de grandeur ?état est appelée théorie subjeetiviste. La fonction f a la forme |x|k; la constante k dans une théorie subjectiviste a une valeur unique et il est montré que k = 2: on établit ainsi comme un théorème le principe de décomposition spectrale, et cela pour toute théorie subjectiviste. On définit ensuite les grandeurs neutres, puis on fait la distinction entre les propriétés qui ont lieu en fait et celles qui ont lieu en droit. Les notions de déterminisme et dcaron; indéterminisme sont définies et il est montré qu'il n'y a que deux types de théories physiques: les théories objectivistes qui sont déterministes, et les théories subjectivistes qui sont essentiellement indéterministes. Dans la troisième partie la notion de complémentarité est diseutée en utilisant les résultats de la théorie générale des prévisions. On montre qu'il n'y a pas de complémentarités dans une théorie objectiviste et qu'au contraire il y en a nécessairement dans une théorie subjectiviste. Deux types de complémentarités peuvent se présenter: une complémentarité effective et une complèmentarité idéate, mais en fait il y a toujours des complémentarités effectives. Ensuite on examine les observations successives et les conditions qui se présentent suivant les complémentarités; on précise ce qu'on doit entendre par grandeurs complémentaires. La quatrième partie est consacrée à une interprétation du quantum ? action. Les différents aspects de la notion de quantification sont examinés (d'abord ceux dans lesquels la constante de Planck n'intervient pas), puis la constante de Planck est introduite au moyen de la notion de spin et au moyen du principe ? homomorphisme. Ľ origine de la subjectivité est examinée; un principe de subjectivité est énoncé et doit ètre mis à la base des théories de la microphysique; au contraire un principe ? objectivité doit ètre mis à la base de la physique macroscopique. La cinquième partie concerne les rapports entre les notions de complémentarité et ? indiscernabilité. Enfin la complémentarité de Bohr apparaît sous un aspect dialectique quand on ľ envisage comme provenant de ľ unification de deux théories qui s'opposaient au moyen ? un dépassement (Aufhebung). – J.-L. D.
Dans cette thèse, on étudie les représentations quasi-probabilistes de la mécanique quantique dites de Kirkwood-Dirac sur des espaces de Hilbert de dimension finie. Pour deux bases orthonormées de l'espace de Hilbert, on associe à chaque état quantique sa distribution de quasi-probabilité de Kirkwood-Dirac, qui est une mesure complexe de masse un. L'intérêt croissant pour la distribution de Kirkwood-Dirac s'explique par l'émergence de l'étude de systèmes quantiques discrets où les valeurs non positives de la quasi-probabilité sont liées à l'obtention d'avantages quantiques. Une tâche importante est donc d'identifier, pour deux bases fixées, l'ensemble convexe des états dont la distribution de Kirkwood-Dirac est partout positive, appelés états Kirkwood-Dirac positifs. Il s'agit d'identifier l'ensemble des états Kirkwood-Dirac positifs purs, puis de vérifier si leur enveloppe convexe épuise tous les états Kirkwood-Dirac positifs. Un premier résultat de la thèse est structurel : il montre que, pour presque tous les choix de deux bases orthonormées, les seuls états purs Kirkwood-Dirac positifs sont les états des deux bases et que leur enveloppe convexe contient tous les états Kirkwood-Dirac positifs. Ce résultat permet d'identifier les observables dont le symbole de Kirkwood-Dirac est réel et les observables positives dont le symbole de Kirkwood-Dirac est positif. De plus, on prouve que, pour presque tous les choix de deux bases orthonormées, les unitaires préservant l'ensemble des états Kirkwood-Dirac positifs sont triviaux. Ces résultats impliquent que les représentations de Kirkwood-Dirac de la mécanique quantique ne pourront pas, avec probabilité un, être utilisées pour simuler efficacement de manière classique des circuits quantiques non triviaux.Dans de nombreuses situations, les deux bases utilisées pour construire la représentation quasi-probabiliste de Kirkwood-Dirac sont explicites et directement liées à une situation physique spécifique. La structure de l'ensemble des états Kirkwood-Dirac positifs peut alors être plus complexe. Une classe d'exemples est fournie par les deux bases naturellement associées à la transformée de Fourier sur un groupe abélien fini, dont la transformée de Fourier discrète est un exemple important. Dans ce cadre, on identifie l'ensemble des états purs Kirkwood-Dirac positifs qui sont classifiés à l'aide de sous-groupes du groupe de Heisenberg associé au groupe abélien. De plus, tout opérateur auto-adjoint dont le symbole de Kirkwood-Dirac est réel s'écrit comme une combinaison linéaire réelle des projecteurs de rang un associés aux états purs Kirkwood-Dirac positifs. Dans le cas particulier du groupe cyclique dont l'ordre est la puissance d'un nombre premier, on montre que les états Kirkwood-Dirac positifs sont uniquement les combinaisons convexes des états purs Kirkwood-Dirac positifs. D'autres exemples sont donnés pour lesquels des états Kirkwood-Dirac positifs ne s'écrivent pas comme une combinaison convexe d'états purs Kirkwood-Dirac positifs, exhibant une géométrie plus complexe que celles décrites précédemment.Pour déterminer si un état donné n'appartient pas à l'ensemble des états Kirkwood-Dirac positifs, on construit habituellement des témoins de non-positivité. Dans cette thèse, on construit, par une méthode de toit convexe, deux tels témoins : le toit convexe du support d'incertitude et le toit convexe de la Kirkwood-Dirac non-positivité. Ces témoins fournissent des critères (nécessaires et) suffisants pour déterminer si un état quantique n'appartient pas à l'enveloppe convexe des états purs Kirkwood-Dirac positifs. Le premier étend aux états mixtes le lien entre une valeur élevée du support d'incertitude et la Kirkwood-Dirac non-positivité de l'état. Le second permet de distinguer l'enveloppe convexe des états purs Kirkwood-Dirac positifs de l'ensemble des états Kirkwood-Dirac positifs qui ne s'écrivent pas comme une combinaison convexe d'états purs Kirkwood-Dirac positifs.
Dans cette thèse, on étudie les représentations quasi-probabilistes de la mécanique quantique dites de Kirkwood-Dirac sur des espaces de Hilbert de dimension finie. Pour deux bases orthonormées de l'espace de Hilbert, on associe à chaque état quantique sa distribution de quasi-probabilité de Kirkwood-Dirac, qui est une mesure complexe de masse un. L'intérêt croissant pour la distribution de Kirkwood-Dirac s'explique par l'émergence de l'étude de systèmes quantiques discrets où les valeurs non positives de la quasi-probabilité sont liées à l'obtention d'avantages quantiques. Une tâche importante est donc d'identifier, pour deux bases fixées, l'ensemble convexe des états dont la distribution de Kirkwood-Dirac est partout positive, appelés états Kirkwood-Dirac positifs. Il s'agit d'identifier l'ensemble des états Kirkwood-Dirac positifs purs, puis de vérifier si leur enveloppe convexe épuise tous les états Kirkwood-Dirac positifs. Un premier résultat de la thèse est structurel : il montre que, pour presque tous les choix de deux bases orthonormées, les seuls états purs Kirkwood-Dirac positifs sont les états des deux bases et que leur enveloppe convexe contient tous les états Kirkwood-Dirac positifs. Ce résultat permet d'identifier les observables dont le symbole de Kirkwood-Dirac est réel et les observables positives dont le symbole de Kirkwood-Dirac est positif. De plus, on prouve que, pour presque tous les choix de deux bases orthonormées, les unitaires préservant l'ensemble des états Kirkwood-Dirac positifs sont triviaux. Ces résultats impliquent que les représentations de Kirkwood-Dirac de la mécanique quantique ne pourront pas, avec probabilité un, être utilisées pour simuler efficacement de manière classique des circuits quantiques non triviaux.Dans de nombreuses situations, les deux bases utilisées pour construire la représentation quasi-probabiliste de Kirkwood-Dirac sont explicites et directement liées à une situation physique spécifique. La structure de l'ensemble des états Kirkwood-Dirac positifs peut alors être plus complexe. Une classe d'exemples est fournie par les deux bases naturellement associées à la transformée de Fourier sur un groupe abélien fini, dont la transformée de Fourier discrète est un exemple important. Dans ce cadre, on identifie l'ensemble des états purs Kirkwood-Dirac positifs qui sont classifiés à l'aide de sous-groupes du groupe de Heisenberg associé au groupe abélien. De plus, tout opérateur auto-adjoint dont le symbole de Kirkwood-Dirac est réel s'écrit comme une combinaison linéaire réelle des projecteurs de rang un associés aux états purs Kirkwood-Dirac positifs. Dans le cas particulier du groupe cyclique dont l'ordre est la puissance d'un nombre premier, on montre que les états Kirkwood-Dirac positifs sont uniquement les combinaisons convexes des états purs Kirkwood-Dirac positifs. D'autres exemples sont donnés pour lesquels des états Kirkwood-Dirac positifs ne s'écrivent pas comme une combinaison convexe d'états purs Kirkwood-Dirac positifs, exhibant une géométrie plus complexe que celles décrites précédemment.Pour déterminer si un état donné n'appartient pas à l'ensemble des états Kirkwood-Dirac positifs, on construit habituellement des témoins de non-positivité. Dans cette thèse, on construit, par une méthode de toit convexe, deux tels témoins : le toit convexe du support d'incertitude et le toit convexe de la Kirkwood-Dirac non-positivité. Ces témoins fournissent des critères (nécessaires et) suffisants pour déterminer si un état quantique n'appartient pas à l'enveloppe convexe des états purs Kirkwood-Dirac positifs. Le premier étend aux états mixtes le lien entre une valeur élevée du support d'incertitude et la Kirkwood-Dirac non-positivité de l'état. Le second permet de distinguer l'enveloppe convexe des états purs Kirkwood-Dirac positifs de l'ensemble des états Kirkwood-Dirac positifs qui ne s'écrivent pas comme une combinaison convexe d'états purs Kirkwood-Dirac positifs.
La théorie du calcul quantique se situe à la frontière de la physique quantique et de l’informatique. Par conséquent, les deux domaines contribuent à la rendre d’autant plus riche en apportant leurs propres méthodes et outils mathématiques. La présente thèse tente de mettre en évidence cette particularité en traitant des problématiques qui vont la physique expérimentale aux modèles de calcul. Le but est d’offrir de nouvelles possibilités pour démontrer un avantage quantique. Après une brève introduction aux notions de base de la mécanique quantique, certains aspects liés à l’informatique sont discutés. Le formalisme des classes de complexité quantiques ainsi que le concept du calcul quantique en variables continues sont décrits. Ensuite, le modèle connu comme instantaneous quantum computing est traduit en variables continues, le rendant attrayant d’un point de vue expérimental. Le chapitre conclut sur une discussion concernant un protocole hybride impliquant l’algorithme de Grover dans le cadre des communications quantiques. La dernière partie de la thèse s’intéresse à des problématiques issues de la physique expérimentale. Le lien entre l’effet Hong-Ou-Mandel et la fonction de Wigner d’un état à deux photons est mise en évidence, et un protocole expérimental est décrit en conséquence. La suite traite du domaine des circuits supraconducteurs et envisage de possibles expériences. Il est montré comment utiliser un qubit de flux pour manipuler un centre coloré du diamant. Il est également décrit comment sonder le modèle de Rabi dans le régime de couplage ultra fort en utilisant un qubit supplémentaire faiblement couplé.