ES UN ESTUDIO FUNDAMENTALMENTE FORMAL. DESDE LA ESCUELA DE FILOSOFIA DE LA CIENCIA CONOCIDA COMO CONCEPCION ESTRUCTURAL (INICIADA POR J. D. SNEED EN 1971) SE ANALIZAN Y RECONSTRUYEN LAS TRES TEORIAS QUE DIERON ORIGEN A LA FISICA CUANTICA; LA MECANICA MATRICIAL, MECANICA ONDULATORIA Y MECANICA CUANTICA (EN VERSION DE DIRAC) SEGUN FUERON ESTABLECIDAS EN EL PERIODO 1925-1927. LA INVESTIGACION SE LIMITA, PRINCIPALMENTE, AL ANALISIS DE LAS ESTRUCTURAS Y RELACIONES LOGICAS QUE PRESENTAN LAS TRES TEORIAS. EL OBJETIVO ULTIMO ES LOGRAR UNA AXIOMATIZACION SINCRONICA MODELO-TEORICA DE LAS TEORIAS OBJETO DE ESTUDIO Y VER, A PARTIR DE AHI, EN QUE MEDIDA LA METODOLOGIA ESTRUCTURALISTA PARA LA RECONSTRUCCION DE LAS TEORIAS CIENTIFICAS ES SATISFACTORIA Y EN SU CASO, PROPONER NUEVAS SOLUCIONES. EL CAPITULO PRIMERO DEFINE EL MARCO, LOS OBJETOS Y LOS OBJETIVOS DE LA INVESTIGACION. EL SEGUNDO ES UNA BREVE CONTEXTUALIZACION DE LA CONCEPCION ESTRUCTURAL. EL TERCERO ES UNA DETALLADA CONTEXTUALIZACION DE LAS TEORIAS CUANTICAS. EL CUARTO RECOGE CON RIGUROSIDAD TODO EL APARATO FISICOMATEMATICO DE LAS TEORIAS CUANTICAS. EL QUINTO ES EL ANALISIS METODOLOGICO ESTRUCTURALISTA. EN SEGUNDO LUGAR, SE PRESENTAN OBJECIONES A DICHO MODELO. EN TERCER LUGAR, SE CONSTRUYE UN NUEVO MODELO QUE SUPERE DICHAS OBJECIONES. EN CUARTO LUGAR, SE APLICA EL NUEVO MODELO A LAS ANTERIORES TEORIAS CUANTICAS PARA CONTEMPLAR SUS VIRTUDES Y EN QUINTO LUGAR, DEL ANALISIS ANTERIOR SE DERIVAN UNAS CONCLUSIONES RESPECTO A LA ESTRUCTURA GLOBAL DE LA CIENCIA. LOS CAPITULOS SEXTO Y SEPTIMO SE OCUPAN DE LAS CONCLUSIONES Y DE LA BIBLIOGRAFIA.
ES UN ESTUDIO FUNDAMENTALMENTE FORMAL. DESDE LA ESCUELA DE FILOSOFIA DE LA CIENCIA CONOCIDA COMO CONCEPCION ESTRUCTURAL (INICIADA POR J. D. SNEED EN 1971) SE ANALIZAN Y RECONSTRUYEN LAS TRES TEORIAS QUE DIERON ORIGEN A LA FISICA CUANTICA; LA MECANICA MATRICIAL, MECANICA ONDULATORIA Y MECANICA CUANTICA (EN VERSION DE DIRAC) SEGUN FUERON ESTABLECIDAS EN EL PERIODO 1925-1927. LA INVESTIGACION SE LIMITA, PRINCIPALMENTE, AL ANALISIS DE LAS ESTRUCTURAS Y RELACIONES LOGICAS QUE PRESENTAN LAS TRES TEORIAS. EL OBJETIVO ULTIMO ES LOGRAR UNA AXIOMATIZACION SINCRONICA MODELO-TEORICA DE LAS TEORIAS OBJETO DE ESTUDIO Y VER, A PARTIR DE AHI, EN QUE MEDIDA LA METODOLOGIA ESTRUCTURALISTA PARA LA RECONSTRUCCION DE LAS TEORIAS CIENTIFICAS ES SATISFACTORIA Y EN SU CASO, PROPONER NUEVAS SOLUCIONES. EL CAPITULO PRIMERO DEFINE EL MARCO, LOS OBJETOS Y LOS OBJETIVOS DE LA INVESTIGACION. EL SEGUNDO ES UNA BREVE CONTEXTUALIZACION DE LA CONCEPCION ESTRUCTURAL. EL TERCERO ES UNA DETALLADA CONTEXTUALIZACION DE LAS TEORIAS CUANTICAS. EL CUARTO RECOGE CON RIGUROSIDAD TODO EL APARATO FISICOMATEMATICO DE LAS TEORIAS CUANTICAS. EL QUINTO ES EL ANALISIS METODOLOGICO ESTRUCTURALISTA. EN SEGUNDO LUGAR, SE PRESENTAN OBJECIONES A DICHO MODELO. EN TERCER LUGAR, SE CONSTRUYE UN NUEVO MODELO QUE SUPERE DICHAS OBJECIONES. EN CUARTO LUGAR, SE APLICA EL NUEVO MODELO A LAS ANTERIORES TEORIAS CUANTICAS PARA CONTEMPLAR SUS VIRTUDES Y EN QUINTO LUGAR, DEL ANALISIS ANTERIOR SE DERIVAN UNAS CONCLUSIONES RESPECTO A LA ESTRUCTURA GLOBAL DE LA CIENCIA. LOS CAPITULOS SEXTO Y SEPTIMO SE OCUPAN DE LAS CONCLUSIONES Y DE LA BIBLIOGRAFIA.
Se proporciona un “esquema de reconstrucción” estructuralista de una teoría idealizada. Esta teoría, QM, tiene algunas características esenciales de la mecánica cuántica. QM es una teoría acerca de “eventos de observación de resultados” abstractos, caracterizaciones formales de las interacciones entre los sistemas físicos y sus resultados. QM es una teoría estocástica y en el aparato estocástico son reconocibles algunas características de la mecánica cuántica de la “vida real”. Los eventos de observación de resultados mismos no exhiben características esencialmente mecánico-cuánticas ni características esencialmente físicas. En el nivel del elemento básico de la teoría, QM es más como una especialización de la teoría de la probabilidad que una teoría física. Es recién en el nivel de especialización del elemento básico de la teoría que se pueden introducir características esencialmente físicas y de mecánica cuántica. En el presente artículo se ofrece un “esquema de reconstrucción” más que una reconstrucción, debido en gran medida a que no proporciona un tratamiento de las especializaciones físicas interesantes. Tampoco constituye una reconstrucción completa en tanto el aparato matemático se limita a estructuras finitas.
El desarrollo de las ideas basicas de la Mecanica Cuantica comenzo a principios del siglo pasado, como consecuencia de una serie de descubrimientos y observaciones que pusieron en evidencia las graves dificultades de la Fisica Clasica para interpretar las propiedades del atomo y sus partes constituyentes asi como las propiedades de la radiacion electromagnetica y su interaccion con la materia. Esos descubrimientos revolucionaron las nociones hasta entonces sustentadas por los fisicos y plantearon una asombrosa cantidad de enigmas, cuya solucion obligo a realizar un profundo replanteo de los fundamentos y conceptos basicos de la Fisica.
El estudio de la Mecanica Cuantica es importante por varias razones. En primer lugar porque pone de manifiesto la metodologia esencial de la Fisica. En segundo lugar porque tuvo un exito formidable ya que permitio dar respuestas validas a casi todos los problemas en los cuales se la ha aplicado. En tercer lugar porque es la herramienta teorica basica para numerosas disciplinas de gran importancia, como la Quimica Fisica, la Fisica Molecular, Atomica y Nuclear, la Fisica de la Materia Condensada y la Fisica de Particulas.
El propósito de este trabajo es presentar una idea de lo que abarca el estudio de la mecánica cuántica realizando un recorrido histórico de los antecedentes y los hechos que dieron origen al nacimiento de esta nueva teoría que rompería con los esquemas y las leyes físicas que predominaban en aquella época. Se mencionará también cómo se fue desarrollando esta teoría con el pasar de los años y se concluye el artículo mostrando unas aplicaciones de esta nueva rama de la física en el planteamiento de algunos problemas físicos y alguna aplicación en el desarrollo de tecnología. Para desarrollar este trabajo se realizó un resumen de varios capítulos de textos citados en la parte de las referencias bibliográficas.
Resumen.En estas notas se exponen con detalle y de manera autocontenida las herramientas básicas de la teoría de los espacios de Hilbert complejos de dimensión infinita, que son necesarias para un primer estudio, matemáticamente riguroso, de la mecánica cuántica.En la última parte incluimos una introducción axiomática a la mecánica cuántica y una breve exposición del modelo del oscilador armónico y de la teoría de estados cuánticos Gaussianos. IntroducciónLa mecánica cuántica es la rama de la física que estudia los fenómenos físicos que ocurren en escalas de longitudes muy pequeñas.El calificativo "cuántico" surge de, en contraste con la mecánica clásica, considerar algunas cantidades que toman solamente valores discretos i.e., en "paquetes" o quantum-quanta en latín.Aún cuando hay muchas nociones de la mecánica cuántica que aún suscitan controversia, esta teoría se aplica exitosamente para describir el comportamiento de sistema físicos y sus predicciones son consistentes con los experimentos.Los sistemas físicos que estudia la mecánica cuántica, exhiben propiedades ondulatorias que se pueden describir mediante una ecuación de onda, por ejemplo, la bien conocida "ecuación de Schrödinger", que describe la evolución temporal de una partícula subatómica con masa, en el contexto no relativista.En estas notas trabajamos con el formalismo de matrices de densidad, que permite describir estados que son mezclas de estados puros.En consecuencia, este enfoque resulta ser una herramienta poderosa para describir sistemas cuánticos más generales, por ejemplo, acoplamientos (ensambles) de muchos sistemas cuánticos idénticos.El material que se presenta en este trabajo está dividido en cuatro secciones compuestas de la siguiente manera: la sección 1 contiene una selección de resultados de índole geométrico y analítico de la teoría de espacios de Hilbert: ortogonalidad y descomposición ortogonal, convexidad, operadores lineales, norma de operadores y funcionales lineales.La sección 2 se concentra en la clase de los operadores compactos, particularmente en los operadores de la clase de traza y de manera especial, en los operadores de Hilbert-Schmidt.Es relevante mencionar que los estados cuánticos se representan mediante operadores positivos de traza uno.La sección 3 se dedica al estudio de operadores no acotados que pueden no estar densamente definidos en un espacio de Hilbert.Abordamos también el estudio de operadores cerrados y cerrables, el adjunto de un operador y una introducción a la teoría espectral de operadores.Una parte esencial de esta sección son los operadores simétricos e isométricos, los cuales exhiben similitudes en sus propiedades geométricas y espectrales.Cabe señalar que las observables físicas se representan por operadores simétricos típicamente no acotados.Por último, en la sección 4 se discuten brevemente postulados de la mecánica cuántica en el marco del formalismo de matrices de densidad, se revisa el modelo del oscilador armónico cuántico y se ofrece una introducción a los estados cuánticos Gaussianos.Al final de cada sección incluimos una selección de problemas que sirven para complementar estas notas.El lector interesado puede profundizar en el estudio de resultados aquí expuestos, desde los más básicos hasta los más avanzados, en la literatura clásica de operadores lineales, por ejemplo en [1,2,3,4,13,20].
En este trabajo se somete a estudio y regulación la generación del significado de las magnitudes físicas, durante el proceso de la metrización derivada, con el objetivo de aplicar posteriormente los resultados de dicho estudio al análisis del significado de las principales magnitudes de la mecánica cuántica. Como punto de partida se propone una concepción métrico-operacional del significado de una magnitud, según la cual, éste depende de la relación funcional que la magnitud en cuestión guarda con las magnitudes intervinientes en su metrización derivada por definición. Se muestra que este tipo de metrización sigue unas reglas extra-teóricas generales, que permiten someter a tratamiento metodológico, no sólo el proceso de la metrización derivada, sino también el de generación de significado que tiene lugar en él. Estas reglas son determinadas y reunidas en un nuevo análisis, específico de la metrización derivada y complementario al análisis dimensional: el análisis magnitudinal. Aplicándolo a las principales magnitudes mecánico-cuánticas se obtiene, primero, una reconstrucción de su estructura métrica y, por tanto, de su significado, y segundo, una interpretación métrico-operacional del significado del núcleo teórico de la mecánica cuántica: el cuanto de acción unidad. De acuerdo con esta interpretación, la cuantización debida al cuanto de acción tiene un carácter derivado, debido a la existencia de un factor de precuantización métricamente más fundamental: la longitud de onda de Compton.\nThe purpose of this work is to study and regulate the generation of the physical magnitudes meaning during the process of derived metrization, having the later the aim of applying the obtained results to the analysis of the meaning of the most important physical magnitudes of quantum mechanics. As a starting point, it is proposed a metric-operational conception of the meaning of a magnitude, according to which, this meaning depends on the functional relationship between this very specific magnitude and the magnitudes involved in its definition-derived metrization. It is shown that this kind of metrization follows a group of generic extra-theoretical rules, which allow performing a methodological study, not only over the derived metrization process, but also over the meaning generation process within it. These rules are set and grouped in a new analysis, specific for derived metrization and complementary to the dimensional analysis: the magnitudinal analysis. Applying it to the most relevant quantum-mechanical magnitudes we obtain, first, a reconstruction of their metric structure and, therefore, of their meaning, and, second, a metric-operational interpretation of the quantum mechanics theoretical core: the action quantum. According to this interpretation, the action quantum associated quantification has got a derived nature, due to the existence of a metrical more fundamental precuantization factor: the Compton wave-length.
El trabajo se estructura en 6 capitulos. El capitulo 1 posee fundamentalmente un caracter de introduccion teorica a las herramientas de campo medio que se usan en los diferentes modelos que se presentan, ademas de introducirse otros conceptos que apareceran a lo largo del trabajo. El capitulo 2 tambien constituye una introduccion teorica en la que se realiza un breve analisis del concepto de la decoherencia y sus implicaciones en la Mecanica Cuantica, poniendo especial enfasis en el problema de la medida y como la introduccion del ambiente permite una posible solucion a dicho problema. En este capitulo se presentara la matriz densidad como herramienta basica de trabajo para estudiar el factor de decoherencia.El capitulo 3 se puede dividir en dos bloques. Un primer bloque dedicado la modelo vibronico U(4) y un segundo bloque dedicado a su limite 2D, el modelo U(3). En ambos bloques se expondran las propiedades algebraicas de los dos modelos asi como las diferentes cadenas de simetria que se obtienen. Estos modelos presentan una QPT y usando el formalismo de estados intrinsecos se estudiara la transicion de fase entre la fase simetrica y la fase no simetrica. Sin embargo, se sabe que este metodo es correcto unicamente en el orden mas alto en el desarrollo en potencias de N, donde N es el numero de bosones. Nosotros nos basaremos en el metodo desarrollado en [15] para ir mas alla de este orden y calcular correcciones de tamano finito a varios observables espectroscopicos. Para ello, se introducira la transformacion de Holstein-Primako_ que proporcionara un hamiltoniano en serie de potencias de N donde unicamente se consideraran los terminos en orden mas alto: N, N1/2 y N0. Despues, mediante el uso de una transformacion de Bogoliubov se conseguira la diagonalizacion del hamiltoniano, con lo que se obtendran expresiones analiticas para el estudio del sistema tanto en la fase simetrica como en la no simetrica. Dichas expresiones analiticas se compararan posteriormente con los calculos numericos obtenidos de resolver el problema exactamente en una base adecuada. Ademas, se llevara a cabo un estudio de escalado del sistema por tamano finito que nos permitira extraer los exponentes criticos de los observables espectroscopicos analizados.El capitulo 4 esta dedicado a otro sistema de dos niveles, el modelo de Lipkin. Este modelo guarda una estrecha relacion con el modelo vibronico tal y como se vera en el capitulo 3. Dicha relacion quedara mas patente con la eleccion que se realizara del estado intrinseco para estudiar el diagrama de fases del modelo vibronico. De hecho podemos afirmar que un modelo vibronico con simetria axial se comporta como un modelo de Lipkin. Por este motivo, todo el estudio que se realice en campo medio para el modelo vibronico sera aplicable al modelo de Lipkin, ya que las expresiones que se obtendran son formalmente analogas. Asi pues, en este capitulo nos centraremos en la influencia que tiene una transicion de fase cuantica sobre el fenomeno de la decoherencia. Ahora bien, se sabe que el citado modelo presenta tanto una QPT como una ESQPT, y dependiendo del valor de los parametros concretos del sistema, la ESQPT puede ser de primer o segundo orden. De modo que el analisis se realizara para ambos tipos de transicion. Para tal proposito, se presenta un sistema constituido por un qubit interactuando con un bano bosonico que vendra descrito por el modelo de Lipkin. El estudio de la decoherencia se realizara tanto empleando las tecnicas mas alla de campo medio desarrolladas en el modelo vibronico, como usando la aproximacion de Tamm-Dancoff (TDA) [28] y TDA a segundo orden. Todos los resultados se compararan una vez mas con la solucion exacta del problema y se analizara la relacion entre la transicion de fase que experimenta dicho sistema con la decoherencia. Ademas se incluira un estudio de escalado por tamano finito del factor de decoherencia.En el capitulo 5 se estudiaran tres modelos que describen un campo bosonico de un unico modo interactuando con un subsistema algebraico basado o bien en el algebra SU(1; 1) o en el SU(2). El modelo SU(1; 1) es un modelo de juguete util para la descripcion de la formacion y disociacion de moleculas diatomicas y atomos independientes [16]. El hamiltoniano SU(2) representa al modelo de Dicke [27] o al modelo de Jaynes-Cummings (JC) [17] (tambien conocido como modelo de Tavis-Cummings [29]). Estos dos ultimos modelos poseen interes en Optica Cuantica y describen a un sistema de atomos susceptibles a ocupar dos niveles interactuando con un campo de radiacion. Mientras que el modelo SU(1; 1) y el modelo de Jaynes-Cummings son integrables, el modelo de Dicke no lo es. Todos ellos son sistemas de dos niveles que presentan tanto una QPT como una ESQPT. Asi pues, en primer lugar se analizaran las transiciones de fase con una aproximacion semiclasica, en particular las relacionadas con las transiciones de fase de estados excitados. Despues se introducira el concepto de quantum quench, analizandose la influencia que tiene una ESQPT sobre este. Por ultimo, relacionaremos la presencia de caos cuantico en el modelo no integrable de Dicke con los precursores de la ESQPT en el mismo.En el ultimo capitulo se presentara un resumen y las conclusiones de los principales resultados de este trabajo.