Predecir el estado fundamental, las excitaciones o la evolucion temporal de un sistema cuantico constituido por un gran numero de particulas es, sin lugar a dudas, un problema complejo, que en muchos casos no puede ser resuelto ni analiticamente ni numericamente. En 1981, Richard Feynman propuso la idea de utilizar para este fin un simulador cuantico: un sistema cuantico, altamente controlable, y que estuviese descrito por las mismas ecuaciones que el sistema fisico que se desease describir. En la vision de Feynman, realizando medidas sobre el sistema modelo en distintos regimenes de parametros se podrian responder preguntas planteadas por el sistema original, y resolver asi problemas intratables con otros metodos [1]. Durante la ultima decada, la nocion de simulacion cuantica
Predecir el estado fundamental, las excitaciones o la evolucion temporal de un sistema cuantico constituido por un gran numero de particulas es, sin lugar a dudas, un problema complejo, que en muchos casos no puede ser resuelto ni analiticamente ni numericamente. En 1981, Richard Feynman propuso la idea de utilizar para este fin un simulador cuantico: un sistema cuantico, altamente controlable, y que estuviese descrito por las mismas ecuaciones que el sistema fisico que se desease describir. En la vision de Feynman, realizando medidas sobre el sistema modelo en distintos regimenes de parametros se podrian responder preguntas planteadas por el sistema original, y resolver asi problemas intratables con otros metodos [1]. Durante la ultima decada, la nocion de simulacion cuantica
Durante las últimas décadas se han logrado grandes avances en la manipulación desistemas físicos en la escala nano y subnanoscópica, donde la coherencia cuánticajuega un papel dominante. Algunos hitos registrados en los últimos años son lamanipulación óptica de partículas individuales en trampas de iones, la interaccióncontrolada de un solo electrón con fotones individuales en puntos cuánticos desilicio y la realización de bits cuánticos (qubits) con largos tiempos de coherencia en circuitos superconductores. Actualmente, la habilidad de diseñar la evolución de sistemas cuánticos con gran precisión está allanando el camino para una nueva revolución en las tecnologías cuánticas. En esta Tesis estudiamos desde el punto de vista teórico el problema de controlen sistemas cuánticos. Un aspecto central de este problema es que la presenciade disipación y decoherencia por lo general impide que el sistema sea manipuladoarbitrariamente. Cuando estos efectos no pueden ser eludidos, es esencial efectuarlos protocolos de control de la manera mas rápida posible. En este contexto,realizamos un estudio de los límites fundamentales que existen para la velocidadde evolución en sistemas cuánticos. Estos límites surgen de generalizaciones dela relación de incerteza entre tiempo y energía, que impone cotas inferiores a lostiempos de evolución. Estudiando el escenario general de un problema de control,donde los operadores Hamiltonianos dependen explícitamente del tiempo,mostramos que en general estas relaciones no proveen información útil que permitaacotar tiempos mínimos en estos problemas. A la luz de estos resultados,proponemos nuevos métodos que efectivamente pueden ser aplicados a cualquiersistema cuántico controlado y que permiten estimar cotas para dichos tiempos. Un ingrediente esencial de las aplicaciones modernas de la teoría de control son los métodos de optimización. En esta Tesis estudiamos e implementamos numéricamentemétodos de control óptimo para sistemas cuánticos en diversos modelos de interés. En particular, utilizamos dichas herramientas para buscar los tiempos mínimosde evolución en sistemas cuánticos que presentan múltiples cruces evitados en suespectro de energías. Para este tipo de modelos, en primer lugar proponemosy caracterizamos un método general para realizar tareas de control, que generaevoluciones con velocidad óptima en cada cruce. Luego, usando métodos de optimización mostramos que el tiempo de evolución puede disminuirse a medida que elnúmero de niveles del sistema aumenta. Finalmente, a partir de estudiar el efectode campos periódicos en estos sistemas, logramos identificar los mecanismos físicosque generan este fenómeno y proponer una solución analítica para el campo decontrol. Adicionalmente, estudiamos la relación entre la controlabilidad de un sistemacuántico y su complejidad. Usando control óptimo, obtuvimos los campos necesariospara generar distintos procesos en una cadena de spines y estudiamos sistemáticamente las propiedades de dichos campos como función de distintos aspectos que hacen a la complejidad del sistema. Encontramos que el ancho debanda de los campos es, por lo general, independiente de la dimensión del sistema. Asimismo, la complejidad del espectro de Fourier del campo efectivamenteaumenta a medida que se incrementa el número de excitaciones en el sistema. Sinembargo, también concluimos que la naturaleza regular o caótica del sistema noafecta significativamente su controlabilidad. Finalmente, estudiamos sistemas cuánticos abiertos en presencia de campos externos. En ese contexto, actualmente se debate si los entornos no Markovianospueden ser usados como un recurso para mejorar la controlabilidad de dichos sistemas. Una de las características más atractivas de estos sistemas es que describenescenarios en los que la pérdida de información y de coherencia son reversibles y,por lo tanto, es posible ujo temporario de información desde el entorno hacia elsistema. Estudiamos la relación entre el grado de no-Markovianidad y la acciónde campos de control dependientes del tiempo en un sistema de dos niveles interactuando con un entorno estructurado a baja temperatura. Para este sistema,hallamos que aplicando campos periódicos sobre el sistema es posible aumentarconsiderablemente el grado de no-Markovianidad con respecto al caso estático. Asimismo exploramos la relación entre los efectos no Markovianos y el control, yargumentamos que dichos efectos no pueden considerarse como un recurso pararealizar protocolos de control.
El tema central de la tesis doctoral es el análisis de los sistemas cuánticos abiertos. Estos sistemas se caracterizan por estar sometidos a la interacción con el entorno, lo que provoca que su evolución deje de ser unitaria. Es por tanto necesario considerar modelos más allá de la ecuación de Schrödinger. Los sistemas cuánticos abiertos aparecen en numerosos campos, como la Física del Estado Sólido y la Dinámica Molecular. Por este motivo, un análisis detallado de sus propiedades y su dinámica es un tema digno de estudio con un gran abanico de aplicaciones. El enfoque elegido en esta tesis es el desarrollo de un formalismo geométrico que describa de forma adecuada las características de los sistemas cuánticos abiertos. La geometría diferencial ha demostrado ser una herramienta muy útil en el análisis de sistemas físicos. Desde mediados del siglo XX, se ha desarrollado con gran éxito una descripción geométrica de la Mecánica Clásica, principalmente en torno a las mecánicas lagrangiana y hamiltoniana. Por este motivo, resulta natural describir también los sistemas cuánticos en términos geométricos. Las ventajas de un formalismo geométrico resultan claras. Cuando tanto los sistemas clásicos como los cuánticos se describen en los mismos términos, es sencillo describir situaciones en las que existan interacciones clásico-cuánticas. Éste es el caso, por ejemplo, de muchos modelos de Dinámica Molecular, en los que los núcleos y los electrones son considerados respectivamente como partículas clásicas y cuánticas. Por otra parte, un formalismo geométrico de la Mecánica Cuántica posibilita un mejor entendimiento de las diferencias intrínsecas entre las teorías clásicas y las cuánticas. Dada su relevancia a lo largo de la tesis, el Capítulo 1 está enfocado al resumen y el análisis de la descripción geométrica de la imagen de Schrödinger de la Mecánica Cuántica. En formulación usual (algebraica), esta imagen se basa en la representación de los estados de los sistemas cuánticos mediante vectores en un espacio de Hilbert complejo. La transición a una formulación basada en geometría diferencial es inmediata para sistemas finito-dimensionales, dado que los espacios lineales de dimensión finita son casos triviales de variedades diferenciables. Las estructuras adicionales, en concreto el producto hermítico propio de los espacios de Hilbert y los escalares complejos, se describen mediante campos tensoriales en dichas variedades diferenciables, formando lo que se conoce como una estructura Kähler. Todos los ingredientes necesarios para el análisis de sistemas cuánticos pueden describirse en estas variedades de Kähler. Los observables se representan mediante funciones diferenciables, mientras que la dinámica se describe mediante curvas integrales de campos vectoriales hamiltonianos respecto a la forma simpléctica de la estructura Kähler. Esta caracterización puede llevarse a cabo en el espacio de Hilbert asociado a cualquier sistema cuántico finito-dimensional. Además, es posible analizar las propiedades geométricas del espacio proyectivo de Hilbert, el cual constituye el conjunto de estados puros del sistema. Su estructura Kähler puede ser deducida mediante un proceso de reducción de la estructura previamente obtenida en el espacio de Hilbert. Como aspecto novedoso, la tesis presenta en detalle este proceso de reducción, dotándolo de una descripción matemática adecuada. Todas las características de la imagen de Schrödinger pueden describirse de forma geométrica, lo que permite utilizar nuevas herramientas en el análisis de los sistemas cuánticos. Éste es precisamente el tema principal del Capítulo 2, en el cual se utilizan los sistemas de Lie-Kähler para resolver la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo. En geometría diferencial, un sistema de Lie es un sistema no homogéneo de ecuaciones diferenciales que admite una regla de superposición. En general, la obtención de esta regla de superposición es una ardua tarea, la cual puede aligerarse en presencia de estructuras adicionales que sean preservadas por la acción del sistema de Lie. De esta forma, según la estructura preservada, es posible hablar de sistemas de Lie-Hamilton, Lie-Dirac, etc. En el caso de la Mecánica Cuántica, una ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo es un sistema de Lie que preserva la estructura de Kähler previamente descrita. Es por tanto un nuevo tipo de sistema de Lie, al que resulta natural denominar de Lie-Kähler. El Capítulo 2 presenta las propiedades de estos nuevos sistemas y describe un método riguroso para la obtención de sus reglas de superposición. El formalismo geométrico puede extenderse más allá de la imagen de Schrödinger, lo que resulta necesario en el contexto de los sistemas cuánticos abiertos, dado que tanto estados puros como estados mezcla son necesarios para su descripción. Por este motivo, el Capítulo 3 resume la imagen de Heisenberg de la Mecánica Cuántica y su representación de los estados puros y mezcla como funcionales lineales en el álgebra de Lie-Jordan de observables. Se explica también como las estructuras algebraicas de los observables pueden representarse geométricamente en el espacio dual de funcionales lineales en el álgebra. Este es el punto de partida de una de las principales contribuciones de la tesis. Un proceso de reducción, similar al realizado en el análisis de la imagen de Schrödinger, permite describir las propiedades geométricas de la variedad de estados puros y mezcla del sistema. De esta forma, se obtienen dos campos tensoriales en la variedad de estados, los cuales representan correctamente las estructuras algebraicas de los observables. Puede por tanto concluirse que el formalismo geométrico presentado en la tesis es completamente equivalente a la descripción algebraica tradicional, ya que se logra describir adecuadamente todas las propiedades de los sistemas cuánticos. Además, el formalismo geométrico ofrece una visión más clara de las propiedades intrínsecas de la Mecánica Cuántica, lo que facilita una mejor comprensión de la teoría. Por otra parte, un análisis geométrico de la variedad de estados permite estudiar su estratificación y sus propiedades. La tesis demuestra que se trata de una variedad con borde, cuyos puntos extremales son precisamente los estados puros del sistema. La estratificación de esta variedad resulta importante a la hora de considerar la dinámica inducida por campos gradiente y hamiltonianos. Con el objetivo de ilustrar todas estas propiedades, se analizan unos casos sencillos pero con relevancia física. A lo largo de la tesis, se muestran diversas aplicaciones del formalismo geométrico al análisis de sistemas cuánticos abiertos. El Capítulo 4 presenta la descripción de la evolución markoviana de sistemas cuánticos abiertos. Se dice que una evolución es markoviana si depende únicamente en el estado actual del sistema y no de los estados en instantes anteriores, es decir, si el sistema "no tiene memoria". En Mecánica Cuántica, la evolución markoviana se obtiene a partir de la ecuación de Kossakowski-Lindblad, una ecuación diferencial de primer orden en la variedad de estados puros y mezcla de un sistema cuántico abierto. El formalismo geométrico describe esta ecuación como un campo tensorial en esta variedad, lo que permite analizar las propiedades de sus curvas integrales. De esta manera, es posible considerar diversos aspectos de la evolución markoviana desde un punto de vista geométrico. Cualquier evolución no-unitaria determina un cambio en las propiedades algebraicas de los observables cuánticos, lo que puede resultar en una contracción del álgebra. En términos geométricos, esta contracción puede entenderse mediante el límite de una familia de campos tensoriales definida por el flujo del campo tensorial de Kossakowski-Lindblad. Otra característica importante de esta evolución es la existencia de variedades límite. Sus propiedades pueden determinarse gracias a la estructura afín existente, lo que a su vez permite investigar su relación con las contracciones de álgebras de observables. Por último, se ofrece una descripción geométrica de los problemas de control de sistemas cuánticos abiertos. Un análisis geométrico de la Mecánica Cuántica permite aplicar a estos problemas los resultados de la teoría de control de grupos de Lie. Como consecuencia, es posible realizar una clasificación de los sistemas cuánticos abiertos según sus propiedades de controlabilidad. Otro ejemplo de sistemas cuánticos abiertos aparece en el contexto de la Dinámica Molecular. En el estudio de sistemas moleculares, debido al gran número de partículas presentes, la ecuación de Schrödinger no puede ser resuelta ni siquiera por métodos numéricos. Por tanto, resulta útil considerar aproximaciones a la ecuación de Schrödinger. En particular, existen muchos modelos que consideran un comportamiento clásico de algunas de las partículas, normalmente los núcleos. El Capítulo 5 resume las propiedades estos modelos moleculares, y en particular del conocido como modelo de Ehrenfest. Es posible llevar a cabo una descripción geométrica de este modelo, basándose en las descripciones de los subsistemas clásico y cuántico. Como resultado, las ecuaciones del modelo pueden escribirse como ecuaciones hamiltonianas en una variedad de Poisson. A partir de estas propiedades, la tesis presenta una generalización del modelo de Ehrenfest a distribuciones estadísticas. Este es un paso importante, ya que se demuestra que esta descripción estadística predice la aparición de efectos relacionados con el fenómeno de decoherencia, algo que no ocurre en el modelo de Ehrenfest estándar. Se han realizado simulaciones numéricas, cuyos resultados respaldan la descripción de sistemas moleculares mediante el modelo estadístico de Ehrenfest. Por último, en este contexto resulta posible considerar distribuciones estadísticas con temperatura. La tesis presenta estas dist
Esta tesis trata sobre simulacion cuantica con gases frios en reticulos opticos. Los reticulos opticos permiten atrapar nubes atomicas formadas, formadas tanto por bosones como por fermiones, en potenciales optcos periodicos. Actualmente se posee un control experimental tan grande con estos sistemas que pueden ser usados para simular modelos que son dificiles de estudiar analiticamente o numericamente para comprobar que son buenas descripciones de la naturaleza. Se presentan varias propuestas experimentales para la simulacion de determinados modelos cuanticos de muchos cuerpos. En primer lugar se propone simular la invariancia gauge de un campo magnetico artificial. La eleccion del gauge en que se realiza el experimento se puede cambiar para comprobar que los observables no dependen de esta eleccion. De esta forma, este simulador lleva incorporado un metodo de verificacion. Es decir, podemos saber que el simulador funciona porque exhibe simetria gauge. La segunda propuesta trata de la simulacion del campo de dirac en dos dimensiones en un espacio tiempo curvado. Se presentan realizaciones experimentales concretas para simular, en particular, el universo de Rindler. La tercera propuesta consiste en simular el modelo de Hubbard en una dimension extra, con cuatro dimensiones espaciales. Se discuten posibles observables que prueban que el sistema posee otra dimension espacial. Por ultimo se propone un experimento para simular con un reticulo optico un modelo de espines clasico mediante el calculo de su funcion de particion a temperatura imaginaria. Se estudia la continuacion analitica a temperatura real y el coste experimental de la misma. A continuacion se estudia el poder computacional cuantico del modelo de Ising en dos dimensiones a temperatura real. Por ultimo se propone una aplicacion de este protocolo al calculo de ciertos invariantes de nudos.
La presente tesis describe operaciones elementales en el control dinamico de gases ultrafrios confinados en guias de ondas angostas. En una primera parte de la tesis se presenta una teoria que describe con exito la dinamica de laseres atomicos guiados, que son los analogos materiales de los laseres convencionales. Para tales sistemas se predice la aparicion de la difraccion en el tiempo que gozando de un gran interes desde un punto de vista fundamental, resulta un inconveniente para las aplicaciones en litografia. La resolucion de esta confrontacion es solventada describiendo como el encendido suave de un laser atomico permite estabilizar su perfil de densidad durante un intervalo de tiempo controlable. Una segunda parte de la tesis ataca problemas abiertos en la dinamica de muchos cuerpos cuya resolucion por el autor ha sido reconocida ya por la comunidad cientifica internacional. Explotando la dualidad de Bose-Fermi exclusiva de los gases ultrafrios en una dimension, se han presentado resultados de gran relevancia para los experimentos en el campo, caracterizando distintos procesos dinamicos como son la expansion libre, el decaimiento por tuneleo. Ademas se ha presentado una tecnica para crear estados cuanticos con un numero bien definido de particulas, indicando como mejorar los resultados experimentales realizados en la university of Tesas en Austin, cuyo exito se limito a la preparacion de gases con estadistica sub-Poissoniana. Este resultado es clave para la creacion de interferometros de mayor precision. La tesis incluye precisamente combinando los resultados anteriores y generalizando l teoria de un sistema de muchos cuerpos con estructura interna e interacciones fuertes, en el campo de la metrologia. De esta forma se describe como en un interferometro Ramsey, elemento clave de un reloj atomico, se pueden utilizar las propiedades ventajosas de los gases ultrafrios en el regimen de Tonks, en contrasto con los condensados de Bese-Einstein en los cuales la interaccion de campo medio empeora el patron de interferencia y la precision del correspondiente reloj.
Esta tesis se enmarca en el estudio de las interacciones en nuevas realizaciones de sistemas cuanticos de baja dimensionalidad, desde un punto de vista extrictamente teorico. La Fisica Cuantica de sistemas de dimensionalidad reducida no es un tema nuevo, ya que sus origenes podrian situarse perfectamente en el momento en que el atomo de Hidrogeno fue estudiado con el formalismo de la Mecanica Cuantica. Sin embargo, la edad de oro de este campo pertenece claramente a las decadas de los setenta y los ochenta, momento en el que se dio un espectacular avance en las tecnicas experimentales para fabricar y caracterizar nanoestructuras. Se puede decir que una nueva revolucion en el campo se ha venido dando tambien en los ultimos anos, principalmente debido a la fabricacion en el laboratorio de sistemas genuinamente de baja dimensionalidad como el grafeno, que es un cristal bidimensional de carbono, o la posibilidad de disenar redes de atomos frios con un extraordinario grado de aislamiento a la vez que enormes posibilidades de controlar externamente sus parametros.
En ambos sistemas, las particulas que los componen no son precisamente independientes, sino que interaccionan de distintas formas, pudiendo dar lugar a fenomenos colectivos no observados nunca antes.
Desentranar los efectos de las interacciones en estas nuevas realizaciones de sistemas de baja dimensionalidad es el tema principal de esta tesis. Dichas interacciones pueden estar presentes de forma intrinseca entra las particulas del sistema, pero tambien podrian tener origen en el entorno en el que el sistema vive, cambiando las propiedades esperadas para el caso aislado. Ambos tipos de interacciones seran objeto de estudio en esta tesis.
La primera parte de la tesis se centra en el estudio de las interacciones en redes de atomos frios.
Este emergente campo esta permitiendo simular en el laboratorio algunos modelos de sistemas en interaccion que hasta ahora se consideraban de interes puramente academico. Como era de esperar, esto ha estimulado nuevos estudios teoricos con la esperanza de que con la mejora de las tecnicas experimentales, todavia en fases tempranas de refinamiento, se puedan observar algunos fenomenos que hasta ahora se encontraban relegados al mundo de las ecuaciones y las simulaciones numericas.
Por lo tanto, esta parte de la tesis va a tener un caracter mucho mas especulativo que la siguiente, donde los experimentos ya realizados seran una guia en muchos casos. Consta de dos capitulo...
La idea principal de esta tesis es describir en forma compacta los principios físicos involucrados en el cálculo de propiedades termodinámicas, por ejemplo la energía libre, en sistemas cuánticos a través del formalismo de las integrales de camino de Feynman aplicado a la Dinámica Molecular Ab Initio. Un método ampliamente usado en el estudio de propiedades electrónicas de sistemas condensados. Para este fin esta tesis consiste de cuatro capítulos: \n \nEl primero trata los fundamentos de la dinámica molecular ab initio. La cual yace sobre la aproximación adiabática de Born-Oppenheimer. Se presenta la Teoría del Funcional de la Densidad como uno de los métodos optimizados para el cálculo de las fuerzas (de carácter electrónico) sobre los núcleos atómicos en el estado fundamental (T = 0). \n \nEl segundo discute el formalismo de integrales de camino de Feynman. El cual abre la posibilidad de incluir efectos cuánticos a temperatura finita (T > 0). Se describe el isomorfismo clásico de la función de partición cuántica a través de las integrales de camino. Por último, discutimos la implementacion numérica de este formalismo y sus limitaciones. \n \nEl tercero trata una de las limitaciones de la dinámica molecular ab initio: los llamados eventos raros. Se muestra como un tratamiento clásico del problema con ayuda de las integrales de camino consigue mejorar el muestreo de eventos y asi facilita el cálculo de la energía libre entre estados (meta)estables. \n \nEn el cuarto se aplica el formalismo descrito en el capítulo anterior para la reconstrucción cuántica de la energía libre en el caso de la tranferencia de un protón en una molécula de malonaldehido. \n \nPor último, presentamos las conclusiones de esta tesis.