Durante los ultimos cuarenta anos el estudio de la perdida de energia y coherencia en sistemas cuanticos ha estado basado en el modelo de Ullersma-Caldeira-Legett, un modelo que describe el entorno de los sistemas cuanticos de interes como una coleccion de osciladores armonicos con evolucion clasica. El actual nivel de experimentacion y de control de los sistemas fisicos han puesto en duda la validez del modelo en sistemas moleculares (e.g. complejos fotosinteticos inmersos en solventes, sistemas quimicos en fase liquida o gaseosa y manipulados con pulsos laser intensos), dada la importancia de estos sistemas en el desarrollo de nuevas tecnologias cuanticas y en el entendimiento de los fenomenos cuanticos en sistemas mesoscopicos, se ha hecho necesario el desarrollo de nuevos modelos del entorno y de metodologias eficientes con gran poder de prediccion cuantitativo. Sin embargo, algunos de ellos son modificaciones artificiales del modelo de Ullersma-Caldeira-Legett sin un soporte fisico solido y limpio.
El proyecto pretende formular un marco general que permita el estudio de las correlaciones cuanticas en (i) sistemas cuanticos en presencia de banos termicos no-armonicos (e.g. banos formados por moleculas diatomicas fuertemente acopladas) y (ii) sistemas acoplados a banos termicos con estatica termionica (e.g. banos de espines), es decir, se pretende estudiar la dinamica de sistemas cuanticos en contacto con reservorios igualmente cuanticos.
Durante los ultimos cuarenta anos el estudio de la perdida de energia y coherencia en sistemas cuanticos ha estado basado en el modelo de Ullersma-Caldeira-Legett, un modelo que describe el entorno de los sistemas cuanticos de interes como una coleccion de osciladores armonicos con evolucion clasica. El actual nivel de experimentacion y de control de los sistemas fisicos han puesto en duda la validez del modelo en sistemas moleculares (e.g. complejos fotosinteticos inmersos en solventes, sistemas quimicos en fase liquida o gaseosa y manipulados con pulsos laser intensos), dada la importancia de estos sistemas en el desarrollo de nuevas tecnologias cuanticas y en el entendimiento de los fenomenos cuanticos en sistemas mesoscopicos, se ha hecho necesario el desarrollo de nuevos modelos del entorno y de metodologias eficientes con gran poder de prediccion cuantitativo. Sin embargo, algunos de ellos son modificaciones artificiales del modelo de Ullersma-Caldeira-Legett sin un soporte fisico solido y limpio.
El proyecto pretende formular un marco general que permita el estudio de las correlaciones cuanticas en (i) sistemas cuanticos en presencia de banos termicos no-armonicos (e.g. banos formados por moleculas diatomicas fuertemente acopladas) y (ii) sistemas acoplados a banos termicos con estatica termionica (e.g. banos de espines), es decir, se pretende estudiar la dinamica de sistemas cuanticos en contacto con reservorios igualmente cuanticos.
Se realiza un estudio sobre la aparicion de efectos memoria en la relajacion de diversos sistemas cuanticos acoplados estocasticamente a banos termicos que han sido tratados de una forma cuatnica. Este hecho permite estudiar los efectos de las diversas escalas de tiempo que aparecen en el problema. La escala de tiempos que domina en el arelajacion de los sistemas cuanticos viene marcada por la intensidad de la interaccion sistema bano. Las otras dos escalas de tiempo fundamentales que aparecen vienen dadas por la temperatura del bano y el tiempo de correlacion de sus variables dinamicas. La interferencia entre las distintas escalas da lugar a la aparicion de efectos memoria. Se ha estudiado la aparicion de efectos memoria en los siguientes sistemas cuanticos: a) un sistema cuantico de muchos niveles no degenerados. B) un oscilador armonico acoplado linealmente a un bano termico. C) un oscilador anarmonico acoplado linealmente a un bano termico. D) un oscilador de morse acoplado no linealmente a un bano termico. E) un rotor cuantico acoplado linealmente a un bano termico que modeliza la relajacion de moleculas dipolares en medios liquidos no polares.
Los efectos disipativos tienen profundas consecuencias en el comportamiento y las propiedades de los sistemas cuánticos [72]. La inevitable interacción con el entorno circundante, con el cual los sistemas intercambian continuamente información, energía, momento angular o materia, es la última responsable de los fenómenos de decoherencia y de la emergencia del comportamiento clásico [490, 614]. Sin embargo, existe un amplio régimen intermedio en el cual efectos disipativos y cuánticos coexisten, dando lugar a una amplia gama de ricos y sorprendentes fenómenos que apenas están empezando a ser comprendidos. Además, las innovadoras técnicas desarrolladas recientemente para controlar y manipular sistemas cuánticos en el laboratorio han hecho esta fenomenología accesible experimentalmente y potencialmente aplicable [244, 586]. En esta tesis exploraremos desde un punto de vista teórico algunas de las conexiones entre efectos disipativos y cuánticos en lo concerniente a dos principales aspectos: el comportamiento termodinámico de los sistemas cuánticos y la relación entre las correlaciones dinámicas y cuánticas compartidas por éstos. Las correlaciones cuánticas son una de las características más sorprendentes de la naturaleza y han atraído un notable interés desde la misma formulación de la teoría cuántica. La comprensión de los mecanismos subyacentes que generan, preservan, o destruyen estas correlaciones resulta de gran importancia a la hora de explorar la frontera cuántico-clásica [597], mientras que es esencial en el diseño de esquemas en los que la decoherencia pueda ser evitada en aplicaciones prácticas [35, 143, 562]. Por otra parte, otro tipo importante de correlaciones dinámicas de caracter más tradicionalmente clásico son los fenómenos de sincronización, que han sido estudiados en un amplio rango de sistemas físicos, químicos y biológicos [433]. La sincronización puede aparecer como un comportamiento espontáneo y cooperativo de diferentes unidades que oscilan y que, cuando se acoplan, adaptan sus ritmos a una frecuencia común. Este fenómeno de sincronización mutua ha sido considerado con profusión desde un punto de vista clásico [249, 263, 606], mientras que los rasgos genuinamente cuánticos de la sincronización estan empezando ahora a ser investigados...
Los sistemas cuanticos abiertos pueden observarse continuamente en el tiempo, esto
es, un aparato de medicion esta continuamente acoplado al sistema, esto es, el aparato
de medicion (de forma ideal) esta midiendo el sistema durante todo el intervalo de tiempo
de observacion. El proceso de medicion provee una senal estocastica clasica a partir
de la cual es posible inferir cual es el estado del sistema. Un ejemplo paradigmatico es
el caso de un sistema de dos niveles acoplado a un campo de radiacion laser externa
(sistema fluorescente) donde el aparato de medida es un detector de fotones. Recientemente,
se estudio la posibilidad de usar en la reconstruccion del estado del sistema,
no solo la informacion provista por la medicion a tiempos anteriores (prediccion), sino
tambien la senal posterior en el futuro (retrodiccion). El objetivo de este trabajo es
estudiar dicho problema para el caso en que la dinamica del sistema presenta efectos de
memoria (no-Markoviana). La dinamica efectiva corresponde a un sistema
fluorescente
acoplado a un reservorio dotados de distintos estados mesoscopicos cuya dinamica estoc
astica es clasica. Cada estado a su vez influencia la dinamica irreversible del sistema.
Demostramos que, aun cuando el aparato de medida solo provee informacion sobre la
dinamica cuantica, la pureza de los estados del bano y del sistema son incrementadas
usando la tecnica de retrodiccion.
El tema central de la tesis doctoral es el análisis de los sistemas cuánticos abiertos. Estos sistemas se caracterizan por estar sometidos a la interacción con el entorno, lo que provoca que su evolución deje de ser unitaria. Es por tanto necesario considerar modelos más allá de la ecuación de Schrödinger. Los sistemas cuánticos abiertos aparecen en numerosos campos, como la Física del Estado Sólido y la Dinámica Molecular. Por este motivo, un análisis detallado de sus propiedades y su dinámica es un tema digno de estudio con un gran abanico de aplicaciones. El enfoque elegido en esta tesis es el desarrollo de un formalismo geométrico que describa de forma adecuada las características de los sistemas cuánticos abiertos. La geometría diferencial ha demostrado ser una herramienta muy útil en el análisis de sistemas físicos. Desde mediados del siglo XX, se ha desarrollado con gran éxito una descripción geométrica de la Mecánica Clásica, principalmente en torno a las mecánicas lagrangiana y hamiltoniana. Por este motivo, resulta natural describir también los sistemas cuánticos en términos geométricos. Las ventajas de un formalismo geométrico resultan claras. Cuando tanto los sistemas clásicos como los cuánticos se describen en los mismos términos, es sencillo describir situaciones en las que existan interacciones clásico-cuánticas. Éste es el caso, por ejemplo, de muchos modelos de Dinámica Molecular, en los que los núcleos y los electrones son considerados respectivamente como partículas clásicas y cuánticas. Por otra parte, un formalismo geométrico de la Mecánica Cuántica posibilita un mejor entendimiento de las diferencias intrínsecas entre las teorías clásicas y las cuánticas. Dada su relevancia a lo largo de la tesis, el Capítulo 1 está enfocado al resumen y el análisis de la descripción geométrica de la imagen de Schrödinger de la Mecánica Cuántica. En formulación usual (algebraica), esta imagen se basa en la representación de los estados de los sistemas cuánticos mediante vectores en un espacio de Hilbert complejo. La transición a una formulación basada en geometría diferencial es inmediata para sistemas finito-dimensionales, dado que los espacios lineales de dimensión finita son casos triviales de variedades diferenciables. Las estructuras adicionales, en concreto el producto hermítico propio de los espacios de Hilbert y los escalares complejos, se describen mediante campos tensoriales en dichas variedades diferenciables, formando lo que se conoce como una estructura Kähler. Todos los ingredientes necesarios para el análisis de sistemas cuánticos pueden describirse en estas variedades de Kähler. Los observables se representan mediante funciones diferenciables, mientras que la dinámica se describe mediante curvas integrales de campos vectoriales hamiltonianos respecto a la forma simpléctica de la estructura Kähler. Esta caracterización puede llevarse a cabo en el espacio de Hilbert asociado a cualquier sistema cuántico finito-dimensional. Además, es posible analizar las propiedades geométricas del espacio proyectivo de Hilbert, el cual constituye el conjunto de estados puros del sistema. Su estructura Kähler puede ser deducida mediante un proceso de reducción de la estructura previamente obtenida en el espacio de Hilbert. Como aspecto novedoso, la tesis presenta en detalle este proceso de reducción, dotándolo de una descripción matemática adecuada. Todas las características de la imagen de Schrödinger pueden describirse de forma geométrica, lo que permite utilizar nuevas herramientas en el análisis de los sistemas cuánticos. Éste es precisamente el tema principal del Capítulo 2, en el cual se utilizan los sistemas de Lie-Kähler para resolver la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo. En geometría diferencial, un sistema de Lie es un sistema no homogéneo de ecuaciones diferenciales que admite una regla de superposición. En general, la obtención de esta regla de superposición es una ardua tarea, la cual puede aligerarse en presencia de estructuras adicionales que sean preservadas por la acción del sistema de Lie. De esta forma, según la estructura preservada, es posible hablar de sistemas de Lie-Hamilton, Lie-Dirac, etc. En el caso de la Mecánica Cuántica, una ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo es un sistema de Lie que preserva la estructura de Kähler previamente descrita. Es por tanto un nuevo tipo de sistema de Lie, al que resulta natural denominar de Lie-Kähler. El Capítulo 2 presenta las propiedades de estos nuevos sistemas y describe un método riguroso para la obtención de sus reglas de superposición. El formalismo geométrico puede extenderse más allá de la imagen de Schrödinger, lo que resulta necesario en el contexto de los sistemas cuánticos abiertos, dado que tanto estados puros como estados mezcla son necesarios para su descripción. Por este motivo, el Capítulo 3 resume la imagen de Heisenberg de la Mecánica Cuántica y su representación de los estados puros y mezcla como funcionales lineales en el álgebra de Lie-Jordan de observables. Se explica también como las estructuras algebraicas de los observables pueden representarse geométricamente en el espacio dual de funcionales lineales en el álgebra. Este es el punto de partida de una de las principales contribuciones de la tesis. Un proceso de reducción, similar al realizado en el análisis de la imagen de Schrödinger, permite describir las propiedades geométricas de la variedad de estados puros y mezcla del sistema. De esta forma, se obtienen dos campos tensoriales en la variedad de estados, los cuales representan correctamente las estructuras algebraicas de los observables. Puede por tanto concluirse que el formalismo geométrico presentado en la tesis es completamente equivalente a la descripción algebraica tradicional, ya que se logra describir adecuadamente todas las propiedades de los sistemas cuánticos. Además, el formalismo geométrico ofrece una visión más clara de las propiedades intrínsecas de la Mecánica Cuántica, lo que facilita una mejor comprensión de la teoría. Por otra parte, un análisis geométrico de la variedad de estados permite estudiar su estratificación y sus propiedades. La tesis demuestra que se trata de una variedad con borde, cuyos puntos extremales son precisamente los estados puros del sistema. La estratificación de esta variedad resulta importante a la hora de considerar la dinámica inducida por campos gradiente y hamiltonianos. Con el objetivo de ilustrar todas estas propiedades, se analizan unos casos sencillos pero con relevancia física. A lo largo de la tesis, se muestran diversas aplicaciones del formalismo geométrico al análisis de sistemas cuánticos abiertos. El Capítulo 4 presenta la descripción de la evolución markoviana de sistemas cuánticos abiertos. Se dice que una evolución es markoviana si depende únicamente en el estado actual del sistema y no de los estados en instantes anteriores, es decir, si el sistema "no tiene memoria". En Mecánica Cuántica, la evolución markoviana se obtiene a partir de la ecuación de Kossakowski-Lindblad, una ecuación diferencial de primer orden en la variedad de estados puros y mezcla de un sistema cuántico abierto. El formalismo geométrico describe esta ecuación como un campo tensorial en esta variedad, lo que permite analizar las propiedades de sus curvas integrales. De esta manera, es posible considerar diversos aspectos de la evolución markoviana desde un punto de vista geométrico. Cualquier evolución no-unitaria determina un cambio en las propiedades algebraicas de los observables cuánticos, lo que puede resultar en una contracción del álgebra. En términos geométricos, esta contracción puede entenderse mediante el límite de una familia de campos tensoriales definida por el flujo del campo tensorial de Kossakowski-Lindblad. Otra característica importante de esta evolución es la existencia de variedades límite. Sus propiedades pueden determinarse gracias a la estructura afín existente, lo que a su vez permite investigar su relación con las contracciones de álgebras de observables. Por último, se ofrece una descripción geométrica de los problemas de control de sistemas cuánticos abiertos. Un análisis geométrico de la Mecánica Cuántica permite aplicar a estos problemas los resultados de la teoría de control de grupos de Lie. Como consecuencia, es posible realizar una clasificación de los sistemas cuánticos abiertos según sus propiedades de controlabilidad. Otro ejemplo de sistemas cuánticos abiertos aparece en el contexto de la Dinámica Molecular. En el estudio de sistemas moleculares, debido al gran número de partículas presentes, la ecuación de Schrödinger no puede ser resuelta ni siquiera por métodos numéricos. Por tanto, resulta útil considerar aproximaciones a la ecuación de Schrödinger. En particular, existen muchos modelos que consideran un comportamiento clásico de algunas de las partículas, normalmente los núcleos. El Capítulo 5 resume las propiedades estos modelos moleculares, y en particular del conocido como modelo de Ehrenfest. Es posible llevar a cabo una descripción geométrica de este modelo, basándose en las descripciones de los subsistemas clásico y cuántico. Como resultado, las ecuaciones del modelo pueden escribirse como ecuaciones hamiltonianas en una variedad de Poisson. A partir de estas propiedades, la tesis presenta una generalización del modelo de Ehrenfest a distribuciones estadísticas. Este es un paso importante, ya que se demuestra que esta descripción estadística predice la aparición de efectos relacionados con el fenómeno de decoherencia, algo que no ocurre en el modelo de Ehrenfest estándar. Se han realizado simulaciones numéricas, cuyos resultados respaldan la descripción de sistemas moleculares mediante el modelo estadístico de Ehrenfest. Por último, en este contexto resulta posible considerar distribuciones estadísticas con temperatura. La tesis presenta estas dist
En este trabajo de tesis se apunta a desarrollar herramientas que posibiliten la descripción de sistemas físicos de interés en información cuántica. El marco teórico de las investigaciones está dado por la teoría de la información, la mecánica cuántica y la geometría diferencial. Las investigaciones propuestas están principalmente vinculadas al interés en la naturaleza de los objetos y procesos coherentes en física, en particular focalizado en la noción de coherencia cuántica. La coherencia cuántica en sistema de muchos cuerpos representa la esencia del entrelazamiento y es un ingrediente indispensable para una multitud de fenómenos físicos en óptica cuántica, información cuántica, física de estado sólido y termodinámica a bajas temperaturas. Los estados entrelazados y el fenómeno de coherencia juegan un rol central en las ciencias de la información cuántica, cuyo desarrollo en los últimos años ha alcanzado gran relevancia a nivel global y constituye uno de los temas prioritarios de estudio en centros de investigación destacados de todo el mundo. En escenarios realistas, tales como sistemas cuánticos abiertos, la coherencia es afectada por el ruido ambiente, de acuerdo al fenómeno de decoherencia; la descripción de procesos físicos de decoherencia es un área de estudio muy activa. Para el estudio de procesos coherentes en sistemas cuánticos resulta fundamental contar con medidas apropiadas que permitan cuantificar el grado de coherencia. Se han establecido algunas propiedades que tales medidas deberían satisfacer, notando que la caracterización cuantitativa de coherencia necesita aún atención y un análisis más exhaustivo y amplio. Los objetivos específicos son explorar cuantificadores alternativos de coherencia utilizando medidas de información, lograr caracterizarla en el marco de la teoría de recursos mediante la propiedad de mayorización y avanzar sobre formulaciones geométricas y entrópicas del principio de incerteza desarrolladas por el grupo, estudiando su conexión con la coherencia cuántica.
El problema a resolver es el de lograr mayor conocimiento, sobre el tema de la Dinámica Cuántica y su Límite Clásico, del cual el sistema científico dispone actualmente. La Dinámica Cuántica es un tema abierto. La comparación con el conocimiento acumulado en la Dinámica Clásica, expone claramente esta situación. Si bien se pueden mencionar determinadas áreas conceptuales como la de los Invariantes Dinámicos, el desarrollo de este tema se ha dado fundamentalmente dentro de campos de aplicación específicos, como por ejemplo en el de ``Muchos Cuerpos", Materia Condensada y Óptica Cuántica. En nuestra metodología consideramos, que la evolución de los operadores cuánticos es la canónica y que el generador de la evolución temporal de las variables clásicas es el valor medio del Hamiltoniano total. Como resultado, todas las propiedades del sistema cuántico (por ejemplo el Principio de Incerteza) se verifican para todo tiempo. Este enfoque no solo representa una buena aproximación, sino que podría describir la interacción entre sistemas microscópicos y macroscópicos, como en los casos de (i) la interacción de un sistema cuántico con un baño o (ii) un proceso de medición. Además, proporciona un modelo exactamente solucionable para el problema de medición cuántica.El objetivo general de este plan de trabajo en de omvestigación es avanzar en el conocimiento formal y aplicado, de la Dinámica Cuántica y su Límite clásico. Para ello se plantean los siguientes objetivos particulares: 1) El estudio de la dinámica de Hamiltonianos no lineales relevantes y de formas hamiltonianas bosónicas no estables. 2) El estudio del Límite Clásico de la Dinámica Cuántica. 3) El estudio y aplicaciones a sistemas relevantes, de Aproximaciones Semiclásicas, especialmente la Aproximación Semicuántica y su Límite Clásico. 4) El desarrollo del tema Juegos Cuánticos. En particular para la representación de la interacción dinámica de sistemas físicos. 5) El desarrollo de nuevos Cuantificadores de Información, tanto clásicos como cuánticos. Adicionalmente 6) La posible aplicación de Modelos Dinámicos de la Física (fundamentalmente cuánticos) y Cuantificadores de Información derivados del mismo campo, a otras ramas del conocimiento, como biología, economía, etc. La metodología de trabajo involucra desarrollos analíticos y desarrollos computacionales, e implica manejo de herramientas teóricas en los ámbitos de la mecánica cuántica, dinámica clásica y cuántica y teoría de la información.