Die vorliegende Arbeit untersucht den Einfluss eines Bosegases aus Natriumatomen auf die Kohärenz fermionischer Lithiumatome, die sich in einer Superposition zweier Bewegungszustände befinden. Zu diesem Zweck implementieren und charakterisieren wir ein Lithium-selektives Gitterpotential. Das Verschieben der Gitterposition koppelt Zustände aus Blochbändern unterschiedlicher Parität und führt bei periodischer Modulation zu Rabi-Oszillationen zwischen dem ersten und zweiten Blochband. Mit Hilfe dieses Kopplungsmechanismus untersuchen wir die zeitliche Entwicklung der Lithiumatome in Ramsey- und Spin-Echo-Experimenten. Die Wechselwirkung mit den Natriumatomen verursacht einen Kohärenzzerfall der Lithiumatome, dessen Zerfallszeit wir durch den Vergleich der Spin-Echo-Signale mit und ohne bosonischem Hintergrund bestimmen. Wir beobachten, dass der Verlust der Kohärenz auf einer etwas längeren Zeitskala als die Relaxation zwischen den Blochbändern erfolgt und schließen daraus, dass der Kohärenzzerfall durch Relaxationsprozesse getrieben ist. Zudem überprüfen wir diese Schlussfolgerung anhand einer Mastergleichung, die die zeitliche Entwicklung einzelner Teilchen in einem Bosegas beschreibt. Unsere Berechnungen stimmen qualitativ mit unseren Beobachtungen überein und bestätigen, dass die Dynamik der Lithiumatome durch Relaxationsprozesse dominiert ist.
Die vorliegende Arbeit untersucht den Einfluss eines Bosegases aus Natriumatomen auf die Kohärenz fermionischer Lithiumatome, die sich in einer Superposition zweier Bewegungszustände befinden. Zu diesem Zweck implementieren und charakterisieren wir ein Lithium-selektives Gitterpotential. Das Verschieben der Gitterposition koppelt Zustände aus Blochbändern unterschiedlicher Parität und führt bei periodischer Modulation zu Rabi-Oszillationen zwischen dem ersten und zweiten Blochband. Mit Hilfe dieses Kopplungsmechanismus untersuchen wir die zeitliche Entwicklung der Lithiumatome in Ramsey- und Spin-Echo-Experimenten. Die Wechselwirkung mit den Natriumatomen verursacht einen Kohärenzzerfall der Lithiumatome, dessen Zerfallszeit wir durch den Vergleich der Spin-Echo-Signale mit und ohne bosonischem Hintergrund bestimmen. Wir beobachten, dass der Verlust der Kohärenz auf einer etwas längeren Zeitskala als die Relaxation zwischen den Blochbändern erfolgt und schließen daraus, dass der Kohärenzzerfall durch Relaxationsprozesse getrieben ist. Zudem überprüfen wir diese Schlussfolgerung anhand einer Mastergleichung, die die zeitliche Entwicklung einzelner Teilchen in einem Bosegas beschreibt. Unsere Berechnungen stimmen qualitativ mit unseren Beobachtungen überein und bestätigen, dass die Dynamik der Lithiumatome durch Relaxationsprozesse dominiert ist.
In dieser Dissertation wird das Verhalten sehr kalter stark korrelierter Quantengase, sowohl in optischen Gittern, als auch in rotierenden Fallen, untersucht.Im ersten Teil betrachten wir Fermionen auf einen bosonenischem Motthintergrund in einem zweidimensionalen optischen Gitter mit quadratischen Einheitszellen.Aufgrund der Wechselwirkung zwischen Fermionen und Bosonen bilden sich "Composite Fermions", Fermionen gepaart mit bosnischen Löchern oder mit Bosonen.Für eine kleine Tunnelrate leiten wir einen effektiven Hamiltonian her, der das Verhalten der "Composite Fermions" beschreibt.Mit Hilfe einer einfachen Mean-Field-Rechnung finden wir einen Mottisolator-Superflüssigkeit Phasenübergang, den wir nummerisch bestätigen Das nächste Kapitel beschäftigt sich mit Quantengasen in optischen "trimerized" Kagomégittern.Für Bosonen finden wir einem Mottisolator mit einer rationalen Anzahl von Atomen (1/3, 2/3, 1, • • • ) in einer Zelle.Im Falle einer Fermion-Fermion-Mischung können wir einen effektiven Hamiltonian für einen Heisenbergantiferromagneten herleiten.Außerdem betrachten ein Gas bestehend aus polarisierten Fermion.Auch dieses System kann mit einem effektiven Hamiltonian dargestellt werden.Durch eine exakte Diagonalisierung gelangen wir zu einer, in frustrierten Systemen, unerwarteten Schlußfolgerung: Es gibt keine Energielücke zwischen Grundzustand und dem ersten angeregten Zustand aber trotzdem finden wir eine langreichweitige Spin-Spin-Korrelation.Im letzten Kapitel untersuchen wir die Möglichkeit, Wignerkristallisation in schnell rotierenden polarisiertem Dipolgasen zu beobachten.Wir vergleichen die Energie eines Wignerkristalls mit der Energie eines Laughlinzustandes und stellen fest, dass unter einer kritischen Füllrate der Wignerkristall energetisch günstiger ist.Weiterhin beschäftigen wir uns mit der Stabilität einer solchen Kristalls und finden unter Berücksichtigung von Phonon-Phonon Wechselwirkungen heraus, dass der Wignerkristall schmilzt, wenn die Füllrate einen kritischen Wert überschreitet.Wir können nun das Lindemannkriterium für den schnell rotierenden dipolaren Wignerkristall formulieren.Die kritische Füllrate für den energetischen Phasenübergang ist etwas größer als für den Schmelzpunkt.
In der vorliegenden Arbeit werden die Möglichkeiten, stark korrelierte Quantensysteme anhand der Bose-Fermi Mischung von Natrium und Lithium experimentell umzusetzen, untersucht. Zu diesem Zweck wurden die intraspezies Wechselwirkung von Natrium sowie die interspezies Wechselwirkung zwischen Natrium und Lithium erforscht. Durch eine quantitative Analyse des Natrium Feshbach Resonanz Spektrums konnten wir dessen Wechselwirkungseigenschaften präzise bestimmen und insbesondere die Genauigkeit der Energie des letzten gebundenen Zustands um einen Faktor 50 erhöhen. Zur Untersuchung der interspezies Wechselwirkungseigenschaften haben wir einen allgemeingültigen Ansatz entwickelt, dessen Anwendbarkeit wir anhand der Natrium-Lithium Mischung zeigen konnten: Vorzeichen und Größe der Streulänge wurden bestimmt und dieser Wert verwendet, um die Energie des letzten gebundenen Zustands zu bestimmen, was als Ausgangspunkt für die Erklärung des gemessenen Feshbach Spektrums diente. Im Spezialfall Natrium-Lithium konnten wir 23 der 26 beobachteten Resonanzen als d-Wellen einordnen. Dieses unerwartete Ergebnis wurde durch eine Coupled-Channels Rechnung bestätigt, deren Resultate für die Wechselwirkungseigenschaften auch mit den unabhängig experimentell ermittelten Größen übereinstimmen. Als ergänzende Herangehensweise, um stark korrelierte Systeme zu untersuchen, haben wir unseren experimentellen Aufbau durch ein optisches Gitter ergänzt. Wir konnten Methoden, um die Bandbesetzung zu bestimmen und kohärent zu manipulieren, demonstrieren und den interspezies Energieübertrag auf verschiedene Weisen untersuchen. Die Gitterfrequenz wurde mit besonderem Augenmerk auf die erreichbare Genauigkeit bestimmt. Der ermittelte Wert in Kombination mit den Ergebnissen der Wechselwirkungsanalyse zeigt, dass Fröhlich Polaronen in der ultrakalten Bose-Fermi Mischung von Natrium und Lithium erfolgreich über den Anstieg in effektiver Masse detektiert werden könnten.
Das Gebiet der Nichtgleichgewichtsdynamik stark korrelierter Quantensysteme beinhaltet eine Vielzahl interessanter Fragestellungen, erweist sich dabei allerdings oftmals als schwer zugänglich für gängige numerische und analytische mathematische Methoden. In den letzten Jahren hat sich durch die experimentelle Realisierung gut kontrollierbarer quantenmechanischer Systeme die Möglichkeit eröffnet, Experimente als Quantensimulatoren für das Verhalten komplexer Vielteilchensysteme zu benutzen. Ultrakalte Atome in optischen Gittern eignen sich hervorragend als Simulatoren für simple Festkörpersysteme, da sich sämtliche Parameter der zugrunde liegenden Hamiltonoperatoren präzise kontrollieren lassen und der Zustand der Systeme mit einer Vielzahl an Messmethoden untersucht werden kann. In unseren Experimenten realisieren wir Bose-Hubbard Systeme durch ultrakalte 39K Atome in blau verstimmten optischen Gittern. Zusätzliche optische Dipolpotenziale und magnetische Feshbach-Resonanzen erlauben es uns dabei, die Parameter der Systeme zu jedem Zeitpunkt beliebig zu variieren. Dadurch sind die von uns erzeugten Systeme in besonderem Maße dazu geeignet, Nichtgleichgewichtseffekte zu untersuchen. Unser Hauptaugenmerk liegt auf der Untersuchung der Expansionsdynamik wechselwirkender Atome in homogenen Gittern. Wir beginnen unsere Experimente mit einem Anfangszustand im tiefen Gitter, der aus lokalisierten Atomen auf maximal einfach besetzten Gitterplätzen besteht. Durch gleichzeitiges schnelles Verringern der Gittertiefe und der externen Potenziale werden die Atome in ein homogenes Gitter entlassen und die Zeitentwicklung ihrer Dichteverteilung wird durch Absorptionsabbildungen festgehalten. Es zeigt sich, dass sowohl die Wechselwirkung zwischen den Atomen als auch die Dimensionalität der Gitter einen starken Einfluss auf die Dynamik haben. In allen integrablen Grenzfällen des Bose-Hubbard Modells verhalten sich die Atome ballistisch und expandieren mit hoher Geschwindigkeit, doch sobald sich das System außerhalb der integrablen Regime befindet verringert sich die Expansionsgeschwind-igkeit drastisch. Diese verringerte Geschwindigkeit geht einher mit der Ausbildung charakteristischer bimodaler Dichteverteilungen, die auf eine diffusive Dynamik schließen lassen. Für stark wechselwirkende Systeme können wir einen dimensionalitätsabhängigen Übergang zwischen ballistischer Dynamik im 1D hard-core-regime und diffusiver Dynamik im 2D Fall beobachten sowie eine starke Verringerung der Expansionsgeschwindigkeit, wenn der Anfangszustand des Systems mehrfach besetzte Gitterplätze enthält. Des Weiteren beobachten wir die Erzeugung solcher Mehrfachbesetzungen nach dem Entlassen der Atome, deren schnelle Entwicklung auf eine lokale Relaxationsdynamik hin zu quasistationären Werten deuten lässt. Als Letztes untersuchen wir die Entwicklung der Quasiimpulsverteilung stark wechselwirkender expandierender Atome, die laut theoretischer Vorhersagen eine vorübergehende Quasikondensation zeigen sollen, bei der sich scharfe lokale Maxima in der Quasiimpulsverteilung bei endlichen Quasiimpulsen bilden. Wir beobachten die Entstehung nicht-thermischer Quasiimpulsverteilungen die Maxima an den vor-hergesagten Positionen zeigen. Allerdings sind die von uns beobachteten Maxima wesentlich breiter als die vorhergesagten und wir diskutieren eine Reihe möglicher Erklärungen für diese Verbreiterung sowie Vorschläge zur Verbesserung zukünftiger Experimente.
Einer der bemerkenswertesten Aspekte der Bose-Einstein-Kondensation ist die natürliche Ausprägung von Korrelationen und langreichweitiger Ordnung in einem System, welches sich im thermischen Gleichgewicht befindet. Insbesondere gilt dies auch für das ideale Bose-Gas, in welchem sich im kondensierten Bereich bei Messung der Phase - beispielsweise in einem Interferenzexperiment - Kohärenz ohne jegliche Wechselwirkung zwischen den Gasteilchen ausbreitet. Dies steht im Gegensatz zu den meisten anderen Phasenübergängen, die ihrerseits eine Wechselwirkung zwischen den Teilchen verlangen, wie z.B. beim Übergang zum Ferromagnetismus. Das Auftreten der makroskopischen Phase des Bose-Einstein-Kondensats lässt sich mit dem Begriff der spontanen Symmetriebrechung erklären, einem Phänomen, das seinerseits keine Wechselwirkung erfordert. Gegenstand der vorliegenden Arbeit sind Untersuchungen der Dynamik und zeitlichen Intensitäts- und Phasenkorrelationen eines Bose-Einstein-kondensierten zweidimensionalen idealen Photonengases in einem optischen Farbstoff-Mikroresonator. Die Thermalisierung der Photonen erfolgt in gewissem Sinne ähnlich zur Schwarzkörperstrahlung: Absorptions- und Reemissionsprozesse stellen eine thermische Kopplung des Lichts an ein Wärmebad und Teilchenreservoir bestehend aus Farbstoffmolekülen bei Raumtemperatur her. Anders als beim Schwarzkörperstrahler ist die Dynamik der Photonen im Mikroresonator jedoch auf ihre transversalen Freiheitsgrade beschränkt, sodass die Photonenenergien im optischen Spektralbereich thermisch über die transversale Modenstruktur des Resonators verteilt werden. Die Energie-Impuls-Relation der Photonen zeigt zudem eine formale Analogie mit der Dispersionsrelation eines zweidimensionalen massiven Bose-Gases, das in einem harmonischen Fallenpotential eingesperrt ist. Im Farbstoff-Mikroresonator lassen sich Temperatur und chemisches Potential des zweidimensionalen Photonengases unabhängig voneinander einstellen. Oberhalb einer kritischen Photonenzahl kommt es zur Bose-Einstein-Kondensation mit einer makroskopischen Besetzung des Grundzustands. In einem ersten Schritt wurde die Thermalisierungsdynamik der Photonen an dem molekularen Wärmebad durch zeitaufgelöste Messungen der optischen Frequenzverteilung im Mikroresonator, sowie einer räumlichen Relaxierung der Photonen ins Fallenzentrum nachgewiesen. Ist der thermische Kontakt zu den Farbstoffmolekülen hinreichend stark, formiert sich das Photonengas innerhalb seiner Lebensdauer im Resonator zu einer thermischen Verteilung (Bose-Einstein-Verteilung). Oberhalb einer kritischen optischen Leistung kann auf diese Weise die Thermalisierung eines laserartigen, nicht-stationären Wellenpakets hin zu einem Bose-Einstein-Kondensat festgestellt werden. Zentrales Thema der vorliegenden Arbeit sind Messungen zur Physik der Teilchenzahlfluktuationen und der Phasenkohärenz eines Bose-Einstein-Kondensats aus Licht im großkanonischen statistischen Ensemble. Die Kopplung des Photonengases an das Reservoir aus Farbstoffmolekülen lässt neben dem Austausch von Energie auch effektiven Teilchenaustausch zu, was durch das großkanonische Ensemble beschrieben werden kann. Im Rahmen der vorliegenden Arbeit konnte die Kopplung an das Teilchenreservoir experimentell bestätigt werden und erstmals eine Bose-Einstein-Kondensation im großkanonischen statistischen Ensemble beobachtet werden. Weiterhin konnte die zeitliche Kohärenz der Kondensatphase verifiziert werden. Im großkanonischen Bereich offenbaren sich diskrete Phasensprünge in der Wellenfunktion, anhand derer die spontane Symmetriebrechung bei der Kondensation in situ verfolgt werden konnte. Die Evidenzen für Thermalisierung und Phasenkohärenz lassen den Schluss zu, dass es sich bei der Bose-Einstein-Kondensation von Licht um einen Gleichgewichtsphasenübergang eines idealen Bose-Gases handelt, bei welchem die Symmetrie des Systems spontan gebrochen wird.
Mit ultrakalte Gasen in optischen Gittern lassen sich stark wechselwirkende Quantenvielteilchensysteme auf der Ebene einzelner Spins untersuchen. Diese Doktorarbeit fasst den Aufbau und die ersten Ergebnisse eines Quantengasmikroskops mit fermionischen Li-6 Atomen zusammen. Wir konnten erstmals antiferromagnetische Spinkorrelationen in Hubbard-Systemen beobachten und in eindimensionalen Systeme die Trennung von Ladungs- und Spinfreiheitsgraden mit Korrelationen nachweisen, die im thermischen Gleichgewicht gemessen wurden. Die Grundlage für diese Experimente ist das Quantengasmikroskop, welches während der Doktorarbeit geplant und aufgebaut wurde. Die Bilder, die man damit nehmen kann, sind Momentaufnahmen eines Quantenvielteilchensystems, auf denen man alle Atome einzeln auf ihren jeweiligen Gitterplätzen erkennen kann. Wir produzieren ein ultrakaltes Quantengas mit Standardverfahren wie Laserkühlung, optischen Fallen und Verdunstungskühlung und laden es in eine einzelne Ebene eines dreidimensionalen optischen Gitters. Vor dem Abbilden wird jedes Atom entsprechend seines Spin mit einem Stern-Gerlach-Magnetfeld um einen halben Gitterplatz nach links oder rechts verschoben. Zur Abbildung der Atome messen wir die Fluoreszenz eines Raman-Seitenbandkühlprozesses, welcher in einem zusätzlichen sehr tiefen optischen Gitter abläuft, und können so 97% der Atome erfolgreich detektieren. Ein Kapitel dieser Arbeit widmet sich den Details dieses Prozesses und kann die verbliebenen Verluste durch eine Nichtgleichgewichtsverteilung der lokalen Anregungen erklären. Die Messung der Dichteverteilung der stark wechelwirkenden Atome im inhomogenen Gitter erlaubt es die Zustandsgleichung des Fermi-Hubbard-Models zu bestimmen. Dabei beobachten wir die starke Unterdrückung der Kompressibilität in der Mott-Isolator-Phase. Mit unseren hochaufgelösten Bildern können wir auch die Dichtekorrelationen des Systems messen und so das Fluktuations-Dissipations-Theorem bestätigen, welches die Kompressibilität in Beziehung zu der Summe aller Dichtefluktuationen setzt. Für eine Entropie pro Teilchen von weniger als log(2) kB zeigt der Mott-Isolator antiferromagnetische Spinkorrelationen aufgrund der Austauschwechselwirkung. In eindimensionalen Spinketten konnten wir diese magnetische Ordnung bis zu einer Distanz von vier Gitterplätzen direkt messen. Die Stärke der beobachteten Korrelationen stimmt sehr gut überein mit Quanten-Monte-Carlo-Rechnungen bei einer Temperatur von einem Achtel der Bandbreite, welches einer Entropie von 0.4 kB pro Atom entspricht. Für Spinketten mit weniger als einem Atom pro Gitterplatz sehen wir eine charakteristische Verschiebung der Spinkorrelationen zu größeren Wellenlängen, die der einer Luttinger Flüssigkeit entspricht. Besonders interessante physikalische Phänomene treten auf, wenn man den Spinfreiheitsgrad mit der Bewegung der Atome koppelt. In eindimensionalen Systemen tritt hier die Spin-Ladungs-Trennung auf, die einem Loch eine freie Bewegung durch eine Spinkette ermöglicht. Allerdings scheint diese Delokalisierung zu einer Reduktionen der magnetischen Ordnung zu führen, da die Position der Teilchen nun fluktuiert. Normale Zweipunktkorrelatoren messen so kleinere Werte. Allerdings konnten wir zeigen, dass die Spins um einzelne Löcher herum primär antiparallel ausgerichtet sind und so nachweisen, dass die Spinordnung fast unabhängig vom Grad der Dotierung ist, wenn man die Lochposition mitberücksichtigt. Diese Messungen lassen sich als erster direkten Nachweis von Spin-Ladungs-Trennung durch Gleichgewichtskorrelationen interpretieren. Diese Arbeit umfasst die ersten Messungen von Spin-Loch-Korrelationen mit ultrakalten Atomen und sie stellt damit einen wichtigen Schritt auf dem Weg zu Quantensimulationen dotierter Antiferromagneten dar, die einen Beitrag zum Verständnis von Hochtemperatursupraleitern leisten könnten.
Ziel dieser Forschungsarbeit ist die Untersuchung von Phasen der Quantenmaterie, die dynamischer Natur sind, d.h. Phasen, welche durch das Treiben eines Quanten-Vielteilchensystems aus dem Gleichgewicht erzeugt werden. Die untersuchten Systeme sind offene Quanten-Vielteilchensysteme, die mit den Freiheitsgraden ihrer Umgebung gekoppelt sind. Im Gegensatz zu Quantenphasenübergängen von isolierter Quantenmaterie, welche in der Regel eng mit den Eigenschaften des Grundzustands und den entsprechenden statischen Ordnungsparametern verbunden sind, wie z. B. Transporteigenschaften, Korrelationslänge oder topologische Phänomene, kann in offenen Quantensystemen, welche effektiv durch nicht-hermitsche Dynamik beschrieben werden, kein Grundzustand definiert werden, und die Charakterisierung der dynamisch induzierten Phasen ist weniger offensichtlich. In unserer Forschung untersuchen wir zwei Fälle von dynamischen Phasen in Quanten-Vielteilchensystemen. Zunächst betrachten wir ``quantum quenches'' in getrieben-dissipativen quadratischen fermionischen Systemen. Ein quantum quench bezieht sich hier auf die abrupte Änderung eines Systemparameters und die Entwicklung eines Anfangszustandes gemäß diesen neuen Bedingungen, wodurch eine Dynamik außerhalb des Gleichgewichts entsteht. Im Gegensatz zu isolierten Quantensystemen, in denen solche Protokolle gut untersucht sind, sind quantum quenches in offenen Quantensystemen kaum erforscht. In diesem Zusammenhang finden wir eine neue Art von dynamischer Phase, die eng mit einer bestimmten verallgemeinerten Form von Thermalisierung verbunden ist. Diese Form der Thermalisierung wird durch eine kombinierte Paritäts-Zeit-Symmetrie der getrieben-dissipativen fermionischen Systeme garantiert. Ähnlich wie bei integrablen isolierten Quantensystemen, die lokal zu einem verallgemeinerten Gibbs-Ensemble relaxieren nachdem sie aus dem Gleichgewicht gebracht wurden, zeigen wir, dass paritätszeitsymmetrische quadratische fermionische Systeme zu einem statistischen Ensemble relaxieren, das wir das paritätszeitsymmetrische verallgemeinerte Gibbs-Ensemble (PTGGE) nennen. Darüber hinaus stellen wir fest, dass Nullmoden des PTGGE die Oszillationsperioden der topologischen (Un-)Ordnungsparameter bestimmen, die an dynamischen Phasengrenzen mit kritischen Skalierungsexponenten divergieren. Weiters deutet die Modifikation der langwelligen effektiven Beschreibung durch ein langreichweitig gekoppeltes Modell und die dadurch veränderten kritischen Exponenten stark auf ein universelles Verhalten hin. Messungsinduzierte Phasen und Übergänge sind ein weiteres Beispiel im Bereich der dynamisch erzeugten Phasen. In diesem Fall erzeugt das Zusammenspiel von unitärer Evolution und häufigen Messungen in einem Quanten-Vielteilchensystem eine stochastische Dynamik mit einem Übergang in der Skalierung der Verschränkung des stationären Zustands. Insbesondere in einem System, das bei rein unitärer Evolution eine volumensabhängige Skalierung der Verschränkungsentropie aufweist, unterdrücken häufige Messungen die Erzeugung von Verschränkung im Durchschnitt über viele Realisationen der stochastischen Entwicklung, was zu einer flächenabhängigen Skalierung führt. Eine gängige Erklärung für dieses Phänomen ist das Einfrieren der Dynamik aufgrund häufiger projektiver Messungen, die einen Quanten-Zeno-Effekt hervorrufen. Wir zeigen, dass die Unterdrückung der Verschränkungserzeugung nicht nur bei projektiven Messungen auftritt, sondern dass vielmehr ein verallgemeinerter Zeno-Effekt aufgrund verallgemeinerter Messungen ausreicht, um die kohärente Dynamik zu unterdrücken, was analoge Signaturen in den stationären Observablen für projektive und verallgemeinerte Messungen verursacht. Des Weiteren gehen wir auf eine aktuelle Kontroverse ein, in der die Existenz einer dynamischen Phase mit kritischer Verschränkungsskalierung für freie Fermionen unter kontinuierlicher Messung lokaler Besetzungszahlen diskutiert wird. Durch eine präzise numerische Analyse in Verbindung mit analytischen Vorhersagen, die aus einer replizierten Keldysh-Feldtheorie für verallgemeinerte Messungen abgeleitet wurden, sind wir in der Lage, starke Hinweise für das Fehlen einer ausgedehnten kritischen Phase vorzulegen und das theoretische Verständnis weiterzuentwickeln, indem wir zeigen, dass die Kritikalität auf einen gut definierten kritischen Bereich endlicher Längenskalen beschränkt ist.