Phasenübergänge bei Spinmodellen

Astrid Lambrecht, Gert‐Ludwig Ingold

Abstract Ein ideales Bose‐Gas zeigt bei tiefen Temperaturen einen Phasenübergang in einen Zustand, bei dem das niedrigste Energieniveau mit einer makroskopischen Anzahl von Teilchen besetzt ist. Diese sogenannte Bose‐Einstein‐Kondensation, bereits 1925 von Einstein vorhergesagt, hat in letzter Zeit aufgrund von Experimenten mit sehr kalten Atomen wieder große Aktualität gewonnen.

J. Kutzner

Marian Grabowski

Nicolò Beato

Quantentechnologien nutzen die Prinzipien der Quantenmechanik, um Aufgaben mit einer Effizienz auszuführen, die mit klassischen Mitteln nicht erreichbar ist. Ihre Entwicklung hängt entscheidend von der präzisen Steuerung der Quantenhardware ab. Aktuelle Geräte befinden sich noch in einem frühen Stadium, wobei ihre Leistung durch Rauschen und unvollkommene Abläufe eingeschränkt ist. In diesem Zusammenhang ist eine effiziente Quantenkontrolle eine entscheidende Ressource: Fortschritte bei den Steuerungstechniken haben das Potenzial, den Übergang von Laborprototypen zu praktischen Technologien zu beschleunigen. Trotz der Verfügbarkeit verschiedener Ansätze bleibt das Problem der effizienten Steuerung von Quantenhardware schwer lösbar. Eine besonders wichtige Herausforderung ist die schnelle Zustandsvorbereitung, bei der das System unter realistischen experimentellen Bedingungen in kürzester Zeit einen Zielzustand erreichen muss. Selbst in Quantensystemen mit wenigen Teilchen ist dieses Problem alles andere als trivial, und unterschiedliche Strategien können zu unterschiedlichen Ergebnissen führen. Diese Arbeit stellt neue Perspektiven zur schnellen Zustandsvorbereitung in kontrollierten Quantensystemen mit wenigen Teilchen vor. Zunächst untersuchen wir Kontrolllandschafts-Phasenübergänge (KLPUs) - abrupte Veränderungen in der Kostenfunktionslandschaft, die durch Variationen der Kontrollparameter hervorgerufen werden. Wir etablieren einen analytischen Rahmen für KLPUs und leiten kontrollierte Entwicklungen der Kostenfunktion ab, die es uns ermöglichen, ihr kritisches Verhalten zu erfassen. Insbesondere verbinden wir mithilfe von Pfadintegralmethoden aus der statistischen Feldtheorie KLPUs mit strukturellen Umordnungen optimaler Protokolle und bestimmen die Skalierung von Ordnungsparametern an Übergangspunkten. Wir zeigen, dass numerische Simulationen auf der Grundlage stochastischer homotopischer Dynamiken eine neue Klasse von KLPUs offenbaren, die mit Änderungen in der Topologie der optimalen Niveaumenge verbunden sind, nämlich diskontinuierliche Variationen in der Anzahl der verbundenen Komponenten. Diese Ergebnisse liefern sowohl theoretische Grundlagen als auch experimentell zugängliche Signaturen von KLPUs und unterstreichen deren Relevanz für den Entwurf effizienter Optimierungsalgorithmen. Zweitens schlagen wir einen neuartigen Ansatz für die schnelle Vorbereitung des stationären Zustands in offenen Quantensystemen vor, der vom Mpemba-Effekt inspiriert ist. Die Sicherstellung der Konvergenz zum stationären Zustand innerhalb eines endlichen Betriebsfensters ist eine zentrale Herausforderung in Experimenten. Wir entwickeln ein allgemeines Verfahren zur Steuerung von Relaxationszeitskalen, indem wir unitäre Operationen konstruieren, die ausgewählte Relaxationsmoden unterdrücken, und bieten damit eine Lösung für das in Carollo et al. [Phys. Rev. Lett. 127, 060401 (2021)] aufgeworfene Problem. Wir demonstrieren unsere Methode in einem wenige Teilchen umfassenden Wechselwirkungssystem mit Fernkopplungen und berücksichtigen dabei realistische Einschränkungen der unitären Kontrolle in Quantensimulatoren. Zusammen bilden diese Beiträge neue analytische und numerische Werkzeuge zum Verständnis und zur Nutzung von Übergängen in Quantenkontrolllandschaften und führen eine allgemeine Methode zur Beschleunigung der Relaxation in offenen Quantensystemen ein.

Wolfgang Nolting

Vom Ising-Modell, das man als eine gewisse Spezialisierung des allgemeinen Heisenberg-Modells auffassen kann, wird zunächst eine Ubersicht über den recht weiten Anwendungsbereich dieses Modells und über seine Lösungsmöglichkeiten gegeben. Das große Interesse, das diesem Modell entgegengebracht wird, beruht letztlich darauf, daß es das einzige realistische Vielteilchenmodell ist, das einen Phasenübergang zeigt und mit mathematischer Strenge gelöst werden kann. Wir berechnen die Zustandssumme des eindimensionalen Ising-Modells ohne äußeres Feld und zeigen, daß die spontane Magnetisierung nur für T = 0 von Null verschieden ist. Die Zustandssumme für den Fall, daß sich das System in einem äußeren Magnetfeld befindet, wird nach der Transfer-Matrix-Methode berechnet. Aus ihr werden einige wichtige thermodynamische Größen wie die freie Enthalpie, die temperaturund feldabhängige Magnetisierung, die isotherme magnetische Suszeptibilität, die Entropie und die spezifische Wärme abgeleitet und diskutiert. Im Gegensatz zum eindimensionalen vollzieht das zweidimensionale Ising-Modell einen Phasenübergang zwischen paramagnetischer und ferromagnetischer Spinordnung bei einer endlichen Temperatur Tc. Die Existenz einer spontanen Mag-netisierung wird zunächst mit Hilfe des sog. „Peierls-Arguments“ bewiesen. Der Beweis gelingt auf der Basis von Abschätzungen mit einem Minimalaufwand an Mathematik. Die exakte Berechnung der freien Energie (ohne Feld) führt zu einem konkreten Resultat für die Übergangstemperatur Tc. Der Phasenübergang manifestiert sich in einer logarithmischen Singularität der spezifischen Wärme.

Christian Hermenau