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Annales De L Institut Henri Poincare-physique Theorique

Variational principles for a relativistic stochastic mechanics

R. Marra, Maurizio Serva

Published Jun 30, 1989• 7 citations
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Abstract

We propose an extension to the relativistic case of the stochastic variational principles both of Lagrangian and Eulerian type. The action we use is the mean classical action evaluated on the paths of relativistic covariant diffusions. The resulting equations of motion are the relativistic stochastic Lagrange equations Nous proposons une extension au cas relativiste des principes variationnels de type lagrangien et eulerien. Nous utilisons comme action l'action moyenne classique evaluee sur les trajectoires des diffusions covariantes relativistes. Les equations du mouvement obtenues sont les equations de Lagrange stochastiques relativistes

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There are two stochastic descriptions of relativistic quantum spinless particles. In the first one, suggested by Feynman's path integral approach to Klein-Gordon propagator, the main ingredients are diffusions in Minkowski space parametrized by some kind of proper time. The second description, on the contrary, is based upon jumb Markov processes giving the space position of the particle in the sense of Newton and Wigner with the time as parameter. In this paper we bridge the gap between these different probabilistic scenarios by constructing the space jump processes by means of space-time diffusions. We give some aplications to the nonrelativistic limit of the hamiltonian semigroup t→exp−(t/¬h)H where H=√−c 2 ¬h 2 Δ+(M 2 c 4 /¬h 2 )−Mc 2 +V(.) Il y a deux descriptions stochastiques de la mecanique quantique relativiste pour une particule sans spin. Dans la premiere, suggere par la theorie de Feynman, les ingredients principaux sont des diffusions dans l'espace de Minkowski parametrise par une sorte de temps propre. La deuxieme description, par contre, emploie des processus de Markov a sauts donnant la position de la particule dans l'espace au sens de Newton et Wigner avec le temps comme parametre. Notre papier va relier les deux prescriptions probabilistes car nous construisons les processus a sauts dans l'espace par les diffusions dans l'espace-temps. Nous donnons aussi des applications a l'etude de la limite non relativiste du semi-groupe hamiltonien t→exp−(t/¬h)H ou H=√−c 2 ¬h 2 Δ+(M 2 c 4 /¬h 2 )−Mc 2 +V(.)

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A stochastic interpretation of Klein-Gordon equation is proposed. The starting point is the construction of relativistically covariant diffusions satisfying a property similar but not identical to the Markov property. It is then shown that the continuity equation associated with these processes together with the relativistic version of mean Newton equation are equivalent to the Klein-Gordon equation On propose une interpretation stochastique de l'equation de Klein Gordon. Le point de depart est la construction d'une diffusion relativiste covariante qui satisfait une propriete semblable (mais pas identique) a la propriete de Markov. On montre ensuite que l'equation de continuite associee a ce processus plus la version relativiste de l'equation de Newton en moyenne sont equivalentes a l'equation de Klein-Gordon

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On définit un opérateur agissant sur des processus stochastiques, qui étend la dérivation classique sur les fonctions déterministes différentiables. On utilise cet opérateur pour définir une procédure associant aux opérateurs différentiels et équations différentielles ordinaires leurs analogues stochastiques. Elle est appelée plongement stochastique. En plongeant les systèmes lagrangiens, nous obtenons une équation d'Euler–Lagrange stochastique, qui dans le cas des systèmes lagrangiens naturels est appelée équation de Newton plongée. Cette dernière contient l'équation de Newton stochastique introduite par Nelson dans sa théorie dynamique des diffusions browniennes. Enfin, on considère une diffusion à drift gradient, à coefficient de diffusion constant et possédant une densité de probabilité. On démontre alors qu'une condition nécessaire pour que cette diffusion soit solution de l'équation de Newton plongée, est que sa densité soit le carré du module d'une fonction d'onde solution d'une équation de Schrödinger linéaire.

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