Annales De L Institut Henri Poincare-physique Theorique

Gaussian Solutions to the Lagrangian Variational Problem in Stochastic Mechanics

Laura M. Morato, Stefania Ugolini

Published Jan 1, 1994• 7 citations

Abstract

Nous presentons une etude qualitative de l'evolution temporelle des solutions gaussiennes pour les equations generales qui resolvent le probleme variationnel de la Mecanique Stochastique. Nous donnons quelques resultats sur la stabilite asymptotique des solutions de l'equation de Schrodinger pour des perturbations dissipatives. Nous decrivons aussi, au moyen de calculs numeriques, le phenomene de l'accroissement de la rotation

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Cette thèse porte sur l'étude de méthodes numériques pour l'analyse de deux modèles stochastiques apparaissant dans le contexte de la condensation de Bose-Einstein. Ceux-ci constituent deux généralisations de l'équation de Gross-Pitaevskii. Cette équation aux dérivées partielles déterministe modélise la dynamique de la fonction d'onde d'un condensat de Bose-Einstein piégé par un potentiel extérieur confinant.Le premier modèle étudié permet de modéliser les fluctuations de l'intensité du potentiel confinant et prend la forme d'une équation aux dérivées partielles stochastiques. Celles-ci conduisent en pratique à un échauffement du condensat, et parfois mêmeà son effondrement. Nous proposons dans un premier chapitre la construction d'un schéma numérique pour la résolution de ce modèle. Il est fondé sur une discrétisation spectrale en espace, et une discrétisation temporelle de type Crank-Nicolson. Nous démontrons que le schéma proposé converge fortement en probabilité à l'ordre au moins 1 en temps, et nous présentons des simulations numériques illustrant ce résultat. Le deuxième chapitre est consacré à l'étude théorique et numérique de la dynamique d'une solution stationnaire (pour l'équation déterministe) de type vortex. Nous étudions l'influence des perturbations aléatoires du potentiel sur la solution, et montrons que la solution perturbée garde les symétries de la solution stationnaire pour des temps au moins de l'ordre du carré de l'inverse de l'intensité des fluctuations. Ces résultats sont illustrés par des simulations numériques exploitant une méthode de Monte-Carlo adaptée à la simulation d'événements rares.Le deuxième modèle permet de modéliser les effets de la température sur la dynamique d'un condensat. Lorsque celle-ci n'est pas nulle, la condensation n'est pas complète et le condensat interagit avec les particules non condensées. Ces interactions sont d'un grand intérêt pour comprendre la dynamique de transition de phase et analyser les phénomènes de brisure de symétrie associés, comme la formation spontanée de vortex. Nous nous sommes intéressés dans les chapitres 3 et 4 à des questions relatives à la simulation de la distribution des solutions de cette équation en temps long. Le troisième chapitre est consacré à la construction d'une méthode d’échantillonnage sans biais pour des mesures connues à une constante multiplicative près. C'est une méthode de Monte Carlo par chaînes de Markov qui a la particularité de permettre un échantillonnage non-réversible basé sur une équation de type Langevin sur-amortie. Elle constitue une extension de Metropolis-Adjusted Langevin Algorithm (MALA). Le quatrième chapitre est quant à lui consacré à l'étude numérique de dynamiques métastables liées à la nucléation de vortex dans des condensats en rotation. Un intégrateur numérique pour la dynamique étudiée est proposé, ainsi qu'une méthode de Monte-Carlo adaptée à la simulation d'événements rares correspondant aux changements de configurations métastables. Cette dernière est basée sur l'algorithme Adaptive Multilevel Splitting (AMS).

Oct 2, 20170 citations

Extensions variationnelles de la méthode du champ moyen dépendant du temps

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En utilisant le principe variationnel de Balian et Veneroni, nous proposons deux extensions consistantes de la theorie du champ moyen dependant du temps pour des systemes de bosons. Une premiere approximation, visant a tenir compte de l'effet des correlations, est obtenue au moyen d'un developpement de l'operateur densite optimum suggere par le principe d'entropie maximum autour d'un operateur gaussien. Nous discutons de la pertinence des equations d'evolution ainsi que de leurs generalisations possibles. Nous presentons en outre une application a un modele unidimensionnel. Dans un second type d'approximation, afin d'optimiser la prediction des fonctions caracteristiques d'operateurs a un corps et des probabilites de transition, nous selectionnons, aussi bien pour l'observable que pour la matrice densite, la classe des operateurs exponentiels de formes quadratiques. Nous obtenons des equations d'evolution couplees d'un genre inhabituel dit probleme aux conditions aux limites a deux points. Pour les resoudre, nous construisons un algorithme numerique adapte. Un test de la methode est presente sur deux exemples a une dimension. Dans un premier cas, nous etudions la collision d'une particule sur une barriere gaussienne. La methode ameliore d'une maniere significative les predictions du champ moyen relatives aux taux de reflexion et de transmission. L'etude du mouvement d'une particule dans un puits quartique revele l'existence de plusieurs solutions pour les probabilites transition predites par la methode de Balian-Veneroni.

Jan 1, 19910 citations

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Solution des problèmes à petit nombre de particules avec les réseaux neuronaux : moyens d'améliorer la méthode variationnelle stochastique pour l'étude des systèmes bosoniques à quelques corps à l'intérieur de la fenêtre universelle L'une des méthodes les plus efficaces utilisées pour étudier les systèmes à quelques corps en mécanique quantique est basée sur une représentation variationnelle de la fonction d'onde. On choisit une base finie dans l'espace de Hilbert, qui approxime l'espace entier, puis on diagonalise le problème dans ce sous--ensemble. Dans les approches variationnelles, le choix de la base est un ingrédient clé. Ces dernières années, différents types de bases ont été proposés. La Méthode Variationnelle Stochastique repose sur une base surcomplète de Gaussiennes Explicitement Corrélées dont les paramètres non linéaires sont choisis de manière stochastique. Cette méthode s'est avérée offrir une convergence rapide, une bonne stabilité et une grande précision; c'est pourquoi elle a été largement utilisée pour étudier divers systèmes quantiques--mécaniques à quelques corps: de l'échelle subnucléaire (comme les baryons et les mésons) aux noyaux légers, aux petites molécules et aux atomes, aux points quantiques dans la matière condensée et à la physique à l'intérieur de la fenêtre d'Efimov.Le présent travail se compose de deux parties principales. Dans la première partie, nous illustrons les principaux aspects computationnels de la Méthode Variationnelle Stochastique. Dans la deuxième partie, nous présentons une application de la Méthode Variationnelle Stochastique pour retrouver les propriétés les plus remarquables des systèmes bosoniques à quelques corps dans la fenêtre d'Efimov.La surcomplétude de la base et le caractère stochastique de la Méthode Variationnelle Stochastique donnent à cette méthode la possibilité d'être améliorée par différentes techniques de recherche et d'optimisation. Après avoir illustré les principes fondamentaux de cette méthode, nous montrons d'abord comment différentes techniques de recherche ont été historiquement déployées pour l'améliorer. Ensuite, nous proposons d'autres approches pour rechercher les paramètres variationnels non linéaires de cette méthode; nous nous concentrerons en particulier sur la manière dont elles contribuent à accélérer la convergence de l'algorithme. Enfin, nous explorons la possibilité d'optimiser les éléments de base de la Méthode Variationnelle Stochastique grâce à des techniques d'optimisation inspirées des plus récentes percées en matière d'Apprentissage par Renforcement.La Méthode Variationnelle Stochastique mentionnée précédemment peut être exploitée pour étudier les systèmes de mécanique quantique composés de quelques bosons identiques à l'intérieur de la fenêtre d'Efimov. La fenêtre d'Efimov, ou fenêtre universelle, est une région d'énergie particulière dans laquelle les systèmes à quelques corps sont faiblement liés. Les nombreuses caractéristiques de ces systèmes sont universelles; leurs propriétés sont largement indépendantes de l'interaction particulière qui produit la liaison. Cela suggère l'utilisation de modèles potentiels simples caractérisés par peu de paramètres pour décrire les propriétés dynamiques. Dans ce travail, nous construisons une série de termes potentiels d'importance décroissante en utilisant le cadre de la Théorie Effective des Champs comme guide. Nous testons notre description effective en utilisant le système atomique 4He comme référence. Les termes potentiels d'ordre supérieur consistent en des termes Gaussiens à deux et trois corps. Avec ce potentiel, certaines propriétés remarquables des systèmes bosoniques à trois corps (comme les états d'Efimov à trois corps et l'Invariance d'Échelle Discrète) sont récupérées. Nous étudions ensuite le rôle de la portée de l'interaction dans la description d'ordre principal, et nous étendons l'exploration au--delà de l'ordre principal en incluant les termes d'ordre suivant dans les potentiels à deux et trois corps. En fonction de le cutoff, la paramétrisation du potentiel est fixée pour décrire l'énergie des amas de 4He jusqu'à sept particules avec la précision attendue.

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