En utilisant le principe variationnel de Balian et Veneroni, nous proposons deux extensions consistantes de la theorie du champ moyen dependant du temps pour des systemes de bosons. Une premiere approximation, visant a tenir compte de l'effet des correlations, est obtenue au moyen d'un developpement de l'operateur densite optimum suggere par le principe d'entropie maximum autour d'un operateur gaussien. Nous discutons de la pertinence des equations d'evolution ainsi que de leurs generalisations possibles. Nous presentons en outre une application a un modele unidimensionnel. Dans un second type d'approximation, afin d'optimiser la prediction des fonctions caracteristiques d'operateurs a un corps et des probabilites de transition, nous selectionnons, aussi bien pour l'observable que pour la matrice densite, la classe des operateurs exponentiels de formes quadratiques. Nous obtenons des equations d'evolution couplees d'un genre inhabituel dit probleme aux conditions aux limites a deux points. Pour les resoudre, nous construisons un algorithme numerique adapte. Un test de la methode est presente sur deux exemples a une dimension. Dans un premier cas, nous etudions la collision d'une particule sur une barriere gaussienne. La methode ameliore d'une maniere significative les predictions du champ moyen relatives aux taux de reflexion et de transmission. L'etude du mouvement d'une particule dans un puits quartique revele l'existence de plusieurs solutions pour les probabilites transition predites par la methode de Balian-Veneroni.
En utilisant le principe variationnel de Balian et Veneroni, nous proposons deux extensions consistantes de la theorie du champ moyen dependant du temps pour des systemes de bosons. Une premiere approximation, visant a tenir compte de l'effet des correlations, est obtenue au moyen d'un developpement de l'operateur densite optimum suggere par le principe d'entropie maximum autour d'un operateur gaussien. Nous discutons de la pertinence des equations d'evolution ainsi que de leurs generalisations possibles. Nous presentons en outre une application a un modele unidimensionnel. Dans un second type d'approximation, afin d'optimiser la prediction des fonctions caracteristiques d'operateurs a un corps et des probabilites de transition, nous selectionnons, aussi bien pour l'observable que pour la matrice densite, la classe des operateurs exponentiels de formes quadratiques. Nous obtenons des equations d'evolution couplees d'un genre inhabituel dit probleme aux conditions aux limites a deux points. Pour les resoudre, nous construisons un algorithme numerique adapte. Un test de la methode est presente sur deux exemples a une dimension. Dans un premier cas, nous etudions la collision d'une particule sur une barriere gaussienne. La methode ameliore d'une maniere significative les predictions du champ moyen relatives aux taux de reflexion et de transmission. L'etude du mouvement d'une particule dans un puits quartique revele l'existence de plusieurs solutions pour les probabilites transition predites par la methode de Balian-Veneroni.
Durant cette thèse, je me suis intéressé à deux thématiques générales qui peuvent être explorées dans des systèmes d atomes froids : d une part, la dynamique hors-équilibre d un système quantique isolé, et d autre part l influence du désordre sur un système fortement corrélé à basse température. Dans un premier temps, nous avons développé une méthode de champ moyen, qui permet de résoudre la dynamique unitaire dans un modèle à géométrie particulière, le réseau complètement connecté. Cette approche permet d établir une correspondance entre la dynamique unitaire du système quantique et des équations du mouvement classique. Nous avons mis à profit cette méthode pour étudier le phénomène de transition dynamique qui se signale, dans des modèles de champ moyen, par une singularité des observables aux temps longs, en fonction des paramètres initiaux ou finaux de la trempe. Nous avons montré l existence d une transition dynamique quantique dans les modèle de Bose-Hubbard, d Ising en champ transverse et le modèle de Jaynes-Cummings. Ces résultats confirment l existence d un lien fort entre la présence d une transition de phase quantique et d une transition dynamique.Dans un second temps, nous avons étudié un modèle de théorie des champs relativiste avec symétrie O(N) afin de comprendre l influence des fluctuations sur ces singularités. À l ordre dominant en grand N, nous avons montré que la transition dynamique s apparente à un phénomène critique. En effet, à la transition dynamique, les fonctions de corrélations suivent une loi d échelle à temps égaux et à temps arbitraires. Il existe également une longueur caractéristique qui diverge à l approche du point de transition. D autre part, il apparaît que le point fixe admet une interprétation en terme de particules sans masse se propageant librement. Enfin, nous avons montré que la dynamique asymptotique au niveau du point fixe s apparente à celle d une trempe d un état symétrique dans la phase de symétrie brisée. Le troisième volet de cette thèse apporte des éléments nouveaux pour la compréhension du diagramme des phases du modèle de Bose-Hubbard en présence de désordre. Pour ce faire,nous avons utilisé et étendu la méthode de la cavité quantique en champ moyen de Ioffe et Mézard, qui doit être utilisée avec la méthode des répliques. De cette manière, il est possible d obtenir des résultats analytiques pour les exposants des lois de probabilité de la susceptibilité.Nos résultats indiquent que dans les différents régimes de la transition de phase de superfluide vers isolant, les lois d échelle conventionnelles sont tantôt applicables, tantôt remplacées par une loi d activation. Enfin, les exposants critiques varient continûment à la transition conventionnelle.
Cette thèse étudie l'apport du calcul quantique bruité pour l’algorithme phare des fortes corrélations, la théorie du champ moyen dynamique (DMFT). Elle vise à mettre à profit les premiers dispositifs de calcul quantique, malgré leurs imperfections liées à un degré de contrôle expérimental encore limité. Dans un premier temps, une version améliorée de la méthode variationnelle de préparation de l'état fondamental du modèle d'impureté est proposée. Elle consiste en la réalisation de mises à jour de la base à une particule dans laquelle est décrit le Hamiltonien d'impureté. Ces mises à jour sont entrelacées avec des optimisations variationnelles de l'état, et guidées par la matrice densité à une particule de l'état variationnel optimisé courant. Cet algorithme nous a permis de réaliser la première implémentation hybride bruitée d'un schéma assimilé à la DMFT avec un système auxiliaire à deux impuretés. Aussi, nous montrons sur plusieurs exemples que cette méthode est capable d'augmenter la capacité d'un circuit variationnel donné à représenter l'état cible. Enfin, nous proposons de combiner les mises à jour de la base à une particule avec un algorithme variationnel dit adaptatif, qui construit le circuit itérativement. Nous montrons que cette approche permet de réduire, à précision donnée sur l'énergie de l'état optimisé, le nombre de portes du circuit. Dans un second temps, nous proposons de mettre à profit la dissipation qui affecte les qubits afin de diminuer les effets de la troncation du bain sur l'ajustement de l'hybridation du bain à celle de la DMFT. Nous montrons qu'une réduction en termes de sites de bain est bien à la portée d'une telle méthode. Cependant, nous faisons l'hypothèse d'un processus dissipatif qui n'est pas réaliste : la méthode doit donc encore être étudiée via un modèle plus proche des conditions expérimentales.
Dans une serie de travaux Zied Ammari et Francis Nier ont developpe des methodes pour etudier la dynamique de champ moyen bosonique pour des etats quantiques generaux pouvant presenter des correlations. Ils ont obtenu des formules pour decrire la dynamique des correlations, ou plus generalement des matrices densite reduites d'ordre arbitraire. Cette thematique a ete largement developpee ces dernieres annees. Norbert Mauser en a ete un des contributeurs, ainsi que sur la notion de mesure de Wigner qui est la cle de l'analyse developpee par Z. Ammari et F. Nier. En general, il est admis que l'asymptotique de champ moyen est une bonne approximation du probleme a N particules quand N depasse la dizaine. Cela concerne l'asymptotique de la matrice densite reduite a une particule qui ne decrit pas la dynamique des correlations. Un objectif est de tester la validite de la dynamique de champ moyen pour les matrices densite reduites a 2-particules. Pour des tests numeriques, les modeles discrets qui n'ont pas ete vraiment traites en detail dans les travaux precedents de Z. Ammari et F. Nier semblent bien adaptes. La these comprendra donc plusieurs etapes: adapter les resultats precedents de Z. Ammari et F. Nier a des modeles discrets , developper des methodes numeriques pour des systemes simples mais pertinents, permettant de valider l'approximation de champ moyen et les formules pour la dynamique des correlations. Au niveau numerique, on utilise des schemas numeriques symplectiques, developpes specifiquement ces dernieres annees pour la discretisation des equations hamiltoniennes. Une derniere etape concerne la combinaison des deux asymptotiques, champ moyen et approximation des modeles continus par les modeles discrets.
Approximation de champ moyen pour un gaz d'anyons Ce manuscrit est dédié à l'étude des gaz d'anyons. Il s'agit de dérivations rigoureuses d'énergies fondamentales de ces systèmes dans la limite de champs moyen, i.e quand le nombre de particule tend vers l'infini. Au sein des systèmes bi-dimensionnels le choix de la statistique des particules n'est pas limité à la dichotomie boson/fermion. Le paramètre statistique peut prendre n'importe quelle valeur entre 0 et 1 extrapolant entre bosons (paramètre statistique nul) et fermions (paramètre statistique égal à 1). Ces quasi-particules sont alors décrites comme d'authentiques fermions ou bosons interagissant via un potentiel magnétique longue portée généré par des charges magnétiques de rayon R que les particules transportent. En d'autres termes, nous ajoutons aux particules un tube de flux fictif de type Aharonov-Bohm. Nous avons donc affaire à un problème à N corps où toutes les particules interagissent entre elles. Nous considérons de plus que les anyons sont piégés dans un potentiel V et soumis à un champ magnétique extérieur. Nous étudions ici deux limites appelées quasi-bosonique et quasi-fermionique où le paramètre statistique tend respectivement vers celui des bosons puis des fermions. Dans le premier cas le paramètre statistique est vu comme une perturbation du cas bosonique. Nous le prenons égal à 1/N. Le rayon R tend aussi vers zéro quand N tend vers l'infini. Notre méthode permet d'obtenir la convergence des états fondamentaux de ces gaz ainsi que la convergence des états associés. Nous obtenons une énergie de Hartree. La validité de ce résultat dépend de la vitesse de convergence de R qui ne doit pas décroître trop vite. La discussion autour de la taille des anyons sera centrale dans le manuscrit. L'outil principal dans l'obtention du modèle effectif est la version du théorème de de Finetti de Brandão et Harrow combiné à une localisation dans l'espace de Fock.Dans le cas quasi-fermionique le paramètre statistique tend vers un. Nous travaillons donc sur une perturbation du cas fermionique. Cette fois-ci nous introduisons la constante de Planck que nous prenons proportionnelle à 1/N^(1/2) pour nous trouver dans une limite semi-classique. Nous obtenons à la limite une énergie Thomas-Fermi. La validité de ces résultats est aussi tributaire d'une contrainte sur la taille des charges R. Nous utilisons les états cohérents et les fonctions de Husimi combinés au théorème de Diaconis-Freedman pour obtenir l'énergie effective. Le point central de la preuve est l'obtention d'un principe de Pauli quantitatif semi-classique.Dans les chapitres qui vont suivre nous commencerons par expliciter la notion d'anyon, nous énoncerons les résultats principaux, puis consacrerons le reste à leur preuve. Nous terminerons en suggérant quelques idées d'amélioration et de continuation de notre propos.
De nombreux phénomènes de physique quantique ne peuvent être compris que par l'analyse des systèmes ouverts. Un appareil de mesure, par exemple, est un système macroscopique en contact avec un système quantique. Ainsi, tout modèle d'expérience doit prendre en compte les dynamiques propres aux systèmes ouverts. Ces dynamiques peuvent être complexes : l'interaction du système avec son environnement peut modifier ses propriétés, l'interaction peu créer des effets de mémoire dans l'évolution du système, . . . Ces dynamiques sont particulièrement importantes dans l'étude des expériences d'optique quantique. Nous sommes aujourd'hui capables de manipuler individuellement des particules. Pour cela la compréhension et le contrôle de l'influence de l'environnement est crucial. Dans cette thèse nous étudions d'un point de vue théorique quelques procédures communément utilisées en optique quantique. Avant la présentation de nos résultats, nous introduisons et motivons l'utilisation de la description markovienne des systèmes quantiques ouverts. Nous présentons a la fois les équations maîtresses et le calcul stochastique quantique. Nous introduisons ensuite la notion de trajectoire quantique pour la description des mesures indirectes continues. C'est dans ce contexte que l'on présente les résultats obtenus au cours de cette thèse. Dans un premier temps, nous étudions la convergence des mesures non destructives. Nous montrons qu'elles reproduisent la réduction du paquet d'onde du système mesuré. Nous montrons que cette convergence est exponentielle avec un taux fixe. Nous bornons le temps moyen de convergence. Dans ce cadre, en utilisant les techniques de changement de mesure par martingale, nous obtenons la limite continue des trajectoires quantiques discrètes. Dans un second temps, nous étudions l'influence de l'enregistrement des résultats de mesure sur la préparation d'état par ingénierie de réservoir. Nous montrons que l'enregistrement des résultats de mesure n'a pas d'influence sur la convergence proprement dite. Cependant, nous trouvons que l'enregistrement des résultats de mesure modifie le comportement du système avant la convergence. Nous retrouvons une convergence exponentielle avec un taux équivalent au taux sans enregistrement. Mais nous trouvons aussi un nouveau taux de convergence correspondant a une stabilité asymptotique. Ce dernier taux est interprété comme une mesure non destructive ajoutée. Ainsi l'état du système ne converge qu'après un temps aléatoire. A partir de ce temps la convergence peut être bien plus rapide. Nous obtenons aussi une borne sur le temps moyen de convergence.
La dynamique d'un système quantique formée de particules en interaction devient rapidement impossible à décrire exactement lorsque le nombre de particules augmente. Ceci est une des principales difficultés dans la description des noyaux atomiques pouvant contenir plusieurs centaines de nucléons. Une approche simplifiée du problème consiste à supposer que certains degrés de liberté contiennent plus d'information que les autres. Une approximation classique est de se concentrer sur les degrés de liberté à un corps : la dynamique du système peut être approximativement décrite par un ensemble de particules se propageant dans un champ moyen effectif. Si l'approximation de champ moyen a permis de nombreuses avancées dans la compréhension théorique des propriétés des noyaux, il n'en reste pas moins qu'elle ne peut décrire un certain nombre de leurs propriétés, par exemple les effets des collisions directes entre les nucléons où les fluctuations quantiques des observables à un corps. L'objectif de la thèse est de rendre compte de ces corrélations au-delà de l'approximation de champ moyen afin d'améliorer la description dynamique des systèmes quantiques corrélés. Une composante de la thèse a été d'étudier les méthodes qui permettent de traiter les collisions entre les particules en incluant le terme de Born au-delà du champ moyen. Ce terme est particulièrement complexe à cause d'effets non-locaux en temps, effets dits non-markoviens. Des simplifications possibles de ce terme, en vue de futures applications, ont été étudiées. Deux approches simplificatrices ont été proposées, l'une permettant de traiter ce terme à l'aide d'équations maîtresses, l'autre en s'affranchissant des intégrales en temps. La seconde partie de la thèse a été consacrée à l'amélioration de l'approximation de champ moyen afin de décrire les fluctuations quantiques. En se basant sur des méthodes d'espace des phases existantes, une nouvelle méthode, appelée «Hybrid Phase Space Method» (HPS) a été proposée. Cette méthode est une combinaison entre la théorie de champ moyen avec fluctuations initiales et une théorie où les degrés de liberté à deux corps sont propagés explicitement. Cette nouvelle approche a été testée avec succès pour la description d'un ensemble de fermions sur réseau, i.e, le modèle de Fermi-Hubbard et a donné de bien meilleurs résultats que les approches d'espace des phases précédemment utilisées pour décrire les systèmes corrélés, notamment dans un cas de couplage faible. Si cette nouvelle approximation donne des résultats intéressants, elle reste cependant numériquement assez lourde et empirique. Cela a conduit à étudier en détail les formalismes de Wigner-Weyl et de Bohm afin d'explorer de manière plus systématique les méthodes d'espace des phases et amené à la notion de trajectoire en mécanique quantique. La conclusion de cette étude, dont les tests ont été effectués sur l'effet tunnel, est qu'il est nécessaire que les trajectoires interfèrent entre elles au cours du temps pour bien reproduire les effets quantiques.