Challenges
Datasets
Workspaces
Papers
Discussions
Leaderboard
Log inSign up
Challenges
Datasets
Workspaces
Papers
Discussions
Leaderboard
Blog
Job Board
Q3AS

© 2026 Aqora Quantum S.A.S.

TermsPrivacyLegal Notice

Lie-theoretischer Zugang zur Erzeugung unitärer Transformationen auf Quantenrechnern

Robert Zeier

Published Jan 1, 2006• 0 citations
Publisher

Abstract

Im Kontext der Informationsverarbeitung mit Quantenrechnern untersucht diese Arbeit effiziente Methoden zur Erzeugung unitärer Transformationen unter Verwendung einer gegebenen Menge von Grundoperationen. Nach den Gesetzen der Quantenmechanik bilden dabei die unitären Transformationen die durchführbaren Operationen und zugleich eine Beschreibungssprache für Algorithmen auf einem Quantenrechner. Wir verwenden Methoden der Lie-Theorie zur Strukturanalyse der auftretenden Kontrollprobleme.

DOI
10.5445/ksp/1000005152

Related papers

Verschränkung und Korrelationen in Vielteilchensystemen

Matthias Maximilian Englbrecht

Verschränkung ist nicht nur notwendig für die Beschreibung des Verhaltens von quantenmechanischen Systemen, sondern ist auch essentiell für einige vielversprechende Anwendungen der Quantenmechanik. Motiviert durch die Bedeutung von Verschränkung werden in dieser Arbeit Themen aus der Vielteilchenverschränkungstheorie behandelt. Der erste Teil der Arbeit besteht aus zwei Unterteilen. Im ersten Unterteil werden separable Kanäle (SEP) betrachtet, d.h., Kanäle, die mittels separabler Krausoperatoren dargestellt werden können. SEP bildet eine strikte übermenge der Menge der Quantenoperationen, die mittels lokaler Operationen und klassischer Kommunikation implementiert werden können (LOCC). Dabei ist LOCC genau die Menge von Quantenoperationen, mittels welcher keine Verschränkung erzeugt werden kann. Separable Transformationen erlauben es notwendige Bedingung für LOCC-Transformationen herzuleiten. Wir zeigen, dass es nicht hinreichend ist nur Kanäle zu betrachten, die mittels separabler und invertierbarer Krausoperatoren dargestellt werden können (SEP1), um zu entscheiden ob zwei reine Zustände mit SEP ineinander transformiert werden können. Dieses Resultat wirft die Frage auf, ob Transformationen mittels SEP1 notwendig sind für LOCC-Transformationen. Während die Relation von SEP1 und LOCC nicht abschließend geklärt werden konnte, wird im Folgenden gezeigt, dass SEP1-Transformationen notwendig sind für Transformationen mittels LOCC-Protokollen, die nur aus endlich vielen Runden klassischer Kommunikation bestehen (LOCCN), also solche LOCC-Protokolle, die physikalisch relevant sind. Darüber hinaus werden notwendige und hinreichende Bedingungen dafür hergeleitet, wann eine Transformation zwischen zwei reinen Zuständen mittels SEP möglich ist (siehe auch [Gour et al. New Journal of Physics 13(7), 073013 (2011)]). Im zweiten Unterteil wird die Verschränkung von Stabilizerzuständen untersucht, da diese Zustände viele Anwendungen in der Quanteninformationstheorie besitzen. Dazu werden lokale Transformationen dieser Zustände betrachtet. Als Voraussetzung dafür werden zunächst alle lokalen Symmetrien von Stabilizerzuständen charakterisiert. Zudem wird ein Algorithmus hergeleitet, um diese für einen gegebenen Zustand zu bestimmen. Diese Ergebnisse werden dann verwendet um LOCCN-Transformatio- nen innerhalb der äquivalenzklasse zu analysieren, die von einem Stabilizerzustand und allen Zuständen, die unter probabilistischen LOCC-Transformationen von diesem erreicht werden können, gebildet wird (SLOCC). Zudem werden Anwendungen von Stabilizerzuständen diskutiert, die aus den Eigenschaften ihrer lokalen Symmetriegruppe abgeleitet werden können. Um einen vergröberten Blick auf die Verschränkung von Stabilizerzuständen zu erhalten, werden dann Cliffordtransformationen zwischen diesen Zuständen untersucht, die lokal bezüglich einer fixierten Menge von Parteien wirken (PLC). Eine solche Partei kann dabei aus mehr als einem Qubit bestehen. Zunächst wird gezeigt, dass PLC Transformationen zwischen Graphenzuständen durch eine verallgemeinerte Form von lokaler Komplementierung beschrieben werden kann. Letztere beschreibt Transformationen zwischen Graphenzuständen mittels lokaler Cliffordoperatoren. Um die entstehenden Äquivalenzklassen zu charakterisieren wird die so genannte verschränkung-generierende Menge (EGS) verwendet [Bravyi et al., J. Math. Phys. 47, 062106 (2006)]. Diese Menge enthält für bis zu drei Parteien nur endlich viele Zustände [Bravyi et al., J. Math. Phys. 47, 062106 (2006)]. Im Folgenden wird gezeigt, dass das EGS für vier und mehr Parteien unendlich viele Elemente enthält. Im zweiten Teil der Arbeit wird die partielle Unterscheidbarkeit von identischen Teilchen in Interferenzexperimenten untersucht, in welchen einige Freiheitsgrade der Teilchen nicht verändert und nicht detektiert werden. Dabei werden insbesondere Bosonen betrachtet. Anwendungen solcher Interferenzexperimente benötigen meist ununterscheidbare Teilchen. Deshalb spielt die Charakterisierung von partieller Unterscheidbarkeit sowie deren Quantifizierung eine wichtige Rolle. Zunächst wird in diesem Teil der Arbeit Literatur zusammengefasst, die für die weiteren Kapitel besonders relevant ist. Diese Literatur beschäftigt sich hauptsächlich mit bestimmten Teilmengen von Zuständen, die relevant sind für Experimente. Ausgehend von dieser Zusammenfassung wird dann eine Definition von Ununterscheidbarkeit und Unterscheidbarkeit für Teilchen formuliert, die durch allgemeine Zustände beschrieben werden. Diese basiert alleinig auf den Informationen über die Teilchen, welche auch in den betrachteten Experimenten zugänglich sind. Die zugehörigen Mengen von Zuständen werden mittels Darstellungstheorie charakterisiert. Darüber hinaus wird eine effiziente Methode hergeleitet um eine obere und eine untere Schranke an ein Ununterscheidbarkeitsmaß mittels Interferenzexperimenten zu bestimmen, welches sich von der Definition von Ununterscheidbarkeit ableitet.

•Jan 1, 2023•0 citations

Eindimensionale q-deformierte Quantenmechanik und Streuprobleme

R. Hinterding

Die Grundlage dieser Arbeit ist die q-deformierte Heisenberg-Algebra.Zuerst definieren wir diese Algebra, betrachten ihre Darstellungen und geben anschließend eine Einbettung der q-Heisenberg-Operatoren in die undeformierte Heisenberg-Algebra an.Die q-Heisenberg-Operatoren besitzen ein diskretes Spektrum.Diese sogenannten q-Gitter spielen eine wesentliche Rolle in dieser Arbeit.Mit Hilfe eines algebraischen Kalküls betreiben wir q-deformierte Quantenmechanik und nichtabelsche Eichtheorie auf einer Unteralgebra der q-Heisenberg-Algebra, die von den Elementen x und x -1 erzeugt wird.Wir betten ein freies q-Teilchen in den Ortsraum der undeformierten Quantenmechanik ein, untersuchen seine Eigenschaften und stellen es in Diagrammen graphisch dar.Ein solches Teilchen nimmt nur auf einem q-Gitter von Null verschiedene Werte an.Wir verwenden das q-Teilchen als stationäres Streupotenzial für die Streuung einer ebenen Welle, und untersuchen den Reflexionskoeffizient nach Spuren der diskreten Struktur.Zum Schluss verwenden wir noch den Grundzustand des q-Oszillators als stationäres Streupotenzial und vergleichen den Reflexionskoeffizient der gestreuten Welle mit den entsprechenden Resultaten der undeformierten Quantenmechanik.

•Jan 1, 2001•1 citation

Nichtperturbative Linked-Cluster Entwicklungen für unkonventionelle Mottisolatoren

Dominik Ixert

In dieser Arbeit werden Linked-Cluster Entwicklungen weiterentwickelt und auf verschiedene Hubbard- und Spinmodelle bei Temperatur T=0 angewendet. Die Spinmodelle können dabei als effektive Beschreibung der isolierenden Mottphase von Hubbardmodellen angesehen werden. In den meisten Fällen sind die verwendeten Linked-Cluster Entwicklungen nichtperturbative Varianten, welche physikalische Größen auf einzelnen Graphen mit nichtperturbativen Methoden wie kontinuierlichen unitären Transformationen oder exakter Diagonalisierung berechnen, um Resultate im thermodynamischen Limes zu erhalten. Das halbgefüllte Hubbardmodell auf einer Einparameterfamilie von flussgefüllten Quadratgittern besteht aus einem anisotropen Parameter, welcher zwischen dem Grenzfall isolierter Dimere und dem isotropen Quadratgitter interpoliert. Es stellt sich heraus, dass das Grundzustandsphasendiagramm aus vier Phasen besteht: Einem Halbmetall und einem Bandisolator für schwache Wechselwirkungen sowie einer Néelphase und einem Valenzbondkristall bei starken Wechselwirkungen. Alle Ergebnisse sind entlang der gesamten Parameterachse konsistent mit der Abwesenheit einer Spinflüssigkeitsphase. Das Phasendiagramm wird durch eine Kombination von Quanten-Monte-Carlo-Rechnungen und kontinuierlichen unitären Transformationen bestimmt. Dabei werden die kontinuierlichen unitären Transformationen in zwei Schritten durchgeführt: Zuerst werden nichtperturbative graphenbasierte kontinuierliche unitäre Transformationen verwendet, um effektive Quantenspinmodelle für die Mottphase abzuleiten. Im Anschluss daran werden diese Spinmodelle innerhalb des Valenzbondkristalls mit perturbativen kontinuierlichen unitären Transformationen analysiert, indem die Triplonlücke bestimmt und der Zusammenbruch des Valenzbondkristalls untersucht wird. Kürzliche Studien haben Hinweise für die Existenz einer nichtmagnetischen isolierenden Phase innerhalb der Mottphase des halbgefüllten Hubbardmodells auf dem Pi-Fluss Dreiecksgitter gefunden. In dieser Arbeit wird mit perturbativen kontinuierlichen unitären Transformationen ein effektives Spinmodell für dieses Hubbardmodell abgeleitet. Die Analyse der effektiven Spinmodelle mittels exakter Diagonalisierung zeigt keine Anzeichen für die Existenz einer solchen exotischen Phase. Abschließend wird in dieser Arbeit ein generisches Schema zur Durchführung von nichtperturbativen Linked-Cluster Entwicklungen in langreichweitig geordneten Quantenphasen vorgestellt. Dieses Schema geht über das Paradigma der normalen nichtperturbativen Linked-Cluster Entwicklungen hinaus und erweitert diese, sodass eine Berechnung um einen geordneten Referenzzustand durchgeführt werden kann. Die Cluster werden dann, als von diesem Referenzzustand umgeben, betrachtet, wodurch sich Randfelder ergeben, welche die mit der Ordnung assoziierte Symmetrie brechen. Das Einbeziehen dieser Randfelder in der exakten Diagonalisierung auf den einzelnen Graphen, führt -- selbst für langreichweitig magnetisch geordnete Phasen mit lückenlosen Anregungen, bei denen die divergierende Korrelationslänge üblicherweise die Anwendung von nichtperturbativen Linked-Cluster Entwicklungen verhindert -- zu einem monotonen Konvergenzverhalten. Weiterhin wird das Skalierungsverhalten der Datensequenzen zu unendlichen Ordnungen untersucht. Dabei werden unterschiedliche Graphenentwicklungen angewendet, welche eine volle Graphenentwicklung sowie Entwicklungen in rechteckigen und symmetrischeren quadratischeren Clustern beinhalten. Das Schema wird auf das Spin-1/2 und Spin-1 Heisenbergmodell auf dem Quadrat- und Dreiecksgitter, welche beide einen langreichweitig magnetisch geordneten Grundzustand mit lückenlosen Spinwellenanregungen aufweisen, sowie auf das Spin-1 Heisenbergmodell auf dem Kagomegitter, welches einen spontan trimerisierten lückenbehafteten Grundzustand besitzt, angewendet.

•Jan 1, 2016•0 citations

Abstrakte Formulierung

Torsten Fließbach, Hans Walliser

Die mathematische Struktur der Quantenmechanik ist die eines Hilbertraums. Wir diskutieren die Eigenschaften dieses Hilbertraums, insbesondere im Vergleich zum gewöhnlichen Vektorraum. Dabei führen wir eine darstellungsunabhängige Schreibweise für Zustände und Operatoren ein. Wir behandeln die Matrixdarstellung der Operatoren und definieren die Eigenschaften adjungiert, hermitesch und unitär.

Spektrum Akademischer Verlag eBooks•Oct 17, 2011•0 citations

Fast Signal Transforms for Quantum Computers

Martin Roetteler, Markus Püschel, Thomas Beth

Die Arbeit ordnet sich in das Gebiet der Quanten-Informatik ein und liefert Beitrage zur effizienten Zerlegung linearer Transformationen auf Quantensystemen in elementare Schaltfunktionen. Schwerpunkte liegen auf dem Entwurf schneller Signaltransformationen fur Quantenrechner sowie der Entwicklung neuer Quantenalgorithmen. Die Methoden der Informatik, die in dieser Arbeit auf das Gebiet des Quantenrechnens angewendet werden, sowie die Zielsetzung der Arbeit werden im folgenden kurz vorgestellt.

•Jul 1, 2001•3 citations

Entanglement and Optimal Quantum Information Processing

Michael Siomau

Heute stehen wir am Anfang einer neuen Ära der Informationsverarbeitung, in der Quantentechnologien immer bedeutsamer werden. Ungeachtet bedeutender Fortschritte bei der experimentellen Erzeugung und Manipulation sowie der theoretischen Beschreibung von einfachen Quantensystemen, in den letzten drei Jahrzehnten, gibt es noch viele ungelöste Probleme im Verständnis des Verhaltens und der Eigenschaften von komplexen Vielteilchenquantensystemen. In dieser Dissertation wird eine theoretische Untersuchung einer Reihe von Problemen im Zusammenhang mit der Verschränkung - dem nichtlokalen Merkmal von komplexen Quantensystemen - in Vielteilchenzuständen endlichdimensionaler Quantensysteme durchgeführt. Wir betrachten zusätzlich optimale Möglichkeiten zur Manipulation solcher Systeme. Der Schwerpunkt der Arbeit liegt insbesondere auf optimalen Quantentransformationen die eine gewünschte Operation unabhängig von den Anfangszuständen des Systems erlauben. Der erste Teil dieser Arbeit widmet sich dabei einer detaillierten Analyse, wie sich die Verschränkung in Qubit-Systemen unter Einwirkung einer nichtunitären Dynamik (zeitlich) entwickelt. Im zweiten Teil der Arbeit konstruieren wir mehrere optimale zustandsunabhängige Transformationen, untersuchen ihre Eigenschaften und schlagen Anwendungen in der Quantenkommunikation und im Quantencomputing vor.

•Jan 1, 2011•0 citations
Im Kontext der Informationsverarbeitung mit Quantenrechnern untersucht diese Arbeit effiziente Methoden zur Erzeugung unitärer Transformationen unter Verwendung einer gegebenen Menge von Grundoperationen. Nach den Gesetzen der Quantenmechanik bilden dabei die unitären Transformationen die durchführbaren Operationen und zugleich eine Beschreibungssprache für Algorithmen auf einem Quantenrechner. Wir verwenden Methoden der Lie-Theorie zur Strukturanalyse der auftretenden Kontrollprobleme.
Verschränkung ist nicht nur notwendig für die Beschreibung des Verhaltens von quantenmechanischen Systemen, sondern ist auch essentiell für einige vielversprechende Anwendungen der Quantenmechanik. Motiviert durch die Bedeutung von Verschränkung werden in dieser Arbeit Themen aus der Vielteilchenverschränkungstheorie behandelt. Der erste Teil der Arbeit besteht aus zwei Unterteilen. Im ersten Unterteil werden separable Kanäle (SEP) betrachtet, d.h., Kanäle, die mittels separabler Krausoperatoren dargestellt werden können. SEP bildet eine strikte übermenge der Menge der Quantenoperationen, die mittels lokaler Operationen und klassischer Kommunikation implementiert werden können (LOCC). Dabei ist LOCC genau die Menge von Quantenoperationen, mittels welcher keine Verschränkung erzeugt werden kann. Separable Transformationen erlauben es notwendige Bedingung für LOCC-Transformationen herzuleiten. Wir zeigen, dass es nicht hinreichend ist nur Kanäle zu betrachten, die mittels separabler und invertierbarer Krausoperatoren dargestellt werden können (SEP1), um zu entscheiden ob zwei reine Zustände mit SEP ineinander transformiert werden können. Dieses Resultat wirft die Frage auf, ob Transformationen mittels SEP1 notwendig sind für LOCC-Transformationen. Während die Relation von SEP1 und LOCC nicht abschließend geklärt werden konnte, wird im Folgenden gezeigt, dass SEP1-Transformationen notwendig sind für Transformationen mittels LOCC-Protokollen, die nur aus endlich vielen Runden klassischer Kommunikation bestehen (LOCCN), also solche LOCC-Protokolle, die physikalisch relevant sind. Darüber hinaus werden notwendige und hinreichende Bedingungen dafür hergeleitet, wann eine Transformation zwischen zwei reinen Zuständen mittels SEP möglich ist (siehe auch [Gour et al. New Journal of Physics 13(7), 073013 (2011)]). Im zweiten Unterteil wird die Verschränkung von Stabilizerzuständen untersucht, da diese Zustände viele Anwendungen in der Quanteninformationstheorie besitzen. Dazu werden lokale Transformationen dieser Zustände betrachtet. Als Voraussetzung dafür werden zunächst alle lokalen Symmetrien von Stabilizerzuständen charakterisiert. Zudem wird ein Algorithmus hergeleitet, um diese für einen gegebenen Zustand zu bestimmen. Diese Ergebnisse werden dann verwendet um LOCCN-Transformatio- nen innerhalb der äquivalenzklasse zu analysieren, die von einem Stabilizerzustand und allen Zuständen, die unter probabilistischen LOCC-Transformationen von diesem erreicht werden können, gebildet wird (SLOCC). Zudem werden Anwendungen von Stabilizerzuständen diskutiert, die aus den Eigenschaften ihrer lokalen Symmetriegruppe abgeleitet werden können. Um einen vergröberten Blick auf die Verschränkung von Stabilizerzuständen zu erhalten, werden dann Cliffordtransformationen zwischen diesen Zuständen untersucht, die lokal bezüglich einer fixierten Menge von Parteien wirken (PLC). Eine solche Partei kann dabei aus mehr als einem Qubit bestehen. Zunächst wird gezeigt, dass PLC Transformationen zwischen Graphenzuständen durch eine verallgemeinerte Form von lokaler Komplementierung beschrieben werden kann. Letztere beschreibt Transformationen zwischen Graphenzuständen mittels lokaler Cliffordoperatoren. Um die entstehenden Äquivalenzklassen zu charakterisieren wird die so genannte verschränkung-generierende Menge (EGS) verwendet [Bravyi et al., J. Math. Phys. 47, 062106 (2006)]. Diese Menge enthält für bis zu drei Parteien nur endlich viele Zustände [Bravyi et al., J. Math. Phys. 47, 062106 (2006)]. Im Folgenden wird gezeigt, dass das EGS für vier und mehr Parteien unendlich viele Elemente enthält. Im zweiten Teil der Arbeit wird die partielle Unterscheidbarkeit von identischen Teilchen in Interferenzexperimenten untersucht, in welchen einige Freiheitsgrade der Teilchen nicht verändert und nicht detektiert werden. Dabei werden insbesondere Bosonen betrachtet. Anwendungen solcher Interferenzexperimente benötigen meist ununterscheidbare Teilchen. Deshalb spielt die Charakterisierung von partieller Unterscheidbarkeit sowie deren Quantifizierung eine wichtige Rolle. Zunächst wird in diesem Teil der Arbeit Literatur zusammengefasst, die für die weiteren Kapitel besonders relevant ist. Diese Literatur beschäftigt sich hauptsächlich mit bestimmten Teilmengen von Zuständen, die relevant sind für Experimente. Ausgehend von dieser Zusammenfassung wird dann eine Definition von Ununterscheidbarkeit und Unterscheidbarkeit für Teilchen formuliert, die durch allgemeine Zustände beschrieben werden. Diese basiert alleinig auf den Informationen über die Teilchen, welche auch in den betrachteten Experimenten zugänglich sind. Die zugehörigen Mengen von Zuständen werden mittels Darstellungstheorie charakterisiert. Darüber hinaus wird eine effiziente Methode hergeleitet um eine obere und eine untere Schranke an ein Ununterscheidbarkeitsmaß mittels Interferenzexperimenten zu bestimmen, welches sich von der Definition von Ununterscheidbarkeit ableitet.
Die Grundlage dieser Arbeit ist die q-deformierte Heisenberg-Algebra.Zuerst definieren wir diese Algebra, betrachten ihre Darstellungen und geben anschließend eine Einbettung der q-Heisenberg-Operatoren in die undeformierte Heisenberg-Algebra an.Die q-Heisenberg-Operatoren besitzen ein diskretes Spektrum.Diese sogenannten q-Gitter spielen eine wesentliche Rolle in dieser Arbeit.Mit Hilfe eines algebraischen Kalküls betreiben wir q-deformierte Quantenmechanik und nichtabelsche Eichtheorie auf einer Unteralgebra der q-Heisenberg-Algebra, die von den Elementen x und x -1 erzeugt wird.Wir betten ein freies q-Teilchen in den Ortsraum der undeformierten Quantenmechanik ein, untersuchen seine Eigenschaften und stellen es in Diagrammen graphisch dar.Ein solches Teilchen nimmt nur auf einem q-Gitter von Null verschiedene Werte an.Wir verwenden das q-Teilchen als stationäres Streupotenzial für die Streuung einer ebenen Welle, und untersuchen den Reflexionskoeffizient nach Spuren der diskreten Struktur.Zum Schluss verwenden wir noch den Grundzustand des q-Oszillators als stationäres Streupotenzial und vergleichen den Reflexionskoeffizient der gestreuten Welle mit den entsprechenden Resultaten der undeformierten Quantenmechanik.
In dieser Arbeit werden Linked-Cluster Entwicklungen weiterentwickelt und auf verschiedene Hubbard- und Spinmodelle bei Temperatur T=0 angewendet. Die Spinmodelle können dabei als effektive Beschreibung der isolierenden Mottphase von Hubbardmodellen angesehen werden. In den meisten Fällen sind die verwendeten Linked-Cluster Entwicklungen nichtperturbative Varianten, welche physikalische Größen auf einzelnen Graphen mit nichtperturbativen Methoden wie kontinuierlichen unitären Transformationen oder exakter Diagonalisierung berechnen, um Resultate im thermodynamischen Limes zu erhalten. Das halbgefüllte Hubbardmodell auf einer Einparameterfamilie von flussgefüllten Quadratgittern besteht aus einem anisotropen Parameter, welcher zwischen dem Grenzfall isolierter Dimere und dem isotropen Quadratgitter interpoliert. Es stellt sich heraus, dass das Grundzustandsphasendiagramm aus vier Phasen besteht: Einem Halbmetall und einem Bandisolator für schwache Wechselwirkungen sowie einer Néelphase und einem Valenzbondkristall bei starken Wechselwirkungen. Alle Ergebnisse sind entlang der gesamten Parameterachse konsistent mit der Abwesenheit einer Spinflüssigkeitsphase. Das Phasendiagramm wird durch eine Kombination von Quanten-Monte-Carlo-Rechnungen und kontinuierlichen unitären Transformationen bestimmt. Dabei werden die kontinuierlichen unitären Transformationen in zwei Schritten durchgeführt: Zuerst werden nichtperturbative graphenbasierte kontinuierliche unitäre Transformationen verwendet, um effektive Quantenspinmodelle für die Mottphase abzuleiten. Im Anschluss daran werden diese Spinmodelle innerhalb des Valenzbondkristalls mit perturbativen kontinuierlichen unitären Transformationen analysiert, indem die Triplonlücke bestimmt und der Zusammenbruch des Valenzbondkristalls untersucht wird. Kürzliche Studien haben Hinweise für die Existenz einer nichtmagnetischen isolierenden Phase innerhalb der Mottphase des halbgefüllten Hubbardmodells auf dem Pi-Fluss Dreiecksgitter gefunden. In dieser Arbeit wird mit perturbativen kontinuierlichen unitären Transformationen ein effektives Spinmodell für dieses Hubbardmodell abgeleitet. Die Analyse der effektiven Spinmodelle mittels exakter Diagonalisierung zeigt keine Anzeichen für die Existenz einer solchen exotischen Phase. Abschließend wird in dieser Arbeit ein generisches Schema zur Durchführung von nichtperturbativen Linked-Cluster Entwicklungen in langreichweitig geordneten Quantenphasen vorgestellt. Dieses Schema geht über das Paradigma der normalen nichtperturbativen Linked-Cluster Entwicklungen hinaus und erweitert diese, sodass eine Berechnung um einen geordneten Referenzzustand durchgeführt werden kann. Die Cluster werden dann, als von diesem Referenzzustand umgeben, betrachtet, wodurch sich Randfelder ergeben, welche die mit der Ordnung assoziierte Symmetrie brechen. Das Einbeziehen dieser Randfelder in der exakten Diagonalisierung auf den einzelnen Graphen, führt -- selbst für langreichweitig magnetisch geordnete Phasen mit lückenlosen Anregungen, bei denen die divergierende Korrelationslänge üblicherweise die Anwendung von nichtperturbativen Linked-Cluster Entwicklungen verhindert -- zu einem monotonen Konvergenzverhalten. Weiterhin wird das Skalierungsverhalten der Datensequenzen zu unendlichen Ordnungen untersucht. Dabei werden unterschiedliche Graphenentwicklungen angewendet, welche eine volle Graphenentwicklung sowie Entwicklungen in rechteckigen und symmetrischeren quadratischeren Clustern beinhalten. Das Schema wird auf das Spin-1/2 und Spin-1 Heisenbergmodell auf dem Quadrat- und Dreiecksgitter, welche beide einen langreichweitig magnetisch geordneten Grundzustand mit lückenlosen Spinwellenanregungen aufweisen, sowie auf das Spin-1 Heisenbergmodell auf dem Kagomegitter, welches einen spontan trimerisierten lückenbehafteten Grundzustand besitzt, angewendet.
Heute stehen wir am Anfang einer neuen Ära der Informationsverarbeitung, in der Quantentechnologien immer bedeutsamer werden. Ungeachtet bedeutender Fortschritte bei der experimentellen Erzeugung und Manipulation sowie der theoretischen Beschreibung von einfachen Quantensystemen, in den letzten drei Jahrzehnten, gibt es noch viele ungelöste Probleme im Verständnis des Verhaltens und der Eigenschaften von komplexen Vielteilchenquantensystemen. In dieser Dissertation wird eine theoretische Untersuchung einer Reihe von Problemen im Zusammenhang mit der Verschränkung - dem nichtlokalen Merkmal von komplexen Quantensystemen - in Vielteilchenzuständen endlichdimensionaler Quantensysteme durchgeführt. Wir betrachten zusätzlich optimale Möglichkeiten zur Manipulation solcher Systeme. Der Schwerpunkt der Arbeit liegt insbesondere auf optimalen Quantentransformationen die eine gewünschte Operation unabhängig von den Anfangszuständen des Systems erlauben. Der erste Teil dieser Arbeit widmet sich dabei einer detaillierten Analyse, wie sich die Verschränkung in Qubit-Systemen unter Einwirkung einer nichtunitären Dynamik (zeitlich) entwickelt. Im zweiten Teil der Arbeit konstruieren wir mehrere optimale zustandsunabhängige Transformationen, untersuchen ihre Eigenschaften und schlagen Anwendungen in der Quantenkommunikation und im Quantencomputing vor.